Bài toán tương giao của đồ thị hàm số: Phương pháp giải và bài tập hay, chi tiết

405

Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Bài toán tương giao của đồ thị hàm số hay, chi tiết, từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh nắm vững kiến thức về hàm số, từ đó học tốt môn Toán.

Bài toán tương giao của đồ thị hàm số: Phương pháp giải và bài tập hay, chi tiết

A. LÝ THUYẾT.

Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C1) và y = g (x) có đồ thị (C2) .

Phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là f (x) = g (x).

Khi đó:

- Số giao điểm của (C1) và (C2) bằng với số nghiệm của phương trình (1) .

- Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ x0 của giao điểm.

- Để tính tung độ y0 của giao điểm, ta thay hoành độ x0 vào y = f (x).

- Điểm M (x0 ; y0) là giao điểm của (C1) và (C2).

B. CÁC DẠNG TOÁN HAY GẶP VÀ CÁC KỸ NĂNG CẦN THIẾT.

Dạng 1. Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thị hàm số cho trước.

1. Phương pháp giải.

Cho 2 hàm số y=fx,y=gx có đồ thị lần lượt là (C) và (C’).

Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): fx=gx

Bước 2: Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và toạ độ giao điểm.

Bước 3: Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và (C’). Thay trở lại y=fx(y=g(x)), ta sẽ được toạ độ giao điểm.

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. Biết rằng đường thẳng y=2x+2 cắt đồ thị hàm số y=x3+x+2 tại điểm duy nhất có toạ độ x0;y0. Tìm y0.

 Ay0=4

By0=0

Cy0=2

Dy0=-1.

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

 2x+2=x3+x+2

x3+3x=0x=0y=2

Chọn C.

Ví dụ 2. Biết rằng đồ thị hàm số y=2x+1x và đồ thị hàm số y=x2+x+1 cắt nhau tại hai điểm. Kí hiệu x1;y1, x2;y2 là toạ độ của hai điểm đó. Tìm y1+y2.

A. y1+y2=4.

B. y1+y2=6.

C. y1+y2=0.

D. y1+y2=2.

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

Bài toán tương giao của đồ thị hàm số và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Chọn A.

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1. Cho hàm số y=x2x2+1 có đồ thị (C). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. (C) không cắt trục hoành.

B. (C) cắt trục hoành tại một điểm.

C. (C) cắt trục hoành tại hai điểm.

D. (C) cắt trục hoành tại ba điểm.

Câu 2. Biết rằng đồ thị hàm số y=x33x2+2x1 cắt đồ thị hàm số  y=x23x+1tại hai điểm phân biệt A và B. Tính độ dài đoạn thẳng AB,

A. AB=3.

B. AB=22.

C. AB=2.

D. AB=1.

Câu 3. Đồ thị hàm số y=x4+2x2 có bao nhiêu điểm chung với trục hoành?

A. 0

B.  2

C. 3

D.  4

Câu 4. Tìm toạ độ giao điểm M của đồ thị hàm số y=x20182x+1 với trục tung.

AM0;0

BM0;2018

CM2018;0

DM2018;2018.

Câu 5. Đường thẳng y=2x+2016 và đồ thị hàm số y=2x+1x1 có tất cả bao nhiêu điểm chung?

A. 0.

B. 1

C. 2.

D. 3.

Câu 6. Gọi M,N là giao điểm của đường thẳng d:y=x+1 và đồ thị C:y=2x+4x1. Tìm hoành độ trung điểm xI của đoạn thẳng  MN.

AxI=52

BxI=2

CxI=1

DxI=52

Câu 7. Tìm trên đồ thị hàm số y=x3+3x+2(C)  hai điểm A,B mà chúng đối xứng nhau qua điểm I1;3.

AA1;0 và B1;6.

BA0;2 và B2;4.      

CA1;4 và B3;2.

D. Không tồn tại.

Câu 8. Tìm trên đồ thị hàm số y=x33+x2+3x113 hai điểm phân biệtA,B  mà chúng đối xứng nhau qua trục tung.

AA3;163 và B3;163.

BA3;163 và B3;163.

CA163;3 và B163;3.

D. Không tồn tại.

Câu 9. Có bao nhiêu điểm M  thuộc đồ thị hàm số y=x+2x1 sao cho khoảng cách từ M đến trục Oy bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục Ox?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3.

Câu 10. Tìm trên đồ thị hàm số y=2x+1x1 những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến trục hoành.

AM2;1, M4;3.

