Vở bài tập Toán 8 trang 103, 104, 105, 106, 107 Bài 10: Ôn tập chương 3

Vở bài tập Toán 8 trang 103, 104, 105, 106, 107 Bài 10: Ôn tập chương 3 – Tam giác đồng dạng.

Dương Kiều Ninh Ngày: 26-05-2022 Lớp 8

373

Toptailieu.vn giới thiệu Vở bài tập Toán 8 trang 103, 104, 105, 106, 107 Bài 10: Ôn tập chương 3 – Tam giác đồng dạng chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong Vở bài tập Toán 8. Mời các bạn đón đọc.

Vở bài tập Toán 8 trang 103, 104, 105, 106, 107 Bài 10: Ôn tập chương 3 – Tam giác đồng dạng

Vở bài tập Toán 8 trang 103 - 107 Bài 44: Cho tam giác $A B C (A B < A C)$ . Vẽ đường cao $A H$ , đường phân giác $A D$ , đường trung tuyến $A M$ . Có nhận xét gì về vị trí của ba điểm $H, D, M$ .

Phương pháp giải: Áp dụng: Tính chất đường phân giác của tam giác, quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác.
Lời giải:

Khi vẽ đường cao $A H$ , đường phân giác $A D$ và đường trung tuyến $A M$ (các điểm $H, D, M$ đều thuộc cạnh $B C$ ), ta thấy rằng điểm $D$ luôn luôn nằm giữa hai điểm $H$ và $M$ (h.52). Nghĩa là đường phân giác luôn nằm giữa đường cao và đường trung tuyến. Ta có thể chứng minh được điều đó như sau:

Từ tính chất của đường phân giác, ta có $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}$

Vì $A B < A C$ (giả thiết), suy ra $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C} < 1$ $\Rightarrow D B < D C$ $\Rightarrow D B + D C < 2 D C$

$\Rightarrow B C < 2 D C \Rightarrow \frac{B C}{2} < D C$ hay $C M < D C$ .

Vậy điểm $D$ nằm bên trái điểm $M$ (1)

Mặt khác, ta lại có:

$\hat{C A H} = 90^{0} - \hat{C} = (\frac{\hat{A}}{2} + \frac{\hat{B}}{2} + \frac{\hat{C}}{2}) - \hat{C}$ $= \frac{\hat{A}}{2} + \frac{\hat{B}}{2} - \frac{\hat{C}}{2} = \frac{\hat{A}}{2} + \frac{\hat{B} - \hat{C}}{2}$

Vì $A B < A C$ (giả thiết) nên $\hat{B} > \hat{C} \Rightarrow \hat{B} - \hat{C} > 0$ $\Rightarrow \frac{\hat{B} - \hat{C}}{2} > 0$

Từ đó suy ra $\hat{C A H} = \frac{\hat{A}}{2} + \frac{\hat{B} - \hat{C}}{2} > \frac{\hat{A}}{2}$ , nghĩa là $\hat{C A H} > \hat{C A D}$

Vậy tia $A D$ phải nằm giữa tia $A H$ và $A C$ và suy ra điểm $H$ phải nằm bên trái điểm $D$ (2)

Từ các kết luận (1) và (2) ta suy ra điểm $D$ luôn nằm giữa hai điểm $H$ và $M$ (đpcm).

Vở bài tập Toán 8 trang 103 - 107 Bài 45: Cho tam giác cân $A B C (A B = A C)$ , vẽ các đường cao $B H, C K$ (h.53).

a) Chứng minh $B K = C H$ .

b) Chứng minh $K H / / B C$ .

c) Cho biết $B C = a, A B = A C = b$ . Tính độ dài đoạn thẳng $H K$ .

Phương pháp giải:

Hướng dẫn câu c):

- Vẽ thêm đường cao $A I$ , xét hai tam giác đồng dạng $I A C$ và $H B C$ rồi tính $C H$ .

- Tiếp theo, xét hai tam giác đồng dạng $A K H$ và $A B C$ rồi tính $H K$ .

Lời giải:

a) Xét hai tam giác vuông $B K C$ và $C H B$ , ta có $\hat{B} = \hat{C}$ (vì $A B = A C$ )

$B C$ là cạnh huyền chung.

Suy ra $Δ B K C = Δ C H B \Rightarrow B K = C H$

b) Từ giả thiết $A B = A C$ và $B K = C H$ (theo chứng minh trên) suy ra $A K = A H$ , ta có $\frac{A K}{A B} = \frac{A H}{A C} \Rightarrow K H / / B C$

c) Vẽ thêm đường cao $A I$ ; $A I, B H, C K$ đồng quy tại $O$ .

