Toptailieu.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 8 Bài 1: Tứ giác chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 1: Tứ giác

Bài 1 Trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Tính tổng các góc ngoài của tứ giác (tại mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài).

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Tổng bốn góc của một tứ giác bằng ${360}^o.$

+) Góc ngoài của tứ giác là góc kề bù với một góc của tứ giác.

Lời giải:

Ta có:

${\hat{A}}_1+{\hat{B}}_1+{\hat{C}}_1+{\hat{D}}_1={360}^o$   (tổng các góc của tứ giác)

Lại có:

${\hat{A}}_1+{\hat{A}}_2={180}^0$ (hai góc kề bù)

${\hat{B}}_1+{\hat{B}}_2={180}^0$ (hai góc kề bù)

${\hat{C}}_1+{\hat{C}}_2={180}^0$ (hai góc kề bù)

${\hat{D}}_1+{\hat{D}}_2={180}^0$ (hai góc kề bù)

Suy ra:

$({\hat{A}}_1+{\hat{A}}_2)+({\hat{B}}_1+{\hat{B}}_2)+({\hat{C}}_1+{\hat{C}}_2)$$+({\hat{D}}_1+{\hat{D}}_2)$
$={180}^o.4={720}^o$ 
$\Rightarrow {\hat{A}}_2+{\hat{B}}_2+{\hat{C}}_2+{\hat{D}}_2$ 
$={720}^o-\left({\hat{A}}_1+{\hat{B}}_1+{\hat{C}}_1+{\hat{D}}_1\right)$
$={720}^o-{360}^o={360}^o$

Bài 2 Trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác $ABCD$ có $AB=BC,CD=DA.$

$a)$ Chứng minh rằng $BD$ là đường trung trực của $AC$

$b)$ Cho biết $\hat{B}={100}^0,\hat{D}={70}^0$ tính $\hat{A}$ và  $\hat{C}$.

Phương pháp giải: 

$a)$ Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng.

$b)$ Tổng bốn góc của một tứ giác bằng ${360}^o.$

Lời giải:

$a)$ Ta có: $BA=BC$ (gt)

$\Rightarrow$ điểm $B$ thuộc đường trung trực của $AC$

Lại có: $DA=DC$ (gt)

$\Rightarrow$ điểm $D$ thuộc đường trung trực của $AC$

$B$ và $D$ là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường trung trực của $AC$ nên đường thẳng $BD$ là đường trung trực của $AC.$

$b)$ Xét $∆BAD$ và $∆BCD,$ ta có:

       $BA=BC$ (gt)

       $DA=DC$ (gt)

       $BD$ cạnh chung

Do đó $∆BAD=∆BCD(c.c.c)$  $\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{BCD}$ (hai góc tương ứng)

Ta có: $\widehat{BAD}+\widehat{BCD}+\widehat{ABC}+\widehat{ADC}$$={360}^0$ (tổng 4 góc trong tứ giác)
 $\Rightarrow \widehat{BAD}+\widehat{BCD}$$={360}^0-\left(\widehat{ABC}+\widehat{ADC}\right)$

$\Rightarrow \widehat{BAD}+\widehat{BAD}$$={360}^0-\left({100}^0+{70}^0\right)$

$\Rightarrow 2\widehat{BAD}={190}^0$

 $\Rightarrow \widehat{BAD}={190}^0:2={95}^0$
 $\Rightarrow \widehat{BCD}=\widehat{BAD}={95}^0$

Bài 3 Trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Vẽ lại tứ giác $ABCD$ ở hình $1$ vào vở bằng cách vẽ hai tam giác.

Phương pháp giải:

Dựng tam giác biết ba cạnh, dựng tam giác biết hai cạnh và góc xen giữa.

Lời giải:

- Vẽ tam giác $ABD$ 

      + Vẽ cạnh $AD$ dài $4cm$

      + Tại $A$ vẽ cung tròn tâm $A$ bán kính $2,5cm$

      + Tại $D$ vẽ cung tròn tâm $D$ bán kính $3cm$

      + Hai cung tròn cắt nhau tại $B$

$\Rightarrow$ Ta được tam giác $ABD$

- Vẽ tam giác $DBC$

      + Dùng thước đo độ vẽ tia $Bx$ sao cho góc $DBx={60}^0$

      + Trên $Bx$ xác định $C$ sao cho $BC=3cm$

$\Rightarrow$ Ta được tam giác $BDC$

$\Rightarrow$ Ta được tứ giác $ABCD$ cần vẽ

Bài 4 Trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Tính các góc của tứ giác $ABCD,$ biết rằng:

$\hat{A}:\hat{B}:\hat{C}:\hat{D}=1:2:3:4$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Tổng bốn góc của một tứ giác bằng ${360}^o.$

+) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Lời giải:

Theo bài ra ta có:

${\displaystyle \frac{\hat{A}}{1}=\frac{\hat{B}}{2}=\frac{\hat{C}}{3}=\frac{\hat{D}}{4};}$

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}={360}^o$ (tổng các góc của tứ giác)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

${\displaystyle \frac{\hat{A}}{1}=\frac{\hat{B}}{2}=\frac{\hat{C}}{3}=\frac{\hat{D}}{4}}$
${\displaystyle =\frac{\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}}{1+2+3+4}}$ $={\displaystyle \frac{{360}^o}{10}={36}^o}$
Suy ra: $\hat{A}={1.36}^o={36}^o$ 
            $\hat{B}={2.36}^o={72}^o$
            $\hat{C}={3.36}^o={108}^o$ 
            $\hat{D}={4.36}^o={144}^o$

Bài 5 Trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác $ABCD$ có $\hat{A}={65}^0,\hat{B}={117}^0,\hat{C}={71}^0$. Tính số đo góc ngoài tại đỉnh $D.$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Tổng bốn góc của một tứ giác bằng ${360}^o.$

+) Góc ngoài của tứ giác là góc kề bù với một góc của tứ giác.

Lời giải:

Trong tứ giác $ABCD$ ta có:

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+{\hat{D}}_1={360}^0$

(tổng các góc trong tứ giác)

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow {\hat{D}}_1={360}^0-\left(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}\right)\\ & ={360}^0-\left({65}^0+{117}^0+{71}^0\right)={107}^0\end{array}$

Ta lại có: ${\hat{D}}_1+\widehat{D_2}={180}^0$ ($2$ góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat{D_2}={180}^0-{\hat{D}}_1$$={180}^0-{107}^0={73}^0$ 

Bài 6 Trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng các góc của một tứ giác không thể đều là góc nhọn, không thể đều là góc tù.

Phương pháp giải: 

+) Tổng bốn góc của một tứ giác bằng ${360}^o.$

Lời giải: 

      Giả sử cả bốn góc của tứ giác đều là góc nhọn (tức là mỗi góc có số đo nhỏ hơn ${90}^o)$ thì tổng bốn góc của tứ giác nhỏ hơn ${90}^o+{90}^o+{90}^o+{90}^o={360}^o$, trái với tính chất tổng các góc của tứ giác bằng ${360}^o.$ Vậy bốn góc của tứ giác không thể đều là góc nhọn.

      Giả sử cả bốn góc của tứ giác đều là góc tù (tức là mỗi góc có số đo lớn hơn ${90}^o)$ thì tổng bốn góc của tứ giác lớn hơn ${90}^o+{90}^o+{90}^o+{90}^o={360}^o$, trái với tính chất tổng các góc của tứ giác bằng ${360}^o$. Vậy bốn góc của tứ giác không thể đều là góc tù.

Bài 7 Trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tứ giác $ABCD.$ Chứng minh rằng tổng hai góc ngoài tại các đỉnh $A$ và $C$ bằng tổng hai góc trong tại các đỉnh $B$ và $D.$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Tổng bốn góc của một tứ giác bằng ${360}^o.$

+) Góc ngoài của tứ giác là góc kề bù với một góc của tứ giác.

Lời giải:

Gọi $\widehat{A_1},\widehat{C_1}$ là góc trong của tứ giác tại đỉnh $A$ và $C.$

Gọi ${\hat{A}}_2,{\hat{C}}_2$ là góc ngoài tại đỉnh $A$ và $C.$

Ta có: ${\hat{A}}_1+{\hat{A}}_2={180}^0$ ($2$ góc kề bù)

$\Rightarrow {\hat{A}}_2={180}^0-{\hat{A}}_1$      

          ${\hat{C}}_1+{\hat{C}}_2={180}^0$ ($2$ góc kề bù)

$\Rightarrow {\hat{C}}_2={180}^0-{\hat{C}}_1$    

Suy ra:

$\begin{array}{rl}& {\hat{A}}_2+{\hat{C}}_2={180}^0-{\hat{A}}_1+{180}^0-{\hat{C}}_1\\ & ={360}^0-\left({\hat{A}}_1+{\hat{C}}_1\right)(1)\end{array}$

Trong tứ giác $ABCD$ ta có:

${\hat{A}}_1+\hat{B}+{\hat{C}}_1+\hat{D}={360}^0$ (tổng các góc của tứ giác)

$\Rightarrow \hat{B}+\hat{D}={360}^0-\left({\hat{A}}_1+{\hat{C}}_1\right)(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: ${\hat{A}}_2+{\hat{C}}_2=\hat{B}+\hat{D}$

Bài 8 Trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác $ABCD$ có $\hat{A}={110}^0,$$\hat{B}={100}^0.$ Các tia phân giác của các góc $C$ và $D$ cắt nhau ở $E.$ Các đường phân giác của các góc ngoài tại các đỉnh $C$ và $D$ cắt nhau ở $F.$ Tính $\widehat{CED},\widehat{CFD}$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Tổng bốn góc của một tứ giác bằng ${360}^o.$

+) Hai tia phân giác của hai góc kề bù vuông góc với nhau.

Lời giải:

Vì DE là phân giác góc ADC nên $\widehat{D_1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\hat{D}$

Vì CE là phân giác góc BCD nên $\widehat{C_1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\hat{C}$

Trong tứ giác $ABCD,$ ta có:

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}={360}^0$ (tổng 4 góc trong tứ giác)

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \hat{C}+\hat{D}={360}^0-\left(\hat{A}+\hat{B}\right)\\ & ={360}^0-\left({110}^0+{100}^0\right)={150}^0\\ & {\hat{D}}_1+{\hat{C}}_1=\frac{\hat{C}+\hat{D}}{2}=\frac{{150}^0}{2}={75}^0\end{array}$ 

Trong $∆CED,$ ta có:

$\widehat{CED}+{\hat{C}}_1+{\hat{D}}_1={180}^0$ (tổng 3 góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{CED}={180}^0-\left({\hat{C}}_1+{\hat{D}}_1\right)$$={180}^0-{75}^0={105}^0$ 

Vì $DE$ và $DF$ là các tia phân giác của hai góc kề bù nên $DE\perp DF$ (tính chất tia phân giác của hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat{EDF}={90}^0$

Vì $CE$ và $CF$ là các tia phân giác của hai góc kề bù nên $CE\perp CF$ (tính chất tia phân giác của hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat{ECF}={90}^0$

Trong tứ giác $CEDF,$ ta có:

$\widehat{CED}+\widehat{EDF}+\widehat{CFD}+\widehat{ECF}={360}^0$ (tổng 4 góc trong tứ giác)

$\Rightarrow \widehat{CFD}={360}^0-\left(\widehat{CED}+\widehat{EDF}+\widehat{ECF}\right)$
$\widehat{CFD}={360}^0-\left({105}^0+{90}^0+{90}^0\right)$$={360}^0-{285}^0={75}^0$

Bài 9 Trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Lời giải:

Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD.$

Trong  $∆OAB,$ ta có:

$OA+OB>AB$ (bất đẳng thức tam giác) $(1)$  

Trong $∆OCD,$ ta có:

$OC+OD>CD$ (bất đẳng thức tam giác) $(2)$

Cộng từng vế $(1)$ và $(2):$

$OA+OB+OC+OD>AB+CD$

$\Rightarrow AC+BD>AB+CD$

Bài 10 Trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Lời giải: 

Đặt độ dài $AB=a,$ $BC=b,$ $CD=c,$ $AD=d$

Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$

Trong $∆OAB,$ ta có:

$OA+OB>a$ (bất đẳng thức tam giác)$(1)$

Trong $∆OCD$ ta có:

$OC+OD>c$ (bất đẳng thức tam giác)$(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra:

$OA+OB+OC+OD>a+c$

Hay $AC+BD>a+c(\ast )$

Trong $∆OAD$ ta có: $OA+OD>d$ (bất đẳng thức tam giác) $(3)$

Trong $∆OBC$ ta có: $OB+OC>b$ (bất đẳng thức tam giác) $(4)$

Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: $OA+OD+OB+OC>b+d$

$\Rightarrow AC+BD>b+d(\ast \ast )$

Từ $(\ast )$ và $(\ast \ast )$ suy ra: $2(AC+BD)>a+b+c+d$

$\Rightarrow AC+BD>{\displaystyle \frac{a+b+c+d}{2}}$

Trong $∆ABC$ ta có: $AC<AB+BC=a+b$ (bất đẳng thức tam giác)

