SBT Toán 8 Bài 7: Phép nhân các phân thức đại số

SBT Toán 8 Bài 7: Phép nhân các phân thức đại số | Giải SBT Toán lớp 8

Nghiêm Thị Ngà Ngày: 19-05-2022 Lớp 8

393

Toptailieu.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 8 Bài 7: Phép nhân các phân thức đại số chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 7: Phép nhân các phân thức đại số

Bài 29 Trang 32 SBT Toán 8 Tập 1: Làm tính nhân phân thức :

a) $\begin{aligned} \frac{30 x^{3}}{11 y^{2}} . \frac{121 y^{5}}{25 x} \end{aligned}$

b) $\begin{aligned} \frac{24 y^{5}}{7 x^{2}} . (- \frac{21 x}{12 y^{3}}) \end{aligned}$

c) $\begin{aligned} (- \frac{18 y^{3}}{25 x^{4}}) . (- \frac{15 x^{2}}{9 y^{3}}) \end{aligned}$

d) $\begin{aligned} \frac{4 x + 8}{{(x - 10)}^{3}} . \frac{2 x - 20}{{(x + 2)}^{2}} \end{aligned}$

e) $\begin{aligned} \frac{2 x^{2} - 20 x + 50}{3 x + 3} . \frac{x^{2} - 1}{4 {(x - 5)}^{3}} \end{aligned}$

Phương pháp giải:

Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.

Lời giải:

$\begin{aligned} \frac{30 x^{3}}{11 y^{2}} . \frac{121 y^{5}}{25 x} = \frac{30 x^{3} .121 y^{5}}{11 y^{2} .25 x} \\ = \frac{6 x^{2} .11 y^{3}}{1.5} = \frac{66 x^{2} y^{3}}{5} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{24 y^{5}}{7 x^{2}} . (- \frac{21 x}{12 y^{3}}) = \frac{24 y^{5} . (- 21 x)}{7 x^{2} .12 y^{3}} \\ = \frac{2 y^{2} . (- 3)}{x} = - \frac{6 y^{2}}{x} \end{aligned}$

$\begin{aligned} (- \frac{18 y^{3}}{25 x^{4}}) . (- \frac{15 x^{2}}{9 y^{3}}) \\ = \frac{(- 18 y^{3}) . (- 15 x^{2})}{25 x^{4} .9 y^{3}} \\ = \frac{- 2. (- 3)}{5 x^{2} .1} = \frac{6}{5 x^{2}} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{4 x + 8}{{(x - 10)}^{3}} . \frac{2 x - 20}{{(x + 2)}^{2}} \\ = \frac{4 (x + 2) .2 (x - 10)}{{(x - 10)}^{3} {(x + 2)}^{2}} \\ = \frac{8}{{(x - 10)}^{2} (x + 2)} \end{aligned}$ ]

$\begin{aligned} \frac{2 x^{2} - 20 x + 50}{3 x + 3} . \frac{x^{2} - 1}{4 {(x - 5)}^{3}} \\ = \frac{2 (x^{2} - 10 x + 25)}{3 (x + 1)} . \frac{(x - 1) (x + 1)}{4 {(x - 5)}^{3}} \\ = \frac{2 (x^{2} - 10 x + 25) (x + 1) (x - 1)}{3 (x + 1) .4 {(x - 5)}^{3}} \\ = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 1)}{6 {(x - 5)}^{3}} = \frac{x - 1}{6 (x - 5)} \end{aligned}$

Bài 30 Trang 32 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức (chú ý dùng quy tắc đổi dấu để thấy nhân tử chung) :

a) $\frac{x + 3}{x^{2} - 4} . \frac{8 - 12 x + 6 x^{2} - x^{3}}{9 x + 27}$

b) $\frac{6 x - 3}{5 x^{2} + x} . \frac{25 x^{2} + 10 x + 1}{1 - 8 x^{3}}$

c) $\frac{3 x^{2} - x}{x^{2} - 1} . \frac{1 - x^{4}}{{(1 - 3 x)}^{3}}$

Phương pháp giải:

- Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.

