SBT Toán 8 Bài 7: Hình bình hành | Giải SBT Toán lớp 8

Nghiêm Thị Ngà Ngày: 16-05-2022 Lớp 8

335

Toptailieu.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 8 Bài 7: Hình bình hànhi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 7: Hình bình hành

Bài 73 Trang 89 SBT Toán 8 Tập 1 Các tứ giác $A B C D,$ $E F G H$ vẽ trên giấy kẻ ô vuông ở hình $7$ có là hình bình hành không $?$

Phương pháp giải:

Dấu hiệu nhận biết:

+) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

+) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

Lời giải:

Tứ giác $A B C D$ là hình bình hành vì có cạnh đối $A D / / B C$ và $A D = B C$ bằng $3$ cạnh ô vuông.

Tứ giác $E F G H$ là hình bình hành vì có các cạnh đối bằng nhau.

$E H = F G$ là đường chéo hình chữ nhật có cạnh $1$ ô vuông và cạnh $3$ ô vuông

$E F = H G$ là đường chéo hình chữ nhật có cạnh $1$ ô vuông và cạnh $3$ ô vuông.

Bài 74 Trang 89 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình bình hành $A B C D .$ Gọi $E$ là trung điểm của $A B,$ $F$ là trung điểm của $C D .$ Chứng minh rằng $D E = B F .$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong hình bình hành, các cạnh đối bằng nhau.

Dấu hiệu nhận biết:

+) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

Lời giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên $A B = C D$ ( tính chất hình bình hành)

Lại có E là trung điểm cạnh AB và F là trung điểm cạnh CD nên:

$\begin{aligned} E B = \frac{1}{2} A B (g t) \\ F D = \frac{1}{2} C D (g t) \end{aligned}$

Suy ra: $E B = F D (1)$ (vì $A B = C D)$

Mà $A B / / C D (g t)$

$\Rightarrow B E / / F D (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra tứ giác $B E D F$ là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

$\Rightarrow D E = B F$ (tính chất hình bình hành)

Bài 75 Trang 89 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình bình hành $A B C D .$ Tia phân giác của góc $A$ cắt $C D$ ở $M .$ Tia phân giác của góc $C$ cắt $A B$ ở $N .$ Chứng minh rằng $A M C N$ là hình bình hành.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: Trong hình bình hành, hai góc đối bằng nhau.

Dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

Lời giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên $\hat{A} = \hat{C}$ (tính chất hình bình hành)

${\hat{A}}_{2} = \frac{1}{2} \hat{A}$ (do AM là tia phân giác của góc BAD)

${\hat{C}}_{2} = \frac{1}{2} \hat{C}$ (do CN là tia phân giác của góc BCD)

Suy ra: ${\hat{A}}_{2} = {\hat{C}}_{2}$ (vì $\hat{A} = \hat{C})$

Lại có $A B / / C D$ (do ABCD là hình bình hành)

Nên $A N / / C M (1)$

Mà ${\hat{N}}_{1} = {\hat{C}}_{2}$ (so le trong)

Suy ra: ${\hat{A}}_{2} = {\hat{N}}_{1}$

$\Rightarrow A M / / C N$ ( vì có các cặp góc ở vị trí đồng vị bằng nhau) $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: Tứ giác $A M C N$ là hình bình hành ( theo định nghĩa)

Bài 76 Trang 89 SBT Toán 8 Tập 1 Trên hình $8,$ cho $A B C D$ là hình bình hành. Chứng minh rằng $A E C F$ là hình bình hành.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

+) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

Lời giải:

Gọi $O$ là giao điểm của $A C$ và $B D$

Vì ABCD là hình bình hành nên $O A = O C$ ( tính chất hình bình hành) $(1)$

Xét hai tam giác vuông $A E O$ và $C F O,$ ta có:

$\hat{A E O} = \hat{C F O} = 90^{0}$

$O A = O C$ ( chứng minh trên)

$\hat{A O E} = \hat{C O F}$ (đối đỉnh)

