SBT Toán 8 Bài 1: Phân thức đại số

SBT Toán 8 Bài 1: Phân thức đại số | Giải SBT Toán lớp 8

Nghiêm Thị Ngà Ngày: 19-05-2022 Lớp 8

494

Toptailieu.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 8 Bài 1: Phân thức đại số chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 1: Phân thức đại số

Bài 1 Trang 23 SBT Toán 8 Tập 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\frac{x^{2} y^{3}}{5} = \frac{7 x^{3} y^{4}}{35 x y}$

b) $\frac{x^{2} (x + 2)}{x {(x + 2)}^{2}} = \frac{x}{x + 2}$

c) $\frac{3 - x}{3 + x} = \frac{x^{2} - 6 x + 9}{9 - x^{2}}$

d) $\frac{x^{3} - 4 x}{10 - 5 x} = \frac{- x^{2} - 2 x}{5}$

Phương pháp giải:

Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu $A D = B C$ .

Lời giải:

Ta có: $x^{2} y^{3} .35 x y = 35 x^{3} y^{4};$

$5.7 x^{3} y^{4} = 35 x^{3} y^{4}$

$\Rightarrow x^{2} y^{3} .35 x y = 5.7 x^{3} y^{4}$ .

Vậy $\frac{x^{2} y^{3}}{5} = \frac{7 x^{3} y^{4}}{35 x y}$

Ta có: $x^{2} (x + 2) . (x + 2) = x^{2} {(x + 2)}^{2};$

$x {(x + 2)}^{2} . x = x^{2} {(x + 2)}^{2}$

$\Rightarrow x^{2} (x + 2) . (x + 2) = x {(x + 2)}^{2} . x$

Vậy $\frac{x^{2} (x + 2)}{x {(x + 2)}^{2}} = \frac{x}{x + 2}$

Ta có: $(3 - x) (9 - x^{2})$ $= (3 - x) (3 - x) (3 + x)$ $= {(3 - x)}^{2} (3 + x)$

$(3 + x) (x^{2} - 6 x + 9)$ $= (3 + x) (x^{2} - 2. x .3 + 3^{2})$ $= (3 + x) {(x - 3)}^{2} = (3 + x) {(3 - x)}^{2}$

$\Rightarrow (3 - x) (9 - x^{2})$ $= (3 + x) (x^{2} - 6 x + 9)$ .

Vậy $\frac{3 - x}{3 + x} = \frac{x^{2} - 6 x + 9}{9 - x^{2}}$

Chú ý: ${(x - 3)}^{2} = {(3 - x)}^{2}$ vì $(x - 3) = - (3 - x)$ nên $(x - 3)^{2} = [- (3 - x)]^{2}$ $= (- 1)^{2} . (3 - x)^{2} = (3 - x)^{2}$

Ta có: $(x^{3} - 4 x) .5 = 5 x^{3} - 20 x;$

$(10 - 5 x) (- x^{2} - 2 x)$ $= - 10 x^{2} - 20 x + 5 x^{3} + 10 x^{2}$ $= 5 x^{3} - 20 x$

$\Rightarrow (x^{3} - 4 x) .5$ $= (10 - 5 x) (- x^{2} - 2 x)$

Vậy $\frac{x^{3} - 4 x}{10 - 5 x} = \frac{- x^{2} - 2 x}{5}$

Bài 2 Trang 24 SBT Toán 8 Tập 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau:

a) $\frac{A}{2 x - 1} = \frac{6 x^{2} + 3 x}{4 x^{2} - 1}$

b) $\frac{4 x^{2} - 3 x - 7}{A} = \frac{4 x - 7}{2 x + 3}$

c) $\frac{4 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} - 1} = \frac{A}{x^{2} + 2 x + 1}$

d) $\frac{x^{2} - 2 x}{2 x^{2} - 3 x - 2} = \frac{x^{2} + 2 x}{A}$

Phương pháp giải:

Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu $A D = B C$ .

