SBT Toán 8 Bài 3: Rút gọn phân thức

SBT Toán 8 Bài 3: Rút gọn phân thức | Giải SBT Toán lớp 8

Nghiêm Thị Ngà Ngày: 19-05-2022 Lớp 8

411

Toptailieu.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 8 Bài 3: Rút gọn phân thức chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 3: Rút gọn phân thức

Bài 9 Trang 26 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn các phân thức sau:

a) $\frac{14 x y^{5} (2 x - 3 y)}{21 x^{2} y {(2 x - 3 y)}^{2}}$

b) $\frac{8 x y {(3 x - 1)}^{3}}{12 x^{3} (1 - 3 x)}$

c) $\frac{20 x^{2} - 45}{{(2 x + 3)}^{2}}$

d) $\frac{5 x^{2} - 10 x y}{2 {(2 y - x)}^{3}}$

e) $\frac{80 x^{3} - 125 x}{3 (x - 3) - (x - 3) (8 - 4 x)}$

f) $\frac{9 - {(x + 5)}^{2}}{x^{2} + 4 x + 4}$

g) $\frac{32 x - 8 x^{2} + 2 x^{3}}{x^{3} + 64}$

h) $\frac{5 x^{3} + 5 x}{x^{4} - 1}$

i) $\frac{x^{2} + 5 x + 6}{x^{2} + 4 x + 4}$

Phương pháp giải:

Muốn rút gọn một phân thức đại số ta làm như sau:

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung giống nhau.

Lời giải:

a) $\frac{14 x y^{5} (2 x - 3 y)}{21 x^{2} y {(2 x - 3 y)}^{2}} = \frac{2 y^{4}}{3 x (2 x - 3 y)}$

b) $\frac{8 x y {(3 x - 1)}^{3}}{12 x^{3} (1 - 3 x)} = \frac{8 x y {(3 x - 1)}^{3}}{- 12 x^{3} (3 x - 1)}$

$= \frac{- 8 x y {(3 x - 1)}^{3}}{12 x^{3} (3 x - 1)} = \frac{- 2 y {(3 x - 1)}^{2}}{3 x^{2}}$

c) $\frac{20 x^{2} - 45}{{(2 x + 3)}^{2}} = \frac{5 (4 x^{2} - 9)}{{(2 x + 3)}^{2}}$

$= \frac{5 (2 x + 3) (2 x - 3)}{{(2 x + 3)}^{2}} = \frac{5 (2 x - 3)}{2 x + 3}$

d) $\frac{5 x^{2} - 10 x y}{2 {(2 y - x)}^{3}} = \frac{- 5 x (2 y - x)}{2 {(2 y - x)}^{3}}$

$= \frac{- 5 x}{2 {(2 y - x)}^{2}}$

e) $\frac{80 x^{3} - 125 x}{3 (x - 3) - (x - 3) (8 - 4 x)}$

$= \frac{5 x (16 x^{2} - 25)}{(x - 3) [3 - (8 - 4 x)]}$

$= \frac{5 x [{(4 x)}^{2} - 5^{2}]}{(x - 3) (3 - 8 + 4 x)}$

$= \frac{5 x (4 x - 5) (4 x + 5)}{(x - 3) (4 x - 5)}$

$= \frac{5 x (4 x + 5)}{x - 3}$

f) $\frac{9 - {(x + 5)}^{2}}{x^{2} + 4 x + 4} = \frac{3^{2} - {(x + 5)}^{2}}{x^{2} + 2. x .2 + 2^{2}}$

$= \frac{(3 + x + 5) (3 - x - 5)}{{(x + 2)}^{2}}$

$= \frac{(8 + x) (- 2 - x)}{{(x + 2)}^{2}}$

$= \frac{- (8 + x) (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- 8 - x}{x + 2}$

g) $\frac{32 x - 8 x^{2} + 2 x^{3}}{x^{3} + 64}$

$= \frac{32 x - 8 x^{2} + 2 x^{3}}{x^{3} + 4^{3}}$

$= \frac{2 x (16 - 4 x + x^{2})}{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16)}$

$= \frac{2 x}{x + 4}$

h) $\frac{5 x^{3} + 5 x}{x^{4} - 1} = \frac{5 x (x^{2} + 1)}{(x^{2} - 1) (x^{2} + 1)}$

$= \frac{5 x}{x^{2} - 1}$

i) $\frac{x^{2} + 5 x + 6}{x^{2} + 4 x + 4}$

$= \frac{x^{2} + 2 x + 3 x + 6}{x^{2} + 2. x .2 + 2^{2}}$

$= \frac{x (x + 2) + 3 (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

$= \frac{(x + 2) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{x + 3}{x + 2}$

Bài 10 Trang 26 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\frac{x^{2} y + 2 x y^{2} + y^{3}}{2 x^{2} + x y - y^{2}} = \frac{x y + y^{2}}{2 x - y}$

b) $\frac{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}{x^{3} + 2 x^{2} y - x y^{2} - 2 y^{3}} = \frac{1}{x - y}$

Phương pháp giải:

Ta biến đổi vế trái của đẳng thức sao cho thông qua các phép biến đổi thì vế trái bằng vế phải.

