SBT Toán 8 Bài Ôn tập chương 2 - Phân thức đại số

SBT Toán 8 Bài Ôn tập chương 2 - Phân thức đại số | Giải SBT Toán lớp 8

Nghiêm Thị Ngà Ngày: 19-05-2022 Lớp 8

311

Toptailieu.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 8 Bài Ôn tập chương 2 - Phân thức đại số chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài Ôn tập chương 2 - Phân thức đại số

Bài 58 Trang 39 SBT Toán 8 Tập 1: Thực hiện các phép tính:

a) $(\frac{9}{x^{3} - 9 x} + \frac{1}{x + 3})$ $: (\frac{x - 3}{x^{2} + 3 x} - \frac{x}{3 x + 9})$

b) $(\frac{2}{x - 2} - \frac{2}{x + 2}) . \frac{x^{2} + 4 x + 4}{8}$

c) $(\frac{3 x}{1 - 3 x} + \frac{2 x}{3 x + 1})$ $: \frac{6 x^{2} + 10 x}{1 - 6 x + 9 x^{2}}$

d) $(\frac{x}{x^{2} - 25} - \frac{x - 5}{x^{2} + 5 x}) : \frac{2 x - 5}{x^{2} + 5 x}$ $+ \frac{x}{5 - x}$

e) $(\frac{x^{2} + x y}{x^{3} + x^{2} y + x y^{2} + y^{3}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}}) :$ $(\frac{1}{x - y} - \frac{2 x y}{x^{3} - x^{2} y + x y^{2} - y^{3}})$

Phương pháp giải:

Vận dụng kiến thức về quy tắc thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia phân thức.

Lời giải:

a) $(\frac{9}{x^{3} - 9 x} + \frac{1}{x + 3})$ $: (\frac{x - 3}{x^{2} + 3 x} - \frac{x}{3 x + 9})$

$= [\frac{9}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{1}{x + 3}]$ $: [\frac{x - 3}{x (x + 3)} - \frac{x}{3 (x + 3)}]$ $= \frac{9 + x (x - 3)}{x (x + 3) (x - 3)} : \frac{3 (x - 3) - x^{2}}{3 x (x + 3)}$ $= \frac{x^{2} - 3 x + 9}{x (x + 3) (x - 3)} . \frac{3 x (x + 3)}{3 x - 9 - x^{2}}$ $= \frac{3 (x^{2} - 3 x + 9)}{(3 - x) (x^{2} - 3 x + 9)} = \frac{3}{3 - x}$

b) $(\frac{2}{x - 2} - \frac{2}{x + 2}) . \frac{x^{2} + 4 x + 4}{8}$ $= \frac{2 (x + 2) - 2 (x - 2)}{(x - 2) (x + 2)} . \frac{{(x + 2)}^{2}}{8}$

$= \frac{2 x + 4 - 2 x + 4}{(x - 2) (x + 2)} . \frac{{(x + 2)}^{2}}{8}$ $= \frac{8}{(x - 2) (x + 2)} . \frac{{(x + 2)}^{2}}{8}$ $= \frac{x + 2}{x - 2}$

c) $(\frac{3 x}{1 - 3 x} + \frac{2 x}{3 x + 1})$ $: \frac{6 x^{2} + 10 x}{1 - 6 x + 9 x^{2}}$ $= \frac{3 x (3 x + 1) + 2 x (1 - 3 x)}{(1 - 3 x) (1 + 3 x)}$ $: \frac{2 x (3 x + 5)}{{(1 - 3 x)}^{2}}$

$= \frac{9 x^{2} + 3 x + 2 x - 6 x^{2}}{(1 - 3 x) (1 + 3 x)} . \frac{{(1 - 3 x)}^{2}}{2 x (3 x + 5)}$

$= \frac{3 x^{2} + 5 x}{(1 - 3 x) (1 + 3 x)} . \frac{{(1 - 3 x)}^{2}}{2 x (3 x + 5)}$

$= \frac{x (3 x + 5)}{(1 - 3 x) (1 + 3 x)} . \frac{{(1 - 3 x)}^{2}}{2 x (3 x + 5)}$ $= \frac{1 - 3 x}{2 (1 + 3 x)}$

d) $(\frac{x}{x^{2} - 25} - \frac{x - 5}{x^{2} + 5 x})$ $: \frac{2 x - 5}{x^{2} + 5 x} + \frac{x}{5 - x}$

$= [\frac{x}{(x + 5) (x - 5)} - \frac{x - 5}{x (x + 5)}]$ $: \frac{2 x - 5}{x (x + 5)} + \frac{x}{5 - x}$ $= \frac{x^{2} - {(x - 5)}^{2}}{x (x + 5) (x - 5)} . \frac{x (x + 5)}{2 x - 5}$ $+ \frac{x}{5 - x}$ $= \frac{x^{2} - x^{2} + 10 x - 25}{(x - 5) (2 x - 5)} + \frac{x}{5 - x}$ $= \frac{5 (2 x - 5)}{(x - 5) (2 x - 5)} - \frac{x}{x - 5}$ $= \frac{5}{x - 5} - \frac{x}{x - 5} = \frac{5 - x}{x - 5}$ $= \frac{- (x - 5)}{x - 5} = - 1$

e) $(\frac{x^{2} + x y}{x^{3} + x^{2} y + x y^{2} + y^{3}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}})$ $: (\frac{1}{x - y} - \frac{2 x y}{x^{3} - x^{2} y + x y^{2} - y^{3}})$

$= [\frac{x^{2} + x y}{x^{2} (x + y) + y^{2} (x + y)} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}}]$ $: [\frac{1}{x - y} - \frac{2 x y}{x^{2} (x - y) + y^{2} (x - y)}]$

