SBT Toán 8 Bài 2: Hình thang | Giải SBT Toán lớp 8

Nghiêm Thị Ngà Ngày: 15-05-2022 Lớp 8

556

Toptailieu.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 8 Bài 2: Hình thang chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 2: Hình thang

Bài 11 Trang 81 SBT Toán 8 Tập 1 Tính các góc của hình thang $A B C D$ $(A B / / C D),$ biết rằng $\hat{A} = 3 \hat{D},$ $\hat{B} - \hat{C} = 30^{0}$

Phương pháp giải:

+) Hai góc kề một cạnh bên của hình thang bằng $180^{0} .$

Lời giải:

Do $A B / / C D$ (vì ABCD là hình thang)

$\Rightarrow \hat{A} + \hat{D} = 180^{0}$ (hai góc trong cùng phía)

Ta có: $\hat{A} = 3 \hat{D}$ (gt)

$\begin{aligned} \Rightarrow 3 \hat{D} + \hat{D} = 180^{0} \\ \Rightarrow \hat{D} = 45^{0} \\ \Rightarrow \hat{A} = {3.45}^{0} = 135^{0} \end{aligned}$

Do $A B / / C D$ (vì ABCD là hình thang)

$\Rightarrow \hat{B} + \hat{C} = 180^{0}$ (hai góc trong cùng phía)

Mà: $\hat{B} - \hat{C} = 30^{0}$ (gt)

$\begin{aligned} \Rightarrow 2 \hat{B} = 210^{0} \Rightarrow \hat{B} = 105^{0} \\ \hat{C} = \hat{B} - 30^{0} = 105^{0} - 30^{0} = 75^{0} \end{aligned}$

Bài 12 Trang 81 SBT Toán 8 Tập 1 Tứ giác $A B C D$ có $B C = C D$ và $D B$ là tia phân giác của góc $D .$ Chứng minh rằng $A B C D$ là hình thang.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa: Hình thang là tứ giác có 1 cặp cạnh đối song song.

Lời giải:

$∆ B C D$ có $B C = C D$ (gt) nên $∆ B C D$ cân tại $C$

$\Rightarrow {\hat{B}}_{1} = {\hat{D}}_{1}$ (tính chất tam giác cân)

Mà ${\hat{D}}_{1} = {\hat{D}}_{2}$ (vì DB là tia phân giác của góc D)

Suy ra: ${\hat{B}}_{1} = {\hat{D}}_{2}$ (ở vị trí so le trong)

Do đó: $B C / / A D$ (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Vậy $A B C D$ là hình thang (theo định nghĩa)

Bài 13 Trang 81 SBT Toán 8 Tập 1 Dùng thước và êke kiểm tra xem trong các tứ giác trên hình $2 :$

$a)$ Tứ giác nào chỉ có một cặp cạnh song song;

$b)$ Tứ giác nào có hai cặp cạnh song song;

$c)$ Tứ giác nào là hình thang.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

Lời giải:

$a)$ Tứ giác ở hình $(1)$ chỉ có $1$ cặp cạnh đối song song.

$b)$ Tứ giác ở hình $(3)$ có hai cặp cạnh đối song song.

$c)$ Tứ giác ở hình $(1)$ và hình $(3)$ là hình thang.

Bài 14 Trang 81 SBT Toán 8 Tập 1 Tính các góc $B$ và $D$ của hình thang $A B C D,$ biết rằng $\hat{A} = 60^{0}, \hat{C} = 130^{0} .$

Phương pháp giải:

+) Hai góc kề một cạnh bên của hình thang bằng $180^{0} .$

Lời giải:

Hình thang $A B C D$ ta có, $\hat{A}$ và $\hat{C}$ là hai góc đối

$a)$ Trường hợp $\hat{A}$ và $\hat{B}$ là hai góc kề với cạnh bên.

$\Rightarrow A D / / B C$

$\hat{A} + \hat{B} = 180^{0}$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

$\Rightarrow \hat{B} = 180^{0} - \hat{A} = 180^{0} - 60^{0} = 120^{0}$

$\hat{C} + \hat{D} = 180^{0}$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

$\Rightarrow \hat{D} = 180^{0} - \hat{C} = 180^{0} - 130^{0} = 50^{0}$

$b)$ Trường hợp $\hat{A}$ và $\hat{D}$ là hai góc kề với hai cạnh bên

$\Rightarrow A B / / C D$

$\hat{A} + \hat{D} = 180^{0}$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

$\Rightarrow \hat{D} = 180^{0} - \hat{A} = 180^{0} - 60^{0} = 120^{0}$

$\hat{B} + \hat{C} = 180^{0}$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

$\Rightarrow \hat{B} = 180^{0} - \hat{C} = 180^{0} - 130^{0} = 50^{0}$

Bài 15 Trang 81 SBT Toán 8 Tập 1 Chứng minh rằng trong hình thang có nhiều nhất là hai góc tù, có nhiều nhất là hai góc nhọn.

