Toptailieu.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 8 Bài 6: Đối xứng trục chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 6: Đối xứng trục

Bài 60 Trang 86 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $ABC$ có $\hat{A}={70}^0$, điểm $M$ thuộc cạnh $BC.$ Vẽ điểm $D$ đối xứng với $M$ qua $AB,$ vẽ điểm $E$ đối xứng với $M$ qua $AC.$

$a)$ Chứng minh rằng $AD=AE.$

$b)$ Tính số đo góc $DAE.$

Phương pháp giải:

+) Sử dụng định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng $d$ nếu $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

+) Sử dụng tính chất đường trung trực: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

+) Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy cũng là đường trung trực, đường phân giác.

Lời giải:

$a)$ Vì $D$ đối xứng với $M$ qua trục $AB$

$\Rightarrow AB$ là đường trung trực của $MD.$

$\Rightarrow AD=AM$ (tính chất đường trung trực) $(1)$

Vì $E$ đối xứng với $M$ qua trục $AC$

$\Rightarrow AC$ là đường trung trực của $ME$

$\Rightarrow AM=AE$ ( tính chất đường trung trực) $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra : $AD=AE$

$b)$ $AD=AM$ suy ra $∆AMD$ cân tại $A$ có  $AB\perp MD$ nên $AB$ cũng là đường phân giác của góc $MAD$

$\Rightarrow {\hat{A}}_1={\hat{A}}_2$

$AM=AE$ suy ra $∆AME$ cân tại $A$ có $AC\perp ME$ nên $AC$ cũng là đường phân giác của $\widehat{MAE}$

$\Rightarrow {\hat{A}}_3={\hat{A}}_4$

$\widehat{DAE}={\hat{A}}_1+{\hat{A}}_2+{\hat{A}}_3+{\hat{A}}_4$

$=2\left({\hat{A}}_2+{\hat{A}}_3\right)$$=2\widehat{BAC}$$={2.70}^0={140}^0$

Bài 61 Trang 87 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác nhọn $ABC$ có $\hat{A}={60}^0$, trực tâm $H.$ Gọi $M$ là điểm đối xứng với $H$ qua $BC.$

$a)$ Chứng minh $∆BHC=∆BMC.$

$b)$ Tính $\widehat{BMC}$

Phương pháp giải:

+) Sử dụng định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng $d$ nếu $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

+) Sử dụng tính chất đường trung trực: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

+) Tổng bốn góc của một tứ giác bằng ${360}^o.$

Lời giải:

$a)$ Vì $M$ đối xứng với $H$ qua trục $BC$

  $\Rightarrow BC$ là đường trung trực của $HM$

  $\Rightarrow BH=BM$ ( tính chất đường trung trực)

      $CH=CM$ ( tính chất đường trung trực)

+ Xét tam giác $BHC$ và tam giác $BMC$ có:

Cạnh $BC$ chung

$BH=BM$ ( chứng minh trên)

$CH=CM$ (chứng minh trên) 

Suy ra: $∆BHC=∆BMC(c.c.c)$

$b)$ Gọi giao điểm $BH$ với $AC$ là $D,$ giao điểm của $CH$ và $AB$ là $E$

$H$ là trực tâm của $∆ABC$

$\Rightarrow BD\perp AC,CE\perp AB$

Xét tứ giác $ADHE$ ta có:

 $\widehat{DHE}+\hat{A}+\hat{D}+\hat{E}={360}^0$ (tổng 4 góc trong tứ giác bằng ${360}^0)$ 

 $\Rightarrow \widehat{DHE}={360}^0-\left(\hat{A}+\hat{D}+\hat{E}\right)$

$={360}^0-\left({60}^0+{90}^0+{90}^0\right)={120}^0$

$\widehat{BHC}=\widehat{DHE}$  (đối đỉnh)

$∆BHC=∆BMC$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow \widehat{BMC}=\widehat{BHC}$

Suy ra: $\widehat{BMC}=\widehat{DHE}={120}^0$

Bài 62 Trang 87 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình thang vuông $ABCD$ $\left(\hat{A}=\hat{D}={90}^0\right)$. Gọi điểm $H$ là điểm đối xứng với $B$ qua $AD,$ $I$ là giao điểm của $CH$ và $AD.$ Chứng minh rằng $\widehat{AIB}=\widehat{DIC}$

Phương pháp giải:

Nếu hai góc đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì chúng bằng nhau.

