SBT Toán 8 Bài 9: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức

SBT Toán 8 Bài 9: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức | Giải SBT Toán lớp 8

Nghiêm Thị Ngà Ngày: 19-05-2022 Lớp 8

632

Toptailieu.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 8 Bài 9: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 9: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức

Bài 44 Trang 36 SBT Toán 8 Tập 1: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức

a) $\frac{1}{2} + \frac{x}{1 - \frac{x}{x + 2}}$

b) $\frac{x - \frac{1}{x^{2}}}{x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}$

c) $\frac{1 - \frac{2 y}{x} + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}$

d) $\frac{\frac{x}{4} - 1 + \frac{3}{4 x}}{\frac{x}{2} - \frac{6}{x} + \frac{1}{2}}$

Phương pháp giải:

Vận dụng kiến thức về các quy tắc của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức.

Lời giải:

a) $\frac{1}{2} + \frac{x}{1 - \frac{x}{x + 2}}$ $= \frac{1}{2} + \frac{x}{\frac{x + 2 - x}{x + 2}} = \frac{1}{2} + \frac{x}{\frac{2}{x + 2}}$

$= \frac{1}{2} + \frac{x (x + 2)}{2} = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{2}$ $= \frac{{(x + 1)}^{2}}{2}$

b) $\frac{x - \frac{1}{x^{2}}}{x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}$ $= (x - \frac{1}{x^{2}}) : (1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}})$ $= \frac{x^{3} - 1}{x^{2}} : \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2}}$

$= \frac{x^{3} - 1}{x^{2}} . \frac{x^{2}}{x^{2} + x + 1}$ $= \frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1) x^{2}}{x^{2} (x^{2} + x + 1)} = x - 1$

c) $\frac{1 - \frac{2 y}{x} + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}$ $= (1 - \frac{2 y}{x} + \frac{y^{2}}{x^{2}}) : (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})$ $= \frac{x^{2} - 2 x y + y^{2}}{x^{2}} : \frac{y - x}{x y}$

$= \frac{(x - y)^{2}}{x^{2}} . \frac{x y}{y - x}$ $= \frac{{(y - x)}^{2} . x y}{x^{2} (y - x)} = \frac{y (y - x)}{x}$

d) $\frac{\frac{x}{4} - 1 + \frac{3}{4 x}}{\frac{x}{2} - \frac{6}{x} + \frac{1}{2}}$ $= (\frac{x}{4} - 1 + \frac{3}{4 x}) : (\frac{x}{2} - \frac{6}{x} + \frac{1}{2})$ $= \frac{x^{2} - 4 x + 3}{4 x} : \frac{x^{2} - 12 + x}{2 x}$

$= \frac{x^{2} - 4 x + 3}{4 x} . \frac{2 x}{x^{2} - 12 + x}$ $= \frac{x^{2} - x - 3 x + 3}{4 x} .$ $\frac{2 x}{x^{2} - 3 x + 4 x - 12}$

$= \frac{x (x - 1) - 3 (x - 1)}{4 x} . \frac{2 x}{x (x - 3) + 4 (x - 3)}$

$= \frac{(x - 1) (x - 3)}{4 x} . \frac{2 x}{(x - 3) (x + 4)}$ $= \frac{(x - 1) (x - 3) .2 x}{4 x (x - 3) (x + 4)} = \frac{x - 1}{2 (x + 4)}$

Bài 45 Trang 36 SBT Toán 8 Tập 1: Thực hiện các phép tính sau :

a) $(\frac{5 x + y}{x^{2} - 5 x y} + \frac{5 x - y}{x^{2} + 5 x y})$ $. \frac{x^{2} - 25 y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$

b) $\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}}$ $: (\frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}} - \frac{1}{x^{2} - y^{2}})$

c) $[\frac{1}{{(2 x - y)}^{2}} + \frac{2}{4 x^{2} - y^{2}} + \frac{1}{{(2 x + y)}^{2}}]$ $. \frac{4 x^{2} + 4 x y + y^{2}}{16 x}$

d) $(\frac{2}{x + 2} - \frac{4}{x^{2} + 4 x + 4})$ $: (\frac{2}{x^{2} - 4} + \frac{1}{2 - x})$

Phương pháp giải:

Vận dụng kiến thức về các quy tắc của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức.

