Toptailieu.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 8 Bài 11: Hình thoi chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 11: Hình thoi

Bài 132 Trang 96 SBT Toán 8 Tập 1 Chứng minh rằng trung điểm bốn cạnh của một hình chữ nhật là đỉnh của một hình thoi.

Phương pháp giải:

Vận dụng kiến thức : Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

Lời giải:

Gọi $E,F,G,H$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD,DA$ của hình chữ nhật $ABCD.$

Kẻ đường chéo $AC.$

- Trong $∆ABC$ ta có:

$E$ là trung điểm của $AB$

$F$ là trung điểm của $BC$

nên $EF$ là đường trung bình của $∆ABC$

$\Rightarrow EF//AC$ và $EF=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$$AC$ (tính chất đường trung bình tam giác) (1)

- Trong $∆ADC$ ta có:

$H$ là trung điểm $AD$

$G$ là trung điểm $DC$

nên $HG$ là đường trung bình của $∆ADC.$

$\Rightarrow HG//AC$ và $HG=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$$AC$ (tính chất đường trung bình của tam giác)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $EF//HG$ và $EF=HG$

Suy ra tứ giác $EFGH$ là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

- Xét $∆AEH$ và $∆DGH:$

$AH=DH$ (gt)

$\widehat{EAH}=\widehat{GDH}={90}^0$

$AE=DG$ (vì $AB=CD$)

Do đó: $∆AEH=∆DGH(c.g.c)$ $\Rightarrow HE=HG$ (hai cạnh tương ứng)

Vậy hình bình hành $EFGH$ là hình thoi (hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau)

Bài 133 Trang 96 SBT Toán 8 Tập 1 Chứng minh rằng trung điểm các cạnh của một hình thoi là đỉnh của một hình chữ nhật.

Phương pháp giải:

Vận dụng kiến thức : Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

Tính chất đường trung bình: Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Lời giải:

Giả sử hình thoi $ABCD.$ Gọi $E,F,G,H$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD,DA.$

- Trong $∆ABC$ ta có:

$E$ là trung điểm của $AB$

$F$ là trung điểm của $BC$

nên $EF$ là đường trung bình của tam giác $ABC.$

$\Rightarrow EF//AC$ và $EF=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$$AC$ (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

- Trong $∆ADC$ ta có:

$H$ là trung điểm của $AD$

$G$ là trung điểm của $CD$

nên $HG$ là đường trung bình của $∆ADC$

$\Rightarrow HG//AC$ và $HG=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$$AC$ ( tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $EF//HG$ và $EF=HG$

Suy ra tứ giác $EFGH$ là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Mặt khác: $AC\perp BD$ (tính chất hình thoi)

$EF//AC$ (chứng minh trên)

Suy ra: $EF\perp BD$

Trong $∆ABD$ ta có:

$E$ là trung điểm của $AB$

$H$ là trung điểm của $AD$

nên $EH$ là đường trung bình của $∆ABD$

$\Rightarrow EH//BD$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra: $EH\perp EF$ 

Vậy hình bình hành $EFGH$ là hình chữ nhật.

Bài 134 Trang 96 SBT Toán 8 Tập 1 Chứng minh rằng trong hình thoi:

a) Giao điểm của hai đường chéo là tâm đối xứng của hình thoi

b) Hai đường chéo là hai trục đối xứng của hình thoi.

Phương pháp giải:

a) Vận dụng kiến thức :

- Hình thoi là một hình bình hành.

- Hình bình hành có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.

b) Nhẩm lại kiến thức về trục đối xứng của một hình và chứng minh.

Lời giải:

a) Hình bình hành có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo. Hình thoi cũng là một hình bình hành nên cũng có tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo của nó.

b) Ta có: $AC\perp BD$ (tính chất hình thoi)

$OB=OD$ ( tính chất hình thoi)

nên $AC$ là đường trung trực của $BD.$

Do đó điểm đối xứng với điểm $B$ qua $AC$ là điểm $D$

Điểm đối xứng với điểm $D$ qua $AC$ là điểm $B$

Điểm đối xứng với điểm $A$ qua $AC$ là điểm $A$

Điểm đối xứng với điểm $C$ qua $AC$ là điểm $C$

Vậy điểm đối xứng với mỗi đỉnh của hình thoi qua $AC$ cũng thuộc hình thoi.