Lời giải:

$B$ và $H$ đối xứng qua $AD.$

$I$ và $A$ đối xứng với chính nó qua $AD$

Nên $\widehat{AIB}$ đối xứng với $\widehat{AIH}$ qua $AD$

$\Rightarrow \widehat{AIB}=\widehat{AIH}$

Mà $\widehat{AIH}=\widehat{DIC}$( 2 góc đối đỉnh)

Suy ra:  $\widehat{AIB}=\widehat{DIC}$

Bài 63 Trang 87 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hai điểm $A,B$ thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng $xy$ ($AB$ không vuông góc với $xy$). Gọi $A^{\prime }$ là điểm đối xứng với $A$ qua $xy,$ $C$ là giao điểm của $A^{\prime }B$ và $xy.$ Gọi $M$ là điểm bất kì khác $C$ thuộc đường thẳng $xy.$ Chứng minh rằng $AC+CB<AM+MB.$

Phương pháp giải:

+) Sử dụng định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng $d$ nếu $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

+) Sử dụng tính chất đường trung trực: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

+) Sử dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Lời giải:

Vì $A^{\prime }$ đối xứng với $A$ qua $xy$

$\Rightarrow xy$ là đường trung trực của $A{A}^{\prime }$

$\Rightarrow C{A}^{\prime }=CA$ (tính chất đường trung trực)

$MA=M{A}^{\prime }$ (tính chất đường trung trực)

$AC+CB=A^{\prime }C+CB=A^{\prime }B(1)$

$MA+MB=M{A}^{\prime }+MB(2)$

Trong $∆M{A}^{\prime }B$ ta có:

$A^{\prime }B<A^{\prime }M+MB$ (bất đẳng thức tam giác) $(3)$

Từ $(1),$ $(2)$ và $(3)$ suy ra: $AC+CB<AM+MB$

Bài 64 Trang 87 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $ABC$ cân tại $A,$ đường cao $AH.$ Trên cạnh $AB$ lấy điểm $I,$ trên cạnh $AC$ lấy điểm $K$ sao cho $AI=AK.$ Chứng minh rằng điểm $I$ đối xứng với điểm $K$ qua  $AH.$

Phương pháp giải:

+) Sử dụng định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng $d$ nếu $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

+) Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy cũng là đường trung trực, đường phân giác.

Lời giải:

$∆ABC$ cân tại $A$ có $AH\perp BC(gt)$

Suy ra $AH$ là tia phân giác $\hat{A}$

Lại có $AI=AK(gt)$

$\Rightarrow ∆AIK$ cân tại $A$

$∆AIK$ cân tại $A$ có $AH$ là tia phân giác $\hat{A}$ nên $AH$ cũng là đường trung trực của $IK$

Vậy $I$ đối xứng với $K$ qua $AH.$

Bài 65 Trang 87 SBT Toán 8 Tập 1 Tứ giác $ABCD$ có $AB=BC,$ $CD=DA$ (hình cái diều). Chứng minh rằng điểm $A$ đối xứng với điểm $C$ qua đường thẳng $BD.$

Phương pháp giải:

+) Sử dụng định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng $d$ nếu $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

+) Sử dụng tính chất đường trung trực: Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Lời giải:

Ta có: $BA=BC(gt)$

Suy ra $B$ thuộc đường trung trực của $AC$

$DC=DA(gt)$

Suy ra $D$ thuộc đường trung trực của $AC$

Mà $B\ne D$ nên $BD$ là đường trung trực của $AC$

Do đó $A$ đối xứng với $C$ qua đường thẳng $BD.$

Bài 66 Trang 87 SBT Toán 8 Tập 1 Tam giác $ABC$ có $AB<AC.$ Gọi $d$ là đường trung trực của $BC.$ Vẽ điểm $K$ đối xứng với điểm $A$ qua đường thẳng $d.$

$a)$ Tìm các đoạn thẳng đối xứng với đoạn thẳng $AB$ qua $d,$ đối xứng với đoạn thẳng $AC$ qua $d.$

$b)$ Tứ giác $AKCB$ là hình gì $?$ Vì sao $?$

Phương pháp giải:

+) Sử dụng định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng $d$ nếu $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

+) Sử dụng định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

+) Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

+) Nếu hai đoạn thẳng đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì chúng bằng nhau.