Lời giải:

a) $(\frac{5 x + y}{x^{2} - 5 x y} + \frac{5 x - y}{x^{2} + 5 x y})$ $. \frac{x^{2} - 25 y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$

$= [\frac{5 x + y}{x (x - 5 y)} + \frac{5 x - y}{x (x + 5 y)}]$ $. \frac{x^{2} - 25 y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ $= \frac{(5 x + y) (x + 5 y) + (5 x - y) (x - 5 y)}{x (x - 5 y) (x + 5 y)} .$ $\frac{(x - 5 y) (x + 5 y)}{x^{2} + y^{2}}$ $= \frac{5 x^{2} + 25 x y + x y + 5 y^{2} + 5 x^{2} - 25 x y - x y + 5 y^{2}}{x (x^{2} + y^{2})}$ $= \frac{10 x^{2} + 10 y^{2}}{x (x^{2} + y^{2})} = \frac{10 (x^{2} + y^{2})}{x (x^{2} + y^{2})}$ $= \frac{10}{x}$

b) $\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}} :$ $(\frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}} - \frac{1}{x^{2} - y^{2}})$

$= \frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}} :$ $[\frac{1}{{(x + y)}^{2}} - \frac{1}{(x + y) (x - y)}]$ $= \frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}} : \frac{x - y - (x + y)}{{(x + y)}^{2} (x - y)}$ $= \frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}} : \frac{- 2 y}{{(x + y)}^{2} (x - y)}$ $= \frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}} . \frac{{(x + y)}^{2} (y - x)}{2 y}$ $= \frac{4 x y {(x + y)}^{2} (y - x)}{(y + x) (y - x) .2 y}$ $= 2 x (x + y)$

c) $[\frac{1}{{(2 x - y)}^{2}} + \frac{2}{4 x^{2} - y^{2}} + \frac{1}{{(2 x + y)}^{2}}]$ $. \frac{4 x^{2} + 4 x y + y^{2}}{16 x}$

$= [\frac{1}{{(2 x - y)}^{2}} + \frac{2}{(2 x + y) (2 x - y)} + \frac{1}{{(2 x + y)}^{2}}]$ $. \frac{{(2 x + y)}^{2}}{16 x}$ $= \frac{{(2 x + y)}^{2} + 2 (2 x + y) (2 x - y) + {(2 x - y)}^{2}}{{(2 x + y)}^{2} . {(2 x - y)}^{2}}$ $. \frac{{(2 x + y)}^{2}}{16 x}$ $= \frac{{[(2 x + y) + (2 x - y)]}^{2}}{16 x {(2 x - y)}^{2}}$ $= \frac{{(4 x)}^{2}}{16 x {(2 x - y)}^{2}} = \frac{16 x^{2}}{16 x {(2 x - y)}^{2}}$ $= \frac{x}{{(2 x - y)}^{2}}$

d) $(\frac{2}{x + 2} - \frac{4}{x^{2} + 4 x + 4})$ $: (\frac{2}{x^{2} - 4} + \frac{1}{2 - x})$

$= [\frac{2}{x + 2} - \frac{4}{{(x + 2)}^{2}}]$ $: [\frac{2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{1}{x - 2}]$ $= \frac{2 (x + 2) - 4}{{(x + 2)}^{2}} : \frac{2 - (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ $= \frac{2 x + 4 - 4}{{(x + 2)}^{2}} : \frac{2 - x - 2}{(x + 2) (x - 2)}$ $= \frac{2 x}{{(x + 2)}^{2}} . \frac{(x + 2) (x - 2)}{- x}$ $= \frac{2 (x - 2)}{- (x + 2)} = \frac{2 (2 - x)}{x + 2}$

Bài 46 Trang 36 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm điều kiện của biến để giá trị của phân thức xác định :

a) $\frac{5 x^{2} - 4 x + 2}{20}$

b) $\frac{8}{x + 2004}$

c) $\frac{4 x}{3 x - 7}$

d) $\frac{x^{2}}{x + z}$

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện của biến $x$ để giá trị của mẫu thức khác $0$ .

Lời giải:

a) Phân thức : $\frac{5 x^{2} - 4 x + 2}{20}$ xác định với mọi $x \in R$

b) Phân thức : $\frac{8}{x + 2004}$ xác định khi $x + 2004 \neq 0 \Rightarrow x \neq - 2004$

c) Phân thức : $\frac{4 x}{3 x - 7}$ xác định khi $3 x - 7 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{7}{3}$

d) Phân thức : $\frac{x^{2}}{x + z}$ xác định khi $x + z \neq 0 \Rightarrow x \neq - z$

Bài 47 Trang 36 SBT Toán 8 Tập 1: Phân tích mẫu thức của các phân thức sau thành nhân tử rồi tìm điều kiện của $x$ để giá trị của phân thức xác định :

a) $\frac{5}{2 x - 3 x^{2}}$

b) $\frac{2 x}{8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1}$

c) $\frac{- 5 x^{2}}{16 - 24 x + 9 x^{2}}$

d) $\frac{3}{x^{2} - 4 y^{2}}$

Phương pháp giải:

- Phân tích mẫu thức thành nhân tử.

- Tìm điều kiện của $x$ để giá trị của mẫu thức khác $0$ .