- Muốn rút gọn một phân thức ta có thể :

+ Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung;

+ Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Lời giải:

a) $\frac{x + 3}{x^{2} - 4} . \frac{8 - 12 x + 6 x^{2} - x^{3}}{9 x + 27}$ $= \frac{(x + 3) (8 - 12 x + 6 x^{2} - x^{3})}{(x + 2) (x - 2) .9 (x + 3)}$

$= \frac{2^{3} - {3.2}^{2} . x + 3.2 x^{2} - x^{3}}{9 (x + 2) (x - 2)}$ $= \frac{{(2 - x)}^{3}}{- 9 (x + 2) (2 - x)} = - \frac{{(2 - x)}^{2}}{9 (x + 2)}$

b) $\frac{6 x - 3}{5 x^{2} + x} . \frac{25 x^{2} + 10 x + 1}{1 - 8 x^{3}}$ $= \frac{3 (2 x - 1) {(5 x + 1)}^{2}}{x (5 x + 1) [1 - {(2 x)}^{3}]}$

$= \frac{3 (2 x - 1) (5 x + 1)}{x (1 - 2 x) (1 + 2 x + 4 x^{2})}$ $= - \frac{3 (2 x - 1) (5 x + 1)}{x (2 x - 1) (1 + 2 x + 4 x^{2})}$ $= - \frac{3 (5 x + 1)}{x (1 + 2 x + 4 x^{2})}$

c) $\frac{3 x^{2} - x}{x^{2} - 1} . \frac{1 - x^{4}}{{(1 - 3 x)}^{3}}$ $= \frac{x (3 x - 1) (1 - x^{4})}{(x^{2} - 1) {(1 - 3 x)}^{3}}$

$= \frac{x (3 x - 1) (x^{2} - 1) (x^{2} + 1)}{(x^{2} - 1) {(3 x - 1)}^{3}}$ $= \frac{x (x^{2} + 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Bài 31 Trang 32 SBT Toán 8 Tập 1: Phân tích các tử thức và các mẫu thức (nếu cần thì dùng phương pháp thêm và bớt cùng một số hạng hoặc tách một số hạng thành hai số hạng) rồi rút gọn biểu thức :

a) $\frac{x - 2}{x + 1} . \frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} - 5 x + 6}$

b) $\frac{x + 1}{x^{2} - 2 x - 8} . \frac{4 - x}{x^{2} + x}$

c) $\frac{x + 2}{4 x + 24} . \frac{x^{2} - 36}{x^{2} + x - 2}$

Phương pháp giải:

Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, nhân các mẫu thức với nhau.

Với $B, D \neq 0$ ta có: $\frac{A}{B} . \frac{C}{D} = \frac{A . C}{B . D}$

Lời giải:

$\frac{x - 2}{x + 1} . \frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} - 5 x + 6}$ $= \frac{(x - 2) (x^{2} - 2 x - 3)}{(x + 1) (x^{2} - 5 x + 6)}$ $= \frac{(x - 2) (x^{2} - 3 x + x - 3)}{(x + 1) (x^{2} - 2 x - 3 x + 6)}$

$= \frac{(x - 2) [x (x - 3) + (x - 3)]}{(x + 1) [x (x - 2) - 3 (x - 2)]}$ $= \frac{(x - 2) (x - 3) (x + 1)}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)} = 1$

b) $\frac{x + 1}{x^{2} - 2 x - 8} . \frac{4 - x}{x^{2} + x}$ $= \frac{(x + 1) (4 - x)}{(x^{2} - 2 x - 8) x (x + 1)}$ $= \frac{4 - x}{(x^{2} - 4 x + 2 x - 8) x}$

$= \frac{4 - x}{[x (x - 4) + 2 (x - 4)] x}$ $= \frac{4 - x}{x (x - 4) (x + 2)}$ $= - \frac{x - 4}{x (x - 4) (x + 2)} = - \frac{1}{x (x + 2)}$

c) $\frac{x + 2}{4 x + 24} . \frac{x^{2} - 36}{x^{2} + x - 2}$ $= \frac{(x + 2) (x + 6) (x - 6)}{4 (x + 6) (x^{2} + x - 2)}$ $= \frac{(x + 2) (x - 6)}{4 (x^{2} + 2 x - x - 2)}$

$= \frac{(x + 2) (x - 6)}{4 [x (x + 2) - (x + 2)]}$ $= \frac{(x + 2) (x - 6)}{4 (x + 2) (x - 1)} = \frac{x - 6}{4 (x - 1)}$

Bài 32 Trang 33 SBT Toán 8 Tập 1: Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để rút gọn biểu thức :

a) $\frac{x^{3}}{x + 1975} . \frac{2 x + 1954}{x + 1}$ $+ \frac{x^{3}}{x + 1975} . \frac{21 - x}{x + 1}$

b) $\frac{19 x + 8}{x - 7} . \frac{5 x - 9}{x + 1945}$ $- \frac{19 x + 8}{x - 7} . \frac{4 x - 2}{x + 1945}$

Phương pháp giải:

- Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân dối với phép cộng:

$\frac{A}{B} (\frac{C}{D} + \frac{E}{F}) = \frac{A}{B} . \frac{C}{D} + \frac{A}{B} . \frac{E}{F}$

- Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, nhân các mẫu thức với nhau.