Phương pháp giải:

+) Hai góc kề một cạnh bên của hình thang bằng $180^{0} .$

Lời giải:

Xét hình thang $A B C D$ có $A B / / C D$

$\hat{A}$ và $\hat{D}$ là hai góc kề với cạnh bên.

$\Rightarrow \hat{A} + \hat{D} = 180^{0}$ ( $2$ góc trong cùng phía ) nên trong hai góc đó có nhiều nhất $1$ góc nhọn và có nhiều nhất là $1$ góc tù.

$\hat{B}$ và $\hat{C}$ là hai góc kề với cạnh bên

$\Rightarrow \hat{B} + \hat{C} = 180^{0}$ ( $2$ góc trong cùng phía) nên trong hai góc đó có nhiều nhất $1$ góc nhọn và có nhiều nhất $1$ góc tù.

Vậy trong bốn góc là : $\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}, \hat{D}$ có nhiều nhất là hai góc nhọn và nhiều nhất là hai góc tù.

Bài 16 Trang 81 SBT Toán 8 Tập 1 Chứng minh rằng trong hình thang các tia phân giác của hai góc kề một cạnh bên vuông góc với nhau.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Hai góc kề một cạnh bên của hình thang bằng $180^{0} .$

+) Tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^{0} .$

Lời giải:

Giải sử hình thang $A B C D$ có $A B / / C D$

Suy ra $\hat{A} + \hat{D} = 180^{0}$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

Ta có:

${\hat{A}}_{1} = {\hat{A}}_{2} = \frac{1}{2} \hat{A}$ (vì AE là tia phân giác của góc A)

${\hat{D}}_{1} = {\hat{D}}_{2} = \frac{1}{2} \hat{D}$ (vì DE là tia phân giác của góc D)

Suy ra:

${\hat{A}}_{1} + {\hat{D}}_{1} = \frac{1}{2} (\hat{A} + \hat{D})$ $= \frac{1}{2} {.180}^{0} = 90^{0}$

Trong $∆ A E D$ ta có :

$\hat{A E D} + {\hat{A}}_{1} + {\hat{D}}_{1} = 180^{0}$ (tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{A E D} = 180^{0} - ({\hat{A}}_{1} + {\hat{D}}_{1})$ $= 180^{0} - 90^{0} = 90^{0}$

Vậy $A E ⊥ D E$

Bài 17 Trang 81 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $A B C .$ Các tia phân giác của các góc $B$ và $C$ cắt nhau ở $I .$ Qua $I$ kẻ đường thẳng song song với $B C,$ cắt các cạnh $A B$ và $A C$ ở $D$ và $E .$

a) Tìm các hình thang trong hình vẽ.

b) Chứng minh rằng hình thang $B D E C$ có một cạnh đáy bằng tổng hai cạnh bên.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

b) Sử dụng tính chất hai góc so le trong, tam giác cân.

Lời giải:

Đường thẳng đi qua $I$ song song với $B C$ cắt $A B$ tại $D$ và $A C$ tại $E,$ ta có các hình thang sau: $B D E C,$ $B D I C,$ $B I E C .$

b) $D E / / B C$ (theo cách vẽ)

$\Rightarrow {\hat{I}}_{1} = {\hat{B}}_{1}$ (hai góc so le trong)

Mà ${\hat{B}}_{1} = {\hat{B}}_{2}$ (vì BI là phân giác góc B)

Suy ra: ${\hat{I}}_{1} = {\hat{B}}_{2}$

Do đó: $∆ B D I$ cân tại $D$

$\Rightarrow D I = D B (1)$

Ta có: ${\hat{I}}_{2} = {\hat{C}}_{1}$ (so le trong)

${\hat{C}}_{1} = {\hat{C}}_{2}$ (vì CI là phân giác góc C)

Suy ra: ${\hat{I}}_{2} = {\hat{C}}_{2}$ do đó: $∆ C E I$ cân tại $E$

$\Rightarrow I E = E C (2)$

$D E = D I + I E (3)$

Từ $(1),$ $(2)$ và $(3)$ suy ra: $D E = B D + C E$

Bài 18 Trang 82 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $A B C$ vuông cân tại $A .$ Ở phía ngoài tam giác $A B C,$ vẽ tam giác $B C D$ vuông cân tại $B .$ Tứ giác $A B C D$ là hình gì $?$ Vì sao $?$

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa:

+) Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

+) Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.

