Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Các phương pháp tính tích phân: Phương pháp giải và bài tập hay, chi tiết, từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh nắm vững kiến thức về Các phương pháp tính tích phân, từ đó học tốt môn Toán.
Các phương pháp tính tích phân: Phương pháp giải và bài tập hay, chi tiết
A. LÝ THUYẾT
1. Phương pháp đổi biến số.
Định lý 1
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn . Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn sao cho và với mọi . Khi đó:
Từ định lý 1 ta rút ra các bước đổi biến số
1. Đặt , ta xác định đoạn sao cho và , ;
2. Biến đổi :
3. Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t)
4. Tính
5. Kết luận
Định lý 2
Cho hàm số liên tục trên đoạn . Nếu hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và với mọi sao cho liên tục trên đoạn thì
Từ định lý 2 ta rút ra các bước đổi biến số
1. Đặt ,
2. Biến đổi .
3. Tìm một nguyên hàm G(u) của g(u).
4. Tính .
5. Kết luận
2. Phương pháp tích phân từng phần.
Tương tự tính nguyên hàm từng phần, ta có định lý sau:
Nếu và là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn thì
hay
Hay .
Một số cách đặt tích phân từng phần thường gặp với:
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ
1. Phương pháp đổi biến số
Dạng 1: Đổi biến số với các hàm vô tỉ quen thuộc
Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước ở lý thuyết.
Chú ý:
Trong biểu thức của f(x)dx có chứa căn thì đặt căn đó bằng t.
Trong biểu thức của f(x)dx có chứa biểu thức lũy thừa bậc cao thì đặt biểu thức đó bằng t.
Trong biểu thức của f(x)dx có chứa hàm mũ với biểu thức trên mũ là một hàm số thì đặt biểu thức trên mũ bằng t.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:
a)
b)
Lời giải
Chú ý: Đổi biến nhớ phải đổi cận.
a) Đặt
a) Đặt
b) Đặt
Dạng 2: Tích phân đổi biến số với hàm ẩn
Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước ở lý thuyết.
Chú ý tính chất: (tích phân không phụ thuộc vào biến).
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn
Tính tích phân
A. I = 6
B. I = 36
C. I = 2
D. I = 4
Lời giải
Dạng 3: Tích phân đổi biến số với hàm số chẵn, hàm số lẻ
Bài toán tổng quát: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a; a]. Chứng minh rằng:
a) nếu f(x) là hàm số chẵn.
b) nếu f(x) là hàm số lẻ.
Phương pháp giải
a) Hàm số f(x) là hàm chẵn thì
b) Hàm số f(x) là hàm lẻ thì
Ví dụ minh họa
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn
Tính tích phân
A.
B. I = 1.
C.
D. I = 2.
Lời giải
Cách 1: Ta có
Chọn C.
Cách 2:
Chọn C.
Dạng 4. Tích phân hàm phân thức hữu tỉ
Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước ở lý thuyết.
Chú ý: Cách phân tích hàm phân thức hữu tỉ (giống phần nguyên hàm): Sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số để phân tích.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 4. Tính tích phân ?
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D.
2. Phương pháp tích phân từng phần
Phương pháp giải: Sử dụng công thức tích phân từng phần
Chú ý: Cách chọn u, v (theo bảng đã cho ở phần lý thuyết)
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tích phân và . Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Ta có :
Theo công thức tích phân từng phần:
Chọn D.
Ví dụ 2: Cho tích phân với . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. a = 3b.
B. a = – 3b
C. a + b = 40
D. a – b = 20.
Lời giải
Đặt :
Theo công thức tích phân từng phần"
Chọn B.
Ví dụ 3. Cho với ; . Lúc này có giá trị bằng
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Ta có:
Từ (1); (2) ta có
Chọn D.
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Câu 1. Cho hàm số f liên tục trên R và hai số thực a < b. Nếu thì tích phân có giá trị bằng
A.
B.
C.
D.
Câu 2. Bài toán tính tích phân được một học sinh giải theo ba bước sau:
Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Bài giải đúng.
B. Sai từ Bước II.
C. Sai từ Bước I.
D. Sai ở Bước III.
Câu 3. Bài toán tính tích phân được một học sinh giải theo ba bước sau:
Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Sai từ Bước I.
B. Sai ở Bước III.
C. Sai từ Bước II.
D. Bài giải đúng.
Câu 4. Cho tích phân: . Đặt . Khi đó I bằng
A.
B.
C.
D.
Câu 5. Tích phân bằng
A.
B.
C.
D. .
Câu 6. Tích phân bằng
A.
B. .
C.
D. .
Câu 7. Tìm m để ?
A. 0
B. 9.
C. 7
D. 2.
Câu 8. Tích phân có giá trị là
A.
B.
C.
D. .
Câu 9. Giá trị của tích phân là
A. ln2.
B. ln3.
C. 2ln2.
D. 2ln3.
Câu 10. Giá trị của tích phân là
A.
B.
C.
D.
Câu 11. Giá trị của tích phân là
A.
B.
C.
D. .
Câu 12. Giá trị của tích phân là
A.
B.
C.
D.
Câu 13. Giá trị của tích phân là
A. 2ln3.
B. ln3
C. ln2.
D. 2ln2.
Câu 14. Giá trị của tích phân là
A.
B. 2.
C. –ln2.
D. 2ln2.
Câu 15. Biết . Giá trị của a là
A. 2.
B. ln2.
C.
D. 3.
Câu 16. Kết quả phép tính tích phân có dạng . Khi đó có giá trị là
A. 1
B. 5
C. 0.
D. 4.
Câu 17. Biết rằng và . Khi đó biểu thức có giá trị bằng
A. 5
B. 4
C. 7
D. 3.
Câu 18. Giả sử , . Tính a + b.
A.
B. 2
C. 2.
D. .
Câu 19. Biết rằng . Trong đó a, b, c là các số nguyên. Khi đó S = a + b – c bằng bao nhiêu.
A. S = 4
B. S = 3.
C. S = 5
D. S = 2.
Câu 20. Cho hàm số y = f(x) là hàm lẻ và liên tục trên [-4;4], biết và . Tính
A. -10.
B. -6.
C. 6.
D. 10.
Đáp án
Xem thêm các dạng Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:
Nguyên hàm của hàm số lượng giác và cách giải
Tích phân và cách giải bài tập cơ bản
Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải
Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và cách giải
Ứng dụng của tích phân tính thể tích khối tròn xoay và cách giải
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền
- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.
2021 © All Rights Reserved.