SBT Toán 8 Bài 9: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức | Giải SBT Toán lớp 8

468

Toptailieu.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 8 Bài 9: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 9: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức

Bài 44 Trang 36 SBT Toán 8 Tập 1: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức

a) 12+x1xx+2

b) x1x2x+1x+1x2

c) 12yx+y2x21x1y

d) x41+34xx26x+12

Phương pháp giải:

Vận dụng kiến thức về các quy tắc của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức.

Lời giải:

a) 12+x1xx+2=12+xx+2xx+2=12+x2x+2

=12+x(x+2)2=x2+2x+12=(x+1)22

b) x1x2x+1x+1x2 =(x1x2):(1+1x+1x2)=x31x2:x2+x+1x2

=x31x2.x2x2+x+1=(x1)(x2+x+1)x2x2(x2+x+1)=x1

c)12yx+y2x21x1y=(12yx+y2x2):(1x1y)=x22xy+y2x2:yxxy

=(xy)2x2.xyyx=(yx)2.xyx2(yx)=y(yx)x

d)  x41+34xx26x+12=(x41+34x):(x26x+12)=x24x+34x:x212+x2x

=x24x+34x.2xx212+x=x2x3x+34x.2xx23x+4x12

=x(x1)3(x1)4x.2xx(x3)+4(x3)

=(x1)(x3)4x.2x(x3)(x+4)=(x1)(x3).2x4x(x3)(x+4)=x12(x+4)

Bài 45 Trang 36 SBT Toán 8 Tập 1: Thực hiện các phép tính sau : 

a) (5x+yx25xy+5xyx2+5xy).x225y2x2+y2

b) 4xyy2x2:(1x2+2xy+y21x2y2)

c) [1(2xy)2+24x2y2+1(2x+y)2].4x2+4xy+y216x

d) (2x+24x2+4x+4):(2x24+12x)

Phương pháp giải:

Vận dụng kiến thức về các quy tắc của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức.

Lời giải:

a) (5x+yx25xy+5xyx2+5xy).x225y2x2+y2 

=[5x+yx(x5y)+5xyx(x+5y)].x225y2x2+y2=(5x+y)(x+5y)+(5xy)(x5y)x(x5y)(x+5y).(x5y)(x+5y)x2+y2=5x2+25xy+xy+5y2+5x225xyxy+5y2x(x2+y2)=10x2+10y2x(x2+y2)=10(x2+y2)x(x2+y2)=10x

b) 4xyy2x2:(1x2+2xy+y21x2y2)

=4xyy2x2:[1(x+y)21(x+y)(xy)]=4xyy2x2:xy(x+y)(x+y)2(xy)=4xyy2x2:2y(x+y)2(xy) =4xyy2x2.(x+y)2(yx)2y=4xy(x+y)2(yx)(y+x)(yx).2y=2x(x+y)

c) [1(2xy)2+24x2y2+1(2x+y)2].4x2+4xy+y216x

=[1(2xy)2+2(2x+y)(2xy)+1(2x+y)2].(2x+y)216x=(2x+y)2+2(2x+y)(2xy)+(2xy)2(2x+y)2.(2xy)2.(2x+y)216x=[(2x+y)+(2xy)]216x(2xy)2=(4x)216x(2xy)2=16x216x(2xy)2=x(2xy)2 

d) (2x+24x2+4x+4):(2x24+12x)

=[2x+24(x+2)2]:[2(x+2)(x2)1x2]=2(x+2)4(x+2)2:2(x+2)(x+2)(x2)=2x+44(x+2)2:2x2(x+2)(x2)=2x(x+2)2.(x+2)(x2)x=2(x2)(x+2)=2(2x)x+2

Bài 46 Trang 36 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm điều kiện của biến để giá trị của phân thức xác định :

a) 5x24x+220

b) 8x+2004

c) 4x3x7

d) x2x+z

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện của biến x để giá trị của mẫu thức khác 0

Lời giải:

a) Phân thức : 5x24x+220 xác định với mọi xR 

b) Phân thức : 8x+2004 xác định khi x+20040x2004

c) Phân thức : 4x3x7 xác định khi 3x70x73

d) Phân thức : x2x+z xác định khi x+z0xz

Bài 47 Trang 36 SBT Toán 8 Tập 1: Phân tích mẫu thức của các phân thức sau thành nhân tử rồi tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức xác định :

a) 52x3x2

b) 2x8x3+12x2+6x+1

c) 5x21624x+9x2

d) 3x24y2

Phương pháp giải:

- Phân tích mẫu thức thành nhân tử.