Lời giải:

a) $\frac{A}{2 x - 1} = \frac{6 x^{2} + 3 x}{4 x^{2} - 1}$

$\Rightarrow A (4 x^{2} - 1)$ $= (2 x - 1) . (6 x^{2} + 3 x)$

$\Rightarrow A (2 x - 1) (2 x + 1)$ $= (2 x - 1) .3 x (2 x + 1)$

$\Rightarrow A = 3 x$

Ta có: $\frac{3 x}{2 x - 1} = \frac{6 x^{2} + 3 x}{4 x^{2} - 1}$

b) $\frac{4 x^{2} - 3 x - 7}{A} = \frac{4 x - 7}{2 x + 3}$

$\Rightarrow (4 x^{2} - 3 x - 7) (2 x + 3)$ $= A (4 x - 7)$

$\Rightarrow (4 x^{2} + 4 x - 7 x - 7) (2 x + 3)$

$= A (4 x - 7)$

$\Rightarrow [4 x (x + 1) - 7 (x + 1)] (2 x + 3)$ $= A (4 x - 7)$

$\Rightarrow (x + 1) (4 x - 7) (2 x + 3)$ $= A (4 x - 7)$

$\Rightarrow A = (x + 1) (2 x + 3)$ $= 2 x^{2} + 3 x + 2 x + 3$ $= 2 x^{2} + 5 x + 3$

Ta có: $\frac{4 x^{2} - 3 x - 7}{2 x^{2} + 5 x + 3} = \frac{4 x - 7}{2 x + 3}$

c) $\frac{4 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} - 1} = \frac{A}{x^{2} + 2 x + 1}$

$\Rightarrow (4 x^{2} - 7 x + 3) . (x^{2} + 2 x + 1)$ $= A . (x^{2} - 1)$

$\Rightarrow (4 x^{2} - 4 x - 3 x + 3) . {(x + 1)}^{2}$ $= A (x + 1) (x - 1)$

$\Rightarrow [4 x (x - 1) - 3 (x - 1)] . {(x + 1)}^{2}$ $= A (x + 1) (x - 1)$

$\Rightarrow (x - 1) (4 x - 3) {(x + 1)}^{2}$ $= A (x + 1) (x - 1)$

$\Rightarrow A = (4 x - 3) (x + 1)$ $= 4 x^{2} + 4 x - 3 x - 3 = 4 x^{2} + x - 3$

Ta có: $\frac{4 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} - 1} = \frac{4 x^{2} + x - 3}{x^{2} + 2 x + 1}$

d) $\frac{x^{2} - 2 x}{2 x^{2} - 3 x - 2} = \frac{x^{2} + 2 x}{A}$

$\Rightarrow (x^{2} - 2 x) . A$ $= (2 x^{2} - 3 x - 2) (x^{2} + 2 x)$

$\Rightarrow x (x - 2) . A$ $= (2 x^{2} - 4 x + x - 2) . x (x + 2)$

$\Rightarrow x (x - 2) . A$ $= [2 x (x - 2) + (x - 2)] . x (x + 2)$

$\Rightarrow x (x - 2) . A$ $= (2 x + 1) (x - 2) . x . (x + 2)$

$\Rightarrow A = (2 x + 1) (x + 2)$ $= 2 x^{2} + 4 x + x + 2 = 2 x^{2} + 5 x + 2$

Ta có : $\frac{x^{2} - 2 x}{2 x^{2} - 3 x - 2} = \frac{x^{2} + 2 x}{2 x^{2} + 5 x + 2}$

Bài 3 Trang 24 SBT Toán 8 Tập 1: Bạn Lan viết các đẳng thức sau và đố các bạn trong nhóm học tập tìm ra chỗ sai. Em hãy sửa chỗ sai cho đúng.

a. $\frac{5 x + 3}{x - 2} = \frac{5 x^{2} + 13 x + 6}{x^{2} - 4}$

b. $\frac{x + 1}{x + 3} = \frac{x^{2} + 3}{x^{2} + 6 x + 9}$

c. $\frac{x^{2} - 2}{x^{2} - 1} = \frac{x + 2}{x + 1}$

d. $\frac{2 x^{2} - 5 x + 3}{x^{2} + 3 x - 4} = \frac{2 x^{2} - x - 3}{x^{2} + 5 x + 4}$

Phương pháp giải:

Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu $A D = B C$ .

