Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Các phương pháp tính nguyên hàm: Phương pháp giải và bài tập hay, chi tiết, từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh nắm vững kiến thức về Các phương pháp tính nguyên hàm, từ đó học tốt môn Toán.

Các phương pháp tính nguyên hàm: Phương pháp giải và bài tập hay, chi tiết

A. LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Phương pháp biến đổi biến số.

Nếu thì ∫f[u(x)].u'(x)dx=F[u(x)]+C.

Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I=∫f(x)dx, trong đó ta có thể phân tích f(x)=g(u(x))u'(x) thì ta thực hiện phép đổi biến số t=u(x), suy ra dt=u'(x)dx.

Khi đó ta được nguyên hàm: $\int g\left(t\right)\text{d}t=G\left(t\right)+C=G\left[u\left(x\right)\right]+C.$

Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàm $\int f\left(x\right)\text{d}x=F\left(x\right)+C$ theo t thì ta phải thay $t=u\left(x\right)$.

Các bước thực hiện:

Bước 1: Chọn $x=\phi \left(t\right)$ , trong đó $\phi \left(t\right)$ là hàm số mà ta chọn thích hợp .

Bước 2: Lấy vi phân hai vế : $dx=\phi \text{'}\left(t\right)dt$

Bước 3: Biến đổi : $f\left(x\right)dx=f\left[\phi \left(t\right)\right]\phi \text{'}\left(t\right)dt=g\left(t\right)dt$

Bước 4: Khi đó tính : $\int f\left(x\right)dx=\int g\left(t\right)dt=G\left(t\right)+C$.

Một số cách đổi biến số hay gặp.

2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$ và có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$.

Khi đó:  $\int u\text{d}v=uv-\int v\text{d}u.\left(*\right)$

Để tính nguyên hàm $\int f\left(x\right)\text{d}x$ bằng từng phần ta làm như sau:

Bước 1. Chọn u, v sao cho từ $f\left(x\right)\text{d}x=u\text{d}v$ (chú ý $\text{d}v=v\text{'}\left(x\right)\text{d}x$).

           Sau đó tính $v=\int \text{d}v$ và $\text{d}u=u\text{'}.\text{d}x$.

Bước 2. Thay vào công thức $\left(*\right)$ và tính $\int v\text{d}u$.

+ Phương pháp này chủ yếu dùng cho các biểu thức dạng $\int \text{p(x)q(x)dx}$ trong các trường hợp sau:

Chú ý: Với p(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

Lưu ý: Chọn u: Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ.

- Mở rộng: Quy tắc đường chéo để tính tích phân từng phần

 Áp dụng nhanh trong trường hợp u là một đa thức bậc cao.

Ở cột u, lấy đạo hàm liên tiếp đến khi được kết quả bằng 0, hoặc đến khi lấy đạo hàm phức tạp hơn, hoặc đến khi lặp lại thì dừng.

Ở cột v, tìm nguyên hàm tương ứng của v.

Ví dụ áp dụng: Tìm các nguyên hàm sau:

1. $\int (x+2)e^{2x}dx$

2. $\int (2x-1)\cos xdx$

3. $\int (3x^2-1)\ln xdx$

Giải: Áp dụng quy tắc đường chéo:

1:  $\int (x+2)e^{2x}dx$

Căn cứ vào bảng ta được:

$\int (x+2)e^{2x}dx=\frac{1}{2}(x+2)e^{2x}-\frac{1}{4}{e}^{2x}+C$

2. $\int (2x-1)\cos xdx$

 Căn cứ vào bảng ta được:

$$\begin{gathered} \int (2x-1)\cos xdx \\ =\left(2x-1\right)\sin x+2cosx+C \end{gathered}$$

3.  $\int (3x^2-1)\ln xdx$

Căn cứ vào bảng ta được:

B. CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ.

Ví dụ 1. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{2x+1}{{(x+2)}^2}$ trên khoảng $\left(-2;+\infty \right)$ là:

A. $2\ln (x+2)+\frac{1}{x+2}+C.$

B. $2\ln (x+2)-\frac{1}{x+2}+C.$

C. $2\ln (x+2)-\frac{3}{x+2}+C.$

D. $2\ln (x+2)+\frac{3}{x+2}+C.$

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 2. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của $g\left(x\right)=\frac{\ln x}{{\left(x+1\right)}^2}$?

