Toptailieu.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 8 Bài 8: Đối xứng tâm chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 8: Đối xứng tâm

Bài 92 Trang 91 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình $13$ trong đó $ABCD$ là hình bình hành. Chứng minh rằng điểm $M$ đối xứng với điểm $N$ qua điểm $C.$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

+) Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua  $O$ nếu $O$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Lời giải:

Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên $AB//CD,AB=DC$

Do $AB//CD$ nên $BM//CD$

Xét tứ giác $BMCD$ ta có:

$BM//CD$

$BM=CD$ (cùng bằng AB)

Suy ra: Tứ giác $BMCD$ là hình bình hành ( vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

$\Rightarrow MC//BD$ và $MC=BD(1)$

Ta có: $AD//BC$ (do $ABCD$ là hình bình hành) hay $DN//BC$

Vì ABCD là hình bình hành nên $AD=BC$

Mà $DN=AD$ (gt) nên $DN=BC$

Xét tứ giác $BCND$ ta có:

$DN//BC$

$DN=BC$ (chứng minh trên)

Suy ra: Tứ giác $BCND$ là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

$\Rightarrow CN//BD$ và $CN=BD(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $M,C,N$ thẳng hàng và $MC=CN$

Vậy $M$ và $N$ đối xứng qua tâm $C.$

Bài 93 Trang 92 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình $14$ trong đó $DE//AB,$ $DF//AC.$ Chứng minh rằng điểm $E$ đối xưng với điểm $F$ qua điểm $I.$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

+) Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

+) Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua  $O$ nếu $O$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Lời giải:

$DE//AB(gt)$ hay $DE//AF$

$DF//AC(gt)$ hay $DF//AE$

Suy ra, tứ giác $AEDF$ là hình bình hành.

Vì $I$ là trung điểm của $AD$ nên $EF$ đi qua trung điểm $I$ và $IE=IF$ ( tính chất hình bình hành)

Vậy $E$ và $F$ đối xứng qua tâm $I.$

Bài 94 Trang 92 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $ABC,$ các đường trung tuyến $BM,CN.$ Gọi $D$ là điểm đối xứng với $B$ qua $M,$ gọi $E$ là điểm đối xứng với $C$ qua $N.$ Chứng minh rằng điểm $D$ đối xứng với điểm $E$ qua điểm $A.$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+)  Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua $O$ nếu $O$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

+) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

+) Trong hình bình hành, các cạnh đối song song.

+) Trong hình bình hành, các cạnh đối bằng nhau.

Lời giải:

Xét tứ giác $ABCD$ ta có:

$MA=MC$ (do BM là đường trung tuyến của tam giác ABC)

$MB=MD$ (định nghĩa đối xứng tâm)

Suy ra: Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành ( vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

$\Rightarrow AD//BC$ và $AD=BC(1)$

Xét tứ giác $ACBE:$

$AN=NB$ (do CN là đường trung tuyến của tam giác ABC)

$NC=NE$ ( định nghĩa đối xứng tâm)

Suy ra: Tứ giác $ACBE$ là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

$\Rightarrow AE//BC$ và $AE=BC(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $A,D,E$ thẳng hàng và $AD=AE$

Nên $A$ là trung điểm của $DE$ hay điểm $D$ đối xứng với điểm $E$ qua điểm $A.$

Bài 95 Trang 92 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ điểm $D$ thuộc cạnh $BC.$ Gọi $E$ là điểm đối xứng với $D$ qua $AB,$ gọi $F$ là điểm đối xứng với $D$ qua $AC.$ Chứng minh rằng các điểm $E$ và $F$ đối xứng nhau qua điểm $A.$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng $d$ nếu $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

+)  Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua $O$ nếu $O$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Lời giải:

Vì $E$ đối xứng với $D$ qua $AB$

$\Rightarrow AB$ là đường trung trực của đoạn thẳng $DE$

$\Rightarrow AD=AE$ (tính chất đường trung trực)

Nên $∆ADE$ cân tại $A$

Ta có $∆ADE$ cân tại $A$ có AB là đường trung trực 

Suy ra: $AB$ cũng là đường phân giác của $\widehat{DAE}\Rightarrow {\hat{A}}_1=\widehat{A_2}$

Vì $F$ đối xứng với $D$ qua $AC$

$\Rightarrow AC$ là đường trung trực của đoạn thẳng $DF$

$\Rightarrow AD=AF$ ( tính chất đường trung trực)

Nên $∆ADF$ cân tại $A$

Ta có $∆ADF$ cân tại $A$ có AC là đường trung trực

Suy ra: $AC$ cũng là đường phân giác của $\widehat{DAF}$

$\Rightarrow {\hat{A}}_3={\hat{A}}_4$

$\widehat{EAF}=\widehat{EAD}+\widehat{\mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{F}}$$={\hat{A}}_2+{\hat{A}}_1+{\hat{A}}_3+{\hat{A}}_4$

