SBT Toán 8 Bài 8: Đối xứng tâm | Giải SBT Toán lớp 8

397

Toptailieu.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 8 Bài 8: Đối xứng tâm chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 8: Đối xứng tâm

Bài 92 Trang 91 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình 13 trong đó ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng điểm M đối xứng với điểm N qua điểm C.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

+) Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua  O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Lời giải:

Tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB//CD,AB=DC

Do AB//CD nên BM//CD

Xét tứ giác BMCD ta có:

BM//CD

BM=CD (cùng bằng AB)

Suy ra: Tứ giác BMCD là hình bình hành ( vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

MC//BD và MC=BD(1)

Ta có: AD//BC (do ABCD là hình bình hành) hay DN//BC

Vì ABCD là hình bình hành nên AD=BC

Mà DN=AD (gt) nên DN=BC

Xét tứ giác BCND ta có:

DN//BC

DN=BC (chứng minh trên)

Suy ra: Tứ giác BCND là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

CN//BD và CN=BD(2)

Từ (1) và (2) suy ra: M,C,N thẳng hàng và MC=CN

Vậy M và N đối xứng qua tâm C.

Bài 93 Trang 92 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình 14 trong đó DE//AB, DF//AC. Chứng minh rằng điểm E đối xưng với điểm F qua điểm I.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

+) Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

+) Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua  O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Lời giải:

DE//AB(gt) hay DE//AF

DF//AC(gt) hay DF//AE

Suy ra, tứ giác AEDF là hình bình hành.

Vì I là trung điểm của AD nên EF đi qua trung điểm I và IE=IF ( tính chất hình bình hành)

Vậy E và F đối xứng qua tâm I.

Bài 94 Trang 92 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BM,CN. Gọi D là điểm đối xứng với B qua M, gọi E là điểm đối xứng với C qua N. Chứng minh rằng điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+)  Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

+) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

+) Trong hình bình hành, các cạnh đối song song.

+) Trong hình bình hành, các cạnh đối bằng nhau.

Lời giải:

Xét tứ giác ABCD ta có:

MA=MC (do BM là đường trung tuyến của tam giác ABC)

MB=MD (định nghĩa đối xứng tâm)

Suy ra: Tứ giác ABCD là hình bình hành ( vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

AD//BC và AD=BC(1)

Xét tứ giác ACBE:

AN=NB (do CN là đường trung tuyến của tam giác ABC)

NC=NE ( định nghĩa đối xứng tâm)

Suy ra: Tứ giác ACBE là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

AE//BC và AE=BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra: A,D,E thẳng hàng và AD=AE

Nên A là trung điểm của DE hay điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A.

Bài 95 Trang 92 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh BC. Gọi E là điểm đối xứng với D qua AB, gọi F là điểm đối xứng với D qua AC. Chứng minh rằng các điểm E và F đối xứng nhau qua điểm A.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

+)  Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Lời giải:

Vì E đối xứng với D qua AB

AB là đường trung trực của đoạn thẳng DE

AD=AE (tính chất đường trung trực)

Nên ADE cân tại A

Ta có ADE cân tại A có AB là đường trung trực 

Suy ra: AB cũng là đường phân giác của DAE^A^1=A2^

Vì F đối xứng với D qua AC

AC là đường trung trực của đoạn thẳng DF

AD=AF ( tính chất đường trung trực)

Nên ADF cân tại A

Ta có ADF cân tại A có AC là đường trung trực

Suy ra: AC cũng là đường phân giác của DAF^

A^3=A^4

EAF^=EAD^+DAF^=A^2+A^1+A^3+A^4

=2(A^1+A^3)=2.900=1800

E,A,F thẳng hàng có AE=AF=AD

Nên A là trung điểm của EF hay điểm E đối xứng với F qua điểm A.

Bài 96 Trang 92 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Một đường thẳng đi qua O cắt hai cạnh đối AD, BC ở E,F. Chứng minh rằng các điểm E và F đối xứng nhau qua điểm O.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

+)  Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Lời giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên AD//BC, suy ra ODE^=OBF^ (so le trong) 

Xét OED và OFB:

EOD^=FOB^ (đối đỉnh)

OD=OB (tính chất hình bình hành)

ODE^=OBF^ (chứng minh trên)

Do đó: OED=OFB(g.c.g)

OE=OF

nên O là trung điểm của EF hay điểm E đối xứng với điểm F qua điểm O.

Bài 97 Trang 92 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình 15 trong đó ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng các điểm H và K đối xứng với nhau qua điểm O.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

+)  Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Lời giải:

 

Xét hai tam giác vuông AHO và CKO:

AHO^=CKO^=900

OA=OC ( tính chất hình bình hành)

AOH^=COK^ (đối đỉnh)

Do đó: AHO=CKO (cạnh huyền, góc nhọn)

OH=OK (hai cạnh tương ứng)

Vậy O là trung điểm của HK hay điểm H đối xứng với điểm K qua điểm O.