Lời giải:

a) $\frac{5}{2 x - 3 x^{2}}$ $= \frac{5}{x (2 - 3 x)}$ xác định khi $x (2 - 3 x) \neq 0$ . Khi đó :

${\begin{matrix} x \neq 0 \\ 2 - 3 x \neq 0 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} x \neq 0 \\ x \neq \frac{2}{3} \end{matrix}$

Vậy phân thức $\frac{5}{2 x - 3 x^{2}}$ xác định với $x \neq 0$ và $x \neq \frac{2}{3}$

b) $\frac{2 x}{8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1}$ $= \frac{2 x}{{(2 x + 1)}^{3}}$ xác định khi ${(2 x + 1)}^{3} \neq 0$ $\Rightarrow 2 x + 1 \neq 0$ $\Rightarrow x \neq - \frac{1}{2}$

c) $\frac{- 5 x^{2}}{16 - 24 x + 9 x^{2}}$ $= \frac{- 5 x^{2}}{4^{2} - 2.4.3 x + {(3 x)}^{2}} = \frac{- 5 x^{2}}{{(4 - 3 x)}^{2}}$

Phân thức xác định khi ${(4 - 3 x)}^{2} \neq 0$ $\Rightarrow 4 - 3 x \neq 0$ $\Rightarrow x \neq \frac{4}{3}$

d) $\frac{3}{x^{2} - 4 y^{2}}$ $= \frac{3}{(x - 2 y) (x + 2 y)}$ xác định khi $(x - 2 y) (x + 2 y) \neq 0$

$\Rightarrow {\begin{matrix} x - 2 y \neq 0 \\ x + 2 y \neq 0 \end{matrix} \Rightarrow x \neq \pm 2 y$

Bài 48 Trang 37 SBT Toán 8 Tập 1: Có bạn nói rằng các phân thức $\frac{2 x}{2 x - 2},$ $\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1},$ $\frac{5 x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + 1)}$ có cùng điều kiện của biến $x$ .

Điều đó đúng hay sai ? Vì sao ?

Phương pháp giải:

Vận dụng kiến thức : Cách tìm điều kiện để giá trị của phân thức được xác định là tìm điều kiện của biến để giá trị của mẫu thức khác $0$ .

Lời giải:

Các phân thức $\frac{2 x}{2 x - 2},$ $\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1},$ $\frac{5 x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + 1)}$ có cùng điều kiện biến $x$ là đúng vì:

Phân thức $\frac{2 x}{2 x - 2}$ xác định khi $2 x - 2 \neq 0$ $\Rightarrow 2 x \neq 2$ $\Rightarrow x \neq 1;$

Phân thức $\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} = \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ xác định khi ${(x - 1)}^{2} \neq 0$ $\Rightarrow x - 1 \neq 0$ $\Rightarrow x \neq 1;$

Phân thức $\frac{5 x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + 1)}$ xác định khi $(x - 1) (x^{2} + 1) \neq 0$ $\Rightarrow x - 1 \neq 0$ $\Rightarrow x \neq 1$ .

Chú ý: $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ với mọi $x$ nên $x^{2} + 1 \neq 0$ với mọi $x$ .

Bài 49 Trang 37 SBT Toán 8 Tập 1: a) Tìm một phân thức (một biến) mà giá trị của nó được xác định với mọi giá trị của biến khác các số nguyên lẻ lớn hơn $5$ và nhỏ hơn $10$ .

b) Tìm một phân thức (một biến) mà giá trị của nó được xác định với mọi giá trị của biến khác $\pm \sqrt{2}$

Phương pháp giải:

- Xác định tập hợp của biến thỏa mãn điều kiện là số nguyên lẻ lớn hơn $5$ và nhỏ hơn $10$ .

- Từ thông tin đề bài, viết phân thức thích hợp.

Lời giải:

a) Ta có tập hợp số nguyên lẻ lớn hơn $5$ và nhỏ hơn $10$ là ${7; 9}$

Một phân thức một biến mà giá trị của nó xác định với mọi giá trị của biến khác các số nguyên lẻ lớn hơn $5$ và nhỏ hơn $10$ , nghĩa là $x \neq 7$ và $x \neq 9$ .

Suy ra: $x - 7 \neq 0$ và $x - 9 \neq 0$

Ta chọn phân thức là $\frac{a}{(x - 7) (x - 9)}$ (với $a$ là một hằng số)

b) Phân thức một biến mà giá trị của nó được xác định với mọi giá trị của biến khác $\pm \sqrt{2}$ $\Rightarrow x \neq \sqrt{2}$ và $x \neq - \sqrt{2} .$

Suy ra: $x - \sqrt{2} \neq 0$ và $x + \sqrt{2} \neq 0,$ ta chọn phân thức:

$\frac{a}{(x - \sqrt{2}) (x + \sqrt{2})} = \frac{a}{x^{2} - 2}$ (với $a$ là một hằng số).

Bài 50 Trang 37 SBT Toán 8 Tập 1: Đố. Đố em tìm được một cặp phân thức của biến $x$ mà khi giá trị của phân thức này bằng $0$ thì giá trị của phân thức kia không xác định và ngược lại khi giá trị của phân thức kia bằng $0$ thì giá trị của phân thức này không xác định.

Em có thể tìm được bao nhiêu cặp phân thức như thế ?

Phương pháp giải:

Cần tìm hai phân thức biến $x$ ; là nghịch đảo của nhau và không có giá trị nào của $x$ để đồng thời cả tử và mẫu bằng $0$ .