- Tìm điều kiện của x để giá trị của mẫu thức khác 0.

Lời giải:

a) 52x3x2=5x(23x) xác định khi x(23x)0. Khi đó :

{x023x0{x0x23

Vậy phân thức 52x3x2 xác định với x0  và x23

b) 2x8x3+12x2+6x+1 =2x(2x+1)3 xác định khi (2x+1)302x+10x12

c) 5x21624x+9x2=5x2422.4.3x+(3x)2=5x2(43x)2

Phân thức xác định khi (43x)2043x0x43

d) 3x24y2=3(x2y)(x+2y)  xác định khi (x2y)(x+2y)0

{x2y0x+2y0x±2y

Bài 48 Trang 37 SBT Toán 8 Tập 1: Có bạn nói rằng các phân thức 2x2x2,1x22x+1,5x3(x1)(x2+1)  có cùng điều kiện của biến x.

Điều đó đúng hay sai ? Vì sao ? 

Phương pháp giải:

Vận dụng kiến thức : Cách tìm điều kiện để giá trị của phân thức được xác định là tìm điều kiện của biến để giá trị của mẫu thức khác 0.

Lời giải:

Các phân thức  2x2x2,1x22x+1,5x3(x1)(x2+1) có cùng điều kiện biến x là đúng vì:

Phân thức 2x2x2  xác định khi 2x202x2x1;

Phân thức 1x22x+1=1(x1)2 xác định khi (x1)20x10x1;

Phân thức 5x3(x1)(x2+1) xác định khi (x1)(x2+1)0x10x1.

Chú ý: x2+11>0 với mọi x nên x2+10 với mọi x.


Bài 49 Trang 37 SBT Toán 8 Tập 1: a) Tìm một phân thức (một biến) mà giá trị của nó được xác định với mọi giá trị của biến khác các số nguyên lẻ lớn hơn 5 và nhỏ hơn 10.

b) Tìm một phân thức (một biến) mà giá trị của nó được xác định với mọi giá trị của biến khác ±2

Phương pháp giải:

- Xác định tập hợp của biến thỏa mãn điều kiện là số nguyên lẻ lớn hơn 5 và nhỏ hơn 10.

- Từ thông tin đề bài, viết phân thức thích hợp.

Lời giải:

a) Ta có tập hợp số nguyên lẻ lớn hơn 5 và nhỏ hơn 10 là  {7;9} 

Một phân thức một biến mà giá trị của nó xác định với mọi giá trị của biến khác các số nguyên lẻ lớn hơn 5 và nhỏ hơn 10, nghĩa là x7 và x9.

Suy ra: x70  và x90

Ta chọn phân thức là a(x7)(x9) (với a là một hằng số)

b) Phân thức một biến mà giá trị của nó được xác định với mọi giá trị của biến khác ±2 x2  và x2.

Suy ra: x20 và x+20, ta chọn phân thức:

a(x2)(x+2)=ax22 (với a là một hằng số).

Bài 50 Trang 37 SBT Toán 8 Tập 1: Đố. Đố em tìm được một cặp phân thức của biến x mà khi giá trị của phân thức này bằng 0 thì giá trị của phân thức kia không xác định và ngược lại khi giá trị của phân thức kia bằng 0 thì giá trị của phân thức này không xác định.

Em có thể tìm được bao nhiêu cặp phân thức như thế ?

Phương pháp giải: 

Cần tìm hai phân thức biến x; là nghịch đảo của nhau và không có giá trị nào của x để đồng thời cả tử và mẫu bằng 0

Lời giải: 

Hai phân thức có cùng biến x mà khi giá trị của phân thức này bằng 0 thì giá trị của phân thức kia không xác định và ngược lại. Ta chọn hai phân thức đó có cùng biến x là nghịch đảo của nhau và không có giá trị nào của x để tử và mẫu đồng thời bằng 0.

Chẳng hạn: 2x+12x1  và 2x12x+1

Có vô số cặp phân thức như thế.

Bài 51 Trang 37 SBT Toán 8 Tập 1: Tính giá trị của các biểu thức:

a) 3x2x9x26x+1 tại x=8

b) x2+3x+2x3+2x2x2 tại x=1000001

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện để giá trị của phân thức xác định.

- Biến đổi phân thức về dạng đơn giản.

- Thay giá trị của biến đã cho vào phân thức rồi tìm giá trị.