Lời giải:

$\frac{x^{3}}{x + 1975} . \frac{2 x + 1954}{x + 1}$ $+ \frac{x^{3}}{x + 1975} . \frac{21 - x}{x + 1}$

$= \frac{x^{3}}{x + 1975} . (\frac{2 x + 1954}{x + 1} + \frac{21 - x}{x + 1})$

$= \frac{x^{3}}{x + 1975} . \frac{x + 1975}{x + 1}$ $= \frac{x^{3} (x + 1975)}{(x + 1975) (x + 1)}$ $= \frac{x^{3}}{x + 1}$

b) $\frac{19 x + 8}{x - 7} . \frac{5 x - 9}{x + 1945}$ $- \frac{19 x + 8}{x - 7} . \frac{4 x - 2}{x + 1945}$ $= \frac{19 x + 8}{x - 7} . (\frac{5 x - 9}{x + 1945} - \frac{4 x - 2}{x + 1945})$

$= \frac{19 x + 8}{x - 7} . (\frac{5 x - 9}{x + 1945} + \frac{2 - 4 x}{x + 1945})$ $= \frac{19 x + 8}{x - 7} . \frac{x - 7}{x + 1945}$

$= \frac{(19 x + 8) (x - 7)}{(x - 7) (x + 1945)}$ $= \frac{19 x + 8}{x + 1945}$

Bài 33 Trang 33 SBT Toán 8 Tập 1: Tính tích $x, y$ , biết rằng $x$ và $y$ thỏa mãn các đẳng thức sau ( $a, b$ là các hằng số)

a) Chú ý rằng: $a^{2} + a b + b^{2} = a^{2} + 2 a . \frac{b}{2} + \frac{b^{2}}{4} + \frac{3 b^{2}}{4}$ $= {(a + \frac{b}{2})}^{2} + \frac{3 b^{2}}{4} \geq 0$ .

Do đó nếu $a \neq 0$ hoặc $b \neq 0$ thì $a^{2} + a b + b^{2} > 0$

$(4 a^{2} - 9) x = 4 a + 4$ với $a \neq \pm \frac{3}{2}$ và $(3 a^{3} + 3) y = 6 a^{2} + 9 a$ với $a \neq - 1$ .

b) $(2 a^{3} - 2 b^{3}) x - 3 b = 3 a$ với $a \neq b$ và $(6 a + 6 b) y = {(a - b)}^{2}$ với $a \neq - b$ .

Chú ý rằng: $a^{2} + a b + b^{2} = a^{2} + 2 a . \frac{b}{2} + \frac{b^{2}}{4} + \frac{3 b^{2}}{4}$ $= {(a + \frac{b}{2})}^{2} + \frac{3 b^{2}}{4} \geq 0$ .

Do đó nếu $a \neq 0$ hoặc $b \neq 0$ thì $a^{2} + a b + b^{2} > 0$

Phương pháp giải:

Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, nhân các mẫu thức với nhau.

Với $B, D \neq 0$ ta có: $\frac{A}{B} . \frac{C}{D} = \frac{A . C}{B . D}$

Lời giải:

a) Vì $a \neq \pm \frac{3}{2}$ nên $4 a^{2} - 9 \neq 0$ $\Rightarrow x = \frac{4 a + 4}{4 a^{2} - 9}$

Vì $a \neq - 1$ nên $3 a^{3} + 3 \neq 0$ $\Rightarrow y = \frac{6 a^{2} + 9 a}{3 a^{3} + 3}$

Do đó:

$x y = \frac{4 a + 4}{4 a^{2} - 9} . \frac{6 a^{2} + 9 a}{3 a^{3} + 3}$

$= \frac{(4 a + 4) . (6 a^{2} + 9 a)}{(4 a^{2} - 9) (3 a^{3} + 3)}$

$= \frac{4 (a + 1) .3 a (2 a + 3)}{(2 a + 3) (2 a - 3) .3 (a^{3} + 1)}$

$= \frac{4 a (a + 1)}{(2 a - 3) (a + 1) (a^{2} - a + 1)}$ $= \frac{4 a}{(2 a - 3) (a^{2} - a + 1)}$

b) Vì $a \neq b$ nên $2 a^{3} - 2 b^{3} \neq 0$ $\Rightarrow x = \frac{3 a + 3 b}{2 a^{3} - 2 b^{3}}$

Vì $a \neq - b$ nên $6 a + 6 b \neq 0$ $\Rightarrow y = \frac{{(a - b)}^{2}}{6 a + 6 b}$

Do đó :

$x y = \frac{3 a + 3 b}{2 a^{3} - 2 b^{3}} . \frac{{(a - b)}^{2}}{6 a + 6 b}$ $= \frac{3 (a + b) {(a - b)}^{2}}{2 (a^{3} - b^{3}) .6 (a + b)}$

$= \frac{{(a - b)}^{2}}{4 (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})}$ $= \frac{a - b}{4 (a^{2} + a b + b^{2})}$

Bài 34 Trang 33 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức :

a) $\frac{x^{4} + 15 x + 7}{2 x^{3} + 2} . \frac{x}{14 x^{2} + 1} .$ $\frac{4 x^{3} + 4}{x^{4} + 15 x + 7}$

b) $\frac{x^{7} + 3 x^{2} + 2}{x^{3} - 1} . \frac{3 x}{x + 1} . \frac{x^{2} + x + 1}{x^{7} + 3 x^{2} + 2}$

Phương pháp giải:

- Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, nhân các mẫu thức với nhau.

- Muốn rút gọn một phân thức ta có thể :

+ Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung;

+ Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Lời giải:

$\frac{x^{4} + 15 x + 7}{2 x^{3} + 2} . \frac{x}{14 x^{2} + 1} .$ $\frac{4 x^{3} + 4}{x^{4} + 15 x + 7}$

$= \frac{(x^{4} + 15 x + 7) . x . (4 x^{3} + 4)}{(2 x^{3} + 2) . (14 x^{2} + 1) . (x^{4} + 15 x + 7)}$

$= \frac{4 x (x^{3} + 1)}{2 (x^{3} + 1) (14 x^{2} + 1)} = \frac{2 x}{14 x^{2} + 1}$

b) $\frac{x^{7} + 3 x^{2} + 2}{x^{3} - 1} . \frac{3 x}{x + 1} . \frac{x^{2} + x + 1}{x^{7} + 3 x^{2} + 2}$ $= \frac{(x^{7} + 3 x^{2} + 2) .3 x . (x^{2} + x + 1)}{(x^{3} - 1) (x + 1) (x^{7} + 3 x^{2} + 2)}$

$= \frac{3 x (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1) (x + 1)}$ $= \frac{3 x}{(x - 1) (x + 1)}$

Bài 35 Trang 33 SBT Toán 8 Tập 1: Đố: Đố em điền được một phân thức vào chỗ trống trong đẳng thức sau :

$\frac{1}{x} . \frac{x}{x + 1} . \frac{x + 1}{x + 2} . \frac{x + 2}{x + 3} . \frac{x + 3}{x + 4}$ $. \frac{x + 4}{x + 5} . \frac{x + 5}{x + 6} . \frac{x + 6}{x + 7} . \frac{x + 7}{x + 8} . \frac{x + 8}{x + 9}$ $. \frac{x + 9}{x + 10} . . . . = 1$

Phương pháp giải:

Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.

Lời giải:

Ta có :

Lại có : $\frac{1}{x + 10} . (x + 10) = 1$

Vậy để $\frac{1}{x} . \frac{x}{x + 1} . \frac{x + 1}{x + 2} . \frac{x + 2}{x + 3} . \frac{x + 3}{x + 4}$ $. \frac{x + 4}{x + 5} . \frac{x + 5}{x + 6} . \frac{x + 6}{x + 7} . \frac{x + 7}{x + 8} . \frac{x + 8}{x + 9}$ $. \frac{x + 9}{x + 10} . . . . = 1$

thì phân thức thích hợp để điền vào chỗ chấm là $x + 10$ .

Bài 7.1 Trang 33 SBT Toán 8 Tập 1: Thực hiện các phép tính sau bằng hai cách : dùng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và không dùng tính chất này :