Lời giải:

Hai phân thức có cùng biến $x$ mà khi giá trị của phân thức này bằng $0$ thì giá trị của phân thức kia không xác định và ngược lại. Ta chọn hai phân thức đó có cùng biến $x$ là nghịch đảo của nhau và không có giá trị nào của $x$ để tử và mẫu đồng thời bằng $0$ .

Chẳng hạn: $\frac{2 x + 1}{2 x - 1}$ và $\frac{2 x - 1}{2 x + 1}$

Có vô số cặp phân thức như thế.

Bài 51 Trang 37 SBT Toán 8 Tập 1: Tính giá trị của các biểu thức:

a) $\frac{3 x^{2} - x}{9 x^{2} - 6 x + 1}$ tại $x = - 8$

b) $\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{3} + 2 x^{2} - x - 2}$ tại $x = 1000001$

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện để giá trị của phân thức xác định.

- Biến đổi phân thức về dạng đơn giản.

- Thay giá trị của biến đã cho vào phân thức rồi tìm giá trị.

Lời giải:

a) Điều kiện: $9 x^{2} - 6 x + 1 \neq 0$ $\Rightarrow {(3 x - 1)}^{2} \neq 0$ $\Rightarrow x \neq \frac{1}{3}$ .

Ta có $x = - 8 \neq \frac{1}{3}$ .

Rút gọn:

$\frac{3 x^{2} - x}{9 x^{2} - 6 x + 1}$ $= \frac{x (3 x - 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$ $= \frac{x}{3 x - 1}$

Thay $x = - 8$ vào biểu thức ta có:

$\frac{- 8}{3. (- 8) - 1} = \frac{- 8}{- 24 - 1} = \frac{8}{25}$

b) Ta có: $x^{3} + 2 x^{2} - x - 2$ $= x^{2} (x + 2) - (x + 2)$ $= (x + 2) (x^{2} - 1)$ $= (x + 2) (x - 1) (x + 1)$

Điều kiện: $x^{3} + 2 x^{2} - x - 2 \neq 0$ $\Rightarrow (x + 2) (x - 1) (x + 1) \neq 0$ $\Rightarrow x \neq - 2$ và $x \neq \pm 1$

Suy ra $x = 1000001$ thỏa mãn điều kiện.

Rút gọn:

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{3} + 2 x^{2} - x - 2}$ $= \frac{x^{2} + 2 x + x + 2}{(x + 2) (x - 1) (x + 1)}$ $= \frac{(x + 2) (x + 1)}{(x + 2) (x + 1) (x - 1)} = \frac{1}{x - 1}$

Thay $x = 1000001$ vào biểu thức ta có: $\frac{1}{1000001 - 1} = \frac{1}{1000000}$ .

Bài 52 Trang 37 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm điều kiện của các biến trong mỗi phân thức sau đây. Chứng minh rằng khi giá trị của phân thức xác định thì giá trị đó không phụ thuộc vào các biến $x$ và $y$ (nghĩa là chứng tỏ rằng có thể biến đổi phân thức đã cho thành một biểu thức không chứa $x$ và $y$ :

a) $\frac{x^{2} - y^{2}}{(x + y) (6 x - 6 y)}$

b) $\frac{2 a x - 2 x - 3 y + 3 a y}{4 a x + 6 x + 9 y + 6 a y}$ ( $a$ là hằng số khác )

Phương pháp giải:

Biến đổi phân thức về thành biểu thức không chứa biến.

Lời giải:

a) $\frac{x^{2} - y^{2}}{(x + y) (6 x - 6 y)}$ xác định khi $(x + y) (6 x - 6 y) \neq 0$ $\Rightarrow {\begin{matrix} x + y \neq 0 \\ 6 x - 6 y \neq 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} x \neq - y \\ x - y \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x \neq - y \\ x \neq y \end{matrix}$

Với điều kiện trên ta có:

$\frac{x^{2} - y^{2}}{(x + y) (6 x - 6 y)}$ $= \frac{(x + y) (x - y)}{(x + y) 6 (x - y)} = \frac{1}{6}$

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào $x, y$ .

b) $\frac{2 a x - 2 x - 3 y + 3 a y}{4 a x + 6 x + 9 y + 6 a y}$ xác định khi $4 a x + 6 x + 9 y + 6 a y \neq 0$

$\Rightarrow 2 x (2 a + 3) + 3 y (2 a + 3)$ $= (2 a + 3) (2 x + 3 y) \neq 0$

Vì $a \neq - \frac{3}{2}$ $\Rightarrow 2 a + 3 \neq 0$ $\Rightarrow 2 x + 3 y \neq 0$ $\Rightarrow x \neq - \frac{3}{2} y$

Với điều kiện : $x \neq - \frac{3}{2} y$ và $a \neq - \frac{3}{2}$ ta có:

$\frac{2 a x - 2 x - 3 y + 3 a y}{4 a x + 6 x + 9 y + 6 a y}$ $= \frac{2 x (a - 1) + 3 y (a - 1)}{(2 a + 3) (2 x + 3 y)}$ $= \frac{(a - 1) (2 x + 3 y)}{(2 a + 3) (2 x + 3 y)} = \frac{a - 1}{2 a + 3}$

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào $x, y$ .