Lời giải:

a. Xét: $(5 x + 3) (x^{2} - 4)$ $= 5 x^{3} - 20 x + 3 x^{2} - 12$ (1)

Xét: $(x - 2) (5 x^{2} + 13 x + 6)$ $= 5 x^{3} + 13 x^{2} + 6 x - 10 x^{2} - 26 x - 12$ $= 5 x^{3} - 20 x + 3 x^{2} - 12$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra đẳng thức đúng.

b. Xét: $(x + 1) (x^{2} + 6 x + 9)$ $= x^{3} + 6 x^{2} + 9 x + x^{2} + 6 x + 9$ $= x^{3} + 7 x^{2} + 15 x + 9$

Xét: $(x + 3) (x^{2} + 3)$ $= x^{3} + 3 x + 3 x^{2} + 9$

Suy ra: $(x + 1) (x^{2} + 6 x + 9) \neq$ $(x + 3) (x^{2} + 3)$

Đẳng thức sai

$\frac{x + 1}{x + 3} \neq \frac{x^{2} + 3}{x^{2} + 6 x + 9}$ .

Ta có: $(x + 1) . (x^{2} + 6 x + 9)$

$= (x + 1) . (x + 3)^{2}$

$= (x + 3) . (x + 1) . (x + 3)$

$= (x + 3) (x^{2} + 4 x + 3)$

Ta có thể sửa lại là: $\frac{x + 1}{x + 3} = \frac{x^{2} + 4 x + 3}{x^{2} + 6 x + 9}$

c. Xét: $(x^{2} - 2) (x + 1)$ $= x^{3} + x^{2} - 2 x - 2$

Xét: $(x^{2} - 1) (x + 2)$ $= x^{3} + 2 x^{2} - x - 2$

Suy ra $(x^{2} - 2) (x + 1) \neq (x^{2} - 1) (x + 2)$

Đẳng thức sai

$\frac{x^{2} - 2}{x^{2} - 1} \neq \frac{x + 2}{x + 1}$ .

Ta có: $(x^{2} - 1) . (x + 2)$

$= (x + 1) (x - 1) . (x + 2)$

$= (x + 1) . (x + x - 2)$

Ta có thể sửa lại là: $\frac{x^{2} + x - 2}{x^{2} - 1} = \frac{x + 2}{x + 1}$

d. Xét: $(2 x^{2} - 5 x + 3) (x^{2} + 5 x + 4)$

$= 2 x^{4} + 10 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x^{3}$ $- 25 x^{2} - 20 x + 3 x^{2} + 15 x + 12$

Bài 1.1 Trang 24 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm đa thức $P$ để $\frac{x - 3}{x^{2} + x + 1} = \frac{P}{x^{3} - 1}$ .

Phương án nào sau đây là đúng ?

A. $P = x^{2} + 3$

B. $P = x^{2} - 4 x + 3$

C. $P = x + 3$

D. $P = x^{2} - x - 3$

Phương pháp giải:

Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu $A D = B C$ .

Lời giải:

Ta có:

$\frac{x - 3}{x^{2} + x + 1} = \frac{P}{x^{3} - 1}$
$\Leftrightarrow (x - 3) (x^{3} - 1)$ $= (x^{2} + x + 1) . P$
$\Leftrightarrow (x - 3) (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ $= (x^{2} + x + 1) . P$
$\Leftrightarrow (x^{2} + x + 1) (x^{2} - 4 x + 3)$ $= (x^{2} + x + 1) . P$

Suy ra $P = x^{2} - 4 x + 3$

Chọn B.