BM0;1,M4;3

CM0;1,M3;2

DM2;1,M3;2

Câu 11. Số giao điểm của đồ thị hàm số y=x3x2 và đồ thị hàm số y=x2+5x là

A. 2

B. 3

C. 1

D. .0

Câu 12. Số giao điểm của đồ thị hàm số y=x2+3x và đồ thị hàm số y=x3x2 là

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

Đáp án

Bài toán tương giao của đồ thị hàm số và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Dạng 2. Tìm m để sự tương giao của các đồ thị hàm số thoả mãn điều kiện cho trước.

1. Phương pháp giải.

BÀI TOÁN 1: TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM BẬC 3.

Phương pháp 1: Bảng biến thiên (đồ thị hàm số).

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng Fx,m=0 (phương trình ẩn x tham số m)

+) Cô lập m đưa phương trình về dạng m=fx

+) Lập BBT cho hàm số y=fx.

+) Dựa và giả thiết và BBT từ đó suy ra m.

* Dấu hiệu: Sử dụng phương pháp bảng biến thiên khi m độc lập với x.

Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2.

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm Fx,m=0

+) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số). Giả sử x=x0 là 1 nghiệm của phương trình.

+) Phân tích:

Fx,m=0xx0.gx=0x=x0gx=0

(là gx=0  là phương trình bậc 2 ẩn x tham số m ).

+) Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc 2: gx=0.

Phương pháp 3: Cực trị.

* Nhận dạng: Khi bài toán không cô lập được m và cũng không nhẩm được nghiệm.

* Quy tắc:

- Lập phương trình hoành độ giao điểm Fx,m=0 (1). Xét hàm số y=Fx,m.

- Để (1) có đúng 1 nghiệm thì đồ thị y=Fx,m cắt trục hoành tại đúng 1 điểm. (2TH)

+ Hoặc hàm số luôn đơn điệu trên R  hàm số không có cực trị y'=0 hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép Δy'0

+ Hoặc hàm số có CĐ, CT và ycd.yct>0 (hình vẽ)

Bài toán tương giao của đồ thị hàm số và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

- Để (1) có đúng 3 nghiệm thì đồ thị y=Fx,m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt  Hàm số có cực đại, cực tiểu và ycd.yct<0.

Bài toán tương giao của đồ thị hàm số và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

- Để (1) có đúng 2 nghiệm thì đồ thị y=Fx,m cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt  Hàm số có cực đại, cực tiểu và ycd.yct=0.

Bài toán tương giao của đồ thị hàm số và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Mở rộng: Tìm m để đồ thị hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành 1 cấp số cộng.

1. Định lí Vi - ét.

*) Cho bậc 2: Cho phương trình ax2+bx+c=0 có 2 nghiệm x1,x2 thì ta có:

x1+x2=bax1x2=ca

*) Cho bậc 3: Cho phương trình ax3+bx2+cx+d=0 có 3 nghiệm x1,x2,x3 thì ta có:

x1+x2+x3=ba,x1x2+x2x3+x3x1=ca,x1x2x3=da

2.Tính chất của cấp số cộng: Cho 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số cộng thì:

a + c = 2b 

3. Phương pháp giải.

+) Điều kiện cần: x0=b3a là 1 nghiệm của phương trình. Từ đó thay vào phương trình để tìm m.

+) Điều kiện đủ: Thay m tìm được vào phương trình và kiểm tra.

BÀI TOÁN 2: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC.

Phương pháp : Cho hàm số y=ax+bcx+dC và đường thẳng d:y=px+q. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): ax+bcx+d=px+qFx,m=0 (phương trình bậc 2 ẩn x tham số m).

* Các câu hỏi thường gặp:

1. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt (1) có 2 nghiệm phân biệt khác dc

2. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh phải của (C)  (1) có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 và thỏa mãn :dc<x1<x2.

3. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh trái của (C) (1) có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 và thỏa mãn x1<x2<dc.

4. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh của (C)  (1) có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 và thỏa mãn x1<dc<x2.

5. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B thỏa mãn điều kiện hình học cho trước:

+) Đoạn thẳng AB = k

+) Tam giác ABC vuông.

+) Tam giác ABC có diện tích S0

 * Chú ý: Công thức tính khoảng cách:

Bài toán tương giao của đồ thị hàm số và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

BÀI TOÁN 3: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ BẬC 4.

Phương pháp 1: Nhẩm nghiệm.

- Nhẩm nghiệm: Giả sử x=x0 là một nghiệm của phương trình.

- Khi đó ta phân tích:

fx,m=x2x02gx=0x=±x0gx=0

- Dựa vào giả thiết xử lý phương trình bậc 2 : gx=0

Phương pháp 2: Ẩn phụ - tam thức bậc 2.

- Đặt t=x2,t0. Phương trình: at2+bt+c=0 (2).

