Áp dụng công thức tính diện tích toàn phần :

$S_{tp}=S_{xq}+2S_{đ}$

Thanh gỗ dạng hình lăng trụ đứng tứ giác, đáy là hình thang cân ABCD có $AB=6cm,CD=3cm$ và cạnh bên $BC=3,5cm.$ Kẻ thêm đường cao $DH$ của hình thang cân ABCD, ta có:

$\begin{array}{rl}& AH=\frac{1}{2}\left(AB-CD\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(6-3\right)=1,5\left(cm\right)\end{array}$

Áp dụng định lí Py-ta-go đối với tam giác vuông $ADH$, ta có: 

$DH=\sqrt{A{D}^2-A{H}^2}=\sqrt{3,5^2-1,5^2}$$=\sqrt{12,25-2,25}$ $=\sqrt{10}\approx 3,16\left(cm\right)$

$S_{đáy}=S_{ABCD}={\displaystyle \frac{1}{2}}(AB+CD).DH$$\approx {\displaystyle \frac{1}{2}}\left(3+6\right).3,16=14,22c{m}^2$

$S_{xq}=2ph=(3+6+3,5+3,5).11,5$$=16.11,5=184(c{m}^2)$ 

$S_{tp}=S_{xq}+2S_{đáy}$$\approx 184+2.14,22=212,44(c{m}^2)$

a) Số bê tông cần phải có là bao nhiêu?

b) Cần phải có bao nhiêu chuyến xe để chở số bê tông cần thiết đến chỗ đổ bê tông cần thiết đến chỗ đổ bê tông, nếu mỗi xe chứa được $0,06m^3$?

(Không tính số bê tông dư thừa hoặc rơi vãi). 

a) Từ B kẻ $BF//CD(F\in DE)$, ta có: 

$EF=DE-DF=4,20-2,15=2,05(m)$

$\begin{array}{l}{S}_{ABCDE}=S_{BCDF}+S_{ABFE}\\ S_{BCDF}=BC.CD=2,15.5,10=10,965\left(m^2\right)\end{array}$

$S_{ABFE}=\frac{1}{2}\left(BF+AE\right).EF$$=\frac{1}{2}\left(5,10+3,60\right).2,05\approx 8,918\left(m^2\right)$

Vậy diện tích mặt tấm đổ bê tông là:

$S_{ABCDE}=10,965+8,918\approx 19,88\left(m^2\right)$

Thể tích tấm bê tông là: 

$V=S_{ABCDE}.h\approx 19,88.0,03=0,5964\approx 0,6(m^3)$

b) Số chuyến xe chở bê tông đến nơi đổ là:

 $0,6:0,06=10$ (chuyến)

 $A, B, C, D$ là các đỉnh của một hình hộp chữ nhật. Hãy quan sát hình 102 rồi điền số thích hợp vào các ô trống ở bảng sau:

Áp dụng định lí Pi-ta-go.

Sử dụng: $AD=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2+C{D}^2}$ 

Giải thích: 

Ở hàng (2): $AD=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2+C{D}^2}$

$=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3$

Ở hàng (3): $BD=\sqrt{A{D}^2-A{B}^2}=\sqrt{7^2-2^2}$ $=\sqrt{45}$

 $CD=\sqrt{B{D}^2-B{C}^2}=\sqrt{45-3^2}$ $=\sqrt{36}=6$

Ở hàng (4): $BD=\sqrt{A{D}^2-A{B}^2}=\sqrt{{11}^2-2^2}$ $=\sqrt{117}$

 $BC=\sqrt{B{D}^2-D{C}^2}$

$=\sqrt{117-9^2}=\sqrt{117-81}$$=\sqrt{36}=6$

Ở hàng (5): $BD=\sqrt{D{C}^2+B{C}^2}$

$=\sqrt{{20}^2+{12}^2}=\sqrt{400+144}=\sqrt{544}$

 $AB=\sqrt{A{D}^2-B{D}^2}=\sqrt{{25}^2-544}$ $=\sqrt{81}=9$

Tính thể tích của hình chóp đều, hình chóp cụt đều sau đây (h.103 và h.104) ($\sqrt{3} \approx 1,73$)

Áp dụng công thức tính thể tích của hình chóp đều.

$V={\displaystyle \frac{1}{3}}Sh$

Trong đó: $S$ là diện tích đáy hình chóp.

$h$ là chiều cao hình chóp.

