a) Giao điểm của hai đường chéo là tâm đối xứng của hình.

b) Hai đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đối là hai trục đối xứng của hình.

Phương pháp giải:

Hình bình hành có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo

Hình thang cân có trục đối xứng là đường thẳng đi qua trung điểm của hai đáy.

Lời giải:

Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD.$

Vì hình chữ nhật là một hình bình hành nên điểm $O$ là tâm đối xứng của nó.

b) Ta biết trong hình thang cân đường thẳng đi qua trung điểm của hai đáy là trục đối xứng của nó.

Theo định nghĩa ta có hình chữ nhật cũng là một hình thang cân. Nếu ta xem hình chữ nhật $ABCD$ là hình thang cân có hai cạnh đáy $AB$ và $CD$ thì đường thẳng $d_1$ đi qua trung điểm của $AB$ và $CD$ là trục đối xứng của hình chữ nhật $ABCD.$

Nếu ta xem hình chữ nhật $ABCD$ là hình thang cân có hai đáy là $AD$ và $BC$ nên đường thẳng $d_2$ đi qua trung điểm của $AD$ và $BC$ là trục đối xứng của hình chữ nhật $ABCD.$

Bài 108 Trang 93 SBT Toán 8 Tập 1 Tính độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng $5cm$ và $10cm$ (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)

Phương pháp giải:  

Áp dụng định lí Py - ta - go: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Lời giải:

Giả sử $∆ABC$ có $\hat{A}={90}^0$ , $M$ là trung điểm của $BC;$ $AB=5cm;AC=10cm.$ Theo định lý Py-ta-go trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$\begin{array}{rl}& B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2\end{array}$

$\Rightarrow BC=\sqrt{5^2+{10}^2}=\sqrt{125}$  $\approx 11,2(cm)$

Tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $AM=\begin{array}{r}\frac{1}{2}\end{array}BC$ (tính chất tam giác vuông)

$\Rightarrow AM\approx \begin{array}{r}\frac{1}{2}\end{array}.11,2=5,6$ $(cm)$

Bài 109 Trang 93 SBT Toán 8 Tập 1 Tính $x$  trên hình 16 (đơn vị đo : cm)

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí Py - ta - go: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Lời giải:

Kẻ $BH\perp CD$

$\hat{A}={90}^0,\hat{D}={90}^0,\widehat{BHD}={90}^0$

Suy ra: Tứ giác $ABHD$ là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)

$\Rightarrow AB=DH=16cm,BH=AD$

Suy ra $HC=CD–DH$

$=CD–AB=24–16=8(cm)$

Trong tam giác vuông $BHC,$ theo định lí Py-ta-go ta có:

$\begin{array}{rl}& B{C}^2=B{H}^2+H{C}^2\\ & \Rightarrow B{H}^2=B{C}^2-H{C}^2\\ & B{H}^2={17}^2-8^2=289-64=225\\ & BH=\sqrt{225}=15(cm)\\ & \text{Vậy}x=AD=BH=15(cm)\end{array}$

Bài 110 Trang 93 SBT Toán 8 Tập 1 Chứng minh rằng các tia phân giác các góc của một hình bình hành cắt nhau tao thành một hình chữ nhật.

Phương pháp giải:

Sử dụng: Tổng ba góc trong tam giác bằng ${180}^0$

Lời giải:

Giả sử ABCD là hình bình hành.

Gọi $G,H,E,K$ lần lượt là giao điểm của các đường phân giác của $\hat{A}$ và $\hat{B}$; $\hat{B}$ và $\hat{C}$; $\hat{C}$ và $\hat{D}$; $\hat{D}$ và $\hat{A}$.