$= [\frac{x^{2} + x y}{(x^{2} + y^{2}) (x + y)} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}}]$ $: [\frac{1}{x - y} - \frac{2 x y}{(x^{2} + y^{2}) (x - y)}]$ $= \frac{x^{2} + x y + y (x + y)}{(x^{2} + y^{2}) (x + y)}$ $: \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x y}{(x^{2} + y^{2}) (x - y)}$ $= \frac{x^{2} + x y + x y + y^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x + y)}$ $. \frac{(x^{2} + y^{2}) (x - y)}{{(x - y)}^{2}}$ $= \frac{{(x + y)}^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x + y)}$ $. \frac{(x^{2} + y^{2}) (x - y)}{{(x - y)}^{2}}$ $= \frac{x + y}{x - y}$

Bài 59 Trang 40 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh đẳng thức :

a) $(\frac{x^{2} - 2 x}{2 x^{2} + 8} - \frac{2 x^{2}}{8 - 4 x + 2 x^{2} - x^{3}})$ $. (1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}) = \frac{x + 1}{2 x}$

b) $[\frac{2}{3 x} - \frac{2}{x + 1} . (\frac{x + 1}{3 x} - x - 1)]$ $: \frac{x - 1}{x} = \frac{2 x}{x - 1}$

c) $[\frac{2}{{(x + 1)}^{3}} . (\frac{1}{x} + 1) + \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} . (\frac{1}{x^{2}} + 1)]$ $: \frac{x - 1}{x^{3}} = \frac{x}{x - 1}$

Phương pháp giải:

Vận dụng quy tắc thực hiện các phép tính với phân thức, biến đổi vế trái sao cho kết quả bằng vế phải.

Lời giải:

a) Biến đổi vế trái :

$(\frac{x^{2} - 2 x}{2 x^{2} + 8} - \frac{2 x^{2}}{8 - 4 x + 2 x^{2} - x^{3}})$ $. (1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}})$

$= [\frac{x^{2} - 2 x}{2 (x^{2} + 4)} - \frac{2 x^{2}}{4 (2 - x) + x^{2} (2 - x)}]$ $. \frac{x^{2} - x - 2}{x^{2}}$ $= [\frac{x^{2} - 2 x}{2 (x^{2} + 4)} - \frac{2 x^{2}}{(2 - x) (4 + x^{2})}]$ $. \frac{x^{2} - x - 2}{x^{2}}$ $= \frac{(x^{2} - 2 x) (2 - x) - 4 x^{2}}{2 (2 - x) (x^{2} + 4)}$ $. \frac{x^{2} - x - 2}{x^{2}}$ $= \frac{2 x^{2} - x^{3} - 4 x + 2 x^{2} - 4 x^{2}}{2 (2 - x) (x^{2} + 4)}$ $. \frac{x^{2} - 2 x + x - 2}{x^{2}}$

$= \frac{- x^{3} - 4 x}{2 (2 - x) (x^{2} + 4)}$ $. \frac{x (x - 2) + (x - 2)}{x^{2}}$
$= \frac{- x (x^{2} + 4)}{2 (2 - x) (x^{2} + 4)}$ $. \frac{(x - 2) (x + 1)}{x^{2}}$

$= \frac{x (x^{2} + 4)}{2 (x - 2) (x^{2} + 4)} . \frac{(x - 2) (x + 1)}{x^{2}}$ $= \frac{x + 1}{2 x}$

Vế trái bằng vế phải, vậy đẳng thức được chứng minh.

b) Biến đổi vế trái:

$[\frac{2}{3 x} - \frac{2}{x + 1} . (\frac{x + 1}{3 x} - x - 1)]$ $: \frac{x - 1}{x}$ $= [\frac{2}{3 x} - \frac{2}{x + 1} . \frac{x + 1 - 3 x (x + 1)}{3 x}]$ $. \frac{x}{x - 1}$ $= [\frac{2}{3 x} - \frac{2}{x + 1} . \frac{(x + 1) (1 - 3 x)}{3 x}] .$ $\frac{x}{x - 1}$ $= [\frac{2}{3 x} - \frac{2 (1 - 3 x)}{3 x}] . \frac{x}{x - 1}$ $= \frac{2 - 2 + 6 x}{3 x} . \frac{x}{x - 1}$ $= 2. \frac{x}{x - 1} = \frac{2 x}{x - 1}$

Vế trái bằng vế phải, vậy đẳng thức được chứng minh.

c) Biến đổi vế trái :

$[\frac{2}{{(x + 1)}^{3}} . (\frac{1}{x} + 1) + \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} . (\frac{1}{x^{2}} + 1)]$ $: \frac{x - 1}{x^{3}}$ $= [\frac{2}{{(x + 1)}^{3}} . \frac{x + 1}{x} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} . \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}]$ $. \frac{x^{3}}{x - 1}$ $= [\frac{2}{x {(x + 1)}^{2}} + \frac{x^{2} + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}] . \frac{x^{3}}{x - 1}$ $= \frac{2 x + x^{2} + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}} . \frac{x^{3}}{x - 1}$ $= \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} {(x + 1)}^{2}} . \frac{x^{3}}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Vế trái bằng vế phải, vậy đẳng thức được chứng minh.

Bài 60 Trang 40 SBT Toán 8 Tập 1: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ thành phân thức :

a) $\frac{\frac{x}{x - 1} - \frac{x + 1}{x}}{\frac{x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x}}$

b) $\frac{\frac{5}{4} - \frac{5}{x + 1}}{\frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1}}$

Phương pháp giải:

Thực hiện các phép tính lần lượt theo đúng quy tắc đã học. Sử dụng các qui tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức.

Biến đổi để xuất hiện nhân tử chung và rút gọn phân thức.