$Δ I A C \sim Δ H B C$ (vì $\hat{I} = \hat{H} = 90^{0}$ , góc $\hat{C}$ chung).

Suy ra $\frac{I C}{H C} = \frac{A C}{B C}$ hay $\frac{\frac{1}{2} a}{H C} = \frac{b}{a} \Rightarrow H C = \frac{a^{2}}{2 b}$

$\Rightarrow A H = b - \frac{a^{2}}{2 b} = \frac{2 b^{2} - a^{2}}{2 b}$

Từ $K H / / B C$ suy ra $\frac{A H}{A C} = \frac{K H}{B C}$ $\Rightarrow K H = \frac{A H . B C}{A C} = (\frac{2 b^{2} - a^{2}}{2 b}) . \frac{a}{b}$ $= a - \frac{a^{3}}{2 b^{2}}$

Vở bài tập Toán 8 trang 103 - 107 Bài 46: Hình thang $A B C D (A B / / C D)$ có $A C$ và $B D$ cắt nhau tại $O$ và cắt nhau tại . Chứng minh rằng $O K$ đi qua trung điểm của các cạnh $A B$ và $C D$ .

Phương pháp giải:

- Qua $O$ kẻ đường thẳng song song với $A B, C D$ cắt $A D, B C$ lần lượt tại $E, F$ .

- Chứng minh $\frac{A N}{E O} = \frac{B N}{F O}$ .

- Chứng minh $\frac{E O}{D M} = \frac{F O}{C M}$

Lời giải:

Qua $O$ kẻ $E F / / A B (E \in A D, F \in B C)$ (h.54)

Trước hết hãy chứng minh rằng $O E = O F$ .

Xét $Δ D A C$ có $E O / / D C$ nên ta có:

$\frac{E O}{D C} = \frac{A O}{A C}$ (1)

Xét $Δ D B C$ có $O F / / D C$ nên ta có:

$\frac{O F}{D C} = \frac{B O}{B D}$ (2)

Vì $A B / / C D$ nên ta có:

$\frac{O A}{O C} = \frac{O B}{O D}$ $\Rightarrow \frac{O A}{A C} = \frac{O B}{B D}$ (3)

Từ các đẳng thức (1), (2) và (3) suy ra $\frac{E O}{D C} = \frac{O F}{D C} \Rightarrow E O = O F$ (4)

Từ $A B / / E F$ , ta có:

$\frac{A N}{E O} = \frac{K N}{K O}$ và $\frac{K N}{K O} = \frac{B N}{O F}$ suy ra $\frac{A N}{E O} = \frac{B N}{O F}$ $\Rightarrow A N = B N$ (vì $E O = O F$ ).

Vậy $N$ là trung điểm của $A B$ .

Tương tự như vậy, từ $C D / / E F$ , ta có:

$\frac{E O}{D M} = \frac{K O}{K M}$ và $\frac{K O}{K M} = \frac{O F}{C M}$ ; suy ra $\frac{E O}{D M} = \frac{O F}{C M}$ $\Rightarrow D M = C M$ (vì $E O = O F$ ).

Vậy $M$ là trung điểm của $C D$ .

Vở bài tập Toán 8 trang 103 - 107 Bài 47: Cho tam giác vuông

A B C

, và đường phân giác

B D

(

D

thuộc cạnh

A C

a) Tính tỉ số $\frac{A D}{C D}$ .

b) Cho biết độ dài $A B = 12, 5 c m$ . Hãy tính chu vi và diện tích của tam giác $A B C$

Phương pháp giải: Áp dụng: Tính chất đường phân giác của tam giác, định lí Pitago, công thức tính chu vi và diện tích của tam giác.

Lời giải:

a) Vì $\hat{A} = 90^{0}$ , $\hat{C} = 30^{0}$ , suy ra $A B = \frac{1}{2} B C$ .

$B D$ là đường phân giác (h.55), do đó ta có:

$\frac{D A}{D C} = \frac{A B}{B C} = \frac{\frac{1}{2} B C}{B C} = \frac{1}{2} .$

b) $B C = 2 A B = 2.12, 5 = 25 (c m)$

$A C = \sqrt{B C^{2} - A B^{2}}$ $= \sqrt{25^{2} - 12, 5^{2}} \approx 21, 65 (c m)$

Gọi $P$ và $S$ lần lượt là chu vi và diện tích của tam giác $A B C$ ta có:

$P = A B + B C + C A$ $\approx 12, 5 + 25 + 21, 65 = 59, 15$ $(c m)$ .