Lời giải:

Vì $∆ A B C$ vuông cân tại $A$ nên ${\hat{C}}_{1} = 45^{0}$

Vì $∆ B C D$ vuông cân tại $B$ nên ${\hat{C}}_{2} = 45^{0}$

Ta có: $\hat{A C D} = {\hat{C}}_{1} + {\hat{C}}_{2} = 45^{0} + 45^{0} = 90^{0}$

$\Rightarrow A C ⊥ C D$

Lại có: $A C ⊥ A B (g t)$

$\Rightarrow A B / / C D$ $\Rightarrow$ tứ giác $A B C D$ là hình thang.

Mà $\hat{A C D} = 90^{0}$ $\Rightarrow$ tứ giác $A B D C$ là hình thang vuông.

Vậy tứ giác $A B D C$ là hình thang vuông.

Bài 19 Trang 82 SBT Toán 8 Tập 1 Hình thang vuông $A B C D$ có $\hat{A} = \hat{D} = 90^{0}$ , $A B = A D = 2 c m,$ $D C = 4 c m .$ Tính các góc của hình thang.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau.

+) Tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng $90^{0} .$

+) Hai góc kề một cạnh bên của hình thang bằng $180^{0} .$

Lời giải:

Kẻ $B H ⊥ C D$

Ta có: $A D ⊥ C D$ ( vì ABCD là hình thang vuông tại A và D )

Suy ra: $B H / / A D .$

Hình thang $A B H D$ có hai cạnh bên song song

Nên $H D = A B$ và $B H = A D$

$A B = A D = 2 c m (g t)$

$\Rightarrow B H = H D = 2 c m$

$C H = C D - H D$ $= 4 - 2 = 2 c m$

Suy ra: $∆ B H C$ vuông cân tại $H$

$\begin{aligned} \Rightarrow \hat{B} + \hat{C} = 90^{o} \\ \Rightarrow \hat{B} = \hat{C} = 90^{o} : 2 = 45^{o} \end{aligned}$

Trong hình thang $A B C D$ có $A B / / C D$ nên $\hat{B} + \hat{C} = 180^{0}$ (hai góc trong cùng phía)

$\Rightarrow \hat{B} = 180^{0} - \hat{C} = 180^{0} - 45^{0} = 135^{0}$

Bài 20 Trang 82 SBT Toán 8 Tập 1 Chứng minh rằng tổng hai cạnh bên của hình thang lớn hơn hiệu hai đáy.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau.

+) Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Lời giải:

Giả sử hình thang $A B C D$ có $A B / / C D$ và $C D > A B$

Từ $B$ kẻ đường thẳng song song với $A D$ cắt $C D$ tại $E .$

Hình thang $A B E D$ có hai cạnh bên song song

Nên $A B = E D$ và $A D = B E$

Ta có: $C D - A B = C D - E D = E C (1)$

Trong $∆ B E C$ ta có:

$B E + B C > E C$ ( bất đẳng thức tam giác)

Mà $B E = A D$

Suy ra: $A D + B C > E C (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $A D + B C > C D - A B$

Bài 21 Trang 82 SBT Toán 8 Tập 1 Trên hình $3$ có bao nhiêu hình thang $?$

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh song song.

Lời giải:

Trên hình vẽ có tất cả $10$ hình thang: $A B C D,$ $A B E F,$ $A B G H,$ $A B I K,$ $D C E F,$ $D C G H,$ $D C I K,$ $F E G H,$ $F E I K,$ $H G I K .$

Bài 2.1 Trang 82 SBT Toán 8 Tập 1 Hình thang $A B C D$ $(B C / / A D)$ có $\hat{C} = 3 \hat{D}$ . Khẳng định nào dưới đây là đúng $?$

$A .$ $\hat{A} = 45^{0}$

$B .$ $\hat{B} = 45^{0}$

$C .$ $\hat{D} = 45^{0}$

$D .$ $\hat{D} = 60^{0}$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Hai góc kề một cạnh bên của hình thang bằng $180^{0} .$

Lời giải:

Vì $B C / / A D$ (giả thiết)

$\Rightarrow \hat{C} + \hat{D} = 180^{0}$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

Mà $\hat{C} = 3 \hat{D}$

$\Rightarrow 3 \hat{D} + \hat{D} = 180^{0}$

$\Rightarrow 4 \hat{D} = 180^{0}$

$\Rightarrow \hat{D} = 45^{0}$

Vậy chọn $C .$ $\hat{D} = 45^{0}$

Bài 2.2 Trang 82 SBT Toán 8 Tập 1 Hình thang $A B C D$ $(A B / / C D)$ có $\hat{A} - \hat{D} = 40^{0}, \hat{A} = 2 \hat{C}$ . Tính các góc của hình thang.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Hai góc kề một cạnh bên của hình thang bằng $180^{0} .$

Lời giải:

Hình thang $A B C D$ có $A B / / C D$

$\Rightarrow \hat{A} + \hat{D} = 180^{0}$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

$\begin{aligned} \hat{A} - \hat{D} = 40^{0} (g t) \\ \Rightarrow \hat{A} + \hat{D} + \hat{A} - \hat{D} = 180^{0} + 40^{0} = 220^{0} \\ \Rightarrow 2 \hat{A} = 220^{0} \Rightarrow \hat{A} = 110^{0} \\ \hat{D} = \hat{A} - 40^{0} = 110^{0} - 40^{0} = 70^{0} \\ \hat{A} = 2 \hat{C} (g t) \\ \Rightarrow \hat{C} = \frac{\hat{A}}{2} = 110^{0} : 2 = 55^{0} \end{aligned}$

Vì $A B / / C D$ nên $\hat{B} + \hat{C} = 180^{0}$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

$\Rightarrow \hat{B} = 180^{0} - \hat{C} = 180^{0} - 55^{0} = 125^{0}$

Bài 2.3 Trang 82 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $A B C$ vuông cân tại $A,$ $B C = 2 c m .$ Ở phía ngoài tam giác $A B C,$ vẽ tam giác $A C E$ vuông cân tại $E .$

$a)$ Chứng minh rằng $A E C B$ là hình thang vuông

$b)$ Tính các góc và các cạnh của hình thang $A E C B .$

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa:

+) Hình thang là tứ giác có hai cạnh song song.

+) Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.

+) Hai góc kề một cạnh bên của hình thang bằng $180^{0} .$

+) Sử dụng định lí: Py - ta - go.

Lời giải:

$a)$ $∆ A B C$ vuông cân tại $A$

$\Rightarrow \hat{A C B} = 45^{0}$

$∆ E A C$ vuông cân tại $E$

$\Rightarrow \hat{E A C} = 45^{0}$

Suy ra: $\hat{E A C} = \hat{A C B}$

$\Rightarrow A E / / B C$ (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

nên tứ giác $A E C B$ là hình thang có $\hat{E} = 90^{0}$ . Vậy $A E C B$ là hình thang vuông

$b)$ $\hat{E} = \hat{E C B} = 90^{0}, \hat{B} = 45^{0}$

Vì $A E / / B C$ nên $\hat{B} + \hat{E A B} = 180^{0}$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

$\Rightarrow \hat{E A B} = 180^{0} - \hat{B}$ $= 180^{0} - 45^{0} = 135^{0}$

$∆ A B C$ vuông tại $A .$ Theo định lí Py-ta-go ta có:

$A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}$ mà $A B = A C (g t)$

$\Rightarrow 2 A B^{2} = B C^{2} = 2^{2} = 4$
$A B^{2} = 2 \Rightarrow A B = \sqrt{2} (c m)$

$\Rightarrow A C = \sqrt{2} (c m)$

$∆ A E C$ vuông tại $E .$ Theo định lí Py-ta-go ta có:

$E A^{2} + E C^{2} = A C^{2}$ , mà $E A = E C (g t)$

$\begin{aligned} \Rightarrow 2 E A^{2} = A C^{2} = 2 \\ \Rightarrow E A^{2} = 1 \\ \Rightarrow E A = 1 (c m) \Rightarrow E C = 1 (c m) \end{aligned}$

Từ khóa :

Giải bài tập Toán 5 Hình thang

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Lớp 6

Toán 6 ( Kết nối tri thức): Luyện tập chung Mai Hương

298

Toán Lớp 6

Bài 5.16 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

319

Toán Lớp 6

Bài 5.15 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

347

Toán Lớp 6

Bài 5.14 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

295