Ta có: $\widehat{ADF}=\begin{array}{r}\frac{1}{2}\end{array}\widehat{ADC}$ (tính chất tia phân giác)

             $\widehat{DAF}=\begin{array}{r}\frac{1}{2}\end{array}\widehat{DAB}$ (tính chất tia phân giác)

            $\widehat{ADC}+\widehat{DAB}={180}^0$ (hai góc trong cùng phía)

Suy ra: $\widehat{ADF}+\widehat{DAF}=\begin{array}{r}\frac{1}{2}\end{array}\left(\widehat{ADC}+\widehat{DAB}\right)$ $=\begin{array}{r}\frac{1}{2}\end{array}{.180}^0={90}^0$

Trong $∆AFD$ ta có: 

$\widehat{AFD}={180}^0-\left(\widehat{ADF}+\widehat{DAF}\right)$ $={180}^0-{90}^0={90}^0$

$\widehat{EFG}=\widehat{AFD}$ (đối đỉnh)

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \widehat{EFG}={90}^0\\ & \widehat{GAB}=\begin{array}{r}\frac{1}{2}\end{array}\widehat{DAB}(gt)\\ & \widehat{GBA}=\frac{1}{2}\widehat{CBA}(gt)\end{array}$

$\widehat{DAB}+\widehat{CBA}={180}^0$ (hai góc trong cùng phía)

$\Rightarrow \widehat{GBA}+\widehat{GAB}$ $=\begin{array}{r}\frac{1}{2}\end{array}\left(\widehat{DAB}+\widehat{CBA}\right)$ $=\begin{array}{r}\frac{1}{2}\end{array}{.180}^0={90}^0$

Trong $∆AGB$ ta có: $\widehat{AGB}={180}^0-\left(\widehat{GAB}+\widehat{GBA}\right)$ $={180}^0-{90}^0={90}^0$

hay $\hat{G}={90}^0$

$\begin{array}{rl}& \widehat{EDC}=\begin{array}{r}\frac{1}{2}\end{array}\widehat{ADC}(gt)\\ & \widehat{ECD}=\begin{array}{r}\frac{1}{2}\end{array}\widehat{BCD}(gt)\end{array}$

$\widehat{ADC}+\widehat{BCD}={180}^0$ (hai góc trong cùng phía)

$\Rightarrow \widehat{EDC}+\widehat{ECD}$ $=\begin{array}{r}\frac{1}{2}\end{array}\left(\widehat{ADC}+\widehat{BCD}\right)$ $=\begin{array}{r}\frac{1}{2}\end{array}{.180}^0={90}^0$

Trong $∆EDC$ ta có: $\widehat{DEC}={180}^0-\left(\widehat{EDC}+\widehat{ECD}\right)$ $={180}^0-{90}^0={90}^0$ hay $\hat{E}={90}^0$

Vậy tứ giác EFGH là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông).

Bài 111 Trang 94 SBT Toán 8 Tập 1

Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi $E,F,G,H$ theo thứ tự là trung điểm các cạnh $AB,BC,CD,DA.$ Tứ giác $EFGH$ là hình gì ? Vì sao ?

Phương pháp giải: 

Sử dụng kiến thức:

+) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

+) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Lời giải: 

Trong $∆ABC$ ta có:

$E$ là trung điểm của $AB$ (gt)

$F$ là trung điểm của $BC$ (gt)

nên $EF$ là đường trung bình của $∆ABC$

$\Rightarrow EF//AC$ và $EF={\displaystyle \frac{1}{2}}AC$ (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

Trong $∆DAC$ ta có:

$H$ là trung điểm của $AD$ (gt)

$G$ là trung điểm của $DC$ (gt)

nên $HG$ là đường trung bình của $∆DAC.$

$\Rightarrow HG//AC$ và $HG={\displaystyle \frac{1}{2}}AC$ (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $EF//HG$ và $EF=HG$

Suy ra: Tứ giác $EFGH$ là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Ta lại có: $BD\perp AC$ (gt)

                  $EF//AC$ ( chứng minh trên)

Suy ra: $EF\perp BD$

Trong $∆ABD$ ta có $EH$ là đường trung bình (vì E là trung điểm của AB và H là trung điểm của AD)

$\Rightarrow EH//BD$

Suy ra: $EF\perp EH$ hay $\widehat{FEH}={90}^0$

Vậy hình bình hành $EFGH$ là hình chữ nhật.

Bài 112 Trang 94 SBT Toán 8 Tập 1 Tìm các hình chữ nhật trên hình 17 (trong hình 17b, $O$ là tâm của đường tròn)

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất của hình chữ nhật:

Hình bình hành có 1 góc vuông là hình chữ nhật

Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và bằng nhau là hình chữ nhật.