$S = \frac{1}{2} A B . A C$ $\approx \frac{1}{2} .12, 5.21, 65 \approx 135, 31 (c m^{2})$

Vở bài tập Toán 8 trang 103 - 107 Bài 48: Tứ giác

A B C D

có

A B = 4 c m, B C = 20 c m

C D = 25 c m, D A = 8 c m

, đường chéo

B D = 10 c m

a) Nêu cách vẽ tứ giác $A B C D$ có kích thước đã cho ở trên.

b) Các tam giác $A B D$ và $B D C$ có đồng dạng với nhau không? Vì sao?

c) Chứng minh rằng $A B / / C D$ .

Phương pháp giải: Áp dụng cách vẽ tam giác, dấu hiệu nhận biết hình thang, dấu hiệu nhận biết hai tam giác đồng dạng.

Lời giải:

a) Để vẽ được tứ giác $A B C D$ , trước hết ta phải xác định được các đỉnh của nó, sau đó vẽ các cạnh. Cách vẽ như sau:

- Vẽ $D C = 25$ (h.56), xác định được hai đỉnh $D, C$ và cạnh $D C$ .

- Lấy $D$ và $C$ làm tâm, thứ tự quay hai cung tròn cắt nhau có bán kính là $10 c m$ và $20 c m$ , xác định được đỉnh $B$ .

- Lấy $B$ và $D$ làm tâm, thứ tự quay hai cung tròn cắt nhau có bán kính là $4 c m$ và $8 c m$ , xác định được đỉnh $A$ .

- Vẽ các đoạn thẳng $C B, D B, D A, A B$ được tứ giác $A B C D$ thỏa mãn các yêu cầu của bài toán.

b) Xét hai tam giác $A B D$ và $B D C$ , ta thấy:

$\frac{A B}{B D} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ ; $\frac{A D}{B C} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5};$ $\frac{B D}{D C} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$

Do đó $\frac{A B}{B D} = \frac{A D}{B C} = \frac{B D}{D C}$ $\Rightarrow Δ A B D ∽ Δ B D C$ (c.c.c)

c) Hai tam giác $A B D$ và $B D C$ đồng dạng với nhau do đó các góc tương ứng phải bằng nhau.

$Δ A B D ∽ Δ B D C$ $\Rightarrow \hat{A B D} = \hat{B D C}$ $\Rightarrow A B / / C D$ (hai góc so le trong bằng nhau).

Đề kiểm tra 45 phút chương 3 phần Hình học 8 - Đề số 1:

Câu 1:

Hãy chọn kết quả đúng. Tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có độ dài $A B = 5 c m$ , đường cao $A H = 4 c m$ (h.57)

a) Độ dài của $B H$ là:

A. $3, 5$

B. $4$

C. $3$

D. $3, 2$

b) Độ dài của $H C$ là:

A. $\frac{8}{3}$

B. $\frac{20}{3}$

C. $\frac{16}{3}$

D. $\frac{15}{4}$

c) Độ dài của $A C$ là:

A. $\frac{20}{3}$

B. $\frac{25}{3}$

C. $\frac{25}{12}$

D. $4 \sqrt{\frac{5}{6}}$

Câu 2. (7 điểm) Cho hình thang vuông $A B C D (A B / / C D)$ có $\hat{A^{}} = 90^{°}$ , cạnh $B C$ vuông góc với đường chéo $B D$ , đường phân giác của góc $B D C$ cắt cạnh $B C$ tại $I$ . Cho biết độ dài $A B = 2, 5 c m$ và góc $\hat{A D B} = 60^{°}$ (h.58)

a) Chứng minh rằng $Δ I D C$ là tam giác cân.

b) Tính độ dài của các cạnh $B C, A D, D C$ và độ dài của phân giác $D I$ .

Lời giải:

Câu 1:

Phương pháp:

Sử dụng định lý Pi – ta – go trong tam giác vuông và tam giác đồng dạng để tính độ dài các cạnh.

Cách giải:

a) Tam giác $A H B$ vuông tại $H$ nên $B H^{2} = A B^{2} - A H^{2} = 5^{2} - 4^{2} = 9$ $\Rightarrow B H = 3$ .