Lời giải:

a) Tính thể tích hình chóp tam giác đều A.BCD: 

- Diện tích đáy BCD:

 $S_{đáy}=S_{BCD}={\displaystyle \frac{B{C}^2\sqrt{3}}{4}}={\displaystyle \frac{{10}^2\sqrt{3}}{4}}$$\approx 43,25\left(c{m}^2\right)$

- Thể tích hình chóp A.BCD:

 $V={\displaystyle \frac{1}{3}}.S_{đáy}.AO={\displaystyle \frac{1}{3}}.43,25.20\approx 288,33$ $(c{m}^3)$

b) Tính thể tích hình chóp cụt tứ giác đều $ABCD.EFGH$ 

Thể tích của hình chóp cụt đều bằng hiệu của hai thể tích hình chóp đều.

$LO=LM+MO=15+15$$=30(cm)$

$S_{ABCD}=A{B}^2$$={20}^2=400(c{m}^2)$

$V_{L.ABCD}={\displaystyle \frac{1}{3}}{S}_{ABCD}.LO={\displaystyle \frac{1}{3}}.400.30$$=4000\left(c{m}^3\right)$

$S_{EFGH}=E{F}^2={10}^2=100(c{m}^2)$

-Thể tích hình chóp đều $L.EFGH$ là:

$V_{L.EFGH}={\displaystyle \frac{1}{3}}{S}_{EFGH}.LM$$={\displaystyle \frac{1}{3}}.100.15=500\left(c{m}^3\right)$

Vậy thể tích hình chóp cụt đều là:

$V_{ABCD.EFGH}=V_{L.ABCD}-V_{L.EFGH}$$=4000-500=3500(c{m}^3)$

Vở bài tập Toán 8 trang 140 - 145 Bài 44: Có một khối gỗ hình lập phương cạnh 9cm. Người ta đục ba “lỗ vuông” xuyên thủng khối gỗ như hình 105.

a) Tìm thể tích khối gỗ còn lại 

b) Tìm tổng diện tích của tất cả các mặt (cả ngoài lẫn trong) của khối gỗ.

Phương pháp giải:

a) Phần đục lỗ gồm 7 hình lập phương cạnh 3cm. Tính thể tích toàn khối gỗ rồi trừ đi thể tích 7 hình lập phương cạnh 3cm 

b) Tính diện tích toàn phần của hình lập phương trừ đi diện tích 6 mặt hình vuông cạnh 3cm ta được diện tích mặt ngoài

Tính diện tích xung quanh của 6 lỗ (6 hình lập phương cạnh 3cm) ta được diện tích mặt trong

Tính tổng diện tích mặt ngoài và mặt trong ta được kết quả cần tìm

Lời giải:

a) Thể tích khối lập phương khi chưa đục là: $V=9^3=729c{m}^3$ 

Thể tích khối lập phương cạnh 3cm là: $V_1=3^3=27c{m}^3$

Phần đục lỗ gồm 7 hình lập phương cạnh 3cm nên thể tích phần đục lỗ là: $7V_1=7.27=189c{m}^3$

Thể tích phần còn lại là: $729-189=540c{m}^3$

b) Diện tích toàn phần của hình lập phương khi chưa đục lỗ là: $\mathrm{6.9.9}=486c{m}^2$

Diện tích 6 mặt hình vuông cạnh 3cm là: $\mathrm{6.3.3}=54c{m}^2$

Diện tích mặt ngoài khối gỗ sau khi đục lỗ là: $486-54=432c{m}^2$

Diện tích xung quanh hình lập phương cạnh 3cm là: $\mathrm{4.3.3}=36c{m}^2$

Diện tích mặt trong khối gỗ là diện tích xung quanh của 6 lỗ (6 hình lập phương cạnh 3cm) bằng:

$6.36=216c{m}^2$

Diện tích của tất cả các mặt của khối gỗ sau khi đục lỗ là: $432+216=648c{m}^2$.

Vở bài tập Toán 8 trang 140 - 145 Bài 45: Tính thể tích của hình cho trên hình 106 với các kích thước kèm theo. 

Phương pháp giải: Áp dụng công thức tính thể tích của hình hộp chữ nhật và hình chóp.
Lời giải:

Thể tích cần tính bao gồm một hình hộp chữ nhật và một hình chóp cụt.