Do đó $∆ A E O = ∆ C F O$ ( cạnh huyền, góc nhọn)

$\Rightarrow O E = O F (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra tứ giác $A E C F$ là hình bình hành ( vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Bài 77 Trang 89 SBT Toán 8 Tập 1 Tứ giác $A B C D$ có $E, F, G, H$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $A B,$ $B C,$ $C D,$ $D A .$ Tứ giác $E F G H$ là hình gì $?$ Vì sao $?$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

+) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

+) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

Lời giải:

Nối đường chéo $A C .$

Trong $∆ A B C$ ta có:

$E$ là trung điểm của $A B (g t)$

$F$ là trung điểm của $B C (g t)$

nên $E F$ là đường trung bình của $∆ A B C$

$\Rightarrow E F / / A C$ và $E F = \frac{1}{2} A C$ (tính chất đường trung bình tam giác) $(1)$

Trong $∆ A D C$ ta có:

$H$ là trung điểm của $A D (g t)$

$G$ là trung điểm của $D C (g t)$

nên $H G$ là đường trung bình của $∆ A D C$

$\Rightarrow H G / / A C$ và $H G = \frac{1}{2} A C$ (tính chất đường trung bình tam giác) $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $E F / / H G$ và $E F = H G$

Vậy tứ giác $E F G H$ là hình bình hành ( vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Bài 78 Trang 89 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình bình hành $A B C D .$ Gọi $I, K$ theo thứ tự là trung điểm của $C D,$ $A B .$ Đường chéo $B D$ cắt $A I,$ $C K$ theo thứ tự ở $E, F .$ Chứng minh rằng: $D E = E F = F B .$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong hình bình hành, các cạnh đối bằng nhau.

+) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

+) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

Lời giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên $A B = C D$ ( tính chất hình bình hành)

$A K = \frac{1}{2} A B$ (do K là trung điểm của AB)

$C I = \frac{1}{2} C D$ (do I là trung điểm của DC)

Suy ra: $A K = C I (1)$ (vì $A B = C D)$

Mặt khác: $A B / / C D$ (do ABCD là hình bình hành)

$\Rightarrow A K / / C I (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra tứ giác $A K C I$ là hình bình hành ( vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

$\Rightarrow A I / / C K$

Trong $∆ A B E$ ta có:

$K$ là trung điểm của $A B (g t)$

$A I / / C K$ hay $K F / / A E$ nên $B F = E F$ ( tính chất đường trung bình tam giác)

Trong $∆ D C F$ ta có:

$I$ là trung điểm của $D C (g t)$

$A I / / C K$ hay $I E / / C F$ nên $D E = E F$ (tính chất đường trung bình tam giác)

Suy ra: $D E = E F = F B$

Bài 79 Trang 89 SBT Toán 8 Tập 1 Đề bài

Tính các góc của hình bình hành $A B C D,$ biết:

$a)$ $\hat{A} = 110^{0}$

$b)$ $\hat{A} - \hat{B} = 20^{0}$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong hình bình hành, hai góc đối bằng nhau.

+) Trong hình bình hành, hai góc kề một cạnh bù nhau.

Lời giải:

$a)$ Tứ giác $A B C D$ là hình bình hành

$\Rightarrow \hat{C} = \hat{A} = 110^{0}$ (tính chất hình bình hành)

Ta có: $A D / / B C$ (do ABCD là hình bình hành)

Nên $\hat{A} + \hat{B} = 180^{0}$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

$\Rightarrow \hat{B} = 180^{0} - \hat{A} = 180^{0} - 110^{0} = 70^{0}$

$\hat{D} = \hat{B} = 70^{0}$ (tính chất hình bình hành)

$b)$

Tứ giác $A B C D$ là hình bình hành nên $A D / / B C$

$\Rightarrow \hat{A} + \hat{B} = 180^{0}$ ( $2$ góc trong cùng phía bù nhau)