Lời giải:

a) $\frac{\frac{x}{x - 1} - \frac{x + 1}{x}}{\frac{x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x}}$

$= (\frac{x}{x - 1} - \frac{x + 1}{x})$ $: (\frac{x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x})$

$= \frac{x^{2} - (x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)}$ $: \frac{x^{2} - (x - 1) (x + 1)}{x (x + 1)}$

$\begin{array}{l} = \frac{x^{2} - (x^{2} - 1)}{x (x - 1)} : \frac{x^{2} - (x^{2} - 1)}{x (x + 1)} \\ = \frac{1}{x (x - 1)} : \frac{1}{x (x + 1)} \end{array}$

$= \frac{1}{x (x - 1)} . \frac{x (x + 1)}{1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

b) $\frac{\frac{5}{4} - \frac{5}{x + 1}}{\frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1}}$

$= (\frac{5}{4} - \frac{5}{x + 1}) : (\frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1})$

$= \frac{5 (x + 1) - 20}{4 (x + 1)} : \frac{(3 + x) (3 - x)}{{(x + 1)}^{2}}$

$\begin{array}{l} = \frac{5 x + 5 - 20}{4 (x + 1)} : \frac{(3 + x) (3 - x)}{{(x + 1)}^{2}} \\ = \frac{5 x - 15}{4 (x + 1)} . \frac{{(x + 1)}^{2}}{(3 + x) (3 - x)} \end{array}$

$= \frac{5 (x - 3)}{4 (x + 1)} . \frac{{(x + 1)}^{2}}{(3 + x) (3 - x)}$

$= \frac{- 5 (3 - x) (x + 1)}{4 (3 + x) (3 - x)} = \frac{- 5 (x + 1)}{4 (3 + x)}$

Bài 61 Trang 40 SBT Toán 8 Tập 1: Một phân thức có giá trị bằng $0$ khi giá trị của tử thức bằng $0$ còn giá trị của mẫu thức khác $0$ . Ví dụ giá trị của phân thức $\frac{x^{2} - 25}{x + 1} = 0$ khi $x^{2} - 25 = 0$ và $x + 1 \neq 0$ hay $(x - 5) (x + 5) = 0$ và $x \neq - 1$ . Vậy giá trị của phân thức này bằng $0$ khi $x = \pm 5$ .

Tìm các giá trị của $x$ để giá trị của mỗi phân thức sau bằng $0$ :

a) $\frac{98 x^{2} - 2}{x - 2}$

b) $\frac{3 x - 2}{x^{2} + 2 x + 1}$

Phương pháp giải:

- Xác định giá trị của $x$ để tử thức của các phân thức bằng $0$ và mẫu thức khác $0$ .

Lời giải:

$\frac{98 x^{2} - 2}{x - 2} = 0$ khi $98 x^{2} - 2 = 0$ và $x - 2 \neq 0$

Ta có: $x - 2 \neq 0$ $\Rightarrow x \neq 2$ .

Và $98 x^{2} - 2 = 0$

$\Rightarrow 2 (49 x^{2} - 1) = 0$

$\Rightarrow (7 x - 1) (7 x + 1) = 0$

$\Rightarrow [\begin{array}{l} 7 x + 1 = 0 \\ 7 x - 1 = 0 \end{array}$ $\Rightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{1}{7} \\ x = \frac{1}{7} \end{array}$

Có $x = \frac{1}{7}$ và $x = - \frac{1}{7}$ thỏa mãn điều kiện $x \neq 2$ .

Vậy $x = \frac{1}{7}$ hoặc $x = - \frac{1}{7}$ thì phân thức $\frac{98 x^{2} - 2}{x - 2}$ có giá trị bằng $0$ .

b) $\frac{3 x - 2}{x^{2} + 2 x + 1}$ $= \frac{3 x - 2}{{(x + 1)}^{2}} = 0$ khi $3 x - 2 = 0$ và ${(x + 1)}^{2} \neq 0$

Ta có : ${(x + 1)}^{2} \neq 0$ $\Rightarrow x + 1 \neq 0$ $\Rightarrow x \neq - 1$

Với $3 x - 2 = 0$ $\Rightarrow x = \frac{2}{3}$

Nhận thấy $x = \frac{2}{3}$ thỏa mãn điều kiện $x \neq - 1$

Vậy $x = \frac{2}{3}$ thì phân thức $\frac{3 x - 2}{x^{2} + 2 x + 1}$ có giá trị bằng $0$ .

Bài 62 Trang 40 SBT Toán 8 Tập 1: Đối với mỗi biểu thức sau, hãy tìm điều kiện của $x$ để giá trị của biểu thức được xác định:

a) $\frac{2 x - 3}{\frac{x - 1}{x + 2}}$

b) $\frac{\frac{2 x^{2} + 1}{x}}{x - 1}$

c) $\frac{x^{2} - 25}{\frac{x^{2} - 10 x + 25}{x}}$

d) $\frac{x^{2} - 25}{\frac{x^{2} + 10 x + 25}{x - 5}}$

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện của $x$ để giá trị tương ứng của mẫu thức khác $0$ .

Lời giải:

a) $\frac{2 x - 3}{\frac{x - 1}{x + 2}}$

Biểu thức xác định khi $x - 1 \neq 0$ và $x + 2 \neq 0$

$\Rightarrow x \neq 1$ và $x \neq - 2$ .

Vậy điều kiện để biểu thức xác định là $x \neq 1$ và $x \neq - 2$ .

b) $\frac{\frac{2 x^{2} + 1}{x}}{x - 1}$

Biểu thức xác định khi $x \neq 0$ và $x - 1 \neq 0$

$\Rightarrow x \neq 0$ và $x \neq 1$ .