Lời giải:

$a)$ $d$ là đường trung trực của $BC$ nên $B$ và $C$ đối xứng qua $d$

$K$ đối xứng với $A$ qua $d$

Do đó:

Đoạn thẳng đối xứng với đoạn $AB$ qua $d$ là đoạn $KC$

Đoạn thẳng đối xứng với đoạn $AC$ qua $d$ là đoạn $KB$

$b)$ $d$ là đường trung trực của $BC(gt)$

$\Rightarrow d\perp BC$

$A$ và $K$ đối xứng qua $d$ nên $d$ là trung trực của $AK$

$\Rightarrow d\perp AK$

Suy ra: $BC//AK.$ Tứ giác $ABCK$ là hình thang 

$AC$ và $KB$ đối xứng qua $d$ nên $AC=BK.$

Vậy hình thang $ABCK$ là hình thang cân.

Bài 67 Trang 87 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $ABC.$ Điểm $M$ nằm trên đường phân giác của góc ngoài đỉnh $C$ ($M$ khác $C$). Chứng minh rằng $AC+CB<AM+MB.$

Phương pháp giải:

+) Sử dụng tính chất đường trung trực: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

+) Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy cũng là đường trung trực, đường phân giác.

+) Sử dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Lời giải:

Trên tia đối tia $CB$ lấy điểm $E$ sao cho $CE=CA.$ Nối $MA,$ $ME$ nên $∆ACE$ cân tại $C$ có $CM$ là đường phân giác nên $CM$ cũng là đường trung trực (tính chất tam giác cân)

$\Rightarrow MA=ME$ ( tính chất đường trung trực)

Ta có:  $AC+BC=BC+CE=BE(1)$ (vì $CE=AC$)

$MA+MB=MB+ME(2)$

Trong $∆MBE$ ta có: $BE<MB+ME$ ( bất đẳng thức tam giác) $(3)$

Từ $(1),(2)$ và $(3)$ suy ra:  $AC+BC<MA+MB$

Bài 68 Trang 87 SBT Toán 8 Tập 1 Trong các hình nét đậm vẽ trên giấy kẻ ô vuông ở hình $4,$ hình $5,$ hình nào có trục đối xứng $?$ 

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa: Đường thẳng $d$ gọi là trục đối xứng của hình $\mathrm{\wp }$ nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình $\mathrm{\wp }$ qua đường thẳng $d$  cũng thuộc hình $\mathrm{\wp }$.

Lời giải:

Hình nét đậm ở hình $4$ có trục đối xứng.

Bài 69 Trang 88 SBT Toán 8 Tập 1 Vẽ hình đối xứng qua đường thẳng $d$ của hình đã vẽ $(h.6).$ 

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: Hai hình được gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng $d$ nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng $d$ và ngược lại.

Lời giải:

Cách vẽ: 

+) Hình phía trên:

Gọi tên như hình vẽ dưới đây.

- Kéo dài AB, CD cắt d tại M, Q

- Trên tia AB lấy A', B' sao cho MB' = MB; MA' = MA

- Trên tia CD lấy C', D' sao cho QC' = QC; QD' = QD

- Trên tia EN lấy E' sao cho NE = NE'

- Trên tia FP lấy F' sao cho PF = PF'

Nối các điểm đã dựng ta được hình đối xứng qua d của hình đã cho.

+) Hình phía dưới:

Gọi tên như hình vẽ dưới đây.

- Vẽ A' đối xứng với A qua đường thẳng d, vẽ B' đối xứng với B qua đường thẳng d

- Nối A'B', A'G

- Vẽ E' đối xứng với E qua đường thẳng d, nối E'F

- Vẽ C' đối xứng với C qua đường thẳng d, vẽ D' đối xứng với D qua đường thẳng d

- Nối E'D', C'D', C'B' ta được hình đối xứng với hình đã cho qua d. 

Bài 70 Trang 88 SBT Toán 8 Tập 1 Điền dấu “x” vào ô thích hợp:

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa: Đường thẳng $d$ gọi là trục đối xứng của hình $H$ nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình $H$ qua đường thẳng $d$  cũng thuộc hình $H$.

Trong trường hợp này ta còn nói rằng hình $H$ có trục đối xứng $d.$ 

Lời giải:

Câu b sai vì: Hình ABCD dưới đây có 1 trục đối xứng là BD nhưng ABCD lại không phải hình thang cân.

Bài 71 Trang 88 SBT Toán 8 Tập 1 Chứng minh rằng giao điểm hai đường chéo của hình thang cân nằm trên trục đối xứng của hình thang cân.

Phương pháp giải:

+) Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.

+) Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.

+) Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân đó.

Lời giải:

Hình thang cân $ABCD$ có $AB//CD.$ Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD.$

Xét $∆ADC$ và $∆BCD:$

$AD=BC$ ( tính chất hình thang cân)

$AC=BD$ ( tính chất hình thang cân)

$CD$ cạnh chung

Do đó $∆ADC=∆BCD(c.c.c)$

$\Rightarrow {\hat{D}}_1={\hat{C}}_1$  

$\Rightarrow ∆OCD$ cân tại $O$

$\Rightarrow OC=OD$ nên $O$ nằm trên đường trung trực của $CD.$

Trục đối xứng của hình thang cân là đường thẳng trung trực của hai đáy.