Bài 1.2 Trang 24 SBT Toán 8 Tập 1: Trong mỗi trường hợp sau hãy tìm hai đa thức $P$ và $Q$ thỏa mãn đẳng thức:

a) $\frac{(x + 2) P}{x - 2} = \frac{(x - 1) Q}{x^{2} - 4}$

b) $\frac{(x + 2) P}{x^{2} - 1} = \frac{(x - 2) Q}{x^{2} - 2 x + 1}$

Phương pháp giải:

Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu $A D = B C$ .

Lời giải:

a) $\frac{(x + 2) P}{x - 2} = \frac{(x - 1) Q}{x^{2} - 4}$

$\Rightarrow (x + 2) P . (x^{2} - 4)$ $= (x - 2) (x - 1) Q$

$\Rightarrow P . {(x + 2)}^{2} (x - 2)$ $= Q (x - 2) (x - 1)$

$\Rightarrow P = \frac{Q (x - 2) (x - 1)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$ $= \frac{Q (x - 1)}{{(x + 2)}^{2}}$

Chọn $Q = {(x + 2)}^{2} = x^{2} + 4 x + 4$ $\Rightarrow P = x - 1$

b) $\frac{(x + 2) P}{x^{2} - 1} = \frac{(x - 2) Q}{x^{2} - 2 x + 1}$

$\Rightarrow (x + 2) . P . (x^{2} - 2 x + 1)$ $= (x^{2} - 1) (x - 2) . Q$

$\Rightarrow P . (x + 2) {(x - 1)}^{2}$ $= Q . (x + 1) (x - 1) (x - 2)$

$\Rightarrow P = \frac{Q . (x + 1) (x - 1) (x - 2)}{(x + 2) {(x - 1)}^{2}}$ $= \frac{Q (x + 1) (x - 2)}{(x + 2) (x - 1)}$

Chọn $Q = (x + 2) (x - 1) = x^{2} + x - 2$

$\Rightarrow P = (x - 2) (x + 1) = x^{2} - x - 2$

Chú ý: Bài toán có nhiều đáp án phụ thuộc vào cách chọn đa thức $Q$ .

Bài 1.3 Trang 24 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hai phân thức $\frac{P}{Q}$ và $\frac{R}{S}$ .

Chứng minh rằng :

a) Nếu $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ thì $\frac{P + Q}{Q} = \frac{R + S}{S}$

b) Nếu $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ và $P \neq Q$ thì $R \neq S$ và $\frac{P}{Q - P} = \frac{R}{S - R}$

Phương pháp giải:

- Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu $A D = B C$ .

- Cho đẳng thức $a = b$ $\Rightarrow a + c = b + c$

Lời giải:

a) $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$

$\Rightarrow P S = Q R$ (1)

Vì $\frac{P}{Q}, \frac{R}{S}$ là phân thức nên $Q, S \neq 0$ .

Cộng vào hai vế của đẳng thức (1) với $Q S$ ta được:

$P S + Q S = Q R + Q S$

$\Rightarrow S (P + Q) = Q (R + S)$

$\Rightarrow \frac{P + Q}{Q} = \frac{R + S}{S}$

b) $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$

$\Rightarrow P S = Q R$ (2) và $P \neq Q, R \neq S$

Trừ từng vế đẳng thức (2) với $P R$ ta được :

$P S - P R = Q R - P R$

$\Rightarrow P (S - R) = R (Q - P)$

$\Rightarrow \frac{P}{Q - P} = \frac{R}{S - R}$ .

Từ khóa :

Giải bài tập Toán 8 Phân thức đại số

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Lớp 6

Toán 6 ( Kết nối tri thức): Luyện tập chung Mai Hương

297

Toán Lớp 6

Bài 5.16 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

318

Toán Lớp 6

Bài 5.15 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

346

Toán Lớp 6

Bài 5.14 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

294