Bài 53 Trang 37 SBT Toán 8 Tập 1: Đố. Đố em tìm được giá trị của $x$ để giá trị của phân thức $\frac{4 x^{2} - 4 x^{3} + x^{4}}{x^{3} - 2 x^{2}}$ bằng:

a) -2

b) 2

c) 0

Phương pháp giải:

- Biến đổi phân thức về dạng đơn giản.

- Thay giá trị phân thức bằng giá trị đã cho rồi giải để tìm giá trị của $x$ .

Lời giải:

a) Điều kiện: $x^{3} - 2 x^{2} = x^{2} (x - 2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ và $x \neq 2$

Vậy điều kiện là: $x \neq 0, x \neq 2$

Ta có: $\frac{4 x^{2} - 4 x^{3} + x^{4}}{x^{3} - 2 x^{2}} = \frac{x^{2} (x^{2} - 4 x + 4)}{x^{2} (x - 2)}$ $= \frac{x^{2} {(x - 2)}^{2}}{x^{2} (x - 2)} = x - 2$

a) Nếu phân thức đã cho bằng $- 2$ thì biểu thức $x - 2$ cũng có giá trị bằng $- 2$

Suy ra: $x - 2 = - 2$ $\Rightarrow x = 0$ không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của $x$ để phân thức bằng $- 2$ .

b) Nếu phân thức đã cho bằng $2$ thì biểu thức $x - 2$ cũng có giá trị bằng $2$

Suy ra:

$x - 2 = 2$ $\Rightarrow x = 4$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy với $x = 4$ thì phân thức có giá trị bằng $2$ .

c) Nếu phân thức có giá trị bằng $0$ thì biểu thức $x - 2$ cũng có giá trị bằng $0$

Suy ra :

$x - 2 = 0$ $\Rightarrow x = 2$ mà $x = 2$ không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của $x$ để phân thức có giá trị bằng $0$ .

Bài 52 Trang 37 SBT Toán 8 Tập 1: Cho biểu thức $\frac{x^{2} + 2 x}{2 x + 10} + \frac{x - 5}{x} + \frac{50 - 5 x}{2 x (x + 5)}$

a) Tìm điều kiện của biến $x$ để giá trị của biểu thức được xác định.

b) Tìm giá trị của $x$ để giá trị của biểu thức bằng $1$

c) Tìm giá trị của $x$ để giá trị của biểu thức bằng $- \frac{1}{2}$

d) Tìm giá trị của $x$ để giá trị của biểu thức bằng $- 3$

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện của biến để giá trị của mẫu thức khác $0$ .

- Biến đổi đơn thức về dạng đơn giản.

- Tìm giá trị của $x$ sao cho giá trị tương ứng của biểu thức bằng số đã cho.

Lời giải:

a) Biểu thức xác định khi $2 x + 10 \neq 0,$ $x \neq 0$ và $2 x (x + 5) \neq 0$

$\Rightarrow x \neq 0$ và $x \neq - 5$

Điều kiện: $x \neq 0$ và $x \neq - 5$

Ta có:

$\frac{x^{2} + 2 x}{2 x + 10} + \frac{x - 5}{x} + \frac{50 - 5 x}{2 x (x + 5)}$ $= \frac{x^{2} + 2 x}{2 (x + 5)} + \frac{x - 5}{x} + \frac{50 - 5 x}{2 x (x + 5)}$

$\begin{array}{l} = \frac{x (x^{2} + 2 x)}{2 x (x + 5)} + \frac{2 (x - 5) (x + 5)}{2 x (x + 5)} + \frac{50 - 5 x}{2 x (x + 5)} \\ = \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{2 x (x + 5)} + \frac{2 x^{2} - 50}{2 x (x + 5)} + \frac{50 - 5 x}{2 x (x + 5)} \end{array}$

$= \frac{x^{3} + 2 x^{2} + 2 x^{2} - 50 + 50 - 5 x}{2 x (x + 5)}$ $= \frac{x^{3} + 4 x^{2} - 5 x}{2 x (x + 5)}$

$= \frac{x (x^{2} + 4 x - 5)}{2 x (x + 5)}$

$= \frac{x (x^{2} - x + 5 x - 5)}{2 x (x + 5)}$

$= \frac{x (x - 1) + 5 (x - 1)}{2 (x + 5)}$

$= \frac{(x - 1) (x + 5)}{2 (x + 5)} = \frac{x - 1}{2}$

b) Nếu giá trị của phân thức bằng $1$ thì giá trị của biểu thức $\frac{x - 1}{2}$ cũng bằng $1$

Suy ra: $\frac{x - 1}{2} = 1$ $\Rightarrow x - 1 = 2$ $\Rightarrow x = 3$ mà $x = 3$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy $x = 3$ thì giá trị của phân thức bằng $1$ .