Lời giải:

a) Điều kiện: 9x26x+10(3x1)20x13.

Ta có x=813

Rút gọn: 

3x2x9x26x+1=x(3x1)(3x1)2=x3x1

Thay x=8 vào biểu thức ta có:

83.(8)1=8241=825

b) Ta có: x3+2x2x2=x2(x+2)(x+2)=(x+2)(x21)=(x+2)(x1)(x+1)

Điều kiện: x3+2x2x20(x+2)(x1)(x+1)0x2 và x±1

Suy ra x=1000001 thỏa mãn điều kiện.

Rút gọn:

x2+3x+2x3+2x2x2=x2+2x+x+2(x+2)(x1)(x+1)=(x+2)(x+1)(x+2)(x+1)(x1)=1x1

Thay x=1000001 vào biểu thức ta có: 110000011=11000000.

Bài 52 Trang 37 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm điều kiện của các biến trong mỗi phân thức sau đây. Chứng minh rằng khi giá trị của phân thức xác định thì giá trị đó không phụ thuộc vào các biến x và y (nghĩa là chứng tỏ rằng có thể biến đổi phân thức đã cho thành một biểu thức không chứa x và y:

a) x2y2(x+y)(6x6y)

b) 2ax2x3y+3ay4ax+6x+9y+6ay ( a là hằng số khác )

Phương pháp giải:

Biến đổi phân thức về thành biểu thức không chứa biến.

Lời giải:

a) x2y2(x+y)(6x6y) xác định khi (x+y)(6x6y)0{x+y06x6y0

{xyxy0{xyxy

Với điều kiện trên ta có: 

x2y2(x+y)(6x6y)=(x+y)(xy)(x+y)6(xy)=16

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào x,y.

b) 2ax2x3y+3ay4ax+6x+9y+6ay xác định khi 4ax+6x+9y+6ay0

2x(2a+3)+3y(2a+3)=(2a+3)(2x+3y)0

Vì a322a+302x+3y0x32y

Với điều kiện : x32y và a32 ta có:

2ax2x3y+3ay4ax+6x+9y+6ay=2x(a1)+3y(a1)(2a+3)(2x+3y)=(a1)(2x+3y)(2a+3)(2x+3y)=a12a+3

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào x,y.

Bài 53 Trang 37 SBT Toán 8 Tập 1: Đố. Đố em tìm được giá trị của x để giá trị của phân thức 4x24x3+x4x32x2 bằng:

a) -2

b) 2

c) 0

Phương pháp giải:

- Biến đổi phân thức về dạng đơn giản. 

- Thay giá trị phân thức bằng giá trị đã cho rồi giải để tìm giá trị của x.

Lời giải: 

a) Điều kiện: x32x2=x2(x2)0x0 và x2

Vậy điều kiện là: x0,x2 

Ta có: 4x24x3+x4x32x2=x2(x24x+4)x2(x2)=x2(x2)2x2(x2)=x2

a) Nếu phân thức đã cho bằng 2 thì biểu thức x2 cũng có giá trị bằng 2

Suy ra: x2=2 x=0 không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của x để phân thức bằng 2.

b) Nếu phân thức đã cho bằng 2 thì biểu thức x2 cũng có giá trị bằng 2

Suy ra:

x2=2 x=4 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy với x=4 thì phân thức có giá trị bằng 2.

c) Nếu phân thức có giá trị bằng 0 thì biểu thức x2 cũng có giá trị bằng 0

Suy ra :

x2=0 x=2 mà x=2 không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của x để phân thức có giá trị bằng 0.

Bài 52 Trang 37 SBT Toán 8 Tập 1: Cho biểu thức x2+2x2x+10+x5x+505x2x(x+5)

a) Tìm điều kiện của biến x để giá trị của biểu thức được xác định.

b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 1

c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 12

d) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 3

Phương pháp giải:

 - Tìm điều kiện của biến để giá trị của mẫu thức khác 0.

- Biến đổi đơn thức về dạng đơn giản.

- Tìm giá trị của x sao cho giá trị tương ứng của biểu thức bằng số đã cho.