Vậy điều kiện để biểu thức xác định là $x \neq 0$ và $x \neq 1$ .

c) $\frac{x^{2} - 25}{\frac{x^{2} - 10 x + 25}{x}}$

Biểu thức xác định khi $x^{2} - 10 x + 25 \neq 0$ và $x \neq 0$

Với $x^{2} - 10 x + 25 \neq 0 \Rightarrow {(x - 5)}^{2} \neq 0$ $\Rightarrow x \neq 5$

Vậy điều kiện để biểu thức xác định là $x \neq 0$ và $x \neq 5$

d) $\frac{x^{2} - 25}{\frac{x^{2} + 10 x + 25}{x - 5}}$

Biểu thức xác định khi $x^{2} + 10 x + 25 \neq 0$ và $x - 5 \neq 0.$

Với $x^{2} + 10 x + 25 \neq 0$ $\Rightarrow {(x + 5)}^{2} \neq 0$ $\Rightarrow x \neq - 5$

Với $x - 5 \neq 0$ $\Rightarrow x \neq 5$

Vậy điều kiện để biểu thức xác định $x \neq 5$ và $x \neq - 5$ .

Bài 63 Trang 40 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm giá trị của $x$ để giá trị của các biểu thức trong bài tập 62 bằng $0$ .

a) $\frac{\frac{2 x - 3}{x - 1}}{x + 2}$

b) $\frac{\frac{2 x^{2} + 1}{x}}{x - 1}$

c) $\frac{x^{2} - 25}{\frac{x^{2} - 10 x + 25}{x}}$

d) $\frac{x^{2} - 25}{\frac{x^{2} + 10 x + 25}{x - 5}}$

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

- Biểu thức bằng $0$ khi tử thức có giá trị bằng $0$ và mẫu thức khác $0$ .

- Giải để tìm giá trị của $x$ .

Lời giải:

a) Điều kiện $x \neq 1$ và $x \neq - 2$

$\frac{\frac{2 x - 3}{x - 1}}{x + 2} = 0$

$\Rightarrow \frac{(2 x - 3) (x + 2)}{x - 1} = 0$

Biểu thức bằng $0$ khi $(2 x - 3) (x + 2) = 0$ và $x - 1 \neq 0$

$(2 x - 3) (x + 2) = 0 \Rightarrow 2 x - 3 = 0$ hoặc $x + 2 = 0$

Với $2 x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1, 5;$

Với $x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2$

Nhận thấy $x = - 2$ không thỏa mãn điều kiện, $x = 1, 5$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy $x = 1, 5$ thì biểu thức $\frac{\frac{2 x - 3}{x - 1}}{x + 2}$ có giá trị bằng $0$ .

b) Điều kiện $x \neq 0$ và $x \neq 1$

$\frac{\frac{2 x^{2} + 1}{x}}{x - 1} = 0$

$\Rightarrow \frac{2 x^{2} + 1}{x} : (x - 1) = 0$ $\Rightarrow \frac{2 x^{2} + 1}{x} . \frac{1}{x - 1} = 0$

$\Rightarrow \frac{2 x^{2} + 1}{x (x - 1)} = 0$

Biểu thức trên có giá trị bằng $0$ khi $2 x^{2} + 1 = 0$ và $x (x - 1) \neq 0$

Ta có: $2 x^{2} \geq 0 \Rightarrow 2 x^{2} + 1 \neq 0$ với mọi $x$

Vậy không có giá trị nào của $x$ để biểu thức $\frac{\frac{2 x^{2} + 1}{x}}{x - 1}$ có giá trị bằng $0$ .

c) Điều kiện $x \neq 0$ và $x \neq 5$

$\frac{x^{2} - 25}{\frac{x^{2} - 10 x + 25}{x}} = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x^{2} - 25) : \frac{x^{2} - 10 x + 25}{x} = 0 \\ \Rightarrow (x^{2} - 25) . \frac{x}{x^{2} - 10 x + 25} = 0 \\ \Rightarrow (x - 5) (x + 5) . \frac{x}{{(x - 5)}^{2}} = 0 \end{array}$

$\Rightarrow \frac{(x + 5) (x - 5) x}{{(x - 5)}^{2}} = 0$ $\Rightarrow \frac{x (x + 5)}{x - 5} = 0$

Biểu thức có giá trị bằng $0$ khi $x (x + 5) = 0$ và $x - 5 \neq 0$

Với $x - 5 \neq 0$ thì $x \neq 5$

Với $x (x + 5) = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x + 5 = 0 \Rightarrow x = - 5$

Nhận thấy $x = 0$ không thỏa mãn điều kiện,

Và $x = - 5$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy $x = - 5$ thì biểu thức $\frac{x^{2} - 25}{\frac{x^{2} - 10 x + 25}{x}}$ có giá trị bằng $0$ .

d) Điều kiện $x \neq 5$ và $x \neq - 5$

$\frac{x^{2} - 25}{\frac{x^{2} + 10 x + 25}{x - 5}} = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x^{2} - 25) : \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x - 5} = 0 \\ \Rightarrow (x^{2} - 25) . \frac{x - 5}{x^{2} + 10 x + 25} = 0 \\ \Rightarrow (x - 5) (x + 5) . \frac{x - 5}{{(x + 5)}^{2}} = 0 \end{array}$

$\Rightarrow \frac{(x + 5) {(x - 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}} = 0$

$\Rightarrow \frac{{(x - 5)}^{2}}{x + 5} = 0$ .

Biểu thức bằng $0$ khi ${(x - 5)}^{2} = 0$ và $x \neq \pm 5$

Với ${(x - 5)}^{2} = 0$ $\Rightarrow x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$

Nhận thấy $x = 5$ không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của $x$ để biểu thức $\frac{x^{2} - 25}{\frac{x^{2} + 10 x + 25}{x - 5}}$ có giá trị bằng $0$ .