- Để (1) có đúng 1 nghiệm thì (2) có nghiệm t1,t2 thỏa mãn: t1<0=t2t1=t2=0

- Để (1) có đúng 2 nghiệm thì (2) có nghiệm t1,t2 thỏa mãn: t1<0<t20<t1=t2

- Để (1) có đúng 3 nghiệm thì (2) có nghiệm t1,t2 thỏa mãn: 0=t1<t2

- Để (1) có đúng 4 nghiệm thì (2) có nghiệm t1,t2 thỏa mãn: 0<t1<t2

Mở rộng: tìm m để C:y=ax4+bx2+c cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

- Đặt t=x2,t0. Phương trình:  at2+bt+c=0(2).

- Để (1) cắt (Ox) tại 4 điểm phân biệt thì (2) phải có 2 nghiệm dương t1,t2t1<t2 thỏa mãn t2=9t1.

- Kết hợp t2=9t1 với định lý vi – ét tìm được m.

Giải nhanh : b2=1009ac

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y=x1x2+mx+m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

Am4;+.

Bm;1212;0.

C.  m0;4.

D.  m;1212;04;+.

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

x1x2+mx+m=0x=1x2+mx+m=0   1

Yêu cầu bài toán  Phương trình  có hai nghiệm phân biệt khác

112+m.1+m0Δ=m24m>0

2m+10mm4>0m12m>4m<0m>4m12m<0

Chọn D.

Ví dụ 2. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình x42x2+2017m=0 có đúng ba nghiệm.

Am=2015

Bm=2016

Cm=2017

Dm=2018.

Lời giải

Ta có 

x42x2+2017m=0x42x2=m2017

Xét hàm số y=x42x2, có

y'=4x34xy'=0x=0y0=0x=±1y±1=1.

Bài toán tương giao của đồ thị hàm số và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Yêu cầu bài toán :

m2017=yCDm2017=0m=2017.

Chọn D.

Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số  để đường thẳng d:y=2mx+m+1 cắt đồ thị hàm số y=2x22x+1(C)  tại hai điểm phân biệt.

A. m = 1

B. m =0

C. m >1

D.  m <0

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

2x22x+1=2mx+m+1 x122x2=2mx+m+12x+14mx2+4mx+m+3=0.*

Để  d cắt (C) tại hai điểm phân biệt  phương trình * có hai nghiệm phân biệt :

m0Δ'=12m>0m<0

Chọn D.

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1. Với giá trị nào của m thì đường thẳng y=m cắt đường cong y=x33x2 tại ba điểm phân biệt?

A4<m<0.

Bm>0.

Cm<4.

Dm<4m>0.

Câu 2. Cho phương trình 2x33x2+2212m=0. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt.

A13<m<4

B1<m<32

C0<m<12

D1<m<34.

Câu 3. Cho phương trình 2x33x2=2m+1. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt:

Am=12 hoặc m=1.  

Bm=12 hoặc m=52.

Cm=12 hoặc m=52.  

D. m=1 hoặc m=52.

Câu 4Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y=x3mx2+4 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt?

A.  m0.

Bm>3.

Cm3.

D.  m>0.

Câu 5. Phương trình x33mx+2=0 có một nghiệm duy nhất khi điều kiện của m là:

A0<m<1

Bm<1.

Cm0

Dm>1.

Câu 6Đồ thị hàm số y=x32m+1x2+3m+1xm1 luôn cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?

Ax=2

Bx=1

Cx=m

Dx=0.

Câu 7Tìm m để đường thẳng d:y=mx1+1 cắt đồ thị hàm số y=x3+3x1 tại ba điểm phân biệt A1;1, B, C.

Am0.

Bm<94.

C0m<94

Dm=0 hoặc  m>94.

Câu 8. Tìm m để đồ thị hàm số y=x33x2+2 cắt đường thẳng d:y=mx1 tại ba điểm phân biệt có hoành độ là x1, x2, x3 thỏa mãn x12+x22+x32=5.

Am>3.

Bm=3.

Cm>2.

Dm=2.

Câu 9. Đường thẳng d:y=x+4 cắt đồ thị hàm số y=x3+2mx2+m+3x+4 tại ba điểm phân biệt A(0;4), B, C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4, với M(1;3). Tập tất cả các giá trị của m nhận được là:

Am=2 hoặc m=3.

Bm=3.

C.  m=2 hoặc m=-3.

Dm=2 hoặc m=3.

Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y=mxm+1 cắt đồ thị của hàm số y=x33x2+x+2 tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho AB = BC

Am(;0)[4;+)

B m

Cm54;+

D. m(2;+)

Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y=mx cắt đồ thị của hàm số y=x33x2m+2 tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC.

A. m = 1

Bm(;1)

Cm(;+)

D. m(1;+)

Câu 12Với điều kiện nào của k thì phương trình 4x21x2=1k có bốn nghiệm phân biệt?

