Toptailieu.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 8 Bài 4: Đường trung bình của tam giác, hình thang chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 4: Đường trung bình của tam giác, hình thang

Bài 34 Trang 84 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC sao cho ${\displaystyle AD=\frac{1}{2}DC}$. Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của $BD$ và $AM.$ Chứng minh rằng $AI=IM.$

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa, tính chất đường trung bình của tam giác:

+) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

+) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

+) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

Lời giải:

Gọi $E$ là trung điểm của $DC$

Trong $∆BDC$ ta có:

$M$ là trung điểm của $BC(gt)$

$E$ là trung điểm của $CD$

Nên $ME$ là đường trung bình của $∆BCD$

$\Rightarrow ME//BD$ ( tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra: $DI//ME$

$AD={\displaystyle \frac{1}{2}DC}$  (gt)

$DE={\displaystyle \frac{1}{2}DC}$ (theo cách vẽ)

$\Rightarrow AD=DE$ nên D là trung điểm của AE. 

Trong $\mathrm{\Delta }AME$ có:

+) $DI//ME$

 +) $D$ là trung điểm của $AE$

$\Rightarrow$ $ID$ là đường trung bình của $\mathrm{\Delta }AME.$

$\Rightarrow I$ là trung điểm của $AM.$

Nên $AI=IM$

Bài 35 Trang 84 SBT Toán  Tập 1 Hình thang $ABCD$ có đáy $AB,$ $CD.$ Gọi $E,F,I$ theo thứ tự là trung điểm của $AD,$ $BC,$ $AC.$ Chứng minh rằng ba điểm $E,I,F$ thẳng hàng.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa, tính chất đường trung bình của tam giác:

+) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

+) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Sử dụng tiên đề Ơ-clit: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Lời giải:

Hình thang $ABCD$ có $AB//CD$

$E$ là trung điểm của $AD(gt)$

$F$ là trung điểm của $BC(gt)$

Nên $EF$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$

$\Rightarrow EF//CD$ (tính chất đường trung bình hình thang)  $(1)$

Trong $∆ADC$ có:

$E$ là trung điểm của $AD(gt)$

$I$ là trung điểm của $AC(gt)$

Nên $EI$ là đường trung bình của $∆ADC$

$\Rightarrow EI//CD$ (tính chất đường trung bình tam giác) $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ theo tiên đề Ơclít ta có đường thẳng $EF$ và $EI$ trùng nhau

Vậy $E,I,F$ thẳng hàng.

Bài 36 Tranh 84 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tứ giác $ABCD.$ Gọi $E,F,I$ theo thứ tự là trung điểm của $AD,$ $BC,$ $AC.$ Chứng minh rằng:

$a)$ $EI//CD,$ $IF//AB.$

$b)$ $EF\le {\displaystyle \frac{AB+CD}{2}}$

Phương pháp giải:

$a)$ Sử dụng định nghĩa, tính chất đường trung bình của tam giác: 

+) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

+) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

$b)$  Sử dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Lời giải:

$a)$ Trong tam giác $ADC,$ ta có:

$E$ là trung điểm của $AD(gt)$

$I$ là trung điểm của $AC(gt)$

Nên $EI$ là đường trung bình của $∆ADC$

$\Rightarrow EI//CD$ (tính chất đường trung bình của tam giác) và $EI={\displaystyle \frac{CD}{2}}$

Trong tam giác $ABC$ ta có:

$I$ là trung điểm của $AC$

$F$ là trung điểm của $BC$

Nên $IF$ là đường trung bình của $∆ABC$

$\Rightarrow IF//AB$ (tính chất đường trung bình của tam giác) và $IF={\displaystyle \frac{AB}{2}}$

$b)$ Trong $∆EIF$ ta có: $EF\le EI+IF$ (dấu $“=”$ xảy ra khi $E,I,F$ thẳng hàng)

Mà $EI={\displaystyle \frac{CD}{2};IF=\frac{AB}{2}}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow \mathrm{E}\mathrm{F}\le {\displaystyle \frac{CD}{2}+\frac{AB}{2}}$ 