Do đó $AC$ là trục đối xứng của hình thoi $ABCD.$

$OC=OA$ ( tính chất hình thoi)

nên $BD$ là đường trung trực của $AC$

Do đó điểm đối xứng với điểm $A$ qua $BD$ là điểm $C$

Điểm đối xứng với điểm $C$ qua $BD$ là điểm $A$

Điểm đối xứng với điểm $B$ qua $BD$ là điểm $B$

Điểm đối xứng với điểm $D$ qua $BD$ là điểm $D$

Vậy điểm đối xứng với mỗi đỉnh của hình thoi qua $BD$ cũng thuộc hình thoi.

Do đó $BD$ là trục đối xứng của hình thoi $ABCD.$

Bài 135 Trang 97 SBT Toán 8 Tập 1 Tứ giác $ABCD$ có tọa độ các đỉnh như sau: $A(0;2),$ $B(3;0),$ $C(0;-2),$ $D(-3;0).$ Tứ giác $ABCD$ là hình gì? Tính chu vi của tứ giác đó?

Phương pháp giải:

- Vận dụng kiến thức : Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

- Chu vi hình tứ giác bằng tổng độ dài các cạnh của hình đó.

Lời giải:

Vì $A(0;2)$ và $C(0;-2)$ nên hai điểm $A$ và $C$ đối xứng nhau qua $O(0,0)$ $\Rightarrow OA=OC$

Vì $B(3;0)$ và $D(-3;0)$ nên hai điểm $B$ và $D$ đối xứng qua $O(0;0)$ $\Rightarrow OB=OD$

Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

$Ox\perp Oy$ hay $AC\perp BD$

Vậy tứ giác $ABCD$ là hình thoi

Trong $∆OAB$ vuông tại $O.$ Theo định lý Pi-ta-go ta có:

$\begin{array}{rl}& A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2\\ & A{B}^2=2^2+3^2=4+9=13\\ & AB=\sqrt{13}\end{array}$

Chu vi hình thoi bằng $4\sqrt{13}$

Bài 136 Trang 97 SBT Toán 8 Tập 1 a) Cho hình thoi $ABCD.$ Kẻ hai đường cao $AH,AK.$ Chứng minh rằng $AH=AK$

b) Hình bình hành $ABCD$ có hai đường cao $AH,AK$ bằng nhau. Chứng minh rằng $ABCD$ là hình thoi.

Phương pháp giải:

- Chứng minh $∆AHB=∆AKD$

- Chứng minh $ABCD$ là hình bình hành có đường chéo cũng là tia phân giác.

Lời giải:

a)

Xét hai tam giác vuông $AHB$ và $AKD:$

$\widehat{AHB}=\widehat{AKD}={90}^0$

$AB=AD$ (gt)

$\hat{B}=\hat{D}$ (tính chất hình thoi)

Do đó: $∆AHB=∆AKD$ (cạnh huyền, góc nhọn)

$\Rightarrow AH=AK$

b)

Xét hai tam giác vuông $AHC$ và $AKC:$

$\widehat{AHC}=\widehat{AKC}={90}^0$

$AH=AK$ (gt)

$AC$ cạnh huyền chung

Do đó: $∆AHC=∆AKC$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \widehat{ACH}=\widehat{ACK}$  hay $\widehat{ACB}=\widehat{ACD}$

$\Rightarrow CA$ là tia phân giác $\widehat{BCD}$

Hình bình hành $ABCD$ có đường chéo $CA$ là tia phân giác nên là hình thoi.

Bài 137 Trang 97 SBT Toán 8 Tập 1 Hình thoi $ABCD$ có $\hat{A}={60}^0$. Kẻ hai đường cao $BE,BF.$ Tam giác $BEF$ là tam giác gì ? Vì sao ?

Phương pháp giải:

Vận dụng kiến thức: Tam giác cân có một góc bằng ${60}^{\circ }$ là tam giác đều.