Chọn C.

b) Xét tam giác $A H B$ và $C H A$ có:

$\hat{A H B} = \hat{C H A} = 90^{0} (g t)$

$\hat{H A B} = \hat{H C A}$ (cùng phụ với góc $\hat{C B A}$ )

$\Rightarrow Δ A H B ∽ Δ C H A (g . g)$

$\Rightarrow \frac{A H}{C H} = \frac{H B}{H A}$ $\Rightarrow H C = \frac{H A^{2}}{H B} = \frac{4^{2}}{3} = \frac{16}{3}$

Chọn C.

c) Ta có: $B C = B H + H C = 3 + \frac{16}{3} = \frac{25}{3}$

Áp dụng định lí Pi – ta – go cho tam giác vuông $A B C$ có:

$A C^{2} = B C^{2} - A B^{2}$ $= {(\frac{25}{3})}^{2} - 5^{2} = \frac{400}{9}$ $\Rightarrow A C = \frac{20}{3}$

Chọn A.

Câu 2:

Phương pháp:

a) Chứng minh tam giác $I D C$ có hai góc $\hat{I D C} = \hat{I C D}$ và suy ra $I C = I D$ .

b) Sử dụng các tam giác đồng dạng và định lí Pi – ta – go để tính toán.

Chú ý kết quả: Tam giác vuông có một góc bằng $30^{0}$ thì cạnh đối cửa góc bằng nửa cạnh huyền.

Cách giải:

a) Tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có:

$\hat{A B D} + \hat{A D B} = 90^{0}$ (hai góc nhọn trong tam giác vuông)

$\Rightarrow \hat{A D B} = 90^{0} - \hat{A B D}$ $= 90^{0} - 60^{0} = 30^{0}$

$\Rightarrow \hat{B D C} = \hat{A D C} - \hat{A D B}$ $= 90^{0} - 30^{0} = 60^{0}$

$\Rightarrow \hat{I D B} = \hat{I D C} = \frac{\hat{B D C}}{2}$ $= \frac{60^{0}}{2} = 30^{0}$ (1)

Tam giác $B D C$ vuông tại $B$ có $\hat{B D C} + \hat{B C D} = 90^{0}$ (hai góc nhọn trong tam giác vuông)

$\Rightarrow \hat{B C D} = 90^{0} - \hat{B D C}$ $= 90^{0} - 60^{0} = 30^{0}$ hay $\hat{I C D} = 30^{0}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{I D C} = \hat{I C D}$ nên tam giác $I C D$ cân tại $I$

$\Rightarrow I D = I C$ (đpcm).

b) Tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $\hat{A D B} = 30^{0}$ nên $A B = \frac{1}{2} B D$

$\Rightarrow B D = 2 A B = 2.2, 5 = 5 (c m)$

Áp dụng định lí Pi – ta – go ta có:

$A D^{2} = B D^{2} - A B^{2}$ $= 5^{2} - 2, 5^{2} = \frac{75}{4}$ $\Rightarrow A D = \sqrt{\frac{75}{4}} \approx 4, 33 (c m)$

Tam giác $B D C$ vuông tại $B$ có $\hat{B C D} = 30^{0}$ nên $B D = \frac{1}{2} D C$

$\Rightarrow D C = 2 B D = 2.5 = 10 (c m)$

Áp dụng định lí Pi – ta – go ta có:

$B C^{2} = C D^{2} - B D^{2} = 10^{2} - 5^{2} = 75$ $\Rightarrow B C = \sqrt{75} \approx 8, 66$ .

Ta có: $\frac{I B}{I C} = \frac{D B}{D C} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow I C = 2 I B$

Mà $I C + I B = B C = 8, 66$ $\Rightarrow 2 I B + I B = 8, 66$ $\Rightarrow 3 I B = 8, 66 \Rightarrow I B \approx 2, 89$

Áp dụng định lí Pi – ta – go ta có:

$D I^{2} = D B^{2} + B I^{2} = 5^{2} + 2, 89^{2}$ $\Rightarrow D I = \sqrt{5^{2} + 2, 89^{2}} \approx 5, 78 (c m)$ .