Trong $∆ADC$ ta có: $AC<AD+DC=c+d$ (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra: $2AC<a+b+c+d$

$AC<{\displaystyle \frac{a+b+c+d}{2}}$   $(5)$

Trong $∆ABD$ ta có: $BD<AB+AD=a+d$ (bất đẳng thức tam giác)

Trong $∆BCD$ ta có: $BD<BC+CD=b+c$ (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra: $2BD<a+b+c+d$

$BD<{\displaystyle \frac{a+b+c+d}{2}}$   $(6)$

Từ $(5)$ và $(6)$ suy ra: $AC+BD<a+b+c+d$

Vậy ${\displaystyle \frac{a+b+c+d}{2}}$

Bài 1.1 Trang 81 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác $ABCD$ có $\hat{B}=\hat{A}+{10}^0,$$\hat{C}=\hat{B}+{10}^0,$ $\hat{D}=\hat{C}+{10}^0$. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

$A.$ $\hat{A}={65}^0$

$B.$ $\hat{B}={85}^0$ 

$C.$ $\hat{C}={100}^0$

$D.$ $\hat{D}={90}^0$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Tổng bốn góc của một tứ giác bằng ${360}^o.$

Lời giải:

Ta có: Trong tứ giác $ABCD$: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}={360}^0$

Thay $\hat{B}=\hat{A}+{10}^0,$$\hat{C}=\hat{B}+{10}^0,$$\hat{D}=\hat{C}+{10}^0$ vào ta được:$\hat{A}+\hat{A}+{10}^0+\hat{B}+{10}^0+\hat{C}+{10}^0={360}^0$

$\Rightarrow 2\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}={330}^0$

Thay $\hat{B}=\hat{A}+{10}^0,$$\hat{C}=\hat{B}+{10}^0,$ ta được: 

$2\hat{A}+\hat{A}+{10}^0+\hat{B}+{10}^0={330}^0$

$\Rightarrow 3\hat{A}+\hat{B}={310}^0$

Thay $\hat{B}=\hat{A}+{10}^0,$ ta được: 

$3\hat{A}+\hat{A}+{10}^0={310}^0$

$\Rightarrow 4\hat{A}={300}^0$

$\Rightarrow \hat{A}={75}^0$

$\Rightarrow \hat{B}=\hat{A}+{10}^0={85}^0$

Vậy chọn $B.$ $\hat{B}={85}^0$ 

Bài 1.2 Trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác $ABCD$ có $\hat{C}={60}^0,$$\hat{D}={80}^0,$$\hat{A}-\hat{B}={10}^0$. Tính số đo góc $A$ và $B.$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Tổng bốn góc của một tứ giác bằng ${360}^o.$

Lời giải:

Trong tứ giác $ABCD$ ta có: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}={360}^0$

$\Rightarrow \hat{A}+\hat{B}={360}^0-(\hat{C}+\hat{D})$

$\Rightarrow \hat{A}+\hat{B}={360}^0-\left({60}^0+{80}^0\right)={220}^0$

Mà $\hat{A}-\hat{B}={10}^0$

$\Rightarrow \hat{A}+\hat{B}+\hat{A}-\hat{B}={220}^0+{10}^0$

$\Rightarrow 2\hat{A}={230}^0$$\Rightarrow \hat{A}={115}^0$

$\hat{B}=\hat{A}-{10}^0={115}^0-{10}^0={105}^0$

Vậy $\hat{A}={115}^0,\hat{B}={105}^0$

Bài 1.3 Trang 81 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác $ABCD$ có chu vi $66cm.$ Tính độ dài $AC,$ biết chu vi tam giác $ABC$ bằng $56cm,$ chu vi tam giác $ACD$ bằng $60cm.$

Phương pháp giải:

+) Chu vi tam giác bằng tổng độ dài ba cạnh.

+) Chu vi tứ giác lồi bằng tổng độ dài bốn cạnh.

Lời giải:

Ta có:

$2AC=(AB+BC+AC)$$+(AC+CD+DA)$$-(AB+BC+CD+DA)$

$=$ Chu vi $∆ABC$$+$ Chu vi $∆ACD$ $–$ Chu vi $ABCD$

$\Rightarrow 2AC=56+60-66=50(cm)$

$\Rightarrow AC=25(cm)$