Vậy $EF\le {\displaystyle \frac{AB+CD}{2}}$ (dấu bằng xảy ra khi $AB//CD$)

Bài 37 Trang 84 sBT Toán 8 Tập 1 Cho hình thang $ABCD$ $(AB//CD),$ $M$ là trung điểm của $AD,$ $N$ là trung điểm của $BC.$ Gọi $I,K$ theo thứ tự là giao điểm của $MN$ với $BD,AC.$ Cho biết $AB=6cm,$ $CD=14cm.$ Tính các độ dài $MI,IK,KN.$

Phương pháp giải: 

Sử dụng định nghĩa, tính chất đường trung bình của tam giác và hình thang:

+) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

+) Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

+) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

+) Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

+) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

Lời giải:

Hình thang $ABCD$ có $AB//CD$

$M$ là trung điểm của $AD(gt)$

$N$ là trung điểm của $BC(gt)$

Nên $MN$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$

$\Rightarrow MN//AB//CD$ và $MN={\displaystyle \frac{AB+CD}{2}=\frac{6+14}{2}=10\left(cm\right)}$

Trong tam giác $ADC$ ta có:

$M$ là trung điểm của $AD$

$MK//CD$

$\Rightarrow AK=KC$ (đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba)

Suy ra $MK$ là đường trung bình của $∆ADC.$

$\Rightarrow MK={\displaystyle \frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}.14=7\left(cm\right)}$

Vậy: $KN=MN–MK=10–7=3(cm)$

Trong $∆ADB$ ta có:

$M$ là trung điểm của $AD$

$MI//AB$

Nên $DI=IB$ (đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba)

$\Rightarrow MI$ là đường trung bình của $∆DAB$

$\Rightarrow MI={\displaystyle \frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.6=3\left(cm\right)}$

$IK=MK–MI=7–3=4(cm)$

Bài 38 Trang 84 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $ABC,$ các đường trung tuyến $BD$ và $CE$ cắt nhau ở $G.$ Gọi $I,K$ theo thứ tự là trung điểm của $GB,GC.$ Chứng minh rằng $DE//IK,$ $DE=IK.$

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa, tính chất đường trung bình của tam giác:

+) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

+) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Lời giải:

Trong tam giác $ABC$ ta có:

$E$ là trung điểm của $AB(gt)$

$D$ là trung điểm của $AC(gt)$

Nên $ED$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

$\Rightarrow ED//BC$ và $ED={\displaystyle \frac{BC}{2}}$  (tính chất đường trung bình của tam giác) $(1)$

Trong tam giác $GBC$ ta có:

$I$ là trung điểm của $BG(gt)$

$K$ là trung điểm của $CG(gt)$

Nên $IK$ là đường trung bình của $∆GBC$

$\Rightarrow IK//BC$ và $IK={\displaystyle \frac{BC}{2}}$  (tính chất đường trung bình của tam giác) $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $IK//DE$ và $IK=DE.$

Bài 39 TRang 84 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $ABC,$ đường trung tuyến $AM.$ Gọi $D$ là trung điểm của $AM,$ $E$ là giao điểm của $BD$ và $AC.$ Chứng minh rằng $AE={\displaystyle \frac{1}{2}EC}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa, tính chất đường trung bình của tam giác:

+) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

+) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

+) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

Lời giải:

Gọi $F$ là trung điểm của $EC$

Trong $∆CBE$ ta có:

$M$ là trung điểm của cạnh $CB$

$F$ là trung điểm của cạnh $CE$

Nên $MF$ là đường trung bình của $∆CBE$

$\Rightarrow MF//BE$ (tính chất đường trung bình của tam giác) hay $DE//MF$

Trong tam giác $AMF$ ta có:

$D$ là trung điểm của $AM$

$DE//MF$

Suy ra: $AE=EF$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Mà $EF=FC={\displaystyle \frac{EC}{2}}$ nên $AE={\displaystyle \frac{1}{2}EC}$.