Lời giải:

Xét hai tam giác vuông $BEA$ và $BFC:$

$\widehat{BEA}=\widehat{BFC}={90}^0$

$\hat{A}=\hat{C}$ (tính chất hình thoi ABCD)

$BA=BC$ (vì ABCD là hình thoi)

Do đó: $∆BEA=∆BFC$ (cạnh huyền, góc nhọn)

$\Rightarrow BE=BF$ (hai cạnh tương ứng) $\Rightarrow ∆BEF$ cân tại $B$

$\Rightarrow {\hat{B}}_1={\hat{B}}_2$ (hai góc tương ứng)

Trong tam giác vuông $BEA$ ta có:

$\hat{A}+{\hat{B}}_1={90}^0$

$\Rightarrow {\hat{B}}_1={90}^0-\hat{A}$$={90}^0-{60}^0={30}^0$$\Rightarrow {\hat{B}}_2={\hat{B}}_1={30}^0$

$\hat{A}+\widehat{ABC}={180}^0$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

$\Rightarrow \widehat{ABC}={180}^0-\hat{A}$$={180}^0-{60}^0={120}^0$

$\widehat{ABC}={\hat{B}}_1+{\hat{B}}_2+{\hat{B}}_3$$\Rightarrow {\hat{B}}_3=\widehat{ABC}-\left({\hat{B}}_1+{\hat{B}}_2\right)$$={120}^0-\left({30}^0+{30}^0\right)={60}^0$

Vậy $∆BEF$ cân có $\widehat{EBF}={60}^0$ nên nó là tam giác đều.

Bài 138 Trang 97 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình thoi $ABCD,O$ là giao điểm của hai đường chéo. Gọi $E,F,G,H$ theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ $O$ đến $AB,BC,CD,DA.$ Tứ giác $EFGH$ là hình gì ? Vì sao?

Phương pháp giải:

Vận dụng kiến thức : Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình chữ nhật.

Lời giải:

Ta có: $AB//CD$ (gt)

$OE\perp AB$ (gt)

$\Rightarrow OE\perp CD$

$OG\perp CD$ (gt)

Suy ra: $OE$ trùng với $OG$ nên ba điểm $O,E,G$ thẳng hàng.

$BC//AD$ (gt)

$OF\perp BC$ (gt)

$\Rightarrow OF\perp AD$

$OH\perp AD$ (gt)

Suy ra: $OF$ trùng với $OH$ nên ba điểm $O,H,F$ thẳng hàng

Vì $AC$ và $BD$ là đường phân giác các góc của hình thoi ABCD, nên ta có:

$OE=OF$ (tính chất tia phân giác) (1)

$OE=OH$ (tính chất tia phân giác) (2)

$OH=OG$ (tính chất tia phân giác) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $OE=OF=OH=OG$

Và $EG=OE+OG=OF+OH=FH$

Suy ra tứ giác $EFGH$ có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình chữ nhật.

Bài 139 Trang 97 SBT Toán 8 Tập 1 Hình thoi $ABCD$ có chu vi bằng $16cm,$ đường cao $AH$ bằng $2cm.$ Tính các góc của hình thoi, biết rằng $\hat{A}>\hat{B}$

Phương pháp giải:

- Tính độ lớn $\widehat{HAD}$

- Tính độ lớn $\widehat{ADH}$

- Tính độ lớn các góc còn lại của hình thoi.

Lời giải:

Chu vi hình thoi bằng $16(m)$ nên độ dài một cạnh bằng:

 $16:4=4(cm)$

Gọi $M$ là trung điểm của $AD.$

Trong tam giác vuông $AHD$ ta có $HM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền

$HM=AM=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$$AD=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$$.4$ $=2(cm)$

$\Rightarrow AH=AM=HM=MD=2cm$

$\Rightarrow ∆AHM$ đều

$\Rightarrow \widehat{HAM}={60}^0$ hay $\widehat{HAD}={60}^0$

Trong tam giác vuông $AHD$ ta có: $\widehat{HAD}+\hat{D}={90}^0$

$\Rightarrow \hat{D}={90}^0-\widehat{HAD}$$={90}^0-{60}^0={30}^0$

$\Rightarrow \hat{B}=\hat{D}={30}^0$ (tính chất hình thoi)

Ta có $AB//CD$ (do ABCD là hình thoi) nên $\hat{B}+\hat{C}={180}^0$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

$\Rightarrow \hat{C}={180}^0-\hat{B}$$={180}^0-{30}^0={150}^0$

$\Rightarrow \hat{A}=\hat{C}={150}^0$ (tính chất hình thoi)

Bài 140 Trang 97 SBT Toán 8 Tập 1 Hình thoi $ABCD$ có $\hat{A}={60}^0$ . Trên cạnh $AD$ lấy điểm $M,$ trên cạnh $DC$ lấy điểm $N$ sao cho $AM=DN.$ Tam giác $BMN$ là tam giác gì ? Vì sao ?