Lời giải:

- Hình a ta có: $\hat{B}=\widehat{HDC}$

$\Rightarrow AB//DH$ (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)

hay $DH//AE$

$\hat{C}=\widehat{BDE}$

$\Rightarrow DE//AC$ (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau) 

hay  $DE//AH$

Suy ra tứ giác AHDE là hình bình hành ( có các cặp đối song song với nhau )

Mà $\hat{A}={90}^0$

Nên tứ giác $AHDE$ là hình chữ nhật.

- Hình b: Tứ giác $MNPQ$ có:

$OM=OP=R$ nên O là trung điểm của MP

$ON=OQ=R$ nên O là trung điểm của NQ

Tứ giác MNPQ có O là trung điểm của mỗi đường chéo

Suy ra: Tứ giác MNPQ là hình bình hành

Lại có: $MP=NQ=2R$ ( = đường kính của đường tròn)

⇒ Tứ giác $MNPQ$ là hình chữ nhật.

Bài 113 Trang 94 SBT Toán 8 Tập 1 Các câu sau đúng hay sai ?

a) Hình chữ nhật là tứ giác có tất cả các góc bằng nhau.

b) Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

c) Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình chữ nhật.

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất của hình chữ nhật:

Hình tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật

Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và bằng nhau là hình chữ nhật.

Lời giải: 

a) Đúng vì hình chữ nhật có $4$ góc vuông

b) Sai vì hình thang cân có hai cạnh bên không song song có hai đường chéo bằng nhau nhưng hình thang cân đó không là hình chữ nhật.

c) Đúng vì: 

Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

Bài 114 Trang 94 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A,AC=4cm,$ điểm $M$ thuộc cạnh $BC.$ Gọi $D,E$ theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ $M$ đến $AB,AC.$

a) Tứ giác $ADME$ là hình gì ? Tính chu vi của tứ giác đó.

b) Điểm $M$ ở vị trí nào trên cạnh $BC$ thì đoạn thẳng $DE$ có độ dài nhỏ nhất ?

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất sau:

Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật

Trong tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là trung tuyến.

Lời giải: 

a) Xét tứ giác $ADME$ ta có:

$\hat{A}={90}^0$ (gt)

$MD\perp AB$ (gt)

$\Rightarrow \widehat{ADM}={90}^0$

Lại có $ME\perp AC$ (gt)

$\Rightarrow \widehat{AEM}={90}^0$

Suy ra: Tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)

$∆ABC$ vuông cân tại $A$ $\Rightarrow AB=AC=4cm,\hat{B}={45}^0$

Suy ra: $∆DBM$ vuông cân tại $D$ $\Rightarrow DM=DB$

Chu vi hình chữ nhật $ADME$ bằng :

$2(AD+DM)$ $=2(AD+DB)$ $=2AB=2.4=8$ $(cm)$

b) Gọi $H$ là trung điểm của $BC$

Vì tam giác ABC cân tại A có AH là đường trung tuyến nên AH cũng là đường cao (tính chất tam giác cân)

Suy ra $AH\perp BC$

Do đó, $AM\ge AH$ ( quan hệ đường vuông góc và đường xiên ) (dấu “=” xảy ra khi $M$ trùng với $H$)

Tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow AM=DE$ (tính chất hình chữ nhật)

Suy ra: $DE\ge AH$

Vậy DE có độ dài nhỏ nhất là AH khi điểm $M$ là trung điểm của $BC.$

Bài 115 Trang 94 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $ABC$ cân tại $A,$ các đường trung tuyến $BM,CN$ cắt nhau tại $G.$ Gọi $D$ là điểm đối xứng với $G$ qua $M,$ gọi $E$ là điểm đối xứng với $G$ qua $N.$ Tứ giác $BEDC$ là hình gì ? Vì sao ?