$\hat{A} - \hat{B} = 20^{0}$ $(g t)$

Suy ra: $\hat{A} + \hat{B} + \hat{A} - \hat{B} = 180^{0} + 20^{0}$

$\Rightarrow 2 \hat{A} = 200^{0} \Rightarrow \hat{A} = 100^{0}$

$\hat{C} = \hat{A} = 100^{0}$ ( tính chất hình bình hành)

$\hat{B} = \hat{A} - 20^{0} = 100^{0} - 20^{0} = 80^{0}$

$\hat{D} = \hat{B} = 80^{0}$ (tính chất hình bình hành)

Bài 80 Trang 89 SBT Toán 8 Tập 1 Trong các tứ giác trên hình $9,$ tứ giác nào là hình bình hành $?$

Phương pháp giải:

Dấu hiệu nhận biết:

+) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

+) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.

Lời giải:

+) Tứ giác $A B C D$ là hình bình hành vì $A D / / B C$ và $A D = B C$

+) Xét tứ giác $I K M N$ , theo định lý tổng 4 góc trong tứ giác ta có:

$\begin{array}{l} \hat{I} + \hat{K} + \hat{M} + \hat{N} = 360^{0} \\ \Rightarrow \hat{N} = 360^{0} - (\hat{I} + \hat{K} + \hat{M}) \\ \Rightarrow \hat{N} = 360^{0} - (70^{0} + 110^{0} + 70^{0}) \\ \Rightarrow \hat{N} = 110^{0} \end{array}$

Tứ giác $I K M N$ là hình bình hành vì có

$\hat{I} = \hat{M} = 70^{0}, \hat{K} = \hat{N} = 110^{0}$ .

+) Tứ giác $E F G H$ không là hình bình hành vì có hai đường chéo không cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Bài 81 Trang 90 SBT Toán 8 Tập 1 Chu vi hình bình hành $A B C D$ bằng $10 c m,$ chu vi tam giác $A B D$ bằng $9 c m .$ Tính độ dài $B D .$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong hình bình hành, các cạnh đối bằng nhau.

+) Chu vi tứ giác bằng tổng 4 cạnh, chu vi tam giác bằng tổng 3 cạnh.

Lời giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên $A B = D C, A D = B C$ (tính chất)

Chu vi hình bình hành $A B C D$ là $A B + D C + B C + A D$ $= 2 A B + 2 A D = 2 (A B + A D)$

Mà chu vi hình bình hành $A B C D$ bằng $10 c m$ (giả thiết)

Nên $(A B + A D) .2 = 10 (c m)$

$\Rightarrow A B + A D = \frac{10}{2} = 5$ $(c m)$

Chu vi của $∆ A B D$ bằng :

$A B + A D + B D = 9 (c m)$

$\Rightarrow B D = 9 - (A B + A D)$ $= 9 - 5 = 4 (c m)$

Bài 82 Trang 90 SBT Toán 8 Tập 1 Trên hình $10,$ cho $A B C D$ là hình bình hành. Chứng minh rằng $A E / / C F .$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

+) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

Lời giải:

Gọi $O$ là giao điểm của $A C$ và $B D .$

$O A = O C$ (tính chất hình bình hành)

$O B = O D$ (tính chất hình bình hành)

$B E = D F (g t)$

Ta có: $O B = O E + B E$

$O D = O F + D F$

Suy ra: $O E = O F$

Do đó tứ giác $A E C F$ là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Suy ra $A E / / C F$ (tính chất hình bình hành).

Bài 83 Trang 90 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình bình hành $A B C D .$ Gọi $E,$ $F$ theo thứ tự là trung điểm của $A B,$ $C D .$ Gọi $M$ là giao điểm của $A F$ và $D E,$ $N$ là giao điểm của $B F$ và $C E .$ Chứng minh rằng :

$a)$ $E M F N$ là hình bình hành.

$b)$ Các đường thẳng $A C,$ $E F,$ $M N$ đồng quy.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong hình bình hành, các cạnh đối bằng nhau.

+) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

+) Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Lời giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên $A B / / C D$ và $A B = C D$ (tính chất)

Ta có: $A E = E B = \frac{A B}{2}$ (vì E là trung điểm của AB)

$D F = C F = \frac{D C}{2}$ (vì F là trung điểm của CD)

Mà $A B = C D$ (cmt)

Suy ra $A E = E B = D F = F C$

Xét tứ giác $A E C F,$ có:

$A E = C F$ (cmt)

$A E / / C F$ (do $A B / / C D)$

Suy ra tứ giác $A E C F$ là hình bình hành ( vì có một cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau)

$\Rightarrow A F / / C E$ hay $E N / / F M (1)$

Xét tứ giác $B F D E,$ có:

$B E = D F$ (cmt)

$B E / / D F$ (do $A B / / C D$ )

Suy ra tứ giác $B F D E$ là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

$\Rightarrow B F / / D E$ hay $E M / / F N (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra tứ giác $E M F N$ là hình bình hành (theo định nghĩa)

$b)$ Gọi $O$ là giao điểm của $A C$ và $E F$

Tứ giác $A E C F$ là hình bình hành $\Rightarrow O E = O F$

Tứ giác $E M F N$ là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Suy ra: $M N$ đi qua trung điểm $O$ của $E F$

Vậy $A C, E F, M N$ đồng quy tại $O .$

Bài 84 Trang 90 SBT Toán 8 Tập 1 Trên hình $11,$ cho $A B C D$ là hình bình hành. Chứng minh rằng:

$a)$ $E G F H$ là hình bình hành

$b)$ Các đường thẳng $A C,$ $B D,$ $E F,$ $G H$ đồng quy.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong hình bình hành, hai góc đối bằng nhau.

+) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

+) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

+) Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Lời giải:

$a)$ Vì ABCD là hình bình hành nên $A B / / C D, A B = C D,$ $A D / / B C, A D = B C$ (tính chất)

+) Ta có: $E B = A B - A E, D F = C D - C F$ mà $A B = C D, A E = C F$ (gt) nên $E B = D F$

+) Ta có: $A H = A D - D H, C G = B C - B G$ mà $A D = B C, D H = B G$ (gt) nên $A H = C G$

Xét $∆ A E H$ và $∆ C F G :$

$A E = C F$ (gt)

$\hat{A} = \hat{C}$ (tính chất hình bình hành ABCD)

$A H = C G$ (cmt)

Do đó: $∆ A E H = ∆ C F G (c . g . c)$

$\Rightarrow E H = F G$ (1)

Xét $∆ B E G$ và $∆ D F H :$

$D H = B G (g t)$

$\hat{B} = \hat{D}$ (tính chất hình bình hành ABCD)

$B E = D F$ (cmt)

Do đó: $∆ B E G = ∆ D F H (c . g . c)$

$\Rightarrow E G = F H$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: Tứ giác $E G F H$ là hình bình hành (vì có các cặp cạnh đối bằng nhau)

$b)$ Gọi $O$ là giao điểm của $A C$ và $E F .$

Xét tứ giác $A E C F,$ có:

$A E / / C F$ (do $A B / / C D)$ và $A E = C F (g t)$

Suy ra: Tứ giác $A E C F$ là hình bình hành (vì có $1$ cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

$\Rightarrow O$ là trung điểm của $A C$ và $E F$

Tứ giác $A B C D$ là hình bình hành có $O$ là trung điểm của $A C$ nên $O$ cũng là trung điểm của $B D .$

Tứ giác $E G F H$ là hình bình hành có $O$ là trung điểm của $E F$ nên $O$ cùng là trung điểm của $G H .$

Vậy $A C, B D, E F, G H$ đồng quy tại $O .$

Bài 85 Trang 90 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình bình hành $A B C D .$ Qua $C$ kẻ đường thẳng $x y$ chỉ có một điểm chung $C$ với hình bình hành. Gọi $A A^{'}, B B^{'}, D D^{'}$ là các đường vuông góc kẻ từ $A, B, D$ đến đường thẳng $x y .$ Chứng minh rằng $A A^{'} = B B^{'} + D D^{'} .$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

+) Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Lời giải:

Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $A C$ và $B D .$

Kẻ $O O^{'} ⊥ x y$

Ta có: $B B^{'} ⊥ x y (g t)$

$D D^{'} ⊥ x y (g t)$

Suy ra: $B B^{'} / / O O^{'} / / D D^{'}$

Tứ giác $B B^{'} D^{'} D$ là hình thang

$O B = O D$ (tính chất hình bình hành)

nên $O^{'} B^{'} = O^{'} D^{'}$ do đó $O O^{'}$ là đường trung bình của hình thang $B B^{'} D^{'} D$

$\Rightarrow O O^{'} = \frac{B B^{'} + {D D}^{'}}{2}$ (tính chất đường trung bình hình thang)

Hay $B B^{'} + {D D}^{'} = 2 O O^{'}$ $(1)$

$A A^{'} ⊥ x y (g t)$

$O O^{'} ⊥ x y$ (theo cách vẽ)

Suy ra: $A A^{'} / / O O^{'}$

Trong $∆ A C A^{'}$ ta có: $O A = O C$ ( tính chất hình bình hành) và $O O^{'} / / A A^{'}$ nên $O^{'} A^{'} = O^{'} C^{'}$

Suy ra $O O^{'}$ là đường trung bình của $∆ A C A^{'}$

$\Rightarrow O O^{'} = \frac{1}{2} A A^{'}$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

$\Rightarrow A A^{'} = 2 O O^{'} (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $A A^{'} = B B^{'} + D D^{'} .$

Bài 86 Trang 90 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình bình hành $A B C D$ và đường thẳng $x y$ không có điểm chung với hình bình hành. Gọi $A A^{'}, B B^{'}, C C^{'},$ $D D^{'}$ là đường vuông góc kẻ từ $A, B, C, D$ đến đường thẳng $x y .$ Tìm mối liên hệ độ dài giữa $A A^{'}, B B^{'}, C C^{'}, D D^{'} .$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

+) Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Lời giải:

Gọi $O$ là giao điểm của $A C$ và $B D$

Vì ABCD là hình bình hành nên $O A = O C, O B = O D$ (tính chất hình bình hành)

Kẻ $O O^{'} ⊥ x y$

$A A^{'} ⊥ x y (g t)$

$C C^{'} ⊥ x y (g t)$

Suy ra: $A A^{'} / / O O^{'} / / C C^{'}$

Tứ giác $A C C^{'} A^{'}$ là hình thang có: $O A = O C$ (chứng minh trên)

$O O^{'} / / A A^{'}$ nên $O^{'}$ là trung điểm của $A^{'} C^{'}$

Suy ra $O O^{'}$ là đường trung bình của hình thang $A C C^{'} A^{'} .$

$\Rightarrow O O^{'} = \frac{A A^{'} + C C^{'}}{2}$ (tính chất đường trung bình của hình thang) $(1)$

$B B^{'} ⊥ x y (g t)$

$D D^{'} ⊥ x y (g t)$

$O O^{'} ⊥ x y$ (theo cách vẽ)

Suy ra: $B B^{'} / / O O^{'} / / D D^{'}$

Tứ giác $B D D^{'} B^{'}$ là hình thang có: $O B = O D$ (chứng minh trên)

$O O^{'} / / B B^{'}$ nên $O^{'}$ là trung điểm của $B^{'} D^{'}$

Suy ra $O O^{'}$ là đường trung bình của hình thang BDD’B’

$\Rightarrow O O^{'} = \frac{B B^{'} + {D D}^{'}}{2}$ (tính chất đường trung bình của hình thang) $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $A A^{'} + C C^{'} = B B^{'} + D D^{'}$

Bài 87 Trang 90 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình bình hành $A B C D$ có $\hat{A} = α > 90^{0} .$ Ở phía ngoài hình bình hành, vẽ các tam giác đều $A D F, A B E .$

$a)$ Tính $\hat{E A F}$

$b)$ Chứng minh rằng tam giác $C E F$ là tam giác đều.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong hình bình hành, hai góc kề một cạnh bù nhau.

