Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Nguyên hàm phương pháp giải và bài tập hay, chi tiết, từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh nắm vững kiến thức về nguyên hàm, từ đó học tốt môn Toán.

Nguyên hàm: Phương pháp giải và bài tập hay, chi tiết

A. LÝ THUYẾT.

1. Khái niệm nguyên hàm.

- Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu $F\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)$ với mọi x thuộc K.

$\boxed{F\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)}$, $\forall$x $\in$ K

Định lí:                                       

1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số $G\left(x\right)=F\left(x\right)+C$ cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

2) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng $F\left(x\right)+C$, với C là một hằng số.

Do đó $F\left(x\right)+C,C\in ℝ$ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

2. Tính chất của nguyên hàm.

- Nếu F(x) có đạo hàm thì:  $\int d\left(F\left(x\right)\right)=F\left(x\right)+C$

- $\int kf\left(x\right)d\text{x}=k\int f\left(x\right)d\text{x}$ với k là hằng số khác 0.

- $\int \left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]d\text{x}=\int f\left(x\right)d\text{x}\pm \int g\left(x\right)d\text{x}$

3. Sự tồn tại của nguyên hàm.

Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp.

B. CÁC DẠNG BÀI TOÁN HAY GẶP VÀ VÍ DỤ.

Phương pháp giải: Áp dụng các công thức nguyên hàm cơ bản đã nêu ở phần lý thuyết để giải các bài toán sau.

Bài toán 1: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên $D\subset ℝ$ .

Ví dụ 1. Cho hàm số $f\left(x\right)=x^2+3$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\int f\left(x\right)dx=x^2+3x+C$

B. $\int f\left(x\right)dx=\frac{x^3}{3}+3x+C$

C. $\int f\left(x\right)dx=x^3+3x+C$

D. $\int f\left(x\right)dx=2x+C$

Lời giải

$$\begin{gathered} \int f\left(x\right)dx=\int \left(x^2+3\right)dx \\ =\int x^{2}dx+3\int dx=\frac{x^3}{3}+3x+C \end{gathered}$$

Chọn B.

Bài toán 2: Tìm F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên $D\subset ℝ$ .

Ví dụ 2. Cho $F\left(x\right)=\frac{1}{6}.\ln \left|\frac{x-3}{x+3}\right|+\frac{1}{12}$. Hỏi F(x) là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

A. $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2-9}$

B. $f\left(x\right)=\frac{1}{x-9}$

C. $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2-9}+\frac{x}{12}$

D. $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2+9}+\frac{x}{12}$

Lời giải

Ta có:

Chọn A.

Bài toán 3: Xác định nguyên hàm của một hàm số với điều kiện cho trước.

Ví dụ 3. Cho hàm số f(x) thỏa mãn $f\text{'}\left(x\right)=3-5\sin x$ và $f\left(0\right)=10$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $f\left(x\right)=3x+5\cos x+5$

B.  $f\left(x\right)=3x+5\cos x+2$

C. $f\left(x\right)=3x-5\cos x+2$

D.  $f\left(x\right)=3x-5\cos x+15$

Lời giải

Chọn A.

Bài toán 4: Tìm giá trị của tham số để F(x) là một nguyên hàm của f(x).

Ví dụ 4. Cho kết quả của $\int \left(x^2+2x^3\right)dx$ có dạng $\frac{a}{3}{x}^3+\frac{b}{4}{x}^4+C$, trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:

A. 2 .

B. 1 .

C. 9 .

D. 32 .

Lời giải

Theo đề, ta cần tìm $\int \left(x^2+2x^3\right)dx$. Sau đó, ta xác định giá trị của a.

Ta có:

$$\begin{gathered} \int \left(x^2+2x^3\right)dx=\int x^{2}dx+2\int x^{3}dx \\ =\frac{1}{3}{x}^3+2.\frac{1}{4}{x}^4+C \end{gathered}$$

Suy ra để $\int \left(x^2+x^3\right)dx$ có dạng $\frac{a}{3}{x}^3+\frac{b}{4}{x}^4+C$ thì a = 1, b = 2.