Bài 64 Trang 41 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm điều kiện của $x$ để giá trị của biểu thức được xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến:

a) $\frac{x - \frac{1}{x}}{\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x} - \frac{2 x + 2}{x}}$

b) $\frac{\frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}}{\frac{2 x + 2}{x - 1} - \frac{4 x}{x^{2} - 1}}$

c) $\frac{1}{x - 1} - \frac{x^{3} - x}{x^{2} + 1}$ $. (\frac{x}{x^{2} - 2 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1})$

d) $(\frac{x}{x^{2} - 36} - \frac{x - 6}{x^{2} + 6 x})$ $: \frac{2 x - 6}{x^{2} + 6 x} + \frac{x}{6 - x}$ $x \neq 0$

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện của $x$ để giá trị tương ứng của biểu thức khác $0$ .

- Thực hiện các phép tính theo đúng quy tắc, chứng minh biểu thức đã cho có giá trị là một hằng số.

Lời giải:

a) $\frac{x - \frac{1}{x}}{\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x} - \frac{2 x + 2}{x}}$

Ta có: $x - \frac{1}{x}$ xác định khi $x \neq 0$

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x} - \frac{2 x + 2}{x}$ xác định khi

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x} - \frac{2 x + 2}{x} \neq 0$ $\Rightarrow \frac{x^{2} + 2 x + 1 - 2 x - 2}{x} \neq 0$ $\Rightarrow \frac{x^{2} - 1}{x} \neq 0$

$\Rightarrow x^{2} - 1 \neq 0$ $\Rightarrow (x + 1) (x - 1) \neq 0$ $\Rightarrow x \neq - 1$ và $x \neq 1$

Vậy với $x \neq 0, x \neq 1$ và $x \neq - 1$ thì biểu thức xác định.

Ta có:

$\frac{x - \frac{1}{x}}{\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x} - \frac{2 x + 2}{x}}$ $= \frac{\frac{x^{2} - 1}{x}}{\frac{x^{2} - 1}{x}}$ $= \frac{x^{2} - 1}{x} . \frac{x}{x^{2} - 1} = 1$

Vậy với điều kiện $x \neq 0, x \neq 1$ và $x \neq - 1$ thì biểu thức đã cho không phụ thuộc biến $x .$

b) $\frac{\frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}}{\frac{2 x + 2}{x - 1} - \frac{4 x}{x^{2} - 1}}$

Ta có: $\frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$ xác định khi $x + 1 \neq 0$ và $x - 1 \neq 0$ $\Rightarrow x \neq \pm 1$

$\frac{2 x + 2}{x - 1} - \frac{4 x}{x^{2} - 1}$ xác định khi $x - 1 \neq 0$ và $x^{2} - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1$

$\frac{2 x + 2}{x - 1} - \frac{4 x}{x^{2} - 1} \neq 0$ $\Rightarrow \frac{(2 x + 2) (x + 1) - 4 x}{(x - 1) (x + 1)} \neq 0$

$\Rightarrow \frac{2 x^{2} + 2 x + 2 x + 2 - 4 x}{(x - 1) (x + 1)} \neq 0$ $\Rightarrow \frac{2 x^{2} + 2}{(x + 1) (x - 1)} \neq 0$ với mọi $x$

Vậy điều kiện để biểu thức xác định là $x \neq 1$ và $x \neq - 1$

Ta có:

$\frac{\frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}}{\frac{2 x + 2}{x - 1} - \frac{4 x}{x^{2} - 1}}$

$= \frac{\frac{x (x - 1) + (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{2 x^{2} + 2}{(x + 1) (x - 1)}}$

$= \frac{x^{2} - x + x + 1}{(x + 1) (x - 1)} : \frac{2 (x^{2} + 1)}{(x - 1) (x + 1)}$

$= \frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} . \frac{(x + 1) (x - 1)}{2 (x^{2} + 1)}$ $= \frac{1}{2}$

Vậy với điều kiện $x \neq 1$ và $x \neq - 1$ thì biểu thức đã cho không phụ thuộc biến $x .$

$x \neq 0, x \neq 1$ và $x \neq - 1$

c) $\frac{1}{x - 1} - \frac{x^{3} - x}{x^{2} + 1}$ $. (\frac{x}{x^{2} - 2 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1})$

Biểu thức xác định khi $x - 1 \neq 0,$ $x^{2} - 2 x + 1 \neq 0$ và $x^{2} - 1 \neq 0$

$x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$

$x^{2} - 2 x + 1 \neq 0 \Rightarrow {(x - 1)}^{2} \neq 0$ $\Rightarrow x \neq 1$

$x^{2} - 1 \neq 0 \Rightarrow (x + 1) (x - 1) \neq 0$ $\Rightarrow x \neq - 1$ và $x \neq 1$

Vậy biểu thức xác định với $x \neq - 1$ và $x \neq 1$

Ta có: $\frac{1}{x - 1} - \frac{x^{3} - x}{x^{2} + 1}$ $. (\frac{x}{x^{2} - 2 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1})$

$= \frac{1}{x - 1} - \frac{x (x^{2} - 1)}{x^{2} + 1}$ $. [\frac{x}{{(x - 1)}^{2}} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}]$

$= \frac{1}{x - 1} - \frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1}$ $. \frac{x (x + 1) - (x - 1)}{(x + 1) {(x - 1)}^{2}}$ $= \frac{1}{x - 1} - \frac{x (x^{2} + x - x + 1)}{(x^{2} + 1) (x - 1)}$ $= \frac{1}{x - 1} - \frac{x (x^{2} + 1)}{(x^{2} + 1) (x - 1)}$ $= \frac{1}{x - 1} - \frac{x}{x - 1}$ $= \frac{- (x - 1)}{x - 1} = - 1$