Đề kiểm tra 45 phút chương 3 phần Hình học 8 - Đề số 2:

Câu 1. (3 điểm) Hãy chọn kết quả đúng. Tam giác $A B C$ có đường phân giác $A D (D \in B C)$ . Cho biết độ dài $A B = 4, 5 c m, B D = 2, 5 c m, C D = 4 c m$ . (h.59)

a) Độ dài của cạnh $A C$ là:

A. $7, 5$

B. $7, 2$

C. $11, 7$

D. $2, 8$

b) Từ $D$ kẻ $D E / / A B (E \in A C)$ . Độ dài của đoạn thẳng $D E$ là:

A. $\frac{36}{13}$

B. $\frac{36}{5}$

C. $\frac{36}{15}$

D. $\frac{9}{5}$

c) Độ dài của đoạn thẳng $A E$ là:

a) Độ dài của cạnh $A C$ là:

A. $7, 5$

B. $7, 2$

C. $11, 7$

D. $2, 8$

b) Từ $D$ kẻ $D E / / A B (E \in A C)$ . Độ dài của đoạn thẳng $D E$ là:

A. $\frac{36}{13}$

B. $\frac{36}{5}$

C. $\frac{36}{15}$

D. $\frac{9}{5}$

c) Độ dài của đoạn thẳng $A E$ là:

VBT Toán 8 Ôn tập chương 3 – Tam giác đồng dạng. (ảnh 9)

Chứng minh rằng:

a) $Δ A O B ∽ Δ D O C$

b) $Δ A O D ∽ Δ B O C$

c) $E A . E D = E B . E C$

Lời giải:

Câu 1:

Phương pháp:

a) Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác.

b) Sử dụng hệ quả của định lí Ta – let.

c) Sử dụng hệ quả của định lí Ta – let và các kết quả tính được ở trên.

Cách giải:

a) $A D$ là phân giác của $\hat{A}$ nên $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C} (t c)$ $\Rightarrow A C = \frac{D C . A B}{B D}$ $= \frac{4.4, 5}{2, 5} = \frac{36}{5} = 7, 2$ .

Chọn B.

b) $D E / / A B$ nên theo hệ quả của định lý Ta – let ta có:

$\frac{D E}{A B} = \frac{D C}{B C}$ $\Rightarrow D E = \frac{A B . D C}{B C} = \frac{4, 5.4}{4 + 2, 5} = \frac{36}{13}$ .

Chọn A.

c) $E D / / A B$ nên theo hệ quả của định lý Ta – let ta có:

$\frac{A E}{A C} = \frac{B D}{B C}$ $\Rightarrow A E = \frac{A C . B D}{B C}$ $= \frac{7, 2.2, 5}{2, 5 + 4} = \frac{36}{13}$

Chọn B.

Câu 2:

Phương pháp:

a) Sử dụng trường hợp đồng dạng góc – góc.

b) Sử dụng trường hợp đồng dạng cạnh – góc – cạnh.

c) Chứng minh hai tam giác $E C D$ đồng dạng tam giác $E A B$ và kết luận.

Cách giải:

a) Xét $Δ A O B$ và $Δ D O C$ có:

$\hat{A B O} = \hat{D C O} (g t)$

$\hat{A O B} = \hat{D O C}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow Δ A O B ∽ Δ D O C$ (đpcm).

b) Từ câu a, $Δ A O B ∽ Δ D O C$ $\Rightarrow \frac{O A}{O D} = \frac{O B}{O C} (c . t . u)$

xét $Δ A O D$ và $Δ B O C$ có:

$\hat{A O D} = \hat{B O C}$ (đối đỉnh)

$\frac{O A}{O D} = \frac{O B}{O C} (c m t)$

$\Rightarrow Δ A O D ∽ Δ B O C$ (đpcm).

c) Ta có:

$\hat{C_{1}}$ là góc ngoài của tam giác $B C D$ nên $\hat{C_{1}} = \hat{B_{1}} + \hat{D_{2}}$ (tính chất) (1)

Theo câu a) $Δ A O B ∽ Δ D O C \Rightarrow \hat{A_{2}} = \hat{D_{2}}$ (góc tương ứng) (2)

Theo câu b) $Δ A O D ∽ Δ B O C \Rightarrow \hat{A_{1}} = \hat{B_{1}}$ (góc tương ứng) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\hat{C_{1}} = \hat{A_{1}} + \hat{A_{2}} = \hat{B A E}$

Xét tam giác $E C D$ và tam giác $E A B$ có:

$\hat{E}$ chung

$\hat{E C D} = \hat{E A B} (c m t)$

$\Rightarrow Δ E C D ∽ Δ E A B (g . g)$

$\Rightarrow \frac{E C}{E A} = \frac{E D}{E B} (c . t . u)$ $\Rightarrow E C . E B = E A . E D (d p c m)$ .

Từ khóa :

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Lớp 6

Toán 6 ( Kết nối tri thức): Luyện tập chung Mai Hương

298

Toán Lớp 6

Bài 5.16 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

319

Toán Lớp 6

Bài 5.15 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

347

Toán Lớp 6

Bài 5.14 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

295