Bài 98 Trang 92 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Gọi O là một điểm bất kì nằm trong tam giác ABC. Vẽ điểm M đối xứng với O qua D, vẽ điểm N đối xứng với O qua E. Chứng minh rằng MNCB là hình bình hành.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

+) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

Lời giải:

Xét tứ giác AOBM:

DA=DB (do D là trung điểm của AB)

DO=DM (định nghĩa đối xứng tâm)

Suy ra: Tứ giác AOBM là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

BM//AO và BM=AO(1)

Xét tứ giác AOCN:

EA=EC (do E là trung điểm của AC)

EO=EN (định nghĩa đối xứng tâm)

Suy ra: Tứ giác AOCN là hình bình hành ( vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

CN//AO và CN=AO(2)

Từ (1) và (2) suy ra: BM//CN và BM=CN

Vậy : Tứ giác BMNC là hình bình hành ( vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Bài 99 Trang 92 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến AD,BE,CF cắt nhau ở G. Gọi H là điểm đối xứng với G qua D,I là điểm đối xứng với G qua E,K là điểm đối xứng với G qua F. Tìm các điểm đối xứng với A, với B, với C qua G.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+)  Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

+) Ba đường trung tuyến trong tam giác cùng đi qua một điểm, điểm này cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 23 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.

Lời giải:

+) Tam giác ABC có ba đường trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.

+) Ta có: GD=DH (tính chất đối xứng tâm)

GH=2GD(1)

GA=2GD ( tính chất đường trung tuyến của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: GA=GH

Nên điểm đối xứng với điểm A qua G là điểm H

+) GE=EI (tính chất đối xứng tâm)

GI=2GE(3)

GB=2GE (tính chất đường trung tuyến của tam giác) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: GB=GI

Nên điểm đối xứng với điểm B qua G là điểm I

+) GF=FK (tính chất đối xứng tâm)

GK=2GF(5)

GC=2GF (tính chất đường trung tuyến của tam giác) (6)

Từ (5) và (6) suy ra: GC=GK

Nên điểm đối xứng với điểm C qua G là điểm K

Bài 100 Trang 92 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O, vẽ đường thẳng cắt hai cạnh AB, CD ở E,F. Qua O vẽ đường thẳng cắt hai cạnh AD,BC ở G,H. Chứng minh rằng EGFH là hình bình hành.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

+) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

Lời giải:

Xét OAE và OCF:

OA=OC (tính chất hình bình hành)

AOE^=COF^ (đối đỉnh)

OAE^=OCF^ (so le trong)

Do đó: OAE=OCF(g.c.g)

OE=OF(1)

Xét OAG và OCH:

OA=OC (tính chất hình bình hành)

AOG^=COH^ (đối đỉnh)

OAG^=OCH^ (so le trong)

Do đó: OAG=OCH(g.c.g)

OG=OH(2)

Từ (1) và (2) suy ra: Tứ giác EGFH là hình bình hành ( vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Bài 101 Trang 92 SBT Toán 8 Tập 1 Cho góc xOy, điểm A nằm trong góc đó. Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox, vẽ điểm C đối xứng với A qua Oy.

a) Chứng minh rằng OB=OC

b) Tính số đo góc xOy để B đối xứng với C qua O.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

+) Tính chất đường trung trực: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

+)  Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

+) Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy cũng là đường trung trực, đường phân giác.

Lời giải:

a) Vì B đối xứng với A qua trục Ox nên Ox là đường trung trực của đoạn AB.

OA=OB (tính chất đường trung trực) (1)

Vì C đối xứng với A qua trục Oy nên Oy là đường trung trực của đoạn AC.

OA=OC (tính chất đường trung trực) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OB=OC.

b) Ta có: OB=OC do đó điểm B đối xứng với điểm C qua tâm O cần thêm điều kiện B,O,C thẳng hàng.

OAB cân tại O có Ox là đường trung trực của AB nên Ox cũng là đường phân giác của AOB^O^1=O^3

OAC cân tại O có Oy là đường trung trực của AC nên Oy cũng là đường phân giác của AOC^O^2=O^4

B,O,C thẳng hàng O^1+O^2+O^3+O^4=1800

2O^1+2O^2=1800O^1+O^2=900xOy^=900

Vậy xOy^=900 thì B đối xứng với C qua tâm O.

Bài 102 Trang 92 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M là trung điểm của BC, K là điểm đối xứng với H qua M. Tính số đo góc ABK, ACK.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+)  Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó

+) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

Lời giải:

 

Ta có K là điểm đối xứng của H qua tâm M nên MK=MH

Xét tứ giác BHCK ta có:

BM=MC (do M là trung điểm của BC)

MK=MH (chứng minh trên)

Suy ra: Tứ giác BHCK là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Suy ra: KB//CH,KC//BH

Vì H là trực tâm tam giác ABC nên CHAB và BHAC

Suy ra:

KBAB nên KBA^=900

CKAC nên KCA^=900

Bài 103 Trang 92 SBT Toán 8 Tập 1 Trong các hình sau, hình nào có tâm đối xứng ? Với các hình đó, hãy chỉ rõ tâm đối xứng của hình.

a) Đoạn thẳng AB.

b) Tam giác đều ABC.

c) Đường tròn tâm O.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa: Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình  nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình  qua điểm O  cũng thuộc hình . Trong trường hợp này, ta còn nói rằng hình  có tâm đối xứng O.