Vậy với điều kiện $x \neq 1$ và $x \neq - 1$ thì biểu thức đã cho không phụ thuộc biến $x .$

d) $(\frac{x}{x^{2} - 36} - \frac{x - 6}{x^{2} + 6 x})$ $: \frac{2 x - 6}{x^{2} + 6 x} + \frac{x}{6 - x}$

Biểu thức xác định khi $x^{2} - 36 \neq 0,$ $x^{2} + 6 x \neq 0,$ $6 - x \neq 0,$ $2 x - 6 \neq 0$

+) $x^{2} - 36 \neq 0 \Rightarrow (x - 6) (x + 6) \neq 0$ $\Rightarrow x \neq 6$ và $x \neq - 6$

+) $x^{2} + 6 x \neq 0 \Rightarrow x (x + 6) \neq 0$ $\Rightarrow x \neq 0$ và $x \neq - 6$

+) $6 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 6$ ;

+) $2 x - 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$ .

Vậy $x \neq 0,$ $x \neq 3,$ $x \neq 6$ và $x \neq - 6$ thì biểu thức xác định.

Ta có : $(\frac{x}{x^{2} - 36} - \frac{x - 6}{x^{2} + 6 x}) : \frac{2 x - 6}{x^{2} + 6 x}$ $+ \frac{x}{6 - x}$

$= [\frac{x}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{x - 6}{x (x + 6)}]$ $: \frac{2 x - 6}{x (x + 6)} + \frac{x}{6 - x}$ $= \frac{x^{2} - {(x - 6)}^{2}}{x (x + 6) (x - 6)} . \frac{x (x + 6)}{2 (x - 3)}$ $+ \frac{x}{6 - x}$ $= \frac{x^{2} - x^{2} + 12 x - 36}{x (x + 6) (x - 6)} . \frac{x (x + 6)}{2 (x - 3)}$ $+ \frac{x}{6 - x}$ $= \frac{12 (x - 3)}{x - 6} . \frac{1}{2 (x - 3)} + \frac{x}{6 - x}$ $= \frac{6}{x - 6} - \frac{x}{x - 6} = \frac{- (x - 6)}{x - 6} = - 1$

Vậy với điều kiện $x \neq 0,$ $x \neq 3,$ $x \neq 6$ và $x \neq - 6$ thì biểu thức đã cho không phụ thuộc biến $x .$

Bài 65 Trang 41 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng:

a) Giá trị của biểu thức ${(\frac{x + 1}{x})}^{2}$ $: [\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} + \frac{2}{x + 1} (\frac{1}{x} + 1)]$ bằng $1$ với mọi giá trị $x \neq 0$ và $x \neq - 1$

b)Giá trị của biểu thức $\frac{x}{x - 3} - \frac{x^{2} + 3 x}{2 x + 3}$ $. (\frac{x + 3}{x^{2} - 3 x} - \frac{x}{x^{2} - 9})$ bằng $1$ khi $x \neq 0,$ $x \neq - 3,$ $x \neq 3,$ $x \neq - \frac{3}{2}$

Phương pháp giải:

Thực hiện các phép tính với phân thức để chứng minh khẳng định đã cho.

Lời giải:

a) ${(\frac{x + 1}{x})}^{2}$ $: [\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} + \frac{2}{x + 1} (\frac{1}{x} + 1)]$

Biểu thức ${(\frac{x + 1}{x})}^{2}$ xác định khi $x \neq 0$

Biểu thức $\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} + \frac{2}{x + 1} (\frac{1}{x} + 1)$ xác định khi $x \neq 0$ và $x + 1 \neq 0$ hay xác định khi $x \neq 0$ và $x \neq - 1$

Vậy với điều kiện $x \neq 0$ và $x \neq - 1$

Ta có : ${(\frac{x + 1}{x})}^{2}$ $: [\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} + \frac{2}{x + 1} (\frac{1}{x} + 1)]$

$= {(\frac{x + 1}{x})}^{2}$ $: [\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} + \frac{2}{x + 1} . \frac{1 + x}{x}]$ $= {(\frac{x + 1}{x})}^{2} : (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} + \frac{2}{x})$ $= {(\frac{x + 1}{x})}^{2} : \frac{x^{2} + 1 + 2 x}{x^{2}}$ $= {(\frac{x + 1}{x})}^{2} : \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ $= \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}} . \frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = 1$

Vậy giá trị của biểu thức ${(\frac{x + 1}{x})}^{2}$ $: [\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} + \frac{2}{x + 1} (\frac{1}{x} + 1)]$ bằng $1$ với mọi giá trị $x \neq 0$ và $x \neq - 1$

b) Biểu thức : $\frac{x}{x - 3} - \frac{x^{2} + 3 x}{2 x + 3}$ $. (\frac{x + 3}{x^{2} - 3 x} - \frac{x}{x^{2} - 9})$ xác định khi $x - 3 \neq 0,$ $2 x + 3 \neq 0,$ $x^{2} - 3 x \neq 0$ và $x^{2} - 9 \neq 0$ hay $x \neq 3;$ $x \neq - \frac{3}{2};$ $x \neq 0;$ $x \neq 3$ và $x \neq \pm 3$

Vậy điều kiện $x \neq 0,$ $x \neq 3,$ $x \neq - 3$ và $x \neq - \frac{3}{2}$

Ta có: $\frac{x}{x - 3} - \frac{x^{2} + 3 x}{2 x + 3}$ $. (\frac{x + 3}{x^{2} - 3 x} - \frac{x}{x^{2} - 9})$

