Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Bài toán về vị trí tương đối trong tọa độ không gian hay, chi tiết, từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh nắm vững kiến thức về Bài toán về vị trí tương đối trong tọa độ không gian, từ đó học tốt môn Toán.
Bài toán về vị trí tương đối trong tọa độ không gian hay, chi tiết
I. LÝ THUYẾT
Trong không gian Oxyz ta xét các vị trí tương đối:
1. Giữa hai mặt phẳng bao gồm 3 vị trí tương đối:
+) Song song.
+) Cắt nhau (trong trường hợp này có bao gồm 2 mặt phẳng vuông góc).
+) Trùng nhau.
2. Giữa đường thẳng và mặt phẳng bao gồm 3 vị trí tương đối:
+) Song song.
+) Cắt nhau.
+) Đường thẳng nằm trong mặt phẳng.
3. Giữa mặt cầu và mặt phẳng bao gồm 3 vị trí tương đối:
+) Cắt nhau (giao tuyến là một hình tròn).
+) Tiếp xúc nhau.
+) Không có điểm chung.
4. Giữa đường thẳng và mặt cầu bao gồm 3 vị trí tương đối:
+) Không cắt nhau.
+) Tiếp xúc nhau.
+) Đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.
5. Giữa đường thẳng và đường thẳng bao gồm 4 vị trí tương đối:
+) Song song.
+) Cắt nhau.
+) Trùng nhau.
+) Chéo nhau.
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Phương pháp giải:
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z + 30 = 0 và (Q): 4x – 6y + 8z + 40 = 0. Vị trí tương đối của (P) và (Q) là
A. Song song
B. Trùng nhau
C. Cắt nhưng không vuông góc.
D. Vuông góc.
Hướng dẫn giải
Vì nên (P) // (Q).
Chọn A.
2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
Phương pháp giải:
Cho đường thẳng: và mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0.
Xét hệ phương trình:
+) (*) có nghiệm duy nhất d cắt
+) (*) vô nghiệm d //
+) (*) vô số nghiệm d
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x – 3y + 2z – 5 = 0 và đường thẳng . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. d // (P).
B. .
C. d cắt (P)
D.
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Ta giải hệ PT:
Cách 2:
Mặt phẳng (P) có VTPT .
d có VTCP .
Ta có:
Chọn A.
3. Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng:
Phương pháp giải:
Cho mặt cầu:
tâm I (a; b; c) bán kính R và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.
+) Nếu d (I; (P)) > R thì (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung.
+) Nếu d (I; (P)) = R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau. Khi đó (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S) và điểm chung gọi là tiếp điểm.
+) Nếu d (I; (P)) < R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn có phương trình:
Trong đó bán kính đường tròn và tâm H của đường tròn là hình chiếu của tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng (P).
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I (2; 1; -1) tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x – 2y – z + 3= 0. Mặt cầu (S) có bán kính R bằng:
A. R = 1
B. R = 2
C.
D.
Hướng dẫn giải
(S) tiếp xúc (P)
Chọn B.
4. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Phương pháp giải:
Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và đường thẳng .
Để xét vị trí tương đối giữa và (S) ta tính rồi so sánh với bán kính R.
+) : không cắt (S)
+) : tiếp xúc với (S).
Tiếp điểm J là hình chiếu vuông góc của tâm I lên đường thẳng .
+) : cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B và
Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt cầu . Số điểm chung của d và (S) là:
A. 0.
B. 1
C. 2.
D. 3.
Hướng dẫn giải.
Ta có:
Do đó đường thẳng d đi qua M (0; 1; 2) và có VTCP
Mặt cầu (S) có tâm I (1; 0; -2) và bán kính R = 2.
Ta có:
và
Vì d (I, d) > R nên d không cắt mặt cầu (S).
Vậy d và (S) không có điểm chung.
Chọn A.
5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Phương pháp giải:
Cho 2 đường thẳng:
qua M, có VTCP
có VTCP
Khi đó ta có 2 trường hợp:
a) Nếu cùng phương với ta có:
+) d song song d’
+) d trùng d’
b) Nếu không cùng phương với ta xét hệ phương trình:
+) Nếu phương trình (*) có nghiệm duy nhất thì d cắt d’
+) Nếu phương trình (*) vô nghiệm thì d và d’ chéo nhau.
Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng và . Khi đó hai đường thẳng d và d’
A. song song.
B. trùng nhau.
C. cắt nhau.
D. chéo nhau.
Hướng dẫn giải
d có vectơ chỉ phương là
d’ có vectơ chỉ phương là
Suy ra d và d’ không cùng phương.
,
Ta xét hệ phương trình:
Khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Vậy d và d’ cắt nhau.
Chọn C.
III. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z + 20 = 0 và (Q): 6x – 9y + 12z + 40 = 0. Vị trí tương đối của (P) và (Q) là:
A. Song song.
B. Trùng nhau
C. Cắt nhưng không vuông góc
D. Vuông góc.
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z + 20 = 0 và (Q): 6x – 9y + 12z + 60 = 0. Vị trí tương đối của (P) và (Q) là:
A. Song song
B. Trùng nhau
C. Cắt nhưng không vuông góc
D. Vuông góc.
Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + my + 2mz – 9 = 0 và (Q): 6x – y – z – 10 = 0. Tìm m để .
A. m = 4
B. m = -4
C. m = -2
D. m = 2.
Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x – 3y + 2z – 6 = 0 và đường thẳng . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. d // (P).
B.
C. d cắt (P).
D.
Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y + z – 4 = 0 và đường thẳng . Số giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:
A. Vô số.
B. 1
C. Không có
D. 2.
Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng và . Khi đó hai đường thẳng d và d’
A. song song
B. trùng nhau
C. chéo nhau.
D. cắt nhau.
Câu 7: Trong không gian Oxyz, hai đường thẳng và có vị trí tương đối là:
A. trùng nhau.
B. song song
C. chéo nhau
D. cắt nhau.
Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – 3 = 0 và điểm I (1; 0; 2). Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:
A.
B.
C.
D.
Câu 9: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và điểm M (4; 1; 6). Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB = 6. Phương trình của mặt cầu (S) là:
A.
B.
C.
D.
Câu 10: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3 có phương trình là:
A. y – 2z = 0
B. y + 2z = 0
C. y + 3z = 0
D. y – 3z = 0
ĐÁP ÁN
Xem thêm các dạng Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:
Các dạng toán về phương trình đường thẳng và cách giải
Các dạng toán về phương trình mặt cầu và cách giải
Các bài toán về góc trong không gian và cách giải
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền
- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.
2021 © All Rights Reserved.