Lời giải:

a) Biểu thức xác định khi 2x+100,x0 và 2x(x+5)0

x0 và x5

Điều kiện: x0 và x5 

Ta có:

x2+2x2x+10+x5x+505x2x(x+5)=x2+2x2(x+5)+x5x+505x2x(x+5)

=x(x2+2x)2x(x+5)+2(x5)(x+5)2x(x+5)+505x2x(x+5)=x3+2x22x(x+5)+2x2502x(x+5)+505x2x(x+5)

=x3+2x2+2x250+505x2x(x+5)=x3+4x25x2x(x+5)

=x(x2+4x5)2x(x+5)

=x(x2x+5x5)2x(x+5)

=x(x1)+5(x1)2(x+5)

=(x1)(x+5)2(x+5)=x12

b) Nếu giá trị của phân thức bằng 1 thì giá trị của biểu thức x12 cũng bằng 1

Suy ra: x12=1x1=2x=3 mà x=3 thỏa mãn điều kiện.

Vậy x=3 thì giá trị của phân thức bằng 1

c) Nếu giá trị của phân thức bằng 12 thì giá trị của biểu thức x12 cùng bằng  12

Suy ra: x12=12x1=1x=0 mà x=0 không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của x để phân thức bằng 12.

d) Nếu giá trị của phân thức bằng 3 thì giá trị của biểu thức x12 cũng bằng 3

Suy ra: x12=3x1=6x=5 mà x=5 không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của x để phân thức bằng 3.

Bài 55 Trang 38 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm x, biết :

a)2x+1x22x+12x+3x21=0

b) 3x36x9x2+xx+3=0

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

- Biến đổi phân thức về dạng đơn giản.

- Tìm giá trị của x thỏa mãn điều kiện đề bài.

Lời giải:

a) 2x+1x22x+12x+3x21=0 (điều kiện x±1)

2x+1(x1)22x+3(x+1)(x1)=0(2x+1)(x+1)(2x+3)(x1)(x+1)(x1)2=02x2+2x+x+12x2+2x3x+3(x+1)(x1)2=02x+4(x+1)(x1)2=0

Biểu thức bằng 0 khi tử bằng 0 và mẫu khác 0.

2x+4=0x=2 thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy x=2

b) Điều kiện: x±3

3x36x9x2+xx+3=03x3+6x(x3)(x+3)+xx+3=03(x+3)+6x+x(x3)(x3)(x+3)=03x+9+6x+x23x(x3)(x+3)=0x2+6x+9(x3)(x+3)=0(x+3)2(x3)(x+3)=0x+3x3=0

Biểu thức bằng 0 khi tử bằng 0 và mẫu khác 0.  

x+3=0x=3

x=3 không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của x để biểu thức bằng 0.

Bài 56 Trang 38 SBT Toán 8 Tập 1: Với giá trị nào của x thì giá trị của mỗi biểu thức sau bằng 0 :

a) xx24+3(x+2)2

b) 1x2+x+1+x1 

Phương pháp giải:

- Biến đổi phân thức về dạng đơn giản.

- Cho giá trị biểu thức bằng 0; giải rồi tìm giá trị của x.

Lời giải:

a) Điều kiện:

{x240(x+2)20{(x2)(x+2)0x+20{x20x+20{x2x2

x±2

Ta có: 

xx24+3(x+2)2=x(x+2)(x2)+3(x+2)2=x(x+2)+3(x2)(x2)(x+2)2

=x2+2x+3x6(x2)(x+2)2

=x2+5x6(x2)(x+2)2

=x2x+6x6(x2)(x+2)2=x(x1)+6(x1)(x2)(x+2)2=(x1)(x+6)(x2)(x+2)2

Biểu thức bằng 0 khi (x1)(x+6)=0 

Ta có: (x1)(x+6)=0

x1=0 hoặc x+6=0

x=1 (thỏa mãn) hoặc x=6 (thỏa mãn)

Vậy với x=1 hoặc x=6 thì giá trị của biểu thức bằng 0.

b) - Biến đổi phân thức về dạng đơn giản.

- Cho giá trị biểu thức bằng 0; giải rồi tìm giá trị của x.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: x2+x+10. 

Ta có: x2+x+1=x2+2.x.12+14+34=(x+12)2+340 với mọi x.

Do đó: 1x2+x+1+x1=1+(x1)(x2+x+1)x2+x+1=1+x31x2+x+1=x3x2+x+1

Biểu thức bằng 0 khi x3=0 x=0

Vậy với x=0 thì giá trị của biểu thức bằng 0

Bài 57 Trang 38 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm giá trị nguyên của biến x để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên :

a) 2x3 

b) 3x+2

c) 3x34x2+x1x4

d) 3x2x+13x+2

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện xác định của các phân thức. 