Phương pháp giải:

Vận dụng kiến thức : Tam giác cân có một góc bằng ${60}^{\circ }$.

Lời giải:

Nối $BD,$ ta có:

$AB=AD=BC=BD$ (do ABCD là hình thoi) nên $∆ABD$ cân tại $A$ 

Mà  $\hat{A}={60}^0$

Nên $∆ABD$ đều.

$\Rightarrow \widehat{ABD}={\hat{D}}_1={60}^0$  và $BD=AB$

Suy ra: $BD=BC=CD$

Vậy $∆CBD$ đều.

$\Rightarrow {\hat{D}}_2={60}^0$

Xét $∆BAM$ và $∆BDN:$

$AB=BD$ (chứng minh trên)

$\hat{A}={\hat{D}}_2={60}^0$

$AM=DN$ (giả thiết)

Do đó: $∆BAM=∆BDN(c.g.c)$ $\Rightarrow {\hat{B}}_1={\hat{B}}_3$  và $BM=BN$

Suy ra: $∆BMN$ cân tại $B$

${\hat{B}}_2+{\hat{B}}_1=\widehat{ABD}={60}^0$

Suy ra: ${\hat{B}}_2+{\hat{B}}_3=\widehat{MBN}={60}^0$

Vậy $∆BMN$ đều (tam giác cân có 1 góc bằng ${60}^0$ là tam giác đều)

Bài 141 Trang 97 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $ABC.$ Lấy các điểm $D,E$ theo thứ tự trên các cạnh $AB,AC$ sao cho $BD=CE.$ Gọi $M,N,I,K$ theo thứ tự là trung điểm của $BE,CD,DE,BC.$ Chứng minh rằng $IK$ vuông góc với $MN.$

Phương pháp giải:

Vận dụng kiến thức :

- Hai đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường.

- Tính chất đường trung bình của tam giác: Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

- Chứng minh $MKNI$ là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi.

Lời giải:

Trong $∆BCD$ ta có:

$K$ là trung điểm của $BC$ (gt)

$N$ là trung điểm của $CD$ (gt)

nên $NK$ là đường trung bình của $∆BCD$

$\Rightarrow NK//BD$ và $NK={\displaystyle \frac{1}{2}BD}$ (1)

Trong $∆BED$ ta có:

$M$ là trung điểm của $BE$ (gt)

$I$ là trung điểm của $DE$ (gt)

nên $MI$ là đường trung bình của $∆BED$

$\Rightarrow MI//BD$ và $MI={\displaystyle \frac{1}{2}BD}$ (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $MI//NK$ và $MI=NK$

nên tứ giác $MKNI$ là hình bình hành

Trong $∆BEC$ ta có:

$M$ là trung điểm của $BE$ (gt)

$K$ là trung điểm của $BC$ (gt)

Nên $MK$ là đường trung bình

Suy ra $MK={\displaystyle \frac{1}{2}CE}$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Mà $NK={\displaystyle \frac{1}{2}BD}$ (theo (1)) và $BD=CE$ (gt)

Suy ra: $MK=KN$

Vây hình bình hành $MKNI$ là hình thoi.

$\Rightarrow IK\perp MN$ (tính chất hình thoi)

Bài 142 Trang 97 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình bình hành $ABCD,$ các đường chéo cắt nhau ở $O.$ Gọi $E,F,G,H$ theo thứ tự là giao điểm của các đường phân giác của các tam giác $AOB,BOC,COD,DOA.$ Chứng minh rằng $EFGH$ là hình thoi.

Phương pháp giải:

Chứng minh hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình thoi.