Vậy $O$ thuộc trục đối xứng của hình thang cân.

Bài 72 Trang 88 SBT Toán 8 Tập 1 Cho góc nhọn $xOy,$ điểm $A$ nằm trong góc đó. Dựng điểm $B$ thuộc tia $Ox,$ điểm $C$ thuộc tia $Oy$ sao cho tam giác $ABC$ có chu vi nhỏ nhất. 

Phương pháp giải:

+) Sử dụng định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng $d$ nếu $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

+) Sử dụng tính chất đường trung trực: Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Lời giải: 

Cách dựng:

- Dựng điểm $D$ đối xứng với $A$ qua $Ox$

- Dựng điểm $E$ đối xứng với $A$ qua tia $Oy$

- Nối $DE$ cắt $Ox$ tại $B,Oy$ tại $C$

Tam giác $ABC$ là tam giác có chu vi nhỏ nhất.

Vì $\widehat{xOy}<{90}^0$ nên $DE$ luôn cắt $Ox$ và $Oy$ do đó $∆ABC$ luôn dựng được.

Chứng minh:

Chu vi $∆ABC$ bằng $AB+BC+AC$

Vì $D$ đối xứng với $A$ qua $Ox$ nên $Ox$ là đường trung trực của $AD$

$\Rightarrow AB=BD$ ( tính chất đường trung trực)

$E$ đối xứng với $A$ qua $Oy$ nên $Oy$ là đường trung trực của $AE$

$\Rightarrow AC=CE$ ( tính chất đường trung trực)

Suy ra: $AB+BC+AC$$=BD+BC+CE=DE(1)$

Lấy $B^{\prime }$ bất kì trên $Ox,$ $C^{\prime }$ bất kì trên tia $Oy.$ Nối $C^{\prime }E,$ $C^{\prime }A,$ $B^{\prime }A,$ $B^{\prime }D.$

Ta có: $B^{\prime }A=B^{\prime }D$ ( tính chất đường trung trực)

            $C^{\prime }A=C^{\prime }E$ (tính chất đường trung trực)

Chu vi $∆A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $A{B}^{\prime }+A{C}^{\prime }+B^{\prime }{C}^{\prime }$$=B^{\prime }D+B^{\prime }{C}^{\prime }+C^{\prime }E(2)$

Vì $DE\le B^{\prime }D+B^{\prime }{C}^{\prime }+C^{\prime }E$ (dấu bằng sảy ra khi $B^{\prime }$ trùng $B,$ $C^{\prime }$ trùng $C$)

nên chu vi của $∆ABC\le$ chu vị của $∆A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$

Vậy $∆ABC$ có chu vi bé nhất.

Bài 6.1 Trang 88 SBT Toán 8 Tập 1 Hãy nối mỗi cột của ô bên trái với một ô của cột bên phải để được khẳng định đúng. 

Nối $1.$ với $C$

Nối $2.$ với $A$

Bài 6.2 Trang 88 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $ABC$ cân tại $A.$ Trên tia đối của tia $AB$ lấy điểm $D,$ trên tia đối của tia $AC$ lấy điểm $E$ sao cho $AD=AE.$ Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$ Chứng minh rằng $D$ đối xứng với $E$ qua $AM.$

Phương pháp giải:

+) Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy cũng là đường trung trực, đường phân giác.

+) Sử dụng định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng $d$ nếu $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Lời giải:

$∆ABC$ cân tại $A$ có $AM$ là đường trung tuyến

$\Rightarrow AM$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$ (tính chất tam giác cân)

$\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{MAC}$ $(1)$

Kéo dài $MA$ cắt $DE$ tại $N$, ta có:

$\widehat{BAM}=\widehat{DAN}$ (đối đỉnh) $(2)$

$\widehat{MAC}=\widehat{NAE}$ (đối đỉnh) $(3)$

Từ $(1),$ $(2)$ và $(3)$ suy ra: $\widehat{DAN}=\widehat{NAE}$

Hay $AN$ là tia phân giác của góc DAE.

$∆ADE$ cân tại $A$ có $AN$ là tia phân giác

$\Rightarrow AN$ là đường trung trực của $DE$

hay $AM$ là đường trung trực của $DE$

Vậy $D$ đối xứng với $E$ qua $AM.$