$=2\left({\hat{A}}_1+{\hat{A}}_3\right)={2.90}^0={180}^0$

$\Rightarrow E,A,F$ thẳng hàng có $AE=AF=AD$

Nên $A$ là trung điểm của $EF$ hay điểm $E$ đối xứng với $F$ qua điểm $A.$

Bài 96 Trang 92 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình bình hành $ABCD,$ $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Một đường thẳng đi qua $O$ cắt hai cạnh đối $AD,$ $BC$ ở $E,F.$ Chứng minh rằng các điểm $E$ và $F$ đối xứng nhau qua điểm $O.$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

+)  Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua $O$ nếu $O$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Lời giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên $AD//BC$, suy ra $\widehat{ODE}=\widehat{OBF}$ (so le trong) 

Xét $∆OED$ và $∆OFB:$

$\widehat{EOD}=\widehat{FOB}$ (đối đỉnh)

$OD=OB$ (tính chất hình bình hành)

$\widehat{ODE}=\widehat{OBF}$ (chứng minh trên)

Do đó: $∆OED=∆OFB(g.c.g)$

$\Rightarrow OE=OF$

nên $O$ là trung điểm của $EF$ hay điểm $E$ đối xứng với điểm $F$ qua điểm $O.$

Bài 97 Trang 92 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình $15$ trong đó $ABCD$ là hình bình hành. Chứng minh rằng các điểm $H$ và $K$ đối xứng với nhau qua điểm $O.$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

+)  Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua $O$ nếu $O$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Lời giải:

Xét hai tam giác vuông $AHO$ và $CKO:$

$\widehat{AHO}=\widehat{CKO}={90}^0$

$OA=OC$ ( tính chất hình bình hành)

$\widehat{AOH}=\widehat{COK}$ (đối đỉnh)

Do đó: $∆AHO=∆CKO$ (cạnh huyền, góc nhọn)

$\Rightarrow OH=OK$ (hai cạnh tương ứng)

Vậy $O$ là trung điểm của $HK$ hay điểm $H$ đối xứng với điểm $K$ qua điểm $O.$

Bài 98 Trang 92 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $ABC,$ $D$ là trung điểm của $AB,$ $E$ là trung điểm của $AC.$ Gọi $O$ là một điểm bất kì nằm trong tam giác $ABC.$ Vẽ điểm $M$ đối xứng với $O$ qua $D,$ vẽ điểm $N$ đối xứng với $O$ qua $E.$ Chứng minh rằng $MNCB$ là hình bình hành.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

+) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

Lời giải:

Xét tứ giác $AOBM:$

$DA=DB$ (do D là trung điểm của AB)

$DO=DM$ (định nghĩa đối xứng tâm)

Suy ra: Tứ giác $AOBM$ là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

$\Rightarrow BM//AO$ và $BM=AO(1)$

Xét tứ giác $AOCN:$

$EA=EC$ (do E là trung điểm của AC)

$EO=EN$ (định nghĩa đối xứng tâm)

Suy ra: Tứ giác $AOCN$ là hình bình hành ( vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

$\Rightarrow CN//AO$ và $CN=AO(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $BM//CN$ và $BM=CN$

Vậy : Tứ giác $BMNC$ là hình bình hành ( vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Bài 99 Trang 92 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $ABC,$ các đường trung tuyến $AD,BE,CF$ cắt nhau ở $G.$ Gọi $H$ là điểm đối xứng với $G$ qua $D,I$ là điểm đối xứng với $G$ qua $E,K$ là điểm đối xứng với $G$ qua $F.$ Tìm các điểm đối xứng với $A,$ với $B,$ với $C$ qua $G.$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+)  Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua $O$ nếu $O$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

+) Ba đường trung tuyến trong tam giác cùng đi qua một điểm, điểm này cách mỗi đỉnh một khoảng bằng ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.

Lời giải:

+) Tam giác ABC có ba đường trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.