Lời giải:

Ta có: $\widehat{AOB}=\widehat{COD}$ (đối đỉnh)

$\widehat{EOB}={\displaystyle \frac{1}{2}\widehat{AOB}}$ (gt)

$\widehat{COG}={\displaystyle \frac{1}{2}\widehat{COD}}$ (gt)

Suy ra: $\widehat{EOB}=\widehat{COG}$

$\widehat{EOB}+\widehat{BOC}+\widehat{COG}$$=2\widehat{EOB}+\widehat{BOC}$

mà $\widehat{AOB}+\widehat{BOC}={180}^0$ (kề bù)

hay $2\widehat{EOB}+\widehat{BOC}={180}^0$

Suy ra: $E,O,G$ thẳng hàng

Ta lại có: $\widehat{BOC}=\widehat{AOD}$ (đối đỉnh)

$\widehat{HOD}={\displaystyle \frac{1}{2}\widehat{AOD}}$ (gt)

$\widehat{FOC}={\displaystyle \frac{1}{2}\widehat{BOC}}$ (gt)

Suy ra: $\widehat{HOD}=\widehat{FOC}$

$\widehat{HOD}+\widehat{COD}+\widehat{FOC}$$=2\widehat{HOD}+\widehat{COD}$

mà $\widehat{AOD}+\widehat{COD}={180}^0$ (kề bù)

hay $2\widehat{HOD}+\widehat{COD}={180}^0$             

Suy ra: $H,O,F$ thẳng hàng

$\widehat{ADO}=\widehat{CBO}$ (so le trong)

$\widehat{HDO}={\displaystyle \frac{1}{2}\widehat{ADO}}$ (gt)

$\widehat{FBO}={\displaystyle \frac{1}{2}\widehat{CBO}}$ (gt)

Suy ra: $\widehat{HDO}=\widehat{FBO}$

- Xét $∆BFO$ và $∆DHO:$

$\widehat{HDO}=\widehat{FBO}$ (chứng minh trên)

$OD=OB$ (tính chất hình bình hành)

$\widehat{HOD}=\widehat{FOB}$ (đối đỉnh)

Do đó: $∆BFO=∆DHO(g.c.g)$

$\Rightarrow OF=OH$

$\widehat{OAB}=\widehat{OCD}$ (so le trong)

$\widehat{OAE}={\displaystyle \frac{1}{2}\widehat{OAB}}$ (gt)

$\widehat{OCG}={\displaystyle \frac{1}{2}\widehat{OCD}}$ (gt)

Suy ra: $\widehat{OAE}=\widehat{OCG}$       

- Xét $∆OAE$ và $∆OCG:$

$\widehat{OAE}=\widehat{OCG}$ (chứng minh trên)

$OA=OC$ (tính chất hình bình hành)

$\widehat{EOA}=\widehat{GOC}$ (đối đỉnh)

Do đó: $∆OAE=∆OCG(g.c.g)$

$\Rightarrow OE=OG$

Suy ra: Tứ giác $EFGH$ là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Ta có OE là tia phân giác góc AOB và OF là tia phân giác góc BOC

Mà hai góc AOB và BOC kề bù

Nên $OE\perp OF$ (tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau)

hay $EG\perp FH$

Vậy: Tứ giác $EFGH$ là hình thoi.

Bài 143 Trang 97 SBT Toán 8 Tập 1 Dựng hình thoi $ABCD,$ biết cạnh bằng $2cm,$ một đường chéo bằng $3cm.$

Phương pháp giải:

- Dựng tam giác $ABD$ có hai cạnh bằng $2cm$ và cạnh đáy bằng độ dài đường chéo của hình thoi.

- Ở mặt phẳng đối diện, vẽ một tam giác chung cạnh đáy và độ dài cạnh bên bằng $2cm.$

- Chứng minh hình vừa dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.

Lời giải:

Cách dựng:

- Dựng $∆ABD$ biết $AB=AD=2(cm),$ $BD=3cm$

- Trên nửa mặt phẳng bờ $BD$ không chứa điểm $A.$ Từ $B$ dựng tia $Bx//AD,$ từ $D$ dựng tia $Dy//AB,$ chúng cắt nhau tại $C.$

Ta có hình thoi $ABCD$ cần dựng

Chứng minh:

Vì $AB//CD$ và $AD//BC$ nên tứ giác $ABCD$ là hình bình hành

$AB=AD=2cm.$ Vậy tứ giác $ABCD$ là hình thoi

Lại có: $BD=3cm$

Hình thoi dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.