c) Nếu giá trị của phân thức bằng $- \frac{1}{2}$ thì giá trị của biểu thức $\frac{x - 1}{2}$ cùng bằng $- \frac{1}{2}$

Suy ra: $\frac{x - 1}{2} = - \frac{1}{2}$ $\Rightarrow x - 1 = - 1 \Rightarrow x = 0$ mà $x = 0$ không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của $x$ để phân thức bằng $- \frac{1}{2}$ .

d) Nếu giá trị của phân thức bằng $- 3$ thì giá trị của biểu thức $\frac{x - 1}{2}$ cũng bằng $- 3$

Suy ra: $\frac{x - 1}{2} = - 3 \Rightarrow x - 1 = - 6$ $\Rightarrow x = - 5$ mà $x = - 5$ không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của $x$ để phân thức bằng $- 3$ .

Bài 55 Trang 38 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm x, biết :

a) $\begin{aligned} \frac{2 x + 1}{x^{2} - 2 x + 1} - \frac{2 x + 3}{x^{2} - 1} = 0 \end{aligned}$

b) $\begin{aligned} \frac{3}{x - 3} - \frac{6 x}{9 - x^{2}} + \frac{x}{x + 3} = 0 \end{aligned}$

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

- Biến đổi phân thức về dạng đơn giản.

- Tìm giá trị của $x$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Lời giải:

a) $\frac{2 x + 1}{x^{2} - 2 x + 1} - \frac{2 x + 3}{x^{2} - 1} = 0$ (điều kiện $x \neq \pm 1$ )

$\begin{aligned} \Leftrightarrow \frac{2 x + 1}{{(x - 1)}^{2}} - \frac{2 x + 3}{(x + 1) (x - 1)} = 0 \\ \Leftrightarrow \frac{(2 x + 1) (x + 1) - (2 x + 3) (x - 1)}{(x + 1) {(x - 1)}^{2}} = 0 \\ \Leftrightarrow \frac{2 x^{2} + 2 x + x + 1 - 2 x^{2} + 2 x - 3 x + 3}{(x + 1) {(x - 1)}^{2}} = 0 \\ \Leftrightarrow \frac{2 x + 4}{(x + 1) {(x - 1)}^{2}} = 0 \end{aligned}$

Biểu thức bằng $0$ khi tử bằng $0$ và mẫu khác $0$ .

$\Rightarrow 2 x + 4 = 0 \Rightarrow x = - 2$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy $x = - 2$

b) Điều kiện: $x \neq \pm 3$

$\begin{aligned} \frac{3}{x - 3} - \frac{6 x}{9 - x^{2}} + \frac{x}{x + 3} = 0 \\ \Leftrightarrow \frac{3}{x - 3} + \frac{6 x}{(x - 3) (x + 3)} + \frac{x}{x + 3} = 0 \\ \Leftrightarrow \frac{3 (x + 3) + 6 x + x (x - 3)}{(x - 3) (x + 3)} = 0 \\ \Leftrightarrow \frac{3 x + 9 + 6 x + x^{2} - 3 x}{(x - 3) (x + 3)} = 0 \\ \Leftrightarrow \frac{x^{2} + 6 x + 9}{(x - 3) (x + 3)} = 0 \\ \Leftrightarrow \frac{{(x + 3)}^{2}}{(x - 3) (x + 3)} = 0 \\ \Leftrightarrow \frac{x + 3}{x - 3} = 0 \end{aligned}$

Biểu thức bằng $0$ khi tử bằng $0$ và mẫu khác $0$ .

$\Rightarrow x + 3 = 0 \Rightarrow x = - 3$

$x = - 3$ không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của $x$ để biểu thức bằng $0$ .

Bài 56 Trang 38 SBT Toán 8 Tập 1: Với giá trị nào của $x$ thì giá trị của mỗi biểu thức sau bằng $0$ :

a) $\frac{x}{x^{2} - 4} + \frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$

b) $\frac{1}{x^{2} + x + 1} + x - 1$

Phương pháp giải:

- Biến đổi phân thức về dạng đơn giản.

- Cho giá trị biểu thức bằng $0$ ; giải rồi tìm giá trị của $x$ .

Lời giải:

a) Điều kiện:

$\begin{array}{l} {\begin{cases} x^{2} - 4 \neq 0 \\ {(x + 2)}^{2} \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} (x - 2) (x + 2) \neq 0 \\ x + 2 \neq 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} x - 2 \neq 0 \\ x + 2 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x \neq 2 \\ x \neq - 2 \end{cases} \end{array}$

$\Leftrightarrow x \neq \pm 2$

Ta có:

$\frac{x}{x^{2} - 4} + \frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ $= \frac{x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ $= \frac{x (x + 2) + 3 (x - 2)}{(x - 2) {(x + 2)}^{2}}$