+) Ta có: $GD=DH$ (tính chất đối xứng tâm)

$\Rightarrow GH=2GD(1)$

$GA=2GD$ ( tính chất đường trung tuyến của tam giác) $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $GA=GH$

Nên điểm đối xứng với điểm $A$ qua $G$ là điểm $H$

+) $GE=EI$ (tính chất đối xứng tâm)

$\Rightarrow GI=2GE(3)$

$GB=2GE$ (tính chất đường trung tuyến của tam giác) $(4)$

Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: $GB=GI$

Nên điểm đối xứng với điểm $B$ qua $G$ là điểm $I$

+) $GF=FK$ (tính chất đối xứng tâm)

$\Rightarrow GK=2GF(5)$

$GC=2GF$ (tính chất đường trung tuyến của tam giác) $(6)$

Từ $(5)$ và $(6)$ suy ra: $GC=GK$

Nên điểm đối xứng với điểm $C$ qua $G$ là điểm $K$

Bài 100 Trang 92 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình bình hành $ABCD,$ $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Qua $O,$ vẽ đường thẳng cắt hai cạnh $AB,$ $CD$ ở $E,F.$ Qua $O$ vẽ đường thẳng cắt hai cạnh $AD,BC$ ở $G,H.$ Chứng minh rằng $EGFH$ là hình bình hành.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

+) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

Lời giải:

Xét $∆OAE$ và $∆OCF:$

$OA=OC$ (tính chất hình bình hành)

$\widehat{AOE}=\widehat{COF}$ (đối đỉnh)

$\widehat{OAE}=\widehat{OCF}$ (so le trong)

Do đó: $∆OAE=∆OCF(g.c.g)$

$\Rightarrow OE=OF(1)$

Xét $∆OAG$ và $∆OCH:$

$OA=OC$ (tính chất hình bình hành)

$\widehat{AOG}=\widehat{COH}$ (đối đỉnh)

$\widehat{OAG}=\widehat{OCH}$ (so le trong)

Do đó: $∆OAG=∆OCH(g.c.g)$

$\Rightarrow OG=OH(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: Tứ giác $EGFH$ là hình bình hành ( vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Bài 101 Trang 92 SBT Toán 8 Tập 1 Cho góc $xOy,$ điểm $A$ nằm trong góc đó. Vẽ điểm $B$ đối xứng với $A$ qua $Ox,$ vẽ điểm $C$ đối xứng với $A$ qua $Oy.$

$a)$ Chứng minh rằng $OB=OC$

$b)$ Tính số đo góc $xOy$ để $B$ đối xứng với $C$ qua $O.$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng $d$ nếu $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

+) Tính chất đường trung trực: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

+)  Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua $O$ nếu $O$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

+) Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy cũng là đường trung trực, đường phân giác.

Lời giải:

$a)$ Vì $B$ đối xứng với $A$ qua trục $Ox$ nên $Ox$ là đường trung trực của đoạn $AB.$

$\Rightarrow OA=OB$ (tính chất đường trung trực) $(1)$

Vì $C$ đối xứng với $A$ qua trục $Oy$ nên $Oy$ là đường trung trực của đoạn $AC.$

$\Rightarrow OA=OC$ (tính chất đường trung trực) $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $OB=OC.$

$b)$ Ta có: $OB=OC$ do đó điểm $B$ đối xứng với điểm $C$ qua tâm $O$ cần thêm điều kiện $B,O,C$ thẳng hàng.

$∆OAB$ cân tại $O$ có $Ox$ là đường trung trực của $AB$ nên $Ox$ cũng là đường phân giác của $\widehat{AOB}\Rightarrow {\hat{O}}_1={\hat{O}}_3$

$∆OAC$ cân tại $O$ có $Oy$ là đường trung trực của $AC$ nên $Oy$ cũng là đường phân giác của $\widehat{AOC}\Rightarrow {\hat{O}}_2={\hat{O}}_4$

$B,O,C$ thẳng hàng $\iff {\hat{O}}_1+{\hat{O}}_2+{\hat{O}}_3+{\hat{O}}_4={180}^0$

$\begin{array}{rl}& \iff 2{\hat{O}}_1+2{\hat{O}}_2={180}^0\\ & \iff {\hat{O}}_1+{\hat{O}}_2={90}^0\\ & \iff \widehat{xOy}={90}^0\end{array}$

Vậy $\widehat{xOy}={90}^0$ thì $B$ đối xứng với $C$ qua tâm $O.$

Bài 102 Trang 92 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H.$ Gọi $M$ là trung điểm của $BC,$ $K$ là điểm đối xứng với $H$ qua $M.$ Tính số đo góc $ABK,$ $ACK.$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+)  Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua $O$ nếu $O$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó

+) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

Lời giải:

Ta có $K$ là điểm đối xứng của $H$ qua tâm $M$ nên $MK=MH$

Xét tứ giác $BHCK$ ta có:

$BM=MC$ (do M là trung điểm của BC)

$MK=MH$ (chứng minh trên)

Suy ra: Tứ giác $BHCK$ là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Suy ra: $KB//CH,KC//BH$

Vì H là trực tâm tam giác ABC nên $CH\perp AB$ và $BH\perp AC$

Suy ra:

$KB\perp AB$ nên $\widehat{KBA}={90}^0$

$CK\perp AC$ nên $\widehat{KCA}={90}^0$

Bài 103 Trang 92 SBT Toán 8 Tập 1 Trong các hình sau, hình nào có tâm đối xứng $?$ Với các hình đó, hãy chỉ rõ tâm đối xứng của hình.