Lời giải:

Hình có tâm đối xứng là:

a) Đoạn thẳng AB là hình có tâm đối xứng. Tâm đối xứng của đoạn thẳng AB là trung điểm của nó.

b) Tam giác đều ABC là hình không có tâm đối xứng

c) Đường tròn tâm O là hình có tâm đối xứng. Tâm đối xứng của (O) là tâm của đường tròn đó.

Bài 104 Trang 93 SBT Toán 8 Tập 1 Cho góc xOy và điểm A nằm trong góc đó.

a) Vẽ điểm B đối xứng với O qua A. Qua B kẻ đường thẳng song song với Ox, cắt Oy ở C. Gọi D là giao điểm của CA và Ox. Chứng minh rằng các điểm C và D đối xứng với nhau qua điểm A.

b) Từ đó suy ra cách dựng đường thẳng đi qua A, cắt Ox, Oy ở D, C sao cho A là trung điểm của CD.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+)  Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Bài toán dựng hình

+) Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.

+) Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.

Lời giải:

a) Xét OAD và BAC:

OA=AB (tính chất đối xứng tâm)

A^1=A^2 (đối đỉnh)

O^1=CBO^ (so le trong)

Do đó: OAD=BAC(g.c.g)

AD=AC

Suy ra: C đối xứng với D qua tâm A.

b) Cách dựng :

-  Dựng B đối xứng với O qua tâm A

-  Qua B dựng đường thẳng song song với Ox cắt Oy tại C.

-  Dựng tia CA cắt Ox tại D.

Ta có D là điểm cần dựng.

Chứng minh : như câu a)

Xét OAD và BAC:

OA=AB (tính chất đối xứng tâm)

A^1=A^2 (đối đỉnh)

O^1=CBO^ (so le trong)

Do đó: OAD=BAC(g.c.g)

AD=AC

Suy ra: C đối xứng với D qua tâm A.

Bài 105 Trang 93 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác ABC, điểm M nằm trên cạnh BC. Gọi O là trung điểm của AM. Dựng điểm E thuộc cạnh AB, điểm F thuộc cạnh AC sao cho E đối xứng với F qua O

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

+) Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

+)  Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó

Lời giải: 

 

Cách dựng:

-  Qua điểm M dựng đường thẳng song song với AC cắt AB tại E

-  Qua điểm M dựng đường thẳng song song với AB cắt AC tại F

Ta có E,F là hai điểm cần dựng.

Chứng minh :

ME//AC hay ME//AF

MF//AB hay MF//AE

Nên tứ giác AEMF là hình bình hành (theo định nghĩa)

Mà O là trung điểm của AM

Suy ra: EF đi qua O và O là trung điểm của EF (tính chất hình bình hành)

OE=OF

Vậy E đối xứng với F qua tâm O.

Bài 8.1 Trang 93 SBT Toán 8 Tập 1 Xét tính đúng – sai của mỗi khẳng định sau:

a) Trung điểm của một đoạn thẳng là tâm đối xứng của đoạn thẳng đó.

b) Giao điểm hai đường chéo của một hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó.

c) Trọng tâm của một tam giác là tâm đối xứng của tam giác đó.

d Tâm của một đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+)  Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

+) Giao hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình đó.

+) Trọng tâm tam giác là giao ba đường trung tuyến. 

+) Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình  nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình  qua điểm O  cũng thuộc hình . Trong trường hợp này, ta còn nói rằng hình  có tâm đối xứng O.

Lời giải:

a) Đúng

b Đúng

c) Sai

d) Đúng

Bài 8.2 Trang 93 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM và trọng tâm G. Gọi I là điểm đối xứng với A qua G.

Chứng minh rằng I là điểm đối xứng với G qua M.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Ba đường trung tuyến trong tam giác cùng đi qua một điểm, điểm này cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 23 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.

+)  Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Lời giải:

Tam giác ABC có G là trọng tâm và AM là đường trung tuyến nên A,G,M thẳng hàng.

Vì I đối xứng với A qua tâm G nên GA=GI và A,G,M,I thẳng hàng.

Lại có GM=12GA ( tính chất đường trung tuyến của tam giác)

Suy ra:   GM=12GI 

Mà:       GM+MI=GI

Suy ra: GM=MI=12GI nên điểm M là trung điểm của GI

Vậy I đối xứng với G qua tâm M.

Đánh giá

0

0 đánh giá