Chọn B.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Câu 1. Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^3+x$ là

A. $x^4+x^2+C.$

B. $3x^2+1+C.$

C. $x^3+x+C.$

D. $\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{2}{x}^2+C.$

Câu 2. Nguyên hàm của $f\left(x\right)=x^3-x^2+2\sqrt{x}$ là:

A. $\frac{1}{4}{x}^4-x^3+\frac{4}{3}\sqrt{x^3}+C$

B. $\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{4}{3}\sqrt{x^3}+C$

C. $\frac{1}{4}{x}^4-x^3+\frac{2}{3}\sqrt{x^3}+C$

D. $\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{3}\sqrt{x^3}+C$

Câu 3. Nguyên hàm của $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{2}{\sqrt[3]{x}}+3$ là:

A. $2\sqrt{x}+3\sqrt[3]{x^2}+3x+C$

B. $2\sqrt{x}+\frac{4}{3}\sqrt[3]{x^2}+3x+C$

C. $\frac{1}{2}\sqrt{x}+3\sqrt[3]{x^2}+3x+C$

D. $\frac{1}{2}\sqrt{x}+\frac{4}{3}\sqrt[3]{x^2}+3x+C$

Câu 4. Hàm số $f\left(x\right)$ có nguyên hàm trên K nếu:

A. $f\left(x\right)$ xác định trên K.                                       

B. $f\left(x\right)$ có giá trị lớn nhất trên K

C. $f\left(x\right)$ có giá trị nhỏ nhất trên K                        

D. $f\left(x\right)$ liên tục trên K

Câu 5. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Nếu $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)$ trên $\left(a;b\right)$ và C là hằng số thì $\int f\left(x\right)\text{d}x=F\left(x\right)+C$.

B. Mọi hàm số liên tục trên $\left(a;b\right)$ đều có nguyên hàm trên $\left(a;b\right)$.

C. $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của  trên $\left(a;b\right)$ $\iff F^{\text{'}}\left(x\right)=f\left(x\right),\forall x\in \left(a;b\right)$

D. ${\left(\int f\left(x\right)\text{d}x\right)}^{\text{'}}=f\left(x\right)$

Câu 6. Gọi $F\left(x\right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=4x^3+2\left(m-1\right)x+m+5$, với m là tham số thực. Tìm một nguyên hàm của $f\left(x\right)$ biết rằng $F\left(1\right)=8$ và $F\left(0\right)=1$.

A. $F\left(x\right)=x^4+2x^2+6x+1$

B. $F\left(x\right)=x^4+6x+1$ .

C. $F\left(x\right)=x^4+2x^2+1$ .

D. Đáp án A và B.

Câu 7. Họ nguyên hàm của $I=\int e^{x}dx$ là:

A. $2e^x+C$ .

B. $e^x$ .

C. $e^{2x}+C$ .

D. $e^x+C$ .

Câu 8. Cho $\int \left(\left(2a+1\right)x^3+b{x}^2\right)dx$, trong đó a,b là hai số hữu tỉ. Biết rằng $\int \left(\left(2a+1\right)x^3+b{x}^2\right)dx=\frac{3}{4}{x}^4+x^3+C$. Giá trị  a,b lần lượt bằng:

A. $1;3$ .

B. $3;1$

C. $-\frac{1}{8};1$

D. 2; 4.

Câu 9. Tính $\int {(2+e^{3x})}^{2}dx$

A. $3x+\frac{4}{3}{e}^{3x}+\frac{1}{6}{e}^{6x}+C$

B. $4x+\frac{4}{3}{e}^{3x}+\frac{5}{6}{e}^{6x}+C$

C. $4x+\frac{4}{3}{e}^{3x}-\frac{1}{6}{e}^{6x}+C$

D. $4x+\frac{4}{3}{e}^{3x}+\frac{1}{6}{e}^{6x}+C$

Câu 10. Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^2–3x+ \frac{1}{x}$ là

A. $\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}-\ln \left|x\right|+C$

B. $\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+\ln x+C$

C.  $\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+\ln \left|x\right|+C$

D. $\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+\ln x+C$

Câu 11. Nguyên hàm của hàm số $y=\sqrt{3x-1}$ trên $\left(\frac{1}{3};+\infty \right)$ là:

A. $\sqrt{\frac{3}{2}{x}^2-x+C}$

B.  $\frac{2}{9}\sqrt{{\left(3x-1\right)}^3}+C$

C. $\sqrt{\frac{3}{2}{x}^2-x}+C$

D. $\frac{1}{9}\sqrt{{\left(3x-1\right)}^3}+C$

Câu 12. Hàm số $F\left(x\right)=e^x+e^{-x}+x$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây ?