A. $\frac{-\ln x}{x+1}+\ln \left|\frac{x}{x+1}\right|+1999$

B. $\frac{-\ln x}{x+1}-\ln \left|\frac{x}{x+1}\right|+1998$ .

C. $\frac{\ln x}{x+1}-\ln \left|\frac{x}{x+1}\right|+2016$

D. $\frac{\ln x}{x+1}+\ln \left|\frac{x}{x+1}\right|+2017$ .

Lời giải

Gọi nguyên hàm của hàm số đã cho là S, ta có :

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\ln x\\ dv=\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}dx\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=\frac{1}{x}dx\\ v=\frac{-1}{x+1}\end{array}\right.$

Chọn A.

Ví dụ 3. Tìm một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^3\ln \left(\frac{4-x^2}{4+x^2}\right)$?

A. $x^4\ln \left(\frac{4-x^2}{4+x^2}\right)-2x^2$ .

B. $\left(\frac{x^4-16}{4}\right)\ln \left(\frac{4-x^2}{4+x^2}\right)-2x^2$ .

C. $x^4\ln \left(\frac{4-x^2}{4+x^2}\right)+2x^2$ .

D. $\left(\frac{x^4-16}{4}\right)\ln \left(\frac{4-x^2}{4+x^2}\right)+2x^2$ .

Lời giải

Khi đó ta có một nguyên hàm của hàm số đã cho là $\left(\frac{x^4-16}{4}\right)\ln \left(\frac{4-x^2}{4+x^2}\right)-2x^2$

Chọn B.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Câu 1. Nguyên hàm của $\int \frac{x}{x^2+1}dx$ là:

A. $\ln \left|t\right|+C$ , với $t=x^2+1$

B. $-\ln \left|t\right|+C$, với $t=x^2+1$.

C. $\frac{1}{2}\ln \left|t\right|+C$ , với $t=x^2+1$.

D. $-\frac{1}{2}\ln \left|t\right|+C$ , với $t=x^2+1$.

Câu 2. Với phương pháp đổi biến số $\left(x\to t\right)$ , nguyên hàm $\int \frac{\ln 2x}{x}dx$ bằng:

A. $\frac{1}{2}{t}^2+C$ .

B. $t^2+C$ .

C. $2t^2+C$ .

D. $4t^2+C$

Câu 3. Nguyên hàm của $I=\int x\ln xdx$ bằng:

A. $\frac{x^2}{2}\ln x-\int xdx+C$ .

B. $\frac{x^2}{2}\ln x-\int \frac{1}{2}xdx+C$ .

C. $x^2\ln x-\int \frac{1}{2}xdx+C$ . 

D. $x^2\ln x-\int xdx+C$ .

Câu 4. Họ nguyên hàm của $\int e^x\left(1+x\right)dx$ là:

A. $I=e^x+x{e}^x+C$ .

B. $I=e^x+\frac{1}{2}x{e}^x+C$ .

C. $I=\frac{1}{2}{e}^x+x{e}^x+C$ .

D. $I=2e^x+x{e}^x+C$ .

Câu 5. $\int \left(2x\sqrt{x^2+1}+x\ln x\right)dx$ có dạng $\frac{a}{3}{\left(\sqrt{x^2+1}\right)}^3+\frac{b}{6}{x}^2\ln x-\frac{1}{4}{x}^2+C$, trong đó a,b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:

A. 3 .

B. 2 .

C. 1 .

D. Không tồn tại

Câu 6. Tính $F\left(x\right)=\int \frac{dx}{x\sqrt{2\ln x+1}}$

A. $F\left(x\right)=2\sqrt{2\ln x+1}+C$

B. $F\left(x\right)=\sqrt{2\ln x+1}+C$

C. $F\left(x\right)=\frac{1}{4}\sqrt{2\ln x+1}+C$

D. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2\ln x+1}+C$

Câu 7. Tính $F\left(x\right)=\int \frac{x^3}{x^4-1}dx$

A. $F\left(x\right)=\ln \left|x^4-1\right|+C$

B. $F\left(x\right)=\frac{1}{4}\ln \left|x^4-1\right|+C$

C. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}\ln \left|x^4-1\right|+C$

D. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}\ln \left|x^4-1\right|+C$

Câu 8. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=2x\sqrt{x^2+1}$  là:

A. $\frac{2}{3}\sqrt{{\left(x^2+1\right)}^3}+C$

B.  $-2\sqrt{{\left(x^2+1\right)}^3}+C$

C. $\sqrt{{\left(x^2+1\right)}^3}+C$

D. $\frac{-1}{3}\sqrt{{\left(x^2+1\right)}^3}+C$

Câu 9. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}$  là:

A. $\sqrt{x^2+1}+C$

B. $\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}+C$

C. $2\sqrt{x^2+1}+C$

D. $4\sqrt{x^2+1}+C$

Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{2x}{x^2+4}$ là:

A. $2\ln \left|x^2+4\right|+C$

B. $\frac{\ln \left|x^2+4\right|}{2}+C$

C. $\ln \left|x^2+4\right|+C$

D. $4\ln \left|x^2+4\right|+C$

Câu 11. Họ nguyên hàm của hàm số  $f\left(x\right)=\frac{e^x}{e^x+3}$ là:

A. $-e^x-3+C$

B. $3e^x+9+C$

C. $-2\ln \left|e^x+3\right|+C$

D. $\ln \left|e^x+3\right|+C$

Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số  $f\left(x\right)=\frac{\ln x}{x}$  là:

A. ${\ln }^{2}x+C$

B. $\ln x+C$

C. $\frac{{\ln }^{2}x}{2}+C$

D. $\frac{\ln x}{2}+C$

Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=2x{.2}^{x^2}$  là:

A. $\frac{1}{\ln {2.2}^{x^2}}+C$

B. $\frac{1}{\ln 2}{.2}^{x^2}+C$

C. $\frac{\ln 2}{2^{x^2}}+C$

D. $\ln {2.2}^{x^2}+C$

Câu 14. Tính $\int \frac{2x}{{\left(x^2+9\right)}^4}\text{ d}x$ ta được kết quả là:

A. $-\frac{1}{5{\left(x^2+9\right)}^5}+C$

B. $-\frac{1}{3{\left(x^2+9\right)}^3}+C$

C. $-\frac{4}{{\left(x^2+9\right)}^5}+C$

D. $-\frac{1}{{\left(x^2+9\right)}^3}+C$

Câu 15. Một nguyên hàm của $-\frac{1}{{\left(x^2+9\right)}^3}+C$ là:

A. $\frac{1}{2}\ln \left|x+1\right|$

B. $2\ln \left(x^2+1\right)$

C. $\frac{1}{2}\ln (x^2+1)$

D. $\ln (x^2+1)$

Câu 16. Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x{e}^x$ là:

A.  $x{e}^x+e^x+C$

B. $e^x+C$

C. $\frac{x^2}{2}{e}^x+C$

D. $x{e}^x-e^x+C$

Câu 17. Kết quả của $\int \ln xdx$ là:

A. $x\ln x+x+C$

B. Đáp án khác        

C.  $x\ln x+C$

D. $x\ln x-x+C$

Câu 18. Kết quả của $\int x\ln xdx$ là:

A. $x\ln x+x+C$

B. Đáp án khác        

C. $x\ln x+C$

D. $x\ln x-x+C$

Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số  $f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x^2+x+4}$  là:

A. $2\ln \left|x^2+x+4\right|+C$

B.  $\ln \left|x^2+x+4\right|+C$

C. $\frac{\ln \left|x^2+x+4\right|}{2}+C$

D. $4\ln \left|x^2+x+4\right|+C$

Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{2+x}{x^2+4x-4}$ là :

A. $\frac{1}{2}.\ln \left|x^2+4x-4\right|+C$

B. $\ln \left|x^2+4x-4\right|+C$

C. $2\ln \left|x^2+4x-4\right|+C$

D. $4\ln \left|x^2+4x-4\right|+C$

Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{\ln 2x}{x}$ là :

A. $\ln 2x+C$

B. ${\ln }^{2}x+C$

C. $\frac{{\ln }^{2}2x}{2}+C$

D. $\frac{\ln x}{2}+C$

Câu 22. Câu nào sau đây sai?

A. Nếu $F\text{'}\left(t\right)=f\left(t\right)$ thì $F^{\text{'}}\left(u\left(x\right)\right)=f\left(u\left(x\right)\right)$.

B.  $\int f\left(t\right)\text{\hspace{0.17em}d}t=F\left(t\right)+C$$\Rightarrow \int f\left(u\left(x\right)\right)u\text{'}\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x=F\left(u\left(x\right)\right)+C$

C. Nếu $G\left(t\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $g\left(t\right)$ thì $G\left(u\left(x\right)\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $g\left(u\left(x\right)\right).u^{\text{'}}\left(x\right)$.

D. $\int f\left(t\right)\text{\hspace{0.17em}d}t=F\left(t\right)+C\Rightarrow \int f\left(u\right)\text{\hspace{0.17em}d}u=F\left(u\right)+C$ với $u=u\left(x\right)$.

Câu 23. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Nếu $\int f\left(t\right)\text{\hspace{0.17em}d}t=F\left(t\right)+C$ thì $\int f\left(u\left(x\right)\right).u^{\text{'}}\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x=F\left(u\left(x\right)\right)+C$.