Phương pháp giải:

+) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

+) Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật

+) Tính chất đường trung tuyến: Cho $∆ABC$, có $M$ là trung điểm $BC$, trọng tâm $G,$ ta có $AG=2GM$

Lời giải: 

* Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G

Suy ra: $G$ là trọng tâm của $∆ABC$

$\Rightarrow GB=2GM$ (tính chất đường trung tuyến)

$GC=2GN$ (tính chất đường trung tuyến)

Điểm $D$ đối xứng với điểm $G$ qua điểm $M$

$\Rightarrow MG=MD$ hay $GD=2GM$

Suy ra: $GD=GB$ (1)

Điểm $E$ đối xứng với điểm $G$ qua điểm $N$

$\Rightarrow NG=NE$ hay $GE=2GN$

Suy ra: $GC=GE$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác $BCDE$ là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Xét $∆BCM$ và $∆CBN:$

$BC$ cạnh chung

$\widehat{BCM}=\widehat{CBN}$ (tính chất tam giác cân ABC)

$CM=BN$ ( vì $AB=AC$)

Do đó: $∆BCM=∆CBN(c.g.c)$

$\Rightarrow {\hat{B}}_1={\hat{C}}_1$ $\Rightarrow ∆GBC$ cân tại $G$ $\Rightarrow GB=GC\Rightarrow BD=CE$

Hình bình hành $BCDE$ có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật.

Bài 116 Trang 94 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình chữ nhật $ABCD.$ Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $A$ đến $BD.$ Biết $HD=2cm,HB=6cm.$ Tính các độ dài $AD,AB$ (làm tròn đến hàng đơn vị).

Phương pháp giải:

Tính chất hình chữ nhật: Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Định lý Py - ta - go trong tam giác ABC vuông tại A: $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$

Lời giải: 

Ta có: $DB=HD+HB=2+6=8(cm)$

Vì ABCD là hình chữ nhật nên theo tính chất hình chữ nhật, ta có: 

+ $AC=DB$ 

+ $OA=OB=OC=OD$$={\displaystyle \frac{1}{2}}BD=4$ $(cm)$

Lại có $OD=OH+HD$

$\Rightarrow OH=OD–HD=4–2=2(cm)$

Suy ra $HO=HD=2(cm)$ nên H là trung điểm của OD

Kết hợp với $AH\perp OD$  

Khi đó, tam giác ADO có AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên $∆ADO$ cân tại $A$

$\Rightarrow AD=AO=4(cm)$

Trong tam giác vuông $ABD$ có $\widehat{BAD}={90}^0$, ta có: 

$B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2$ (định lý Py-ta-go) $\Rightarrow A{B}^2=B{D}^2-A{D}^2$

$AB=\sqrt{B{D}^2-A{D}^2}$ $=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}\approx 7$ $(cm)$

Bài 117 Trang 94 SBT Toán 8 Tập 1 Chứng minh rằng ba điểm $C,B,D$ trên hình 18 thẳng hàng.

Phương pháp giải:

Sử dụng: 

Tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông.

Lời giải:

Nối $AB,BO,BC,B{O}^{\prime },BD.$

Trong $∆ABC$ ta có:

$OA=OC=R$ (bán kính đường tròn $(O)$)

Nên $BO$ là đường trung tuyến của $∆ABC$

Mà $BO=R$ (bán kính $(O)$)

$\Rightarrow BO=OA=OC={\displaystyle \frac{1}{2}}AC$

Nên tam giác $ABC$ vuông tại $B$ $\Rightarrow \widehat{ABC}={90}^0$

Trong $∆ABD$ ta có: $A{O}^{\prime }=O^{\prime }D=R^{\prime }$ (bán kính $(O^{\prime })$)

Nên $B{O}^{\prime }$ là đường trung tuyến của $∆ABD$

Mà $B{O}^{\prime }=R^{\prime }$ (bán kính $(O^{\prime })$) $\Rightarrow B{O}^{\prime }=A{O}^{\prime }=O^{\prime }D={\displaystyle \frac{1}{2}}AD$

Nên tam giác $ABD$ vuông tại $B$ $\Rightarrow \widehat{ABD}={90}^0$

$\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=\widehat{CBD}$

$\Rightarrow \widehat{CBD}={90}^0+{90}^0={180}^0$

Vậy $C,B,D$ thẳng hàng.