+) Trong tam giác đều, các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau và bằng $60^{o} .$

+) Trong hình bình hành, hai góc đối bằng nhau.

+) Tam giác có cạnh bằng nhau là tam giác đều.

Lời giải:

$a)$ Vì $\hat{B A D} + \hat{B A E} + \hat{E A F} + \hat{F A D} = 360^{0}$

$\Rightarrow \hat{E A F} = 360^{0} - (\hat{B A D} + \hat{B A E} + \hat{F A D})$

mà $\hat{B A D} = α$ $(g t)$

$\hat{B A E} = 60^{0}$ ( $∆ B A E$ đều)

$\hat{F A D} = 60^{0}$ ( $∆ F A D$ đều)

nên $\hat{E A F} = 360^{0} - (α + 60^{0} + 60^{0})$ $= 240^{0} - α$

$b)$ Vì ABCD là hình bình hành nên $A B / / D C$

Suy ra $\hat{A D C} + \hat{B A D} = 180^{0}$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

$\Rightarrow \hat{A D C} = 180^{0} - \hat{B A D} = 180^{0} - α$

$\hat{C D F} = \hat{A D C} + \hat{A D F}$ $= 180^{0} - α + 60^{0} = 240^{0} - α$

Suy ra: $\hat{C D F} = \hat{E A F}$

Tam giác ABE đều nên $A E = A B = E B$

Tam giác ADF đều nên $A D = D F$

Vì ABCD là hình bình hành nên $A B = D C, A D = B C$

Suy ra $A E = E B = D C$ (vì cùng bằng $A B$ ) và $B C = D F$ (vì cùng bằng $A D$ )

Xét $∆ A E F$ và $∆ D C F :$

$A F = D F$ (vì $∆ A D F$ đều)

$A E = D C$ (cmt)

$\hat{C D F} = \hat{E A F}$ (chứng minh trên)

Do đó $∆ A E F = ∆ D C F (c . g . c)$

$\Rightarrow E F = C F (1)$

$\hat{A D C} = \hat{A B C}$ (tính chất hình bình hành)

$\hat{C B E} = \hat{A B C} + 60^{0} = \hat{A D C} + 60^{0}$ $= 180^{0} - α + 60^{0} = 240^{0} - α$

Xét $∆ B C E$ và $∆ D C F :$

$B E = C D$ (cmt)

$\hat{C B E} = \hat{C D F} = 240^{0} - α$

$B C = D F$ (cmt)

Do đó: $∆ B C E = ∆ D F C (c . g . c)$

$\Rightarrow C E = C F (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra : $E F = C F = C E .$ Vậy $∆ E C F$ đều.

Bài 88 Trang 90 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $A B C .$ Ở phía ngoài tam giác, vẽ các tam giác vuông cân tại $A$ là $A B D, A C E .$ Vẽ hình bình hành $A D I E .$ Chứng minh rằng:

$a)$ $I A = B C .$

$b)$ $I A ⊥ B C .$

Phương pháp giải:

$a)$ Quy về bài toán chứng minh hai tam giác bằng nhau.

$b)$ Quy về chứng minh $\hat{A H B} = 90^{0}$

+) Tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^{o}$

Lời giải:

$a)$ $\hat{B A C} + \hat{B A D} + \hat{D A E} + \hat{E A C} = 360^{0}$

$\hat{B A D} = 90^{0}, \hat{E A C} = 90^{0} (g t)$

Suy ra: $\hat{B A C} + \hat{D A E} = 180^{0}$ $(1)$

Lại có $A E / / D I$ (do ADIE là hình bình hành)

$\Rightarrow$ $\hat{A D I} + \hat{D A E} = 180^{0}$ (hai góc trong cùng phía) $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $\hat{B A C} = \hat{A D I}$

Xét $∆ A B C$ và $∆ D A I :$

$A B = A D (g t)$

$\hat{B A C} = \hat{A D I}$ (chứng minh trên)

$A C = D I$ (vì cùng bằng $A E$ )