Bài 40 Trang 84 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $ABC,$ các đường trung tuyến $BD,$ $CE.$ Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung điểm của $BE,CD.$ Gọi $I,K$ theo thứ tự là giao điểm của $MN$ với $BD,CE.$ Chứng minh rằng $MI=IK=KN.$

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa, tính chất đường trung bình của tam giác và hình thang:

+) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

+) Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

+) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

+) Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

+) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

Lời giải:

Trong tam giác $ABC$ ta có:

$E$ là trung điểm của cạnh $AB$

$D$ là trung điểm của cạnh $AC$

Nên $ED$ là đường trung bình của $∆ABC$

$\Rightarrow ED//BC$ và $ED={\displaystyle \frac{1}{2}BC}$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Vì $ED//BC$ nên tứ giác $BCDE$ là hình thang. 

Trong hình thang $BCDE,$ ta có: $BC//DE$

$M$ là trung điểm cạnh bên $BE$

$N$ là trung điểm cạnh bên $CD$

Nên $MN$ là đường trung bình hình thang $BCDE\Rightarrow MN//DE$

$MN={\displaystyle \frac{DE+BC}{2}}$$={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle BC}}{2}+BC}}{2}=\frac{3BC}{4}}$ (tính chất đường trung bình hình thang)

Trong tam giác $BED$ ta có:

$M$ là trung điểm của $BE$

$MI//DE$

Suy ra: $MI$ là đường trung bình của $∆BED$

$\Rightarrow MI={\displaystyle \frac{1}{2}DE}$$={\displaystyle \frac{1}{2}.\frac{1}{2}BC=\frac{1}{4}BC}$ (tính chất đường trung bình tam giác)

Trong tam giác $CED$ ta có:

$N$ là trung điểm của $CD$

$NK//DE$

Suy ra: $NK$ là đường trung bình của $∆CED$

$\Rightarrow NK={\displaystyle \frac{1}{2}DE}$$={\displaystyle \frac{1}{2}.\frac{1}{2}BC=\frac{1}{4}BC}$ (tính chất đường trung bình tam giác)

$\begin{array}{rl}& IK=MN-\left(MI+NK\right)\\ & =\frac{3}{4}BC-\left(\frac{1}{4}BC+\frac{1}{4}BC\right)=\frac{1}{4}BC\\ & \Rightarrow MI=IK=KN=\frac{1}{4}BC\end{array}$

Bài 41 Trang 84 SBT Toán 8 Tập 1 Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của hai đường chéo và đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai.

Phương pháp giải:

+) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.

+) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

Lời giải:

Xét hình thang $ABCD$ có: $AB//CD.$

$E$ là trung điểm của $AD,$ đường thẳng đi qua $E$ song song với $AB$ cắt $BC$ tại $F,$ $AC$ tại $K,$ $BD$ tại $I.$

Vì $E$ là trung điểm của $AD$

$EF//AB$

Suy ra: $BF=FC$ (tính chất đường trung bình hình thang)

+) Ta có $EK//AB$ và $AB//CD$ nên $EK//DC$

Trong tam giác $ADC$ ta có:

$E$ là trung điểm của $AD$

$EK//DC$

Suy ra: $AK=KC$ (tính chất đường trung bình tam giác)

Trong tam giác $ABD$ ta có:

$E$ là trung điểm cạnh $AD$
$EI//AB$

Suy ra: $BI=ID$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Vậy đường thẳng đi qua trung điểm $E$ của cạnh bên $AD$ của hình thang $ABCD$ thì đi qua trung điểm cạnh bên $BC$ và trung điểm hai đường chéo $AC,BD.$

Bài 42 Trang 84 SBT Toán 8 Tập 1 Chứng minh rằng trong hình thang mà hai đáy không bằng nhau, đoạn thẳng nối trung điểm của hai đường chéo bằng nửa hiệu hai đáy.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa, tính chất đường trung bình của tam giác:

+) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

+) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Sử dụng tiên đề Ơ-clit: Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Lời giải:

Giả sử hình thang $ABCD$ có $AB//CD,$ $AB<CD.$

$I,K$ lần lượt là trung điểm hai đường chéo $BD,AC$

Gọi $F$ là trung điểm của $BC$

Trong tam giác $ACB$ ta có:

$K$ là trung điểm của cạnh $AC$

$F$ là trung điểm của cạnh $BC$

Nên $KF$ là đường trung bình của $∆ABC$

$\Rightarrow KF//AB$ và $KF={\displaystyle \frac{1}{2}AB}$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong tam giác $BDC$ ta có:

$I$ là trung điểm của cạnh $BD$

$F$ là trung điểm của cạnh $BC$

Nên $IF$ là đường trung bình của $∆BDC$

$\Rightarrow IF//CD$ và $IF={\displaystyle \frac{1}{2}CD}$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

$FK//AB$ mà $AB//CD$ nên $FK//CD$

$FI//CD$ (chứng minh trên)

Suy ra hai đường thẳng $FI$ và $FK$ trùng nhau.

$\Rightarrow I,K,F$ thẳng hàng

Lại có $AB<CD$$\Rightarrow {\displaystyle \frac{AB}{2}}<{\displaystyle \frac{CD}{2}}\Rightarrow FK<FI$ nên $K$ nằm giữa $I$ và $F$

$IF=IK+KF$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow IK=IF-KF\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}CD-\frac{1}{2}AB=\frac{CD-AB}{2}}\end{array}$

Bài 43 Trang 84 SBT Toán 8 Tập 1 Hình thang $ABCD$ có $AB//CD,$ $AB=a,$ $BC=b,$ $CD=c,$ $DA=d.$ Các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh $A$ và $D$ cắt nhau tại $M,$ các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh $B$ và $C$ cắt nhau tại $N.$

$a)$ Chứng ninh rằng $MN//CD.$

$b)$ Tính độ dài MN theo $a,b,c,d$ ($a,b,c,d$ có cùng đơn vị đo)

Phương pháp giải:

+) Trong tam giác cân, đường phân giác ứng với cạnh đáy cũng là đường trung tuyến.

+) Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

+) Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Lời giải:

$a)$ Gọi $M^{\prime }$ và $N^{\prime }$ là giao điểm của tia $AM$ và $BN$ với $CD.$

Vì ABCD là hình thang nên $AB//CD$ hay $AB//M^{\prime }{N}^{\prime }$

Suy ra $AB{N}^{\prime }{M}^{\prime }$ cũng là hình thang.

Ta có:

Vì $AB//M^{\prime }{N}^{\prime }$ nên $\widehat{M^{\prime }}={\hat{A}}_2$ (hai góc so le trong)

${\hat{A}}_1={\hat{A}}_2$ (do AM' là phân giác góc ngoài tại đỉnh A)

Suy ra: $\widehat{M^{\prime }}={\hat{A}}_1$ 

Nên $∆AD{M}^{\prime }$ cân tại $D$

Có $DM$ là phân giác của $\widehat{AD{M}^{\prime }}$ 

Suy ra: $DM$ là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)

$\Rightarrow AM=M{M}^{\prime }$ (1)

Vì $AB//M^{\prime }{N}^{\prime }$ nên $\widehat{N^{\prime }}={\hat{B}}_2$ (hai góc so le trong)

${\hat{B}}_1={\hat{B}}_2$ (do BN' là phân giác góc ngoài tại đỉnh B)

Suy ra: $\widehat{N^{\prime }}={\hat{B}}_1$ 

Nên $∆BC{N}^{\prime }$ cân tại $C$

Có $CN$ là phân giác của $\widehat{BC{N}^{\prime }}$

Suy ra: $CN$ là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)

$\Rightarrow BN=N{N}^{\prime }$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $MN$ là đường trung bình của hình thang $AB{N}^{\prime }{M}^{\prime }$

$\Rightarrow MN//M^{\prime }{N}^{\prime }$ (tính chất đường trung bình hình thang)