$V_{\text{hộp}}=\mathrm{3.3.6}=54(m^3)$

Thể tích hình chóp với đường cao:

$BA=BO+OA=3,0+4,5=7,5m$

 $V_1={\displaystyle \frac{1}{3}}{S}_1{h}_1={\displaystyle \frac{1}{3}}.7,5.7,5.7,5$$=140,625\left(m^3\right)$

Thể tích hình chóp với đường cao $BO=3,0m$

 $V_2={\displaystyle \frac{1}{3}}.S_2.h_2={\displaystyle \frac{1}{3}}.3.3.3=9\left(m^3\right)$

Thể tích hình chóp cụt là:

$V_c=V_1-V_2=140,625-9$$=131,625$ $(m^3)$

Thể tích của hình cần tính là:

$V=V_{\text{hộp}}+V_c=54+131,625$$=185,625(m^3)$

Đề kiểm tra 45 phút chương 4 phần Hình học 8 - Đề số 1:

Câu 1: (3 điểm) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH (h.107). Hãy chọn khẳng định đúng. 

a) Mặt phẳng (ABFE) song song với mặt phẳng:

I. (ABCD);                II. (BCGF)

III. (ADHE)               IV. (DCGH)

b) Đường thẳng AB song song với đường thẳng:

I. EH;                II. FG

III. HG               IV. BC

c) Đường thẳng AE vuông góc với mặt phẳng:

I. (BCGF);                II. (ABCD)

III. (DCGH)               IV. (ADHE)

Câu 2: (3 điểm) Lăng trụ đứng ABCD.EFGH có đáy ABCD là một hình vuông, đường cao $AE=h=8cm$; đường chéo của mặt bên $AF=d=10cm$ (h.108)

a) Tính diện tích toàn phần của lăng trụ 

b) Tính thể tích của lăng trụ 

Câu 3: (4 điểm) Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là $a=6cm,$ cạnh bên là $b=8cm$ (h.109)

a) Tính diện tích đáy của hình chóp

b) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp

c) Tính thể tích hình chóp

(Các kết quả lấy với hai chữ số thập phân)

Phương pháp giải:

Câu 1:

Sử dụng tính chất hình hộp chữ nhật. 

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P)

Câu 2:

a) Diện tích toàn phần $S_{tp}=2S_{đáy}+S_{xq}$

b) Thể tích lăng trụ $V=S_{đáy}.h$ với $h$ là chiều cao lăng trụ

Câu 3:

a) Diện tích tam giác bằng nửa tích của đáy với chiều cao tương ứng

b) Diện tích xung quanh hình chóp $S_{xq}=p.d$ với $p$ là nửa chu vi đáy và $d$ là trung đoạn của hình chóp

Diện tích toàn phần $S_{tp}=S_{đáy}+S_{xq}$ 

c) Thể tích hình chóp $V={\displaystyle \frac{1}{3}}{S}_{đáy}.h$ với $h$ là chiều cao hình chóp

Lời giải:

Câu 1: 

a) Mặt phẳng (ABFE) song song với mặt phẳng (DCGH) vì các mặt đối nhau của hình hộp chữ nhật song song với nhau

Chọn IV.

b) Vì ABFE là hình chữ nhật nên AB//FE

Vì EFGH là hình chữ nhật nên EF//HG

Suy ra AB//HG

Chọn II

c) Đường thẳng AE vuông góc với mặt phẳng (ABCD) vì trong hình hộp chữ nhật thì cạnh bên luôn vuông góc với mặt phẳng đáy.

Câu 2:

a) Xét tam giác AEF vuông tại E, theo định lí Py-ta-go ta có: 

$\begin{array}{l}A{F}^2=A{E}^2+E{F}^2\\ \Rightarrow E{F}^2=A{F}^2-A{E}^2\\ \Rightarrow E{F}^2={10}^2-8^2=36\\ \Rightarrow EF=6cm\end{array}$

Diện tích 1 đáy của lăng trụ là: $S=S_{EFGH}=E{F}^2=36c{m}^2$

Diện tích xung quanh của lăng trụ là: $S_{xq}=2p.h=\mathrm{6.4.8}=192c{m}^2$

Diện tích toàn phần: $S_{tp}=2S+S_{xq}$$=2.36+192=264c{m}^2$ 

b) Thể tích lăng trụ: $V=S_{EFGH}.AE=36.8=288c{m}^3$

a) Tam giác ABC đều có $O$ là trọng tâm và E là trung điểm cạnh AB nên suy ra $CE\mathrm{\perp }AB$ và $AE={\displaystyle \frac{1}{2}}AB={\displaystyle \frac{1}{2}}.6=3cm$Xét tam giác ACE vuông tại E, theo định lí Py-ta-go ta có:

$\begin{array}{l}C{E}^2+A{E}^2=A{C}^2\\ \Rightarrow C{E}^2=A{C}^2-A{E}^2\\ \Rightarrow C{E}^2=6^2-3^2=36-9=27\\ \Rightarrow CE=\sqrt{27}cm\end{array}$

Khi đó, diện tích tam giác ABC là: $S_{ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}CE.AB={\displaystyle \frac{1}{2}}.\sqrt{27}.6$ $=3\sqrt{27}\approx 15,59c{m}^2$

b) Xét tam giác ASE vuông tại E, theo định lí Py-ta-go ta có:

$\begin{array}{l}S{E}^2+A{E}^2=S{A}^2\\ \Rightarrow S{E}^2=S{A}^2-A{E}^2\\ \Rightarrow S{E}^2=8^2-3^2=64-9=55\\ \Rightarrow SE=\sqrt{55}cm\end{array}$

Nửa chu vi tam giác ABC là: ${\displaystyle \frac{1}{2}}\left(6+6+6\right)=9cm$

Diện tích xung quanh hình chóp $S_{xq}=p.d=9.\sqrt{55}\approx 66,75c{m}^2$

Diện tích toàn phần $S_{tp}=S_{ABC}+S_{xq}\approx 15,59+66,75=82,34c{m}^2$

c) Vì $O$ là trọng tâm tam giác ABC nên $OC={\displaystyle \frac{2}{3}}CE={\displaystyle \frac{2}{3}}.\sqrt{27}=2\sqrt{3}cm$

Xét tam giác SCO vuông tại O, theo định lí Py-ta-go ta có:

$\begin{array}{l}S{C}^2=C{O}^2+S{O}^2\\ \Rightarrow S{O}^2=S{C}^2-C{O}^2\\ \Rightarrow S{O}^2=8^2-{\left(2\sqrt{3}\right)}^2=52\\ \Rightarrow SO=\sqrt{52}cm\end{array}$

Thể tích hình chóp: $V={\displaystyle \frac{1}{3}}{S}_{ABC}.SO={\displaystyle \frac{1}{3}}.3\sqrt{27}.\sqrt{52}\approx 37,47c{m}^3$

Đề kiểm tra 45 phút chương 4 phần Hình học 8 - Đề số 2:

Câu 1 (3 điểm) Các mệnh đề sau đúng hay sai? (Nếu đúng thì viết chữ Đ, nếu sai thì viết chữ S vào cột Đúng – Sai ở phần tương ứng) 

Câu 2 (3 điểm) Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh $a=3cm,$ đường chéo của mặt bên ABB’A’ là $A{B}^{\prime }=d=5cm$ (h.110) 

a) Tính độ dài cạnh bên của hình lăng trụ

b) Tính diện tích toàn phần của lăng trụ

c) Tính thể tích của lăng trụ 

Câu 3: (4 điểm) Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh bên, cạnh đáy đều bằng $a=4cm$ (h.111).

a) Tính độ dài trung đoạn của hình chóp đều

b) Tính diện tích toàn phần của hình chóp đều

c) Tính đường cao SO của hình chóp đều

d) Tính thể tích của hình chóp đều

Phương pháp giải:

Câu 1:

Dựa vào định nghĩa hình chóp đều

Hình chóp có đáy là đa giác đều và có các cạnh bên bằng nhau là hình chóp đều

Câu 2:

Dùng định lý Py-ta-go

Diện tích toàn phần $S_{tp}=2S_{đáy}+S_{xq}$

Thể tích lăng trụ $V=S_{đáy}.h$ với $h$ là chiều cao lăng trụ 

Câu 3:

Sử dụng định lý Pytago 

Diện tích xung quanh hình chóp đều bằng nửa chu vi đáy nhân với trung đoạn 

Diện tích toàn phần hình chóp đều bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy

Thể tích hình chóp đều $V={\displaystyle \frac{1}{3}}S.h$ với S là diện tích đáy và $h$ là chiều cao hình chóp

Lời giải:
Câu 1:

1 và 2 - Sai vì thiếu điều kiện đáy là đa giác đều

3- Đúng

Câu 2:

a) Xét tam giác ABB’ vuông tại B, theo định lí Py-ta-go ta có: 

