Các phương pháp tính tích phân: Phương pháp giải và bài tập hay, chi tiết

251

Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Các phương pháp tính tích phân: Phương pháp giải và bài tập hay, chi tiết, từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh nắm vững kiến thức về Các phương pháp tính tích phân, từ đó học tốt môn Toán.

Các phương pháp tính tích phân: Phương pháp giải và bài tập hay, chi tiết

A. LÝ THUYẾT

1. Phương pháp đổi biến số.

Định lý 1

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn a;b. Giả sử hàm số x=φt có đạo hàm liên tục trên đoạn α;β sao cho φα=a;φb=b và aφtb với mọi tα;β. Khi đó:

abfxdx=αβfφtφ'tdt

Từ định lý 1 ta rút ra các bước đổi biến số

1. Đặt x=φt, ta xác định đoạn α;β sao cho φα=a,φβ=b và aφtbtα;β;

2. Biến đổi :

fxdx=fφtφ'tdt=gtdt

3. Tìm một nguyên hàm G(t) của  g(t)

4. Tính  αβgtdt=GβGα

5. Kết luận abfxdx=GβGα

Định lý 2

Cho hàm số fx liên tục trên đoạn a;b. Nếu hàm số u=ux có đạo hàm liên tục trên đoạn a;b và αuxβ với mọi xa;b sao cho fx=guxu'x,gu liên tục trên đoạn α;β thì abfxdx=uaubgudu

Từ định lý 2 ta rút ra các bước đổi biến số

1. Đặt u=ux,

2. Biến đổi fxdx=gudu.

3. Tìm một nguyên hàm G(u) của g(u).

4. Tính uaubgudu=GubGua.

5. Kết luận abfxdx=GubGua

2. Phương pháp tích phân từng phần.

Tương tự tính nguyên hàm từng phần, ta có định lý sau:

Nếu u=ux và v=vx là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn a;b thì

abuxv'xdx=uxvxababu'xvxdx hay  abudv=uvababvdu

Hay abudv=uvababvdu.

Một số cách đặt tích phân từng phần thường gặp vớiabp(x)q(x)dx

Các phương pháp tính tích phân và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Các phương pháp tính tích phân và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ

1. Phương pháp đổi biến số

Dạng 1: Đổi biến số với các hàm vô tỉ quen thuộc

Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước ở lý thuyết.

Chú ý:

Trong biểu thức của f(x)dx có chứa căn thì đặt căn đó bằng t.

Trong biểu thức của f(x)dx có chứa biểu thức lũy thừa bậc cao thì đặt biểu thức đó bằng t.

 

 

Trong biểu thức của f(x)dx có chứa hàm mũ với biểu thức trên mũ là một hàm số thì đặt biểu thức trên mũ bằng t.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:

a) I=04dx3+2x+1.

b) I=0ln3dxex+1.

 Lời giải

Chú ý: Đổi biến nhớ phải đổi cận.

a) Đặt  

a) Đặt  

Các phương pháp tính tích phân và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

b) Đặt  

Các phương pháp tính tích phân và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Dạng 2: Tích phân đổi biến số với hàm ẩn

Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước ở lý thuyết.

Chú ý tính chất: abfxdx=abftdt=abfudu (tích phân không phụ thuộc vào biến).

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn 06fxdx=12.

Tính tích phân I=02f3xdx.

A. I = 6

B. I = 36

C. I = 2

D. I = 4

Lời giải

Các phương pháp tính tích phân và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Dạng 3: Tích phân đổi biến số với hàm số chẵn, hàm số lẻ

Bài toán tổng quát: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a; a]. Chứng minh rằng:

a) aafxdx=20afxdx nếu f(x) là hàm số chẵn.

b) aafxdx=0 nếu f(x) là hàm số lẻ.

Phương pháp giải

a) Hàm số f(x) là hàm chẵn thì  fx=fx

Các phương pháp tính tích phân và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

b) Hàm số f(x) là hàm lẻ thì  fx=fx

Các phương pháp tính tích phân và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Ví dụ minh họa

Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [0; 1]  thỏa mãn fx+2f1x=3x,x.

Tính tích phân I=01fxdx.

A. I=32.

B. I = 1.

C. I=12.

D. I = 2.

Lời giải

Cách 1: Ta có

Các phương pháp tính tích phân và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Chọn C.

Cách 2: 

Các phương pháp tính tích phân và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Chọn C.

Dạng 4. Tích phân hàm phân thức hữu tỉ

Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước ở lý thuyết.

Chú ý: Cách phân tích hàm phân thức hữu tỉ (giống phần nguyên hàm): Sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số để phân tích.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 4. Tính tích phân  I=03x21+x3dx?

A. I=ln4+3332

B.  I=ln441214000

C. I=ln41

D.  I=ln43332

Lời giải

Các phương pháp tính tích phân và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Chọn D.

2. Phương pháp tích phân từng phần

Phương pháp giải: Sử dụng công thức tích phân từng phần

abudv=uvababvdu

Chú ý: Cách chọn u, v (theo bảng đã cho ở phần lý thuyết)

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tích phân I=0πx2cosxdx và u=x2;  dv=cosxdx. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. I=x2sinx0π0πxsinxdx

B. I=x2sinx0π+0πxsinxdx

C. I=x2sinx0π+20πxsinxdx

D. I=x2sinx0π20πxsinxdx

Lời giải

Ta có :

u=x2dv=cosxdxdu=2xdxv=sinx

Theo công thức tích phân từng phần:

I=x2sinx0π20πxsinxdx

Chọn D.