A0<k<2

Bk<3

C1<k<1

D0<k<1.

Câu 13Cho phương trình x42x2+2017m=0. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có đúng ba nghiệm ?

Am=2015

Bm=2016.                  

Cm=2017

Dm=2018.

Câu 14Đường thẳng y=m và đường cong y=x42x23 có hai điểm chung khi:

Am>3 hoặc m=4.

Bm<4 hoặc m=3.

C4<m<3

Dm>4.

Câu 15. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y=x+mx1 cắt đường thẳng y=2x+1 tại hai điểm phân biệt.

Am>32.

Bm1.

Cm>1.

D.  32<m1.

Câu 16Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y=x2m cắt đồ thị hàm số y=x3x+1 tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.

A0<m<1.

Bm<2m>5

C. 1<m<32.

D0<m<13.

Câu 17. Gọi d là đường thẳng đi qua A1;0 và có hệ số góc m. Tìm các giá trị của tham số m để d cắt đồ thị hàm số y=x+2x1 tại hai điểm phân biệt M, N thuộc hai nhánh của đồ thị.

Am0.

Bm>0.

Cm<0.

D0<m1.

Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số  để đường thẳng d:y=x+m cắt đồ thị hàm số y=2x+1x+1 tại hai điểm A, B sao cho AB=22.

Am=1;m=2

Bm=1;m=7.

Cm=7;m=5

Dm=1;m=1.

Câu 19. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d:y=xm+2 cắt đồ thị hàm số y=2xx1 tại hai điểm phân biệt A và B sao cho độ dài AB ngắn nhất.

Am=3

Bm=1

Cm=3

Dm=1.

Câu 20Tìm tất cả các giá trị của tham số k sao cho đường thẳng d:y=x+2k+1 cắt đồ thị hàm số y=2x+1x+1 tại hai điểm phân biệt A và B sao cho các khoảng cách từ A và B đến trục hoành là bằng nhau.

Ak=1

Bk=3

Ck=4

Dk=2.

Câu 21Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d:y=x+m cắt đồ thị hàm số y=2x1x1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O(0;0).

Am=2.

B. m=12.

Cm=0.

D.  m=1.

Câu 22Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d:y=3x+m cắt đồ thị hàm số y=2x+1x1 tại hai điểm A và B phân biệt sao cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng Δ:x2y2=0 , với O là gốc tọa độ.

Am=2

Bm=15.

C.  m=115.

D.  m=0.

Câu 23Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d:y=2x+3m cắt đồ thị hàm số y=x+3x+2 tại hai điểm phân biệt A và B sao cho OA.OB=4, với O là gốc tọa độ.

Am=72.

Bm=712.

Cm=712.

D m=72.

Câu 24. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng d:y=x+m cắt đồ thị hàm số C:y=2x+1x1 tại hai điểm phân biệt M và N sao cho diện tích tam giác IMN bằng 4, với I là tâm đối xứng của (C).

Am=3;m=5

Bm=3;m=3

Cm=3;m=1

Dm=3;m=1.

Câu 25. Cho hàm số y=fx xác định trên \1 và liên tục trên từng khoảng xác định, có bảng biến thiên như sau:

Bài toán tương giao của đồ thị hàm số và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=fx cắt đường thẳng y=2m1 tại hai điểm phân biệt.

A. 1m<32.

B. 1<m<2.

C. 1m32.

D. 1<m<32.

Câu 26. Cho hàm số y=fx, xác định trên \1;1, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên sau:

Bài toán tương giao của đồ thị hàm số và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng y=2m+1 cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.

A. m2.

B. m1.

C. m2m1.

D. m<2,m>1.

Câu 27. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=x33mx2+6mx8 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

A. m=1.

B. m=2, m=1.

C. m=-1.

D.  m=2.

Câu 28. Cho hàm số y=x4mm+1x2+m3 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

A. m>1.

B. m>2.

C. m>2.

D. 0<m1.

Câu 29. Cho hàm số y=x4+22+mx24m với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số đã cho không có điểm chung với trục hoành?

A. 1

B. 2

C.  3

D. 4

Câu 30. Cho hàm số y=x42m+4x2+m2 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m đề đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

A. m=1.

B.  m=34.

C. m=34, m=3.

D. m=3.

Đáp án

Bài toán tương giao của đồ thị hàm số và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có đáp án khác:

Nhận dạng đồ thị hàm số và cách giải bài tập

Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số và cách giải bài tập

Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số chi tiết nhất

Công thức tính cực trị của hàm số chi tiết nhất

Từ khóa :
Giải bài tập
Đánh giá

0

0 đánh giá