Bài 118 Trang 94 SBT Toán 8 Tập 1 Tứ giác $ABCD$ có $AB\perp CD.$ Gọi $E,F,G,H$ theo thứ tự là trung điểm của $BC,BD,AD,AC.$ Chứng minh rằng $EG=FH.$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

+) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Lời giải: 

Trong $∆BCD$ ta có:

$E$ là trung điểm của $BC$ (gt)

$F$ là trung điểm của $BD$ (gt)

nên $EF$ là đường trung bình của $∆BCD$

$\Rightarrow EF//CD$ và $EF={\displaystyle \frac{1}{2}}CD$ (1)

Trong $∆ACD$ ta có:

$H$ là trung điểm của $AC$ (gt)

$G$ là trung điểm của $AD$ (gt)

nên $HG$ là đường trung bình của $∆ACD$

$\Rightarrow HG//CD$ và $HG={\displaystyle \frac{1}{2}}CD$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $EF//HG$ và $EF=HG$

Suy ra tứ giác $EFGH$ là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Mặt khác: $EF//CD$ (chứng minh trên)

                $AB\perp CD$ (gt)

Suy ra $EF\perp AB$

Trong $∆ABC$ ta có $HE$ là đường trung bình (do H là trung điểm của AC và E là trung điểm của BC)

$\Rightarrow HE//AB$

Suy ra: $HE\perp EF$ hay $\widehat{FEH}={90}^0$

Vậy hình bình hành $EFGH$ là hình chữ nhật.

Do đó $EG=FH$ (tính chất hình chữ nhật).

Bài 119 Trang 94 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $ABC,$ đường cao $AH.$ Gọi $D,E,M$ theo thứ tự là trung điểm của $AB,AC,BC.$ Chứng minh rằng tứ giác $DEMH$ là hình thang cân.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

+) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

+) Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông: Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Lời giải:

+ Vì $D$ là trung điểm của $AB$ (gt)

$E$ là trung điểm của $AC$ (gt)

nên $DE$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

$\Rightarrow DE//BC$ hay $DE//HM$

Suy ra: Tứ giác $DEMH$ là hình thang

+ Vì $D$ là trung điểm của $AB$ (gt)

$M$ là trung điểm của $BC$ (gt)

nên $DM$ là đường trung bình của $∆BAC$

$\Rightarrow DM={\displaystyle \frac{1}{2}}AC$ (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

Trong tam giác vuông $AHC$ có $\widehat{AHC}={90}^0$.

 $HE$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AC.$

$\Rightarrow HE={\displaystyle \frac{1}{2}}AC$ (tính chất tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $DM=HE$

Vậy hình thang $DEMH$ là hình thang cân (vì có hai đường chéo bằng nhau $DM=EH)$

Bài 120 Trang 95 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ điểm $D$ thuộc cạnh $AC$. Gọi $E,F,G$ theo thứ tự là trung điểm của $BD,BC,DC.$ Chứng minh rằng tứ giác $AEFG$ là hình thang cân.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác 

+) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

+) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông: Trong tam giác vuông đường trung tuyến tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy

Định nghĩa hình thang cân: Hình thang có hai góc ở đáy bằng nhau là hình thang cân.

Lời giải:

Trong $∆BDC$ ta có:

$E$ là trung điểm của $BD$ (gt)

$F$ là trung điểm của $BC$ (gt)

Nên $EF$ là đường trung bình của $∆BDC$

$\Rightarrow EF//DC$ hay $EF//AG$

Suy ra: Tứ giác $AEFG$ là hình thang

+ Vì $F$ là trung điểm của $BC$ (gt)

$G$ là trung điểm của $DC$ (gt)

Nên $FG$ là đường trung bình của $∆CBD$

$\Rightarrow FG//BD$ $\Rightarrow {\hat{G}}_1={\hat{D}}_1$ (đồng vị) (1)

Trong tam giác $ABD$ vuông tại $A$ có $AE$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $BD$

$\Rightarrow AE=ED={\displaystyle \frac{1}{2}}BD$ (tính chất tam giác vuông)

Nên $∆AED$ cân tại $E$ $\Rightarrow {\hat{A}}_1={\hat{D}}_1$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ${\hat{A}}_1={\hat{G}}_1$

Vậy hình thang $AEFG$ là hình thang cân (theo định nghĩa).