Lời giải:

a) Biến đổi vế trái:

$V T = \frac{x^{2} y + 2 x y^{2} + y^{3}}{2 x^{2} + x y - y^{2}}$

$= \frac{y (x^{2} + 2 x y + y^{2})}{2 x^{2} + 2 x y - x y - y^{2}}$

$= \frac{y {(x + y)}^{2}}{2 x (x + y) - y (x + y)}$

$= \frac{y {(x + y)}^{2}}{(x + y) (2 x - y)}$

$= \frac{y (x + y)}{2 x - y} = \frac{x y + y^{2}}{2 x - y} = V P$

Vậy đẳng thức được chứng minh.

b) Biến đổi vế trái:

$V T = \frac{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}{x^{3} + 2 x^{2} y - x y^{2} - 2 y^{3}}$

$= \frac{x^{2} + x y + 2 x y + 2 y^{2}}{x^{2} (x + 2 y) - y^{2} (x + 2 y)}$

$= \frac{x (x + y) + 2 y (x + y)}{(x + 2 y) (x^{2} - y^{2})}$

$= \frac{(x + y) (x + 2 y)}{(x + 2 y) (x + y) (x - y)}$

$= \frac{1}{x - y} = V P$

Vậy đẳng thức được chứng minh.

(Với VT: vế trái, VP: vế phải)

Bài 11 Trang 26 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hai phân thức $\frac{x^{3} - x^{2} - x + 1}{x^{4} - 2 x^{2} + 1}$ , $\frac{5 x^{3} + 10 x^{2} + 5 x}{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}$ . Theo bài tập 8, có vô số cặp phân thức có cùng mẫu thức và bằng cặp phân thức đã cho. Hãy tìm cặp phân thức như thế với mẫu thức là đa thức có bậc thấp nhất.

Phương pháp giải:

Để tìm được phân thức thỏa mãn yêu cầu của bài toán thực chất là ta thực hiện phép rút gọn phân thức đã cho về dạng tối giản.

Lời giải:

+) $\frac{x^{3} - x^{2} - x + 1}{x^{4} - 2 x^{2} + 1}$

$= \frac{x^{2} (x - 1) - (x - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

$= \frac{(x - 1) (x^{2} - 1)}{{[(x + 1) (x - 1)]}^{2}}$

$= \frac{(x - 1) (x + 1) (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

$= \frac{(x + 1) {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1}$

+) $\frac{5 x^{3} + 10 x^{2} + 5 x}{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}$

$= \frac{5 x (x^{2} + 2 x + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

$= \frac{5 x {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{5 x}{x + 1}$

Vậy cặp phân thức cần tìm là $\frac{1}{x + 1}$ và $\frac{5 x}{x + 1}$ .

Bài 12 Trang 27 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm $x$ , biết:

a) $a^{2} x + x = 2 a^{4} - 2$ với $a$ là hằng số;

b) $a^{2} x + 3 a x + 9 = a^{2}$ với $a$ là hằng số, $a \neq 0$ và $a \neq - 3.$

Phương pháp giải:

- Muốn tìm thừa số chưa biết ta lấy tích chia cho thừa số đã biết.

- Muốn rút gọn một phân thức đại số ta làm như sau:

+ Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.

+ Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung giống nhau.

Lời giải:

a) $a^{2} x + x = 2 a^{4} - 2$

$\begin{aligned} x (a^{2} + 1) = 2 (a^{4} - 1) \\ x = \frac{2 (a^{4} - 1)}{a^{2} + 1} \\ x = \frac{2 (a^{2} - 1) (a^{2} + 1)}{a^{2} + 1} \\ x = 2 (a^{2} - 1) \end{aligned}$

b) $a^{2} x + 3 a x + 9 = a^{2}$

$\begin{aligned} a x (a + 3) = a^{2} - 9 \\ x = \frac{a^{2} - 9}{a (a + 3)} (a \neq 0; a + 3 \neq 0 h a y a \neq 0; a \neq - 3) \\ x = \frac{(a - 3) (a + 3)}{a (a + 3)} \\ x = \frac{a - 3}{a} \end{aligned}$

Bài 3.1 Trang 27 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn phân thức:

a) $\frac{x^{4} - y^{4}}{y^{3} - x^{3}}$

b) $\frac{(2 x - 4) (x - 3)}{(x - 2) (3 x^{2} - 27)}$

c) $\frac{2 x^{3} + x^{2} - 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} - x - 2}$

Phương pháp giải:

Muốn rút gọn một phân thức đại số ta làm như sau:

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung giống nhau.

Lời giải:

$\begin{aligned} \frac{x^{4} - y^{4}}{y^{3} - x^{3}} \\ = \frac{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} - y^{2})}{(y - x) (y^{2} + x y + x^{2})} \\ = \frac{(x^{2} + y^{2}) (x + y) (x - y)}{(y - x) (y^{2} + x y + x^{2})} \\ = \frac{(x^{2} + y^{2}) (x + y) (x - y)}{- (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})} \\ = \frac{- (x^{2} + y^{2}) (x + y)}{x^{2} + x y + y^{2}} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{(2 x - 4) (x - 3)}{(x - 2) (3 x^{2} - 27)} \\ = \frac{2 (x - 2) (x - 3)}{(x - 2) .3 . (x^{2} - 9)} \\ = \frac{2 (x - 3)}{3 (x + 3) (x - 3)} \\ = \frac{2}{3 (x + 3)} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{2 x^{3} + x^{2} - 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} - x - 2} \\ = \frac{(2 x^{3} - 2 x) + (x^{2} - 1)}{(x^{3} - x) + (2 x^{2} - 2)} \\ = \frac{2 x (x^{2} - 1) + (x^{2} - 1)}{x (x^{2} - 1) + 2 (x^{2} - 1)} \\ = \frac{(x^{2} - 1) (2 x + 1)}{(x^{2} - 1) (x + 2)} \\ = \frac{2 x + 1}{x + 2} \end{aligned}$