Toptailieu.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 8 Bài 10: Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 10: Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước

Bài 124 Trang 95 SBT Toán 8 Tập 1 Cho đoạn thẳng $AB.$ Kẻ tia $Ax$ bất kì, lấy các điểm $C,D,E$ sao cho $AC=CD=DE.$ Qua $C$ và $D$ kẻ các đường thẳng song song với $EB.$ Chứng minh rằng đoạn thẳng $AB$ bị chia ra ba phần bằng nhau.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí:

+) Nếu các đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều.

+) Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau.

Lời giải:

Gọi giao điểm của các đường thẳng kẻ từ $C$ và $D$ song song với $BE$ cắt $AB$ tại $M$ và $N.$

Ta có: $AC=CD=DE$ $(gt)$

           $CM//DN//BE$

Theo tính chất đường thẳng song song cách đều ta có: $AM=MN=NB.$

Bài 125 Trang 95 SBT Toán 8 Tập 1

Cho góc vuông $xOy,$ điểm $A$ trên tia $Oy.$ Điểm $B$ di chuyển trên tia $Ox.$ Gọi $C$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B.$ Điểm $C$ di chuyển trên đường nào $?$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+)  Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua $O$ nếu $O$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

+) Các điểm cách đường thẳng $b$ một khoảng bằng $h$ nằm trên hai đường thẳng song song với $b$ và cách $b$ một khoảng bằng $h.$

Lời giải:

Vì điểm $C$ đối xứng với điểm $A$ qua điểm $B$ $\Rightarrow BA=BC$

Kẻ $CH\perp Ox$

Xét hai tam giác vuông $AOB$ và $CHB:$

$\widehat{AOB}=\widehat{CHB}={90}^0$

$BA=BC$ (chứng minh trên)

$\widehat{ABO}=\widehat{CBH}$ (đối đỉnh)

Do đó: $∆AOB=∆CHB$ (cạnh huyền, góc nhọn) $\Rightarrow CH=AO$

$A,O$ cố định $\Rightarrow OA$ không đổi nên $CH$ không đổi.

$C$ thay đổi cách $Ox$ một khoảng bằng $OA$ không đổi nên $C$ chuyển động trên đường thẳng song song với $Ox,$ cách $Ox$ một khoảng $OA.$

Khi $B$ trùng $O$ thì $C$ trùng với điểm $K$ đối xứng với $A$ qua điểm $O.$

Vậy $C$ chuyển động trên tia $Km//Ox,$ cách $Ox$ một khoảng không đổi bằng $OA.$

Bài 126 Trang 96 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $ABC,$ điểm $M$ di chuyển trên cạnh $BC.$ Gọi $I$ là trung điểm của $AM.$ Điểm $I$ di chuyển trên đường nào $?$ 

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

+) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

+) Các điểm cách đường thẳng $b$ một khoảng bằng $h$ nằm trên hai đường thẳng song song với $b$ và cách $b$ một khoảng bằng $h.$

Lời giải:

Kẻ $AH\perp BC,$ $IK\perp BC$

$\Rightarrow AH//IK$

Trong tam giác $AHM$ ta có:

$AI=IM(gt)$

$IK//AH$ (chứng minh trên)

Nên $K$ là trung điểm của HM (đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba)

Suy ra: $IK$ là đường trung bình của $∆AHM$

$\Rightarrow IK={\displaystyle \frac{1}{2}AH}$

$∆ABC$ cố định nên $AH$ không thay đổi $\Rightarrow IK={\displaystyle \frac{1}{2}AH}$ không đổi.

$I$ thay đổi cách $BC$ một khoảng bằng ${\displaystyle \frac{AH}{2}}$ không đổi nên $I$ nằm trên đường thẳng song song với $BC,$ cách $BC$ một khoảng bằng${\displaystyle \frac{AH}{2}}$.

Khi $M$ trùng với điểm $B$ thì $I$ trùng với $P$ là trung điểm của $AB.$

Khi $M$ trùng với điểm $C$ thì $I$ trùng với $Q$ là trung điểm của $AC.$

Vậy khi $M$ chuyển động trên cạnh $BC$ của $∆ABC$ thì trung điểm $I$ của $AM$ chuyển động trên đường trung bình $PQ$ của $∆ABC.$

Bài 127 Trang 96 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ điểm $M$ thuộc cạnh $BC.$ Gọi $D,E$ theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ $M$ đến $AB,AC.$

$a)$ So sánh các độ dài $AM,DE.$

$b)$ Tìm vị trí của điểm $M$ trên cạnh $BC$ để $DE$ có độ dài nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

+) Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau.

+) Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Lời giải:

$a)$ Xét tứ giác $ADME$ ta có:

$\hat{A}={90}^0$ (gt)

$MD\perp AB(gt)$

$\Rightarrow \widehat{MDA}={90}^0$

$ME\perp AC(gt)$

$\Rightarrow \widehat{MEA}={90}^0$

Suy ra: Tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)

$\Rightarrow AM=DE$ (tính chất hình chữ nhật)

$b)$ Ta có: $AH\perp BC$ nên $AM\ge AH$ (quan hệ đường vuông góc và đường xiên)

Dấu $“=”$ xảy ra khi $M$ trùng với $H.$

Mà $DE=AM$ (chứng minh trên)

Vậy $DE$ có độ dài nhỏ nhất bằng $AH$ khi $M$ là chân đường vuông góc kẻ từ $A$ đến $BC.$

Bài 128 Trang 96 SBT Toán 8 Tập 1 Cho điểm $A$ nằm ngoài đường thẳng $d.$ Điểm $M$ di chuyển trên đường thẳng $d.$ Gọi $B$ là điểm đối xứng với $A$ qua $M.$ Điểm $B$ di chuyển trên đường nào $?$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+)  Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua $O$ nếu $O$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

+) Các điểm cách đường thẳng $b$ một khoảng bằng $h$ nằm trên hai đường thẳng song song với $b$ và cách $b$ một khoảng bằng $h.$

Lời giải:

Kẻ  $AK\perp d,$ $BH\perp d$

$M$ thay đổi trên $d,$ $B$ đối xứng với $A$ qua $M$ nên $AM=MB$

Xét hai tam giác vuông $AKM$ và $BHM:$

$\widehat{AKM}=\widehat{BHM}={90}^0$

$AM=MB$ (chứng minh trên)

$\widehat{AMK}=\widehat{BMH}$ (đối đỉnh)

Do đó: $∆AKM=∆BHM$ (cạnh huyền, góc nhọn) $\Rightarrow AK=BH$

Điểm $A$ cố định, đường thẳng $d$ cố định nên $AK$ không thay đổi

$M$ thay đổi, $B$ thay đổi cách đường thẳng $d$ cố định một khoảng bằng $AK$ không đổi nên $B$ chuyển động trên đường thẳng $xy$ song song với $d$ và cách $d$ một khoảng bằng $AK.$

Bài 129 Trang 96 SBT Toán 8 Tập 1 Cho đoạn thẳng $AB,$ điểm $M$ di chuyển trên đoạn thẳng ấy. Vẽ về một phía của $AB$ các tam giác đều $AMD,BME.$ Trung điểm $I$ của $DE$ di chuyển trên đường nào $?$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

+) Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

+) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

+) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

+) Các điểm cách đường thẳng $b$ một khoảng bằng $h$ nằm trên hai đường thẳng song song với $b$ và cách $b$ một khoảng bằng $h.$

Lời giải:

Gọi giao điểm của $AD$ và $BE$ là $C.$

$∆ABC$ có: $\hat{A}={60}^0$ (vì $∆ADM$ đều)

                  $\hat{B}={60}^0$ (vì $∆BEM$ đều)

Suy ra: $∆ABC$ đều

Do đó $AC=AB=BC$ nên điểm $C$ cố định

$\hat{A}=\widehat{EMB}={60}^0$

$\Rightarrow ME//AC$ (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)

hay $ME//DC$

$\widehat{DMA}=\hat{B}={60}^0$ (vì tam giác ADM đều và tam giác ABC đều)

$\Rightarrow MD//BC$ (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)

hay $MD//EC$

Tứ giác $CDME$ là hình bình hành

$I$ là trung điểm của $DE$ nên $I$ là trung điểm của $CM$

Kẻ $CH\perp AB,IK\perp AB$ $\Rightarrow IK//CH$

Trong $∆CHM$ ta có:

$CI=IM$

$IK//CH$

Nên K là trung điểm của HM.

Suy ra $IK$ là đường trung bình của $∆CHM$ $\Rightarrow IK={\displaystyle \frac{1}{2}CH}$

$C$ cố định $\Rightarrow CH$ không đổi $\Rightarrow IK={\displaystyle \frac{1}{2}CH}$ không thay đổi nên $I$ chuyển động trên đường thẳng song song $AB,$ cách $AB$ một khoảng bằng ${\displaystyle \frac{1}{2}CH.}$

Khi $M$ trùng với $A$ thì $I$ trùng trung điểm $P$ của $AC.$

Khi $M$ trùng với $B$ thì $I$ trùng với trung điểm $Q$ của $BC.$

Vậy khi $M$ chuyển động trên đoạn thẳng $AB$ thì $I$ chuyển động trên đoạn $PQ$ ($P$ là trung điểm của $AC,Q$ là trung điểm của $BC$)

Bài 130 Trang 96 SBT Toán 8 Tập 1 Hình chữ nhật $ABCD$ có cạnh $AD$ bằng nửa đường chéo $AC.$ Tính góc nhọn tạo bởi hai đường chéo.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau.

+) Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Lời giải:

Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD.$

$AC=BD$ (tính chất hình chữ nhật)

$\Rightarrow OA=OD={\displaystyle \frac{1}{2}AC}$

Mà $AD={\displaystyle \frac{1}{2}AC(gt)}$

Suy ra: $OA=OD=AD$

$\Rightarrow ∆OAD$ đều

$\Rightarrow \widehat{AOD}={60}^0$

Bài 131 Trang 96 SBT Toán 8 Tập 1 Dựng hình chữ nhật $ABCD,$ biết đường chéo $AC=4cm,$ góc tạo bởi hai đường chéo bằng ${100}^0.$

Phương pháp giải:

+) Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.

+) Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.

Lời giải:

Cách dựng:

-  Dựng $∆OAB$ biết $OA=OB=2cm,$ $\widehat{AOB}={100}^0$

- Trên tia đối của tia $OA$ dựng điểm $C$ sao cho $OC=OA=2cm$

- Trên tia đối của tia $OB$ dựng điểm $D$ sao cho $OD=OB=2cm$

Nối $AD,BC,CD$ ta có hình chữ nhật $ABCD$ cần dựng.

Chứng minh:

$OA=OC,OB=OD$ nên tứ giác $ABCD$ là hình bình hành

Ta có: $AC=OA+OC=2+2=4cm$ và $BD=OB+OD=2+2=4cm$

Nên $AC=BD=4(cm)$, do đó hình bình hành $ABCD$ là hình chữ nhật

Lại có : $\widehat{AOB}={100}^0$

Nên hình đã dựng thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 10.1 Trang 96 SBT Toán 8 Tập 1 Tập hợp giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật $ABCD$ có $A$ và $B$ cố định là

$(A)$ Đường trung trực của $AD;$

$(B)$ Đường trung trực của $AB;$

$(C)$ Đường trung trực của $BC;$

$(D)$ Đường tròn $(A;AB)$

Hãy chọn phương án đúng.

Phương pháp giải:

+) Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau.

+) Trong hình chữ nhật, hai đường chéo chắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

+) Tập hợp các điểm cách đều hai điểm cố định là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Lời giải:

Gọi $O$ là giao của hai đường chéo $AC$ và $BD$ của hình chữ nhật ABCD.

Ta có: $AC=BD$ (tính chất hình chữ nhật)

$\Rightarrow OA=OB$ (tính chất hình chữ nhật)

mà $A,B$ cố định nên $O$ nằm trên đường trung trực của đoạn $AB$

Chọn $(B)$ Đường trung trực của $AB$

Bài 10.2 Trang 96 SBT Toán 8 Tập 1 Cho góc $xOy$ cố định khác góc bẹt. Các điểm $A$ và $B$ theo thứ tự chuyển động trên các tia $Ox$ và $Oy$ sao cho $OA=OB.$ Đường vuông góc với $OA$ tại $A$ và đường vuông góc với $OB$ tại $B$ cắt nhau ở $M.$ Điểm $M$ chuyển động trên đường nào $?$

Phương pháp giải:

Tập hợp các điểm cách đều cách đều hai cạnh của một góc là tia phân giác của góc ấy.

Lời giải:

Xét hai tam giác vuông $MOA$ và $MOB:$ $\widehat{MAO}=\widehat{MBO}={90}^0$

$OA=OB(gt)$

$OM$ cạnh huyền chung

Do đó: $∆MAO=∆MBO$ (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \widehat{AOM}=\widehat{BOM}$

$A$ và $B$ thay đổi, $OA$ và $OB$ luôn bằng nhau nên $∆MAO$ và $∆MBO$ luôn luôn bằng nhau do đó $\widehat{AOM}=\widehat{BOM}$

Vậy khi $A$ chuyển động trên $Ox,$ $B$ chuyển động trên $Oy$ mà $OA=OB$ thì điểm $M$ chuyển động trên tia phân giác của góc $xOy.$

Bài 10.3 Trang 96 SBT Toán 8 Tập 1 Xét các hình bình hành $ABCD$ có cạnh $AD$ cố định, cạnh $AB=2cm.$ Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD.$ Điểm $I$ chuyển động trên đường nào $?$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

+) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

+) Tập hợp tất cả các điểm cách một điểm cố định $O$ một khoảng không đổi $r$ là đường tròn tâm $O$, bán kính $r.$

Lời giải:

Gọi $K$ là trung điểm của cạnh $AD.$

ta có $AD$ cố định nên điểm $K$ cố định.

Trong $∆ABD$ ta có:

$IB=ID$ (tính chất hình bình hành)

$KA=KD$ (theo cách vẽ

nên $KI$ là đường trung bình của $∆ABD$

$\Rightarrow KI={\displaystyle \frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.2=1(cm)}$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

$B$ và $C$ thay đổi thì $I$ thay đổi luôn cách điểm $K$ cố định một khoảng không đổi là $1cm$ nên $I$ chuyển động trên $(K;1cm)$