$= \frac{x}{x - 3} - \frac{x^{2} + 3 x}{2 x + 3}$ $. [\frac{x + 3}{x (x - 3)} - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)}]$ $= \frac{x}{x - 3} - \frac{x (x + 3)}{2 x + 3}$ $. \frac{{(x + 3)}^{2} - x^{2}}{x (x + 3) (x - 3)}$ $= \frac{x}{x - 3} - \frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{2}}{(2 x + 3) (x - 3)}$ $= \frac{x}{x - 3} - \frac{3 (2 x + 3)}{(2 x + 3) (x - 3)}$ $= \frac{x}{x - 3} - \frac{3}{x - 3} = \frac{x - 3}{x - 3} = 1$

Vậy giá trị của biểu thức $\frac{x}{x - 3} - \frac{x^{2} + 3 x}{2 x + 3}$ $. (\frac{x + 3}{x^{2} - 3 x} - \frac{x}{x^{2} - 9})$ bằng $1$ khi $x \neq 0,$ $x \neq - 3,$ $x \neq 3,$ $x \neq - \frac{3}{2}$

Bài 66 Trang 41 SBT Toán 8 Tập 1: Chú ý rằng nếu $c > 0$ thì ${(a + b)}^{2} + c$ và ${(a - b)}^{2} + c$ đều dương với mọi $a, b$ . Áp dụng điều này chứng minh rằng :

a) Với mọi giá trị của $x \neq \pm 1$ , biểu thức $\frac{x + 2}{x - 1} . (\frac{x^{3}}{2 x + 2} + 1) - \frac{8 x + 7}{2 x^{2} - 2}$ luôn luôn có giá trị dương;

b) Với mọi giá trị của $x \neq 0$ và $\neq - 3$ , biểu thức : $\frac{1 - x^{2}}{x} . (\frac{x^{2}}{x + 3} - 1)$ $+ \frac{3 x^{2} - 14 x + 3}{x^{2} + 3 x}$ luôn luôn có giá trị âm.

Phương pháp giải:

- Thực hiện phép tính và biến đổi phân thức về dạng đơn giản.

- Vận dụng kiến thức $(a + b)^{2} ⩾ 0$ với mọi $a, b$ .

Lời giải:

a) $\frac{x + 2}{x - 1} . (\frac{x^{3}}{2 x + 2} + 1) - \frac{8 x + 7}{2 x^{2} - 2}$ điều kiện $x \neq 1$ và $x \neq - 1$

$= \frac{x + 2}{x - 1} . \frac{x^{3} + 2 x + 2}{2 (x + 1)} - \frac{8 x + 7}{2 (x^{2} - 1)}$ $= \frac{(x + 2) (x^{3} + 2 x + 2)}{2 (x - 1) (x + 1)}$ $- \frac{8 x + 7}{2 (x - 1) (x + 1)}$ $= \frac{x^{4} + 2 x^{2} + 2 x + 2 x^{3} + 4 x + 4 - 8 x - 7}{2 (x - 1) (x + 1)}$ $= \frac{x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 3}{2 (x - 1) (x + 1)}$ $= \frac{x^{4} - x^{2} + 2 x^{3} - 2 x + 3 x^{2} - 3}{2 (x - 1) (x + 1)}$ $= \frac{x^{2} (x^{2} - 1) + 2 x (x^{2} - 1) + 3 (x^{2} - 1)}{2 (x - 1) (x + 1)}$ $= \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} + 2 x + 3)}{2 (x^{2} - 1)}$ $= \frac{x^{2} + 2 x + 3}{2}$

Biểu thức dương khi $x^{2} + 2 x + 3 > 0$ ta có : $x^{2} + 2 x + 3 = x^{2} + 2 x + 1 + 2$ $= {(x + 1)}^{2} + 2 > 0$ với mọi giá trị của $x .$

Vậy giá trị của biểu thức dương với mọi giá trị $x \neq - 1$ và $x \neq 1$ .

b) $\frac{1 - x^{2}}{x} . (\frac{x^{2}}{x + 3} - 1)$ $+ \frac{3 x^{2} - 14 x + 3}{x^{2} + 3 x}$ điều kiện $x \neq 0$ và $x \neq - 3$

$= \frac{1 - x^{2}}{x} . \frac{x^{2} - (x + 3)}{x + 3}$ $+ \frac{3 x^{2} - 14 x + 3}{x (x + 3)}$

$= \frac{(1 - x^{2}) (x^{2} - x - 3)}{x (x + 3)}$ $+ \frac{3 x^{2} - 14 x + 3}{x (x + 3)}$

$= \frac{x^{2} - x - 3 - x^{4} + x^{3} + 3 x^{2} + 3 x^{2} - 14 x + 3}{x (x + 3)}$

$= \frac{- x^{4} + x^{3} + 7 x^{2} - 15 x}{x (x + 3)}$

$= \frac{x (- x^{3} + x^{2} + 7 x - 15)}{x (x + 3)}$ $= \frac{- x^{3} + x^{2} + 7 x - 15}{x + 3}$

$= \frac{- x^{3} - 3 x^{2} + 4 x^{2} + 12 x - 5 x - 15}{x + 3}$

$= \frac{- x^{2} (x + 3) + 4 x (x + 3) - 5 (x + 3)}{x + 3}$ $= \frac{(x + 3) (- x^{2} + 4 x - 5)}{x + 3}$

$= - x^{2} + 4 x - 5 = - (x^{2} - 4 x + 5)$

Vì $x^{2} - 4 x + 5 = x^{2} - 4 x + 4 + 1$ $= {(x - 2)}^{2} + 1 > 0$ với mọi giá trị của $x$

nên $- [{(x + 2)}^{2} + 1] < 0$ với mọi giá trị của $x$ .