Do đó: $∆ A B C = ∆ D A I (c . g . c)$

$\Rightarrow I A = B C$

$b)$ $∆ A B C = ∆ D A I$ ( chứng minh trên)

$\Rightarrow {\hat{A}}_{1} = {\hat{B}}_{1}$ $(3)$

Gọi giao điểm $I A$ và $B C$ là $H .$

Ta có: ${\hat{A}}_{1} + \hat{B A D} + {\hat{A}}_{2} = 180^{0}$ (do H, A, I thẳng hàng)

mà $\hat{B A D} = 90^{0} (g t)$

$\Rightarrow {\hat{A}}_{1} + {\hat{A}}_{2} = 90^{0}$ $(4)$

Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: ${\hat{B}}_{1} + {\hat{A}}_{2} = 90^{0}$

Trong $∆ A H B$ ta có: $\hat{A H B} + \hat{B_{1}} + {\hat{A}}_{2} = 180^{0}$

Suy ra $\hat{A H B} = 90^{0} \Rightarrow A H ⊥ B C$ hay $I A ⊥ B C$

Bài 89 Trang 91 SBT Toán 8 Tập 1 Dựng hình bình hành $A B C D,$ biết:

a) $A B = 2 c m,$ $A D = 3 c m,$ $\hat{A} = 110^{0}$

b) $A C = 4 c m,$ $B D = 5 c m,$ $\hat{B O C} = 50^{0}$ ( $O$ là giao điểm của hai đường chéo).

Phương pháp giải:

+) Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.

+) Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.

+) Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài

Biện luận: Ta luôn dựng được một tam giác thỏa mãn điều kiện của đề bài.

Lời giải:

Cách dựng:

- Dựng $∆ A B D$ có $A B = 2 c m,$ $\hat{A} = 110^{0},$ $A D = 3 c m$

- Dựng tia đi qua B và $/ / A D$ , dựng tia đi qua D và $/ / A B$ . Hai tia này cắt nhau tại $C$

Ta có hình bình hành $A B C D$ cần dựng

Chứng minh: $A B / / C D,$ $A D / / B C$ nên tứ giác $A B C D$ là hình bình hành.

Ta lại có $A B = 2 c m,$ $\hat{A} = 110^{0},$ $A D = 3 c m .$ Bài toán có một nghiệm hình.

Cách dựng:

- Dựng $∆ O B C$ có $O C = 2 c m,$ $O B = 2, 5 c m,$ $\hat{B O C} = 50^{0}$

- Trên tia đối tia $O C$ lấy điểm $A$ sao cho $O A = O C = 2 c m$

- Trên tia đối tia $O B$ lấy điểm $D$ sao cho $O D = O B = 2, 5 c m$

Nối $A B, B C, C D, A D$ ta có hình bình hành $A B C D$ cần dựng

Chứng minh: Tứ giác $A B C D$ có $O A = O C,$ $O B = O D$ nên nó là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Có $A C = O A + O C = 4 c m,$ $B D = O B + O D = 5 c m,$ $\hat{B O C} = 50^{0}$

Bài toán có một nghiệm hình.

Bài 90 Trang 91 SBT Toán 8 Tập 1 Cho ba điểm $A, B, C$ trên giấy kẻ ô vuông $(h .12) .$ Hãy vẽ điểm thứ tư $M$ sao cho $A, B, C, M$ là bốn đỉnh của một hình bình hành.

Phương pháp giải:

Dấu hiệu nhận biết:

+) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

+) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.

Lời giải:

- Nếu hình bình hành nhận $A C$ làm đường chéo vì $A B$ là đường chéo hình vuông có cạnh là hai ô vuông nên $C M_{1}$ là đường chéo hình vuông cạnh $2$ ô vuông và hai điểm $A,$ $M_{1}$ nằm trên nửa mặt phẳng bờ $B C$ ta có hình bình hành $A B C M_{1}$ .