B. Nếu $F\left(x\right)$ và $G\left(x\right)$ đều là nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$ thì $\int \left[F\left(x\right)-G\left(x\right)\right]\text{\hspace{0.17em}d}x$ có dạng $h\left(x\right)=Cx+D$ ( C,D là các hằng số và $C\ne 0$).

C. $F\left(x\right)=7+{\sin }^{2}x$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)=\sin 2x$.

D. $\int \frac{u^{\text{'}}\left(x\right)}{u\left(x\right)}\text{d}x=\sqrt{u\left(x\right)}+C$.

Câu 24. Để tính $\int \frac{e^{\ln x}}{x}\text{d}x$ theo phương pháp đổi biến số, ta đặt:

A. $t=e^{\ln x}.$

B. $t=\ln x.$

C. $t=x.$

D. $t=\frac{1}{x}.$

Câu 25. F(x) là một nguyên hàm của hàm số $y=x{e}^{x^2}$. Hàm số nào sau đây không phải là F(x):

A. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}{e}^{x^2}+2$

B. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(e^{x^2}+5\right)$

C. $F\left(x\right)=-\frac{1}{2}{e}^{x^2}+C$

D. $F\left(x\right)=-\frac{1}{2}\left(2-e^{x^2}\right)$

Câu 26. Để tính $\int x\ln \left(2+x\right)\text{d}x$ theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt:

A. $\left\{\begin{array}{l}u=x\\ \text{d}v=\ln \left(2+x\right)\text{d}x\end{array}\right..$

B. $\left\{\begin{array}{l}u=\ln \left(2+x\right)\\ \text{d}v=x\text{d}x\end{array}\right..$

C. $\left\{\begin{array}{l}u=x\ln \left(2+x\right)\\ \text{\hspace{0.17em}d}v=\text{d}x\end{array}\right..$

D. $\left\{\begin{array}{l}u=\ln \left(2+x\right)\\ \text{d}v=\text{d}x\end{array}\right..$

Câu 27. Hàm số $f\left(x\right)=\left(x-1\right)e^x$ có một nguyên hàm $F\left(x\right)$ là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này bằng 1 khi $x=0$?

A. $F\left(x\right)=\left(x-1\right)e^x$

B. $F\left(x\right)=\left(x-2\right)e^x$

C. $F\left(x\right)=\left(x+1\right)e^x+1$

D. $F\left(x\right)=\left(x-2\right)e^x+3$

Câu 28. Một nguyên hàm của $f\left(x\right)=x\ln x$ là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này triệt tiêu khi $x=1$?

A. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2\ln x-\frac{1}{4}\left(x^2+1\right)$

B. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2\ln x+\frac{1}{4}x+1$

C. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}x\ln x+\frac{1}{2}\left(x^2+1\right)$

D. Một kết quả khác.

Câu 29. Cho $F\left(x\right)=\frac{1}{2x^2}$ là một nguyên hàm của hàm số $\frac{f\left(x\right)}{x}$. Tìm nguyên hàm của hàm số $f^{\text{'}}\left(x\right)\ln x$

A. $\int f^{\text{'}}\left(x\right)\ln xdx=-\left(\frac{\ln x}{x^2}+\frac{1}{2x^2}\right)+C$

B. $\int f^{\text{'}}\left(x\right)\ln xdx=\frac{\ln x}{x^2}+\frac{1}{x^2}+C$

C. $\int f^{\text{'}}\left(x\right)\ln xdx=-\left(\frac{\ln x}{x^2}+\frac{1}{x^2}\right)+C$

D. $\int f^{\text{'}}\left(x\right)\ln xdx=\frac{\ln x}{x^2}+\frac{1}{2x^2}+C$

Câu 30. Tính nguyên hàm $I=\int \frac{\ln \left(lnx\right)}{x}\text{d}x$ được kết quả nào sau đây?

A. $I=\ln x.\ln \left(\ln x\right)+C.$

B. $I=\ln x.\ln \left(\ln x\right)+\ln x+C.$

C. $I=\ln x.\ln \left(\ln x\right)-\ln x+C.$

D. $I=\ln \left(\ln x\right)+\ln x+C.$

Đáp án

Xem thêm các dạng Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Công thức tính trả góp vay vốn chi tiết nhất

Nguyên hàm và cách giải bài tập cơ bản

Nguyên hàm của hàm số phân thức hữu tỉ và cách giải

Nguyên hàm của hàm số lượng giác và cách giải

Tích phân và cách giải bài tập cơ bản