Vậy giá trị của biểu thức luôn luôn âm với mọi giá trị $x \neq 0$ và $x \neq - 3$

Bài 67 Trang 42 SBT Toán 8 Tập 1: Chú ý rằng vì ${(x + a)}^{2} \geq 0$ với mọi giá trị của $x$ và ${(x + a)}^{2} = 0$ khi $x = - a$ nên ${(x + a)}^{2} + b \geq b$ với mọi giá trị của $x$ và ${(x + a)}^{2} + b = b$ khi $x = - a$ . Do đó giá trị nhỏ nhất của ${(x + a)}^{2} + b$ bằng $b$ khi $x = - a$ . Áp dụng điều này giải các bài tập sau:

a) Rút gọn rồi tìm giá trị của $x$ để biểu thức $\frac{x^{2}}{x - 2} . (\frac{x^{2} + 4}{x} - 4) + 3$ có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.

b) Rút gọn rồi tìm giá trị của $x$ để biểu thức $\frac{{(x + 2)}^{2}}{x} . (1 - \frac{x^{2}}{x + 2})$ $- \frac{x^{2} + 6 x + 4}{x}$ có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất ấy.

Phương pháp giải:

- Thực hiện các phép tính theo đúng quy tắc để rút gọn biểu thức.

- Vận dụng kiến thức đã cho ở đầu bài và chứng minh.

Lời giải:

a) $\frac{x^{2}}{x - 2} . (\frac{x^{2} + 4}{x} - 4) + 3$ (điều kiện $x \neq 2$ và $x \neq 0$ )

$= \frac{x^{2}}{x - 2} . \frac{x^{2} + 4 - 4 x}{x} + 3$

$= \frac{x^{2}}{x - 2} . \frac{{(x - 2)}^{2}}{x} + 3$

$= x (x - 2) + 3$

$= x^{2} - 2 x + 3$

$= x^{2} - 2 x + 1 + 2$

$= {(x - 1)}^{2} + 2$

Ta có: ${(x - 1)}^{2} \geq 0$ $\Rightarrow {(x - 1)}^{2} + 2 \geq 2$ với mọi giá trị của $x$

Nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng $2$ khi $x = 1$ .

Mà $x = 1$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy biểu thức đã cho có giá trị nhỏ nhất bằng $2$ tại $x = 1$ .

b) $\frac{{(x + 2)}^{2}}{x} . (1 - \frac{x^{2}}{x + 2})$ $- \frac{x^{2} + 6 x + 4}{x}$ (điều kiện $x \neq 0$ và $x \neq - 2$ )

$= \frac{{(x + 2)}^{2}}{x} . \frac{x + 2 - x^{2}}{x + 2}$ $- \frac{x^{2} + 6 x + 4}{x}$

$= \frac{(x + 2) (x + 2 - x^{2})}{x}$ $- \frac{x^{2} + 6 x + 4}{x}$

$= \frac{x^{2} + 2 x - x^{3} + 2 x + 4 - 2 x^{2} - x^{2} - 6 x - 4}{x}$

$= \frac{- x^{3} - 2 x^{2} - 2 x}{x}$

$= \frac{- x (x^{2} + 2 x + 2)}{x}$

$= - (x^{2} + 2 x + 2)$

$= - [(x^{2} + 2 x + 1) + 1]$

$= - [{(x + 1)}^{2} + 1]$

$= - {(x + 1)}^{2} - 1$

Vì ${(x + 1)}^{2} \geq 0$ $\Rightarrow - {(x + 1)}^{2} \leq 0$ $\Rightarrow - {(x + 1)}^{2} - 1 \leq - 1$

Nên biểu thức có giá trị lớn nhất bằng $- 1$ khi $x = - 1$ .

Mà $x = - 1$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy biểu thức đã cho có giá trị lớn nhất bằng $- 1$ tại $x = - 1$ .

Bài 2.1 Trang 42 SBT Toán 8 Tập 1: (Đề thi học sinh giỏi toán cấp II, Miền Bắc năm 1963)

Rút gọn và tính giá trị của biểu thức sau tại $x = - 1, 76$ và $y = \frac{3}{25}$

Phương pháp giải:

- Áp dụng quy tắc thực hiện các phép tính, thu gọn phân thức.

- Thay giá trị của các biến vào biểu thức vừa thu gọn.

Lời giải:

Ta có:

Thay $x = - 1, 76;$ $y = \frac{3}{25}$

$P = \frac{1}{2. \frac{3}{25} - (- 1, 76)} = \frac{1}{0, 24 + 1, 76}$ $= \frac{1}{2}$

Bài 2.2 Trang 42 SBT Toán 8 Tập 1: (Đề thi học sinh giỏi, lớp 8 toàn quốc năm 1980).

Thực hiện phép tính :

$\frac{1}{(b - c) (a^{2} + a c - b^{2} - b c)}$ $+ \frac{1}{(c - a) (b^{2} + a b - c^{2} - a c)}$ $+ \frac{1}{(a - b) (c^{2} + b c - a^{2} - a b)}$

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc thực hiện phép tính cộng, trừ, nhân, chia phân thức rồi tính.

Lời giải:

$\frac{1}{(b - c) (a^{2} + a c - b^{2} - b c)}$ $+ \frac{1}{(c - a) (b^{2} + a b - c^{2} - a c)}$ $+ \frac{1}{(a - b) (c^{2} + b c - a^{2} - a b)}$

$= \frac{1}{(b - c) [(a + b) (a - b) + c (a - b)]}$ $+ \frac{1}{(c - a) [(b + c) (b - c) + a (b - c)]}$ $+ \frac{1}{(a - b) [(c + a) (c - a) + b (c - a)]}$