- Biến đổi biểu thức về dạng đơn giản.

- Để phân thức có giá trị là một số nguyên thì tử thức phải chia hết cho mẫu thức.

- Vận dụng kiến thức về ước đã học, tìm giá trị của x.

Lời giải:

a) 2x3 là một số nguyên nên 2(x3) và x3

x3Ư(2)={2;1;1;2} 

   x3=2x=1(tm)x3=1x=2(tm)x3=1x=4(tm)x3=2x=5(tm)

Vậy với x{1;2;4;5} thì 2x3 là một số nguyên.

b) 3x+2 là một số nguyên nên 3(x+2) và x2

x+2Ư(3)={3;1;1;3}

    x+2=3x=5(tm)x+2=1x=3(tm)x+2=1x=1(tm)x+2=3x=1(tm) 

Vậy với x{5;3;1;1} thì 3x+2 là một số nguyên

c) Đặt phép tính chia:

Từ phép chia trên ta có:

3x34x2+x1x4=(3x2+8x+33)(x4)+131x4=3x2+8x+33+131x4

Với x là số nguyên ta có : 3x2+8x+33 là số nguyên

Vậy muốn biểu thức là số nguyên thì 131(x4) và x4

x4Ư(131)={131;1;1;131}

  x4=131x=127(tm)x4=1x=3(tm)x4=1x=5(tm)x4=131x=135(tm)

Vậy x{127;3;5;135} thì 3x34x2+x1x4 là số nguyên 

d)Ta có: 

3x2x+13x+2

=3x2+2x3x2+33x+2=x(3x+2)(3x+2)+33x+2

=(3x+2)(x1)+33x+2=x1+33x+2 (với x32 )

x là số nguyên nên x1 là số nguyên.

Vậy muốn biểu thức đã cho là số nguyên thì 3(3x+2) và x32

3x+2Ư(3)={3;1;1;3}

3x+2=3x=53 (loại)

3x+2=1x=1(tm)

3x+2=1x=13 (loại)

3x+2=3x=13 (loại)

Vậy với x=1 thì biểu thức 3x2x+13x+2 có giá trị nguyên.

Bài 9.1 Trang 39 SBT Toán 8 Tập 1: Biết rằng Q=x26x+9x29=(x3)2(x3)(x+3)=x3x+3 . 

Hãy tính giá trị của biểu thức Q. Câu trả lời nào sau đây là sai ?

A. Giá trị của Q tại x=4 là 434+3=17

B. Giá trị của Q tại x=1 là 131+3=12

C. Giá trị của Q tại x=3 là 333+3=0

D. Giá trị của Q tại x=3 không xác định.

Phương pháp giải:

 - Tìm điều kiện xác định của Q

- Biến đổi biểu thức về dạng đơn giản.

- Kiểm tra các đáp án đã cho rồi chọn câu sai.

Lời giải:

Điều kiện: x290x29x±3

Ta có: Q=x26x+9x29=(x3)2(x3)(x+3)=x3x+3

Giá trị của Q tại x=3 là 333+3=0 sai vì với x=3 thì phân thức đã cho không xác định. 

Bài 9.2 Trang 39 SBT Toán 8 Tập 1: Với mỗi biểu thức sau, hãy tìm giá trị của x để giá trị tương ứng của biểu thức bằng 1 :

a) 1+x2+1x2+1x

b) 1+x24x+124x+1

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện xác định của phân thức.

- Cho giá trị biểu thức bằng 1; rồi biến đổi biểu thức về dạng đơn giản.

- Tìm giá trị của x.

Lời giải:

a) 1+x2+1x2+1x điều kiện x0 và  x12

Để giá trị của phân thức đã cho bằng 1 thì: 

1+x2+1x2+1x=1

(1+x2+1x)=1.(2+1x)1+x2+1x21x=0x21=0x2=1[x=1(thỏa mãn)x=1(thỏa mãn)

Vậy x=1 hoặc x=1.

b) Điều kiện: 

{x+1024x+10{x14x+12{x12(x+1)4{x1x+12{x1x1

Vậy 1+x24x+124x+1  có điều kiện là x1 và x1

Để biểu thức đã cho có giá trị bằng 1 thì 

1+x24x+124x+1=1

1+x24x+1=24x+11+x24x12+4x1=0x21=0x2=1[x=1x=1

Mà x=1 và x=1 không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của x để giá trị tương ứng của biểu thức bằng 1.

Đánh giá

0

0 đánh giá