$= \frac{x^{2} + 2 x + 3 x - 6}{(x - 2) {(x + 2)}^{2}}$

$= \frac{x^{2} + 5 x - 6}{(x - 2) {(x + 2)}^{2}}$

$= \frac{x^{2} - x + 6 x - 6}{(x - 2) {(x + 2)}^{2}}$ $= \frac{x (x - 1) + 6 (x - 1)}{(x - 2) {(x + 2)}^{2}}$ $= \frac{(x - 1) (x + 6)}{(x - 2) {(x + 2)}^{2}}$

Biểu thức bằng $0$ khi $(x - 1) (x + 6) = 0$

Ta có: $(x - 1) (x + 6) = 0$

$\Rightarrow x - 1 = 0$ hoặc $x + 6 = 0$

$\Rightarrow x = 1$ (thỏa mãn) hoặc $x = - 6$ (thỏa mãn)

Vậy với $x = 1$ hoặc $x = - 6$ thì giá trị của biểu thức bằng $0$ .

b) - Biến đổi phân thức về dạng đơn giản.

- Cho giá trị biểu thức bằng $0$ ; giải rồi tìm giá trị của $x$ .

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x^{2} + x + 1 \neq 0.$

Ta có: $x^{2} + x + 1 = x^{2} + 2. x . \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}$ $= {(x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} \neq 0$ với mọi $x$ .

Do đó: $\frac{1}{x^{2} + x + 1} + x - 1$ $= \frac{1 + (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$ $= \frac{1 + x^{3} - 1}{x^{2} + x + 1} = \frac{x^{3}}{x^{2} + x + 1}$

Biểu thức bằng $0$ khi $x^{3} = 0$ $\Rightarrow x = 0$

Vậy với $x = 0$ thì giá trị của biểu thức bằng $0$ .

Bài 57 Trang 38 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm giá trị nguyên của biến $x$ để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên :

a) $\frac{2}{x - 3}$

b) $\frac{3}{x + 2}$

c) $\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + x - 1}{x - 4}$

d) $\frac{3 x^{2} - x + 1}{3 x + 2}$

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện xác định của các phân thức.

- Biến đổi biểu thức về dạng đơn giản.

- Để phân thức có giá trị là một số nguyên thì tử thức phải chia hết cho mẫu thức.

- Vận dụng kiến thức về ước đã học, tìm giá trị của $x$ .

Lời giải:

a) $\frac{2}{x - 3}$ là một số nguyên nên $2 ⋮ (x - 3)$ và $x \neq 3$

$\Rightarrow x - 3 \in Ư (2) = {- 2; - 1; 1; 2}$

$\begin{aligned} x - 3 = - 2 \Rightarrow x = 1 (t m) \\ x - 3 = - 1 \Rightarrow x = 2 (t m) \\ x - 3 = 1 \Rightarrow x = 4 (t m) \\ x - 3 = 2 \Rightarrow x = 5 (t m) \end{aligned}$

Vậy với $x \in {1; 2; 4; 5}$ thì $\frac{2}{x - 3}$ là một số nguyên.

b) $\frac{3}{x + 2}$ là một số nguyên nên $3 ⋮ (x + 2)$ và $x \neq - 2$

$\Rightarrow x + 2 \in Ư (3) = {- 3; - 1; 1; 3}$

$\begin{aligned} x + 2 = - 3 \Rightarrow x = - 5 (t m) \\ x + 2 = - 1 \Rightarrow x = - 3 (t m) \\ x + 2 = 1 \Rightarrow x = - 1 (t m) \\ x + 2 = 3 \Rightarrow x = 1 (t m) \end{aligned}$

Vậy với $x \in {- 5; - 3; - 1; 1}$ thì $\frac{3}{x + 2}$ là một số nguyên

c) Đặt phép tính chia:

Từ phép chia trên ta có:

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + x - 1}{x - 4}$ $= \frac{(3 x^{2} + 8 x + 33) (x - 4) + 131}{x - 4}$ $= 3 x^{2} + 8 x + 33 + \frac{131}{x - 4}$

Với $x$ là số nguyên ta có : $3 x^{2} + 8 x + 33$ là số nguyên

Vậy muốn biểu thức là số nguyên thì $131 ⋮ (x - 4)$ và $x \neq 4$

$\Rightarrow x - 4 \in Ư (131) = {- 131; - 1; 1;$ $131}$

$\begin{aligned} x - 4 = - 131 \Rightarrow x = - 127 (t m) \\ x - 4 = - 1 \Rightarrow x = 3 (t m) \\ x - 4 = 1 \Rightarrow x = 5 (t m) \\ x - 4 = 131 \Rightarrow x = 135 (t m) \end{aligned}$

Vậy $x \in {- 127; 3; 5; 135}$ thì $\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + x - 1}{x - 4}$ là số nguyên

d)Ta có:

$\frac{3 x^{2} - x + 1}{3 x + 2}$

$\begin{array}{l} = \frac{3 x^{2} + 2 x - 3 x - 2 + 3}{3 x + 2} \\ = \frac{x (3 x + 2) - (3 x + 2) + 3}{3 x + 2} \end{array}$

$= \frac{(3 x + 2) (x - 1) + 3}{3 x + 2}$ $= x - 1 + \frac{3}{3 x + 2}$ (với $x \neq - \frac{3}{2}$ )

$x$ là số nguyên nên $x - 1$ là số nguyên.