A. $f\left(x\right)=e^{-x}+e^x+1$

B. $$$f\left(x\right)=e^x-e^{-x}+\frac{1}{2}{x}^2$

C. $f\left(x\right)=e^x-e^{-x}+1$

D. $f\left(x\right)=e^x+e^{-x}+\frac{1}{2}{x}^2$

Câu 13. Tính $\int 2^{2x}{.3}^x{.7}^{x}dx$

A. $\frac{{84}^x}{\ln 84}+C$

B. $\frac{2^{2x}{.3}^x{.7}^x}{\ln 4.\ln 3.\ln 7}+C$

C. ${84}^x+C$

D. ${84}^x\ln 84+C$

Câu 14. Tính $\int (x^2-3x+\frac{1}{x})dx$

A. $x^3-3x^2+\ln x+C$

B. $\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}{x}^2+\ln x+C$

C. $\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{x^2}+C$

D. $\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}{x}^2+\ln \left|x\right|+C$

Câu 15. Tính $\int 2^{x+1}dx$.

A. $\frac{2^{x+1}}{\ln 2}+C$

B. $2^{x+1}+C$

C. $\frac{{3.2}^{x+1}}{\ln 2}+C$

D. $2^{x+1}.\ln 2+C$

Câu 16. Tìm một nguyên hàm F(x) của $f\left(x\right)=\frac{x^3-1}{x^2}$ biết F(1) = 0.

A. $F\left(x\right)=\frac{x^2}{2}-\frac{1}{x}+\frac{1}{2}$

B. $F\left(x\right)=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{x}+\frac{3}{2}$

C. $F\left(x\right)=\frac{x^2}{2}-\frac{1}{x}-\frac{1}{2}$

D. $F\left(\text{x}\right)=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{x}-\frac{3}{2}$

Câu 17. Tìm hàm số F(x) biết rằng  F’(x) = 4x³ – 3x² + 2  và F(-1) = 3.

A. $F\left(x\right)=x^4–x^3-2x-3$

B. $F\left(x\right)=x^4–x^3\text{+2}x+3$

C. $F\left(x\right)=x^4–x^3-2x+3$

D. $F\left(x\right)=x^4+x^3+2x+3$

Câu 18. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{x}$ là :

A. $4\sqrt{x}+3\ln \left|x\right|+C$

B. $2\sqrt{x}+3\ln \left|x\right|+C$

C. ${\left(4\sqrt{x}\right)}^{-1}+3\ln \left|x\right|+C$

D. $16\sqrt{x}-3\ln \left|x\right|+C$

Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{4}{3x-2}$ là :

A. $\frac{1}{6}\ln \left|3x-2\right|+C$

B. $\frac{-1}{3}\ln \left|3x-2\right|+C$

C. $\frac{-1}{6}\ln \left|3x-2\right|+C$

D. $\frac{4}{3}\ln \left|3x-2\right|+C$

Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=e^x-e^{-x}$ là :

A. $e^x+e^{-x}+C$

B. $e^x-e^{-x}+C$

C. $-e^x+e^{-x}+C$

D. $e^x+e^x+C$

Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=3^{2x}-2^{-3x}$ là :

A. $\frac{3^{2x}}{2.\ln 3}+\frac{2^{-3x}}{3.\ln 2}+C$

B. $\frac{3^{2x}}{2.\ln 3}-\frac{2^{-3x}}{3.\ln 2}+C$

C. $\frac{3^{-2x}}{2.\ln 3}+\frac{2^{3x}}{3.\ln 2}+C$

D. $\frac{3^{-2x}}{2.\ln 3}-\frac{2^{3x}}{3.\ln 2}+C$

Câu 22. Nguyên hàm $F\left(x\right)$ của hàm số $f\left(x\right)={\left(\frac{x^2+1}{x}\right)}^2$ là hàm số

nào trong các hàm số sau?