Bài 11.1 Trang 97 SBT Toán 8 Tập 1 Cạnh của một hình thoi bằng $25,$ một đường chéo bằng $14.$ Đường chéo kia bằng:

A. $24$

B. $48$

C. $\sqrt{429}$

D. Một đáp số khác.

Hãy chọn phương án đúng

Phương pháp giải:

- Vận dụng định lí Pitago, tìm độ dài một nửa của đường chéo còn lại.

- Tính độ dài đường chéo còn lại và chọn đáp án đúng.

Lời giải:

Hình thoi $ABCD$ có cạnh $AB=25,$ đường chéo $AC=14.$

Vì ABCD là hình thoi nên O là trung điểm của BD, AC (tính chất hình thoi)

Suy ra $AO=AC:2=7$ và $BD=2BO$

Tam giác $ABO$ vuông ở $O$ nên theo định lí Py-ta-go ta có :

$A{B}^2=B{O}^2+A{O}^2$

$\Rightarrow B{O}^2=A{B}^2-A{O}^2$

$\Rightarrow B{O}^2={25}^2-7^2$

$\Rightarrow B{O}^2=576$ hay $BO=24$

Vậy $BD=2BO=48$

Chọn B.

Bài 11.2 Trang 97 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình thang cân $ABCD$ $(AB//CD).$ Gọi $E,F,G,H$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD,DA.$ Tứ giác $EFGH$ là hình gì ?

Phương pháp giải:

Vận dụng kiến thức : Hình bình hành có cặp cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

Lời giải:

Trong $∆ABD$ ta có:

$E$ là trung điểm của $AB$ (gt)

$H$ là trung điểm của $AD$ (gt)

nên $EH$ là đường trung bình của $∆ABD$  

$\Rightarrow EH//BD$ và $EH={\displaystyle \frac{1}{2}BD}$ (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

- Trong $∆CBD$ ta có:

$F$ là trung điểm của $BC$ (gt)

$G$ là trung điểm của $CD$ (gt)

nên $FG$ là đường trung bình của $∆CBD$

$\Rightarrow FG//BD$ và $FG={\displaystyle \frac{1}{2}BD}$ (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)  

Từ (1) và (2) suy ra: $EH//FG$ và $EH=FG$

Suy ra: Tứ giác $EFGH$ là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Trong $∆ABC$ ta có:

$E$ là trung điểm của $AB$ (gt)

$F$ là trung điểm của $BC$ (gt)

Nên $EF$ là đường trung bình của $∆ABC$

$\Rightarrow EF={\displaystyle \frac{1}{2}AC}$ (tính chất đường trung bình của tam giác) (3)

$AC=BD$ (tính chất hình thang cân) (4)

Từ (1), (3) và (4) suy ra: $EH=EF$

Vậy : Tứ giác $EFGH$ là hình thoi.

Bài 11.3 Trang 98 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $ABC,$ điểm $D$ thuộc cạnh $BC.$ Qua $D$ kẻ đường thẳng song song với $AC,$ cắt $AB$ ở $I.$ Qua $D$ kẻ đường thẳng song song với $AB,$ cắt $AC$ ở $K.$

a) Tứ giác $AIDK$ là hình gì ?

b) Điểm $D$ ở vị trí nào trên cạnh $BC$ thì $AIDK$ là hình thoi ?

Phương pháp giải:

a) Vận dụng kiến thức : Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song là hình bình hành.

b) Nhẩm lại dấu hiệu nhận biết của hình thoi rồi xác định vị trí thích hợp của điểm $D$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải:

a) Ta có: $DK//AB$ (gt)

hay $DK//AI$

$DI//AC$ (gt)

hay $DI//AK$

Vậy tứ giác $AIDK$ là hình bình hành

b) Để hình bình hành $AIDK$ là hình thoi.

thì $AD$ là đường phân giác $\widehat{IAK}$

hay $AD$ là đường phân giác $\widehat{BAC}$

Ngược lại nếu $AD$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$:

Ta có tứ giác $AIDK$ là hình bình hành có đường chéo $AD$ là phân giác của góc $A$ nên tứ giác $AIDK$ là hình thoi

Vậy hình bình hành $AIDK$ là hình thoi khi và chỉ khi $D$ là giao điểm tia phân giác của góc $A$ và cạnh $BC.$