$a)$ Đoạn thẳng $AB.$

$b)$ Tam giác đều $ABC.$

$c)$ Đường tròn tâm $O.$

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa: Điểm $O$ gọi là tâm đối xứng của hình $\mathrm{\wp }$ nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình $\mathrm{\wp }$ qua điểm $O$  cũng thuộc hình $\mathrm{\wp }$. Trong trường hợp này, ta còn nói rằng hình $\mathrm{\wp }$ có tâm đối xứng $O.$

Lời giải:

Hình có tâm đối xứng là:

$a)$ Đoạn thẳng $AB$ là hình có tâm đối xứng. Tâm đối xứng của đoạn thẳng $AB$ là trung điểm của nó.

$b)$ Tam giác đều $ABC$ là hình không có tâm đối xứng

$c)$ Đường tròn tâm $O$ là hình có tâm đối xứng. Tâm đối xứng của $(O)$ là tâm của đường tròn đó.

Bài 104 Trang 93 SBT Toán 8 Tập 1 Cho góc $xOy$ và điểm $A$ nằm trong góc đó.

$a)$ Vẽ điểm $B$ đối xứng với $O$ qua $A.$ Qua $B$ kẻ đường thẳng song song với $Ox,$ cắt $Oy$ ở $C.$ Gọi $D$ là giao điểm của $CA$ và $Ox.$ Chứng minh rằng các điểm $C$ và $D$ đối xứng với nhau qua điểm $A.$

$b)$ Từ đó suy ra cách dựng đường thẳng đi qua $A,$ cắt $Ox,$ $Oy$ ở $D,$ $C$ sao cho $A$ là trung điểm của $CD.$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+)  Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua $O$ nếu $O$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Bài toán dựng hình

+) Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.

+) Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.

Lời giải:

$a)$ Xét $∆OAD$ và $∆BAC:$

$OA=AB$ (tính chất đối xứng tâm)

${\hat{A}}_1={\hat{A}}_2$ (đối đỉnh)

${\hat{O}}_1=\widehat{CBO}$ (so le trong)

Do đó: $∆OAD=∆BAC(g.c.g)$

$\Rightarrow AD=AC$

Suy ra: $C$ đối xứng với $D$ qua tâm $A.$

$b)$ Cách dựng :

-  Dựng $B$ đối xứng với $O$ qua tâm $A$

-  Qua $B$ dựng đường thẳng song song với $Ox$ cắt $Oy$ tại $C.$

-  Dựng tia $CA$ cắt $Ox$ tại $D.$

Ta có $D$ là điểm cần dựng.

Chứng minh : như câu $a)$

Xét $∆OAD$ và $∆BAC:$

$OA=AB$ (tính chất đối xứng tâm)

${\hat{A}}_1={\hat{A}}_2$ (đối đỉnh)

${\hat{O}}_1=\widehat{CBO}$ (so le trong)

Do đó: $∆OAD=∆BAC(g.c.g)$

$\Rightarrow AD=AC$

Suy ra: $C$ đối xứng với $D$ qua tâm $A.$

Bài 105 Trang 93 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $ABC,$ điểm $M$ nằm trên cạnh $BC.$ Gọi $O$ là trung điểm của $AM.$ Dựng điểm $E$ thuộc cạnh $AB,$ điểm $F$ thuộc cạnh $AC$ sao cho $E$ đối xứng với $F$ qua $O$

Chứng minh rằng $I$ là điểm đối xứng với $G$ qua $M.$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Ba đường trung tuyến trong tam giác cùng đi qua một điểm, điểm này cách mỗi đỉnh một khoảng bằng ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.

+)  Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua $O$ nếu $O$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Lời giải:

Tam giác ABC có G là trọng tâm và AM là đường trung tuyến nên $A,G,M$ thẳng hàng.

Vì $I$ đối xứng với $A$ qua tâm $G$ nên $GA=GI$ và $A,G,M,I$ thẳng hàng.

Lại có $GM={\displaystyle \frac{1}{2}}GA$ ( tính chất đường trung tuyến của tam giác)

Suy ra:   $GM={\displaystyle \frac{1}{2}}GI$ 

Mà:       $GM+MI=GI$

Suy ra: $GM=MI={\displaystyle \frac{1}{2}}GI$ nên điểm $M$ là trung điểm của $GI$

Vậy $I$ đối xứng với $G$ qua tâm $M.$