- Nếu hình bình hành nhận $B C$ làm đường chéo, điểm $A$ cách điểm $C$ ba ô vuông , điểm $B$ cách $M_{2}$ là ba ô vuông và hai điểm $C,$ $M_{2}$ cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ $A B$ ta có hình bình hành $A B M_{2} C$

- Nếu hình bình hành nhận $A B$ làm đường chéo thì điểm $M_{3}$ cách điểm $B$ ba ô vuông, hai điểm $M_{3}$ và $A$ nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ $B C$ ta có hình bình hành $A C B M_{3}$ .

Bài 91 Trang 91 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $A B C .$ Dựng đường thẳng song song với $B C,$ cắt cạnh $A B$ ở $E,$ cắt cạnh $A C$ ở $F$ sao cho $B E = A F .$

Phương pháp giải:

+) Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đòng thời thể diện các nét dựng trên hình vẽ.

+) Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.

Lời giải:

Cách dựng:

- Dựng đường phân giác $A D$ của góc BAC.

- Qua $D$ dựng đường thẳng song song $A B$ cắt $A C$ tại $F .$

- Qua $F$ dựng đường thẳng song song với $B C$ cắt $A B$ tại $E .$

Ta có điểm $E, F$ cần dựng.

Chứng minh:

Vì $D F / / A B$

$\Rightarrow \hat{E A D} = \hat{A D F}$ (so le trong)

$\hat{E A D} = \hat{F A D}$ (vì AD là tia phân giác của góc BAC)

Suy ra: $\hat{A D F} = \hat{F A D}$

$\Rightarrow ∆ A F D$ cân tại $F$

$\Rightarrow A F = D F (1)$

Ta có: $D F / / A B$ hay $D F / / B E$

$E F / / B C$ hay $E F / / B D$

Suy ra tứ giác $B D F E$ là hình bình hành (định nghĩa)

$\Rightarrow B E = D F (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $A F = B E$

Bài 7.1 Trang 91 SBT Toán 8 Tập 1 Tứ giác $A B C D$ là hình bình hành nếu:

$(A)$ $A B = C D;$

$(B)$ $A D = B C;$

$(C)$ $A B / / C D$ và $A D = B C;$

$(D)$ $A B = C D$ và $A D = B C .$

Hãy chọn phương án đúng.

Phương pháp giải:

+) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

Lời giải:

Chọn $(D)$

Bài 7.2 Trang 91 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình bình hành $A B C D,$ các đường chéo cắt nhau tại $O .$ Gọi $E, F$ theo thứ tự là trung điểm của $O D, O B .$ Gọi $K$ là giao điểm của $A E$ và $C D .$ Chứng minh rằng:

$a)$ $A E$ song song $C F$

$b)$ $D K = \frac{1}{2} K C$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

+) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Lời giải:

$a)$ Vì ABCD là hình bình hành nên $O B = O D$ (tính chất hình bình hành)

$O E = \frac{1}{2} O D$ (vì E là trung điểm của OD)

$O F = \frac{1}{2} O B$ (vì F là trung điểm của OB)

Suy ra: $O E = O F$

Xét tứ giác $A E C F,$ ta có:

$O E = O F$ (chứng minh trên)

$O A = O C$ (vì $A B C D$ là hình bình hành)

Suy ra: Tứ giác $A E C F$ là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường )

$\Rightarrow A E / / C F$

$b)$ Kẻ $O M / / A K$

Trong $∆ C A K$ ta có:

$O A = O C$ ( chứng minh trên)

$O M / / A K$ ( theo cách vẽ)

$\Rightarrow C M = M K$ (tính chất đường trung bình của tam giác) $(1)$

Trong $∆ D M O$ ta có:

$D E = E O$ (vì E là trung điểm của OD)

$E K / / O M$ (do $O M / / A K$ )

$\Rightarrow D K = K M$ (tính chất đường trung bình của tam giác) $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $D K = K M = M C$

$\Rightarrow D K = \frac{1}{2} K C$

Bài 7.3 Trang 91 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình bình hành $A B C D .$ Lấy điểm $E$ trên cạnh $A B,$ điểm $F$ trên cạnh $C D$ sao cho $A E = C F .$ Chứng minh rằng ba đường thẳng $A C, B D, E F$ đồng quy.