Bài 121 Trang 95 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác nhọn $ABC,$ các đường cao $BD,CE.$ Gọi $H,K$ theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ $B,C$ đến đường thẳng $DE.$ Chứng minh rằng $EH=DK$

HD: Vẽ điểm $I$ là trung điểm của $DE,$ điểm $M$ là trung điểm của $BC.$

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác 

+) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

+) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông: Trong tam giác vuông đường trung tuyến tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy

Lời giải:

Ta có: $BH\perp DE$ (gt)

$CK\perp DE$ (gt)

Suy ra $BH//CK$ nên tứ giác $BHKC$ là hình thang

Ta có: Gọi $M$ là trung điểm của $BC,$ $I$ là trung điểm của $DE$

Trong tam giác $BDC$ vuông tại $D$ có $DM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC.$

$\Rightarrow DM={\displaystyle \frac{1}{2}}BC$ (tính chất tam giác vuông)

Trong tam giác $BEC$ vuông tại $E$ có $EM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC.$

$\Rightarrow DM={\displaystyle \frac{1}{2}}BC$ (tính chất tam giác vuông)

Suy ra: $DM=EM$ nên $∆MDE$ cân tại $M$

$∆MDE$ cân tại $M$ có $MI$ là đường trung tuyến nên $MI$ là đường cao $\Rightarrow MI\perp DE$

Suy ra: $MI//BH//CK$ (cùng vuông góc với DE)

Xét hình thang  $BHKC$ có $MI//BH//CK$ và $BM=MC$

Suy ra: $HI=IK$ (tính chất đường trung bình hình thang)

$\Rightarrow HE+EI=ID+DK$

mà $EI=ID$ ( theo cách vẽ)

 $\Rightarrow HE=DK$

Bài 122 Trang 95 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ đường cao $AH.$ Gọi $D,E$ theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ $H$ đến $AB,AC.$

a. Chứng minh rằng $AH=DE.$

b. Gọi $I$ là trung điểm của $HB,K$ là trung điểm của $HC.$ Chứng minh rằng $DI//EK$

Phương pháp giải:

Hình tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật

Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau.

Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông: Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy

Lời giải:

a. Xét tứ giác $ADHE:$

$\hat{A}={90}^0$ (gt)

$\widehat{ADH}={90}^0$ (vì $HD\perp AB$)

$\widehat{AEH}={90}^0$ (vì $HE\perp AC$)

Suy ra tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)

$\Rightarrow AH=DE$ (tính chất hình chữ nhật)

b. $∆BHD$ vuông tại $D$ có $DI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BH$

$\Rightarrow DI=IB$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}BH$ (tính chất tam giác vuông)

$\Rightarrow ∆IDB$ cân tại $I$ $\Rightarrow \widehat{DIB}={180}^0-2\hat{B}$ (1)

$∆HEC$ vuông tại $E$ có $EK$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $HC$

$\Rightarrow EK=KH={\displaystyle \frac{1}{2}}HC$ (tính chất tam giác vuông)

$\Rightarrow ∆KHE$ cân tại $K$ $\Rightarrow \widehat{EKH}={180}^0-2\widehat{KHE}$ (2)

Tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow HE//AD$ hay $HE//AB$

$\Rightarrow$ $\hat{B}=\widehat{KHE}$ (hai góc đồng vị) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $\widehat{DIB}=\widehat{EKH}$

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

$\Rightarrow DI//EK$

Bài 123 Trang 95 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $ABC$ vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM.

a. Chứng minh rằng $\widehat{HAB}=\widehat{MAC}$

b. Gọi $D,E$ theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ $H$ đến $AB,AC.$ Chứng minh rằng AM vuông góc với DE.