Ví dụ 2: Cho tích phân I=233x2+1lnxdx=aln3+bln2+c với a,b,c. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A. a = 3b.

B. a = – 3b

C. a + b = 40

D. a – b = 20.

Lời giải

Đặt :

u=lnxdv=3x2+1dxdu=dxxv=x3+x

Theo công thức tích phân từng phần"

I=x3+xlnx2323x2+1dx=30ln310ln2x33+x23=30ln310ln2223a=30;b=10;c=3b

 Chọn B.

Ví dụ 3. Cho I=121+x+1xex1xdx=aebc với a;b;ca0. Lúc này S=a+b+c có giá trị bằng

A. S=12

B. S=32

C. S=13

D.  S=92

Lời giải

Ta có:

Các phương pháp tính tích phân và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Từ (1); (2) ta có

Các phương pháp tính tích phân và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Chọn D.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Câu 1. Cho hàm số f liên tục trên R và hai số thực a < b. Nếu abf(x)dx=α thì tích phân a2b2f(2x)dx có giá trị bằng

A. α2

B. 2α

C. α

D. 4α

Câu 2. Bài toán tính tích phân I=1elnx+1lnxxdx được một học sinh giải theo ba bước sau:

Các phương pháp tính tích phân và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A. Bài giải đúng.

B. Sai từ Bước II.

C. Sai từ Bước I.

D. Sai ở Bước III.

Câu 3. Bài toán tính tích phân I=21(x+1)2dx được một học sinh giải theo ba bước sau:

Các phương pháp tính tích phân và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A. Sai từ Bước I.

B. Sai ở Bước III.   

C. Sai từ Bước II.

D. Bài giải đúng.

Câu 4. Cho tích phân: I=1e1lnx2xdx. Đặt u=1lnx . Khi đó I bằng

AI=10u2du

BI=10u2du

C. I=10u22du

D. I=01u2du

Câu 5. Tích phân 01x7(1+x2)5dx bằng

A1212(t1)3t5dt

B13(t1)3t5dt

C. 1212(t1)3t4dt

D3214(t1)3t4dt.

Câu 6. Tích phân 1e(2x5)lnxdx bằng

A. (x25x)lnx1e1e(x5)dx

B(x25x)lnx1e+1e(x5)dx.

C(x25x)lnx1e1e(x5)dx

D(x5)lnx1e1e(x25x)dx.

Câu 7. Tìm m để m2(32x)4dx=1225?

A. 0

B. 9.

C. 7

D. 2.

Câu 8. Tích phân I=01xx2+1dx có giá trị là

A3213

B2213

C2212

D3212.

Câu 9. Giá trị của tích phân 014x+2x2+x+1dx là

A. ln2.

B. ln3.

C. 2ln2.

D. 2ln3.

Câu 10. Giá trị của tích phân 03x33.x+1+x+3dx là

A. 3+3ln32

B.  3+6ln32

C. 3+6ln32

D. 3+3ln32

Câu 11. Giá trị của tích phân I=01dx1+ex là

Aln2ee+1

Blnee+1

C2lnee+1

D2ln2ee+1.

Câu 12. Giá trị của tích phân I=0ln3exex+13dx là

A221

B21

C22

D222

Câu 13. Giá trị của tích phân I=ee2dxxlnx là

A. 2ln3.

B. ln3

C. ln2.

D. 2ln2.

Câu 14. Giá trị của tích phân I=83dxx1xdx là

A. ln23

B. 2.

C. –ln2.

D. 2ln2.

Câu 15. Biết I=1ax32lnxx2dx=12+ln2. Giá trị của a là

A. 2.

B. ln2.

C. π

D. 3.

Câu 16. Kết quả phép tính tích phân I=15dxx3x+1 có dạng I=aln3+bln5 (a,b). Khi đó a2+ab+3b2 có giá trị là

A. 1

B. 5

C. 0.

D. 4.

Câu 17. Biết rằng 0b6dx=6 và 0axexdx=a. Khi đó biểu thức b2+a3+3a2+2a có giá trị bằng

A. 5

B. 4

C. 7

D. 3. 

Câu 18. Giả sử 122x1lnxdx=aln2+ba;b. Tính a + b.

A. 52

B. 2

C. 2.

D. 32.

Câu 19. Biết rằng 0ln212ex+1dx=lna2+bln3+ln5c. Trong đó a, b, c là các số nguyên. Khi đó S = a + b – c bằng bao nhiêu.

A. S = 4

B. S = 3.

C. S = 5

D. S = 2.

Câu 20. Cho hàm số y = f(x) là hàm lẻ và liên tục trên [-4;4], biết 20f(x)dx=2 và 12f(2x)dx=4. Tính  I=04f(x)dx=?

A. -10.

B. -6.

C. 6.

D. 10.

Đáp án

Các phương pháp tính tích phân và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Xem thêm các dạng Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Nguyên hàm của hàm số lượng giác và cách giải

Tích phân và cách giải bài tập cơ bản

Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải

Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và cách giải

Ứng dụng của tích phân tính thể tích khối tròn xoay và cách giải

Từ khóa :
Giải bài tập
Đánh giá

0

0 đánh giá