Hay $MN//CD$

$b)$ $MN={\displaystyle \frac{AB+M^{\prime }{N}^{\prime }}{2}}$ (tính chất đường trung bình của hình thang)

$\Rightarrow MN={\displaystyle \frac{AB+M^{\prime }D+CD+C{N}^{\prime }}{2}(\ast )}$

Mà $M^{\prime }D=AD$ (vì $∆AD{M}^{\prime }$ cân tại $D$) và $C{N}^{\prime }=BC$ (vì $∆BC{N}^{\prime }$ cân tại $C$)

Thay vào $(\ast )$ ta được: 

$MN={\displaystyle \frac{AB+AD+CD+BC}{2}}$$={\displaystyle \frac{a+d+c+b}{2}}$

Bài 44 Trang 85 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $ABC,$ đường trung tuyến $AM.$ Gọi $O$ là trung điểm của $AM.$ Qua $O$ kẻ đường thẳng $d$ cắt các cạnh $AB$ và $AC.$ Gọi $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ là các đường vuông góc kẻ từ $A,B,C$ đến đường thẳng $d.$ Chứng minh rằng: $A{A}^{\prime }={\displaystyle \frac{B{B}^{\prime }+C{C}^{\prime }}{2}}$

Phương pháp giải:

+) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.

+) Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Lời giải:

Ta có: $B{B}^{\prime }\perp d(gt)$

            $C{C}^{\prime }\perp d(gt)$

Suy ra: $B{B}^{\prime }//C{C}^{\prime }$

Tứ giác $B{B}^{\prime }C{C}^{\prime }$ là hình thang

Kẻ $M{M}^{\prime }\perp d$

$\Rightarrow M{M}^{\prime }//B{B}^{\prime }//C{C}^{\prime }$

Ta lại có: $M$ là trung điểm của $BC$ (do AM là đường trung tuyến của tam giác ABC)

Nên $M{M}^{\prime }$ là đường trung bình của hình thang $B{B}^{\prime }C{C}^{\prime }$

$\Rightarrow M{M}^{\prime }={\displaystyle \frac{B{B}^{\prime }+C{C}^{\prime }}{2}\left(1\right)}$

Xét tam giác vuông $A{A}^{\prime }O$ và tam giác vuông $M{M}^{\prime }O:$

$\widehat{O{A}^{\prime }A}=\widehat{O{M}^{\prime }M}={90}^0$

$AO=MO(gt)$

$\widehat{AO{A}^{\prime }}=\widehat{MO{M}^{\prime }}$ (đối đỉnh)

Do đó: $∆A{A}^{\prime }O=∆M{M}^{\prime }O$ (cạnh huyền, góc nhọn)

$\Rightarrow A{A}^{\prime }=M{M}^{\prime }(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $A{A}^{\prime }={\displaystyle \frac{B{B}^{\prime }+C{C}^{\prime }}{2}}$.

Bài 4.1 Trang 85 SBT Toán 8 Tập 1 Trên hình $bs.1,$ ta có $AB//CD//EF//GH$ và $AC=CE=EG.$ Biết $CD=9,$ $GH=13.$ Các độ dài $AB$ và $EF$ bằng:

$(A)$ $8$ và $10$              $(B)$ $6$ và $12$

$(C)$ $7$ và $11$               $(D)$ $7$ và $12$

Phương pháp giải:

+) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.

+) Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Lời giải:

Ta có $CD//GH$ nên tứ giác $CDHG$ là hình thang.

$CE=EG$$\Rightarrow$ $E$ là trung điểm của $CG$

$EF//CD//GH$

$\Rightarrow F$ là trung điểm của $DH$

$\Rightarrow EF$ là đường trung bình của hình thang $CDHG$ 

$\Rightarrow EF={\displaystyle \frac{CD+GH}{2}}$$={\displaystyle \frac{9+13}{2}}=11$

Ta có $AB//EF$ nên tứ giác $ABFE$ là hình thang.