Vậy muốn biểu thức đã cho là số nguyên thì $3 ⋮ (3 x + 2)$ và $x \neq - \frac{3}{2}$

$3 x + 2 \in Ư (3) = {- 3; - 1; 1; 3}$

$3 x + 2 = - 3 \Rightarrow x = - \frac{5}{3}$ (loại)

$3 x + 2 = - 1 \Rightarrow x = - 1 (t m)$

$3 x + 2 = 1 \Rightarrow x = - \frac{1}{3}$ (loại)

$3 x + 2 = 3 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$ (loại)

Vậy với $x = - 1$ thì biểu thức $\frac{3 x^{2} - x + 1}{3 x + 2}$ có giá trị nguyên.

Bài 9.1 Trang 39 SBT Toán 8 Tập 1: Biết rằng $Q = \frac{x^{2} - 6 x + 9}{x^{2} - 9}$ $= \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x - 3) (x + 3)}$ $= \frac{x - 3}{x + 3}$ .

Hãy tính giá trị của biểu thức Q. Câu trả lời nào sau đây là sai ?

A. Giá trị của $Q$ tại $x = 4$ là $\frac{4 - 3}{4 + 3} = \frac{1}{7}$

B. Giá trị của $Q$ tại $x = 1$ là $\frac{1 - 3}{1 + 3} = - \frac{1}{2}$

C. Giá trị của $Q$ tại $x = 3$ là $\frac{3 - 3}{3 + 3} = 0$

D. Giá trị của $Q$ tại $x = 3$ không xác định.

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện xác định của $Q$ .

- Biến đổi biểu thức về dạng đơn giản.

- Kiểm tra các đáp án đã cho rồi chọn câu sai.

Lời giải:

Điều kiện: $x^{2} - 9 \neq 0 \Leftrightarrow x^{2} \neq 9 \Leftrightarrow x \neq \pm 3$

Ta có: $Q = \frac{x^{2} - 6 x + 9}{x^{2} - 9}$ $= \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x - 3) (x + 3)} = \frac{x - 3}{x + 3}$

Giá trị của $Q$ tại $x = 3$ là $\frac{3 - 3}{3 + 3} = 0$ sai vì với $x = 3$ thì phân thức đã cho không xác định.

Bài 9.2 Trang 39 SBT Toán 8 Tập 1: Với mỗi biểu thức sau, hãy tìm giá trị của $x$ để giá trị tương ứng của biểu thức bằng $1$ :

a) $\frac{1 + x^{2} + \frac{1}{x}}{2 + \frac{1}{x}}$

b) $\frac{1 + x^{2} - \frac{4}{x + 1}}{2 - \frac{4}{x + 1}}$

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện xác định của phân thức.

- Cho giá trị biểu thức bằng $1$ ; rồi biến đổi biểu thức về dạng đơn giản.

- Tìm giá trị của $x$ .

Lời giải:

a) $\frac{1 + x^{2} + \frac{1}{x}}{2 + \frac{1}{x}}$ điều kiện $x \neq 0$ và $x \neq - \frac{1}{2}$

Để giá trị của phân thức đã cho bằng $1$ thì:

$\frac{1 + x^{2} + \frac{1}{x}}{2 + \frac{1}{x}} = 1$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (1 + x^{2} + \frac{1}{x}) = 1. (2 + \frac{1}{x}) \\ \Leftrightarrow 1 + x^{2} + \frac{1}{x} - 2 - \frac{1}{x} = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} = 1 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 (thỏa mãn) \\ x = - 1 (thỏa mãn) \end{array} \end{array}$

Vậy $x = 1$ hoặc $x = - 1$ .

b) Điều kiện:

$\begin{array}{l} {\begin{cases} x + 1 \neq 0 \\ 2 - \frac{4}{x + 1} \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x \neq - 1 \\ \frac{4}{x + 1} \neq 2 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} x \neq - 1 \\ 2 (x + 1) \neq 4 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x \neq - 1 \\ x + 1 \neq 2 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x \neq 1 \\ x \neq - 1 \end{cases} \end{array}$

Vậy $\frac{1 + x^{2} - \frac{4}{x + 1}}{2 - \frac{4}{x + 1}}$ có điều kiện là $x \neq 1$ và $x \neq - 1$

Để biểu thức đã cho có giá trị bằng 1 thì

$\frac{1 + x^{2} - \frac{4}{x + 1}}{2 - \frac{4}{x + 1}} = 1$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 + x^{2} - \frac{4}{x + 1} = 2 - \frac{4}{x + 1} \\ \Leftrightarrow 1 + x^{2} - \frac{4}{x - 1} - 2 + \frac{4}{x - 1} = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} = 1 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 1 \end{array} \end{array}$