$\begin{array}{l}BB{}^{\prime 2}+A{B}^2=AB{}^{\prime 2}\\ \Rightarrow BB{}^{\prime 2}=AB{}^{\prime 2}-A{B}^2\\ \Rightarrow BB{}^{\prime 2}=5^2-3^2=16\\ \Rightarrow B{B}^{\prime }=4cm\end{array}$

Vậy cạnh bên của hình lăng trụ là $4cm.$

b) Gọi $M$ là trung điểm cạnh $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Vì tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ đều nên $CM\mathrm{\perp }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ 

Ta có: $B^{\prime }M={\displaystyle \frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{2}}={\displaystyle \frac{a}{2}}=1,5cm$

Xét tam giác vuông A’B’M vuông tại M, theo định lý Py-ta-go ta có:

$\begin{array}{l}{A}^{\prime }{M}^2+B^{\prime }{M}^2=A^{\prime }B{}^{\prime 2}\\ \Rightarrow A^{\prime }{M}^2=A^{\prime }B{}^{\prime 2}-B^{\prime }{M}^2\\ \Rightarrow A^{\prime }{M}^2=3^2-1,5^2={\displaystyle \frac{27}{4}}\\ \Rightarrow A^{\prime }M={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}cm\end{array}$

Diện tích đáy: $S_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{2}}{A}^{\prime }M.B^{\prime }{C}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}.3$ $={\displaystyle \frac{9\sqrt{3}}{4}}\left(c{m}^2\right)$

Chu vi đáy $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ : $A^{\prime }{B}^{\prime }+B^{\prime }{C}^{\prime }+A^{\prime }{C}^{\prime }=3+3+3=9cm$

Diện tích xung quanh của lăng trụ: $S_{xq}=2p.h=9.4=36c{m}^2$

Diện tích toàn phần của lăng trụ: $S_{tp}=2S_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}+S_{xq}$

$=2.{\displaystyle \frac{9\sqrt{3}}{4}}+36\approx 43,79c{m}^2$

c) Thể tích lăng trụ: $V=S_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}.B{B}^{\prime }={\displaystyle \frac{9\sqrt{3}}{4}}.4=9\sqrt{3}\left(c{m}^3\right)$

Câu 3:

a) Vì E là trung điểm canh AB nên $AE={\displaystyle \frac{AB}{2}}={\displaystyle \frac{4}{2}}=2cm$

Xét tam giác SAE vuông tại E, theo định lý Py-ta-go ta có:

 $\begin{array}{l}S{E}^2+A{E}^2=S{A}^2\\ \Rightarrow S{E}^2=S{A}^2-A{E}^2\\ \Rightarrow S{E}^2=4^2-2^2=16-4=12\\ \Rightarrow SE=\sqrt{12}cm\end{array}$

Vậy độ dài trung đoạn là $\sqrt{12}cm$

b) Nửa chu vi đáy ABCD là ${\displaystyle \frac{1}{2}}\left(4+4+4+4\right)=8cm$

Diện tích xung quanh hình chóp đều là: $S_{xq}=8.\sqrt{12}cm$ 

Diện tích đáy $ABCD$ là $S_{ABCD}=4^2=16\left(c{m}^2\right)$

Diện tích toàn phần hình chóp đều $S_{tp}=S_{ABCD}+S_{xq}=16+8\sqrt{12}\left(c{m}^2\right)$

c) Ta có $OE$ là đường trung bình của tam giác DAB nên $OE={\displaystyle \frac{AD}{2}}={\displaystyle \frac{4}{2}}=2cm$

Xét tam giác vuông $SOE$, theo định lí Py-ta-go ta có:

$\begin{array}{l}S{O}^2+O{E}^2=S{E}^2\\ \Rightarrow S{O}^2=S{E}^2-O{E}^2\\ \Rightarrow S{O}^2={\left(\sqrt{12}\right)}^2-2^2=8\\ \Rightarrow SO=\sqrt{8}cm\end{array}$

Vậy độ dài đường cao hình chóp là $\sqrt{8}cm$

d) Thể tích hình chóp đều là: $V_{ABCD}={\displaystyle \frac{1}{3}}{S}_{ABCD}.SO$$={\displaystyle \frac{1}{3}}.16.\sqrt{8}={\displaystyle \frac{16\sqrt{8}}{3}}\left(c{m}^3\right)$