$AC=CE$$\Rightarrow$ $C$ là trung điểm của $AE$

$CD//AB//EF$

$\Rightarrow D$ là trung điểm của $BF$

$\Rightarrow CD$ là đường trung bình của hình thang $ABFE$ 

$\Rightarrow CD={\displaystyle \frac{AB+EF}{2}}$

$\Rightarrow AB=2CD-EF=2.9-11=7$

Chọn $(C)$ $7$ và $11.$

Bài 4.2 Trang 85 SBT Toán 8 Tập 1 Cho đường thẳng $d$ và hai điểm $A,B$ có khoảng cách đến đường thẳng $d$ theo thứ tự là $20cm$ và $6cm.$ Gọi $C$ là trung điểm của $AB.$ Tính khoảng cách từ $C$ đến đường thẳng $d.$

Phương pháp giải:

* Chú ý: Chia hai trường hợp: $A,B$ cùng phía với $d$ và $A,B$ khác phía với $d.$

Sử dụng định nghĩa, tính chất đường trung bình của tam giác và hình thang:

+) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.

+) Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

+) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

+) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Lời giải:

$a)$ Trường hợp $A$ và $B$ nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa đường thẳng $d.$

Gọi $A^{\prime },B^{\prime }$ là chân đường vuông góc kẻ từ $A$ và $B$ đến $d$

$A{A}^{\prime }\perp d;$ $B{B}^{\prime }\perp d$$\Rightarrow A{A}^{\prime }//B{B}^{\prime }$

Tứ giác $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình thang. Kẻ $CH\perp d$

$\Rightarrow CH//A{A}^{\prime }//B{B}^{\prime }$ mà $C$ là trung điểm của $AB$ nên $CH$ là đường trung bình của hình thang $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$

$\Rightarrow CH={\displaystyle \frac{A{A}^{\prime }+B{B}^{\prime }}{2}}$$={\displaystyle \frac{20+6}{2}=13\left(cm\right)}$

$b)$ Trường hợp $A$ và $B$ nằm trên hai nửa mặt phẳng đối bờ chứa đường thẳng $d$

Kẻ $CH\perp d$ cắt $A^{\prime }B$ tại $K$

$\Rightarrow CH//A{A}^{\prime }//B{B}^{\prime }$

Trong $∆A{A}^{\prime }B$ ta có: $AC=CB$

Mà $CK//A{A}^{\prime }$ nên $A^{\prime }K=KB$ và $CK$ là đường trung bình của tam giác $A{A}^{\prime }B$

$\Rightarrow CK={\displaystyle \frac{A{A}^{\prime }}{2}}$  (tính chất đường trung bình của tam giác)

$CK={\displaystyle \frac{20}{2}=10\left(cm\right)}$

Trong $∆A^{\prime }B{B}^{\prime }$ có $A^{\prime }K=KB$ và $KH//B{B}^{\prime }$

Nên $KH$ là đường trung bình của $∆A^{\prime }B{B}^{\prime }$

$\Rightarrow KH={\displaystyle \frac{B{B}^{\prime }}{2}}$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

$\Rightarrow KH={\displaystyle \frac{6}{2}=3\left(cm\right)}$

$CH=CK–KH=10–3=7(cm)$

Bài 4.3 Trang 85 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $ABC.$ Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$ Trên tia đối của tia $BA$ lấy điểm $D$ sao cho $BD=AB.$ Gọi $K$ là giao điểm của $DM$ và $AC.$ Chứng minh rằng $AK=2KC.$

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa, tính chất đường trung bình của tam giác:

+) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

+) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

+) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

Lời giải:

Gọi $H$ là trung điểm của $AK$

Trong $∆ADK$ ta có:

     $H$ là trung điểm của $AK$

     $B$ là trung điểm của $AD$ ( $AB=BD$)

$\Rightarrow BH$ là đường trung bình của $∆ADK.$

$\Rightarrow BH//DK$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Hay $BH//MK$

Trong $∆BCH$ ta có $M$ là trung điểm của $BC$

$MK//BH$

$\Rightarrow CK=HK$

$AK=AH+HK=2HK$

Suy ra: $AK=2CK$ (vì $CK=HK)$