Phương pháp giải:

Hình tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông: Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy

Lời giải:

a. $AH\perp BC$ (gt) $\Rightarrow \widehat{HAB}+\hat{B}={90}^0$

$\hat{B}+\hat{C}={90}^0$ (vì ∆ ABC có $\hat{A}={90}^0$)

Suy ra: $\widehat{HAB}=\hat{C}$ (1)

$∆ABC$ vuông tại $A$ có $AM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$

$\Rightarrow AM=MC={\displaystyle \frac{1}{2}}BC$ (tính chất tam giác vuông)

$\Rightarrow ∆MAC$ cân tại $M$ $\Rightarrow \widehat{MAC}=\hat{C}$ (tính chất tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat{HAB}=\widehat{MAC}$

b. xét tứ giác ADHE có:

$\hat{A}={90}^0$ (gt)

$\widehat{ADH}={90}^0$ (vì $HD\perp AB$)

$\widehat{AEH}={90}^0$ (vì $HE\perp AC$)

Suy ra: Tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)

+ Xét $∆ADH$ và $∆EHD$ có :

DH chung

$AD=EH$ ( vì ADHE là hình chữ nhật)

$AH=DE$ ( vì ADHE là hình chữ nhật)

$\Rightarrow ∆ADH=∆EHD(c.c.c)$

$\Rightarrow {\hat{A}}_1=\widehat{HED}$

Lại có: $\widehat{HED}+{\hat{E}}_1=\widehat{HEA}={90}^0$

Suy ra: ${\hat{E}}_1+{\hat{A}}_1={90}^0$

              ${\hat{A}}_1={\hat{A}}_2$ (chứng minh câu a)

 $\Rightarrow {\hat{E}}_1+{\hat{A}}_2={90}^0$

Gọi $I$ là giao điểm của $AM$ và $DE$

Trong $∆AIE$ ta có:

$\widehat{AIE}={180}^0-\left({\hat{E}}_1+{\hat{A}}_1\right)$ $={180}^0-{90}^0={90}^0$

$\Rightarrow$ $AM\perp DE.$

Bài 9.1 Trang 95 SBT Toán 8 Tập 1 Một hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng $4cm$ và $6cm.$ Độ dài đường chéo của hình chữ nhật đó bằng bao nhiêu xentimét ?

A. $8cm$

B. $\sqrt{52}$ $cm$

C. $9cm$

D. $\sqrt{42}$$cm$

Hãy chọn phương án đúng. 

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí Py - ta - go trong tam giác ABD vuông tại A: $A{B}^2+A{D}^2=B{D}^2$

Lời giải: 

Chọn B.

Theo định lý Pytago ta có: $d^2=4^2+6^2$ 

Nên độ dài đường chéo hình chữ nhật là: $d=\sqrt{4^2+6^2}$ $=\sqrt{52}$ $cm$

Bài 9.2 Trang 95 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ đường cao $AH.$ Gọi $I,K$ theo thứ tự là trung điểm của $AB,AC.$ Tính số đo góc $IHK.$

Bài 9.3 Trang 95 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình thang cân $ABCD,$ đường cao $AH.$ Gọi $E,F$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh bên $AD,BC.$ Chứng minh rằng $EFCH$ là hình bình hành.

Phương pháp giải:

Tính chất đường trung bình của hình thang

Tính chất tam giác vuông (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)

Lời giải:

Ta có: $E$ là trung điểm của $AD$ (gt)

$F$ là trung điểm của $BC$ (gt)

Nên $EF$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$

$\Rightarrow EF//CD$ hay $EF//CH$ (*)

$∆AHD$ vuông tại $H$ có $HE$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AD.$

Ta có: $HE=ED={\displaystyle \frac{1}{2}}AD$ (tính chất tam giác vuông)

$\Rightarrow ∆EDH$ cân tại $E$

$\Rightarrow \hat{D}={\hat{H}}_1$ (tính chất tam giác cân)

$\hat{D}=\hat{C}$ (vì ABCD là hình thang cân)

Suy ra: ${\hat{H}}_1=\hat{C}$

$\Rightarrow EH//CF$ (**) (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)

Từ (*) và (**) suy ra tứ giác $EFCH$ là hình bình hành (1 cặp cạnh song song và bằng nhau).