A. $F\left(x\right)=\frac{x^3}{3}-\frac{1}{x}+2x+C$

B. $F\left(x\right)=\frac{x^3}{3}+\frac{1}{x}+2x+C$

C. $F\left(x\right)=\frac{\frac{x^3}{3}+x}{\frac{x^2}{2}}+C$

D. $F\left(x\right)={\left(\frac{\frac{x^3}{3}+x}{\frac{x^2}{2}}\right)}^3+C$

Câu 23. Nguyên hàm $F\left(x\right)$ của hàm số $f\left(x\right)=2x^2+x^3-4$ thỏa mãn điều kiện $F\left(0\right)=0$ là:

A. $2x^3-4x^4$

B. $\frac{2}{3}{x}^3+\frac{x^4}{4}-4x$

C. $x^3-x^4+2x$

D. Đáp án khác.

Câu 24. Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số $\frac{1}{x-1}$ và F(2) = 1. Khi đó F(3) bằng bao nhiêu:

A.  $e+\ln 2$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\ln \frac{3}{2}$

D. $\ln 2e$

Câu 25. Hàm số $f\left(x\right)$ có nguyên hàm trên K nếu

A. $f\left(x\right)$  xác định trên K

B. $f\left(x\right)$  có giá trị lớn nhất trên K

C. $f\left(x\right)$  có giá trị nhỏ nhất trên K

D. $f\left(x\right)$  liên tục trên K

Câu 26. Cho hai hàm số $f\left(x\right),g\left(x\right)$ là hàm số liên tục, có $F\left(x\right),G\left(x\right)$ lần lượt là nguyên hàm của $f\left(x\right),g\left(x\right)$. Xét các mệnh đề sau:

(I): $F\left(x\right)+G\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right),g\left(x\right)$

(II): $k.F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của  $kf\left(x\right)$  $\left(k\in R\right)$

(III): $F\left(x\right).G\left(x\right)$ là một nguyên hàm của  $f\left(x\right).g\left(x\right)$

Mệnh đề nào là mệnh đề đúng ?

A. I

B. I và II

C. I, II, III

D. II

Câu 27. Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?

A. $\int 0dx=C$ ( là hằng số)

B. $\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$ ( là hằng số)

C. $\int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C$ ( là hằng số)

D. $\int dx=x+C$ ( là hằng số)

Câu 28. $\int {\left(3^x-\frac{1}{3^x}\right)}^{2}dx$ bằng:

A. ${\left(\frac{3^x}{\ln 3}-\frac{\ln 3}{3^x}\right)}^2+C$

B. $\frac{1}{3}{\left(\frac{3^x}{\ln 3}-\frac{1}{3^x\ln 3}\right)}^3+C$

C.  $\frac{9^x}{2\ln 3}-\frac{1}{{2.9}^x\ln 3}-2x+C$

D. $\frac{1}{2\ln 3}\left(9^x+\frac{1}{9^x}\right)-2x+C$

Câu 29. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. $F\left(x\right)=x^2$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)=2x$.

B. $F\left(x\right)=x$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)=2\sqrt{x}$.

C. Nếu $F\left(x\right)$ và $G\left(x\right)$ đều là nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$ thì $F\left(x\right)-G\left(x\right)=C$ (hằng số).

D. $\int \left[f_1\left(x\right)+f_2\left(x\right)\right]\text{\hspace{0.17em}d}x=\int f_1\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x+\int f_2\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x$

Đáp án

Xem thêm các dạng Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Công thức giải bất phương trình lôgarit chi tiết nhất

Công thức tính trả góp vay vốn chi tiết nhất

Các phương pháp tính nguyên hàm và cách giải bài tập

Nguyên hàm của hàm số phân thức hữu tỉ và cách giải

Nguyên hàm của hàm số lượng giác và cách giải