Toptailieu.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 8 Bài 3: Hình thang cân chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 3: Hình thang cân

Bài 22 Trang 82 SBT Toán 8 Tập 1 Hình thang cân $ABCD$ có $AB//CD,$ $AB<CD.$ Kẻ các đường cao $AH,$ $BK.$ Chứng minh rằng $DH=CK.$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.

Lời giải:

Xét hai tam giác vuông $AHD$ và $BKC:$

$\widehat{AHD}=\widehat{BKC}={90}^0$

$AD=BC$ (tính chất hình thang cân)

$\hat{C}=\hat{D}$ (tính chất hình thang cân)

Do đó: $∆AHD=∆BKC$ (cạnh huyền, góc nhọn)

$\Rightarrow DH=CK$ (hai cạnh tương ứng)

Bài 23 Trang 82 SBT Toán 8 Tập 1 Hình thang cân $ABCD$ có $AB//CD,$ $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng $OA=OB,$ $OC=OD.$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Hình thâng cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

+) Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.

+) Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.

Lời giải:

Xét $∆ADC$ và $∆BCD,$ ta có:

$AD=BC$ (tính chất hình thang cân)

$\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$ (do ABCD là hình thang cân)

$DC$ cạnh chung

Do đó: $∆ADC=∆BCD(c.g.c)$

$\Rightarrow {\hat{C}}_1={\hat{D}}_1$

Trong $∆OCD$ ta có: ${\hat{C}}_1={\hat{D}}_1$

$\Rightarrow ∆OCD$ cân tại $O$

$\Rightarrow OC=OD(1)$

Do ABCD là hình thang cân nên $AC=BD$ ( tính chất)

$\Rightarrow AO+OC=BO+OD(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $AO=BO$

Bài 24 Trang 83 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $ABC$ cân tại $A.$ Trên các cạnh bên $AB,$ $AC$ lấy các điểm $M,$ $N$ sao cho $BM=CN.$

$a)$ Tứ giác $BMNC$ là hình gì $?$ Vì sao $?$

$b)$ Tính các góc của tứ giác $BMNC$ biết rằng $\hat{A}={40}^0$ 

Phương pháp giải: 

Ta sử dụng kiến thức:

+) Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. 

+) Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.

Lời giải:

$a)$ $∆ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow \hat{B}=\hat{C}$ (tính chất tam giác cân) 

Mà $\hat{B}+\hat{C}+\hat{A}={180}^0$  (tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{B}+\hat{C}={180}^0-\hat{A}$

$\Rightarrow 2\hat{B}={180}^0-\hat{A}$

$\Rightarrow \hat{B}=\hat{C}={\displaystyle \frac{{180}^0-\hat{A}}{2}}$ $(1)$

$AB=AC(gt)$

$\Rightarrow AM+BM=AN+CN$

mà $BM=CN(gt)$

suy ra: $AM=AN$

$\Rightarrow ∆AMN$ cân tại $A$

$\Rightarrow {\hat{M}}_1={\hat{N}}_1$ ( tính chất tam giác cân)

Mà ${\hat{M}}_1+{\hat{N}}_1+\hat{A}={180}^0$  (tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow {\hat{M}}_1+{\hat{N}}_1={180}^0-\hat{A}$

$\Rightarrow 2{\hat{M}}_1={180}^0-\hat{A}$

$\Rightarrow {\hat{M}}_1={\hat{N}}_1={\displaystyle \frac{{180}^0-\hat{A}}{2}}$   $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra:  ${\hat{M}}_1=\hat{B}$

$\Rightarrow MN//BC$ ( vì có các cặp góc đồng vị bằng nhau)

Tứ giác $BCMN$ là hình thang có $\hat{B}=\hat{C}$. Vậy $BCMN$ là hình thang cân.

$b)$ Với $\hat{A}={40}^0$ thì $\hat{B}=\hat{C}={\displaystyle \frac{{180}^0-\hat{A}}{2}}$$={\displaystyle \frac{{180}^0-{40}^0}{2}={70}^0}$

Vì $MN//BC$ nên ${\hat{M}}_2+\hat{B}={180}^0$ (hai góc trong cùng phía)

$\Rightarrow {\hat{M}}_2={180}^0-\hat{B}={180}^0-{70}^0={110}^0$

Vì $BCMN$ là hình thang cân nên ${\hat{N}}_2={\hat{M}}_2={110}^0$   (tính chất hình thang cân)

Bài 25 Trang 83 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $ABC$ cân tại $A,$ các đường phân giác $BE,$ $CF.$ Chứng minh rằng $BFEC$ là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. 

+) Hình thâng cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Lời giải:

+) $∆ABC$ cân tại $A$ nên $AB=AC$  và $\hat{B}=\hat{C}$

+) Do BE và CF lần lượt là tia phân giác của góc B và góc C nên ta có:

$\widehat{ABE}={\displaystyle \frac{\hat{B}}{2}}$ và ${\displaystyle \widehat{ACF}=\frac{\hat{C}}{2}}$

Suy ra $\widehat{ABE}={\displaystyle \frac{\hat{B}}{2}=\frac{\hat{C}}{2}=\widehat{ACF}}$

Xét hai tam giác $AEB$ và $AFC$ có:

$\hat{A}$ là góc chung

$AB=AC$ (chứng minh trên)

$\widehat{ABE}=\widehat{ACF}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }AEB=\mathrm{\Delta }AFC\left(g.c.g\right)$

$\Rightarrow AE=AF\Rightarrow \mathrm{\Delta }AEF$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{AFE}={\displaystyle \frac{{180}^0-\hat{A}}{2}}$ 

Trong tam giác  $\mathrm{\Delta }ABC$ cân tại A có: $\hat{B}={\displaystyle \frac{{180}^0-\hat{A}}{2}}$

$\Rightarrow \widehat{AFE}=\hat{B}$, mà hai góc ở vị trí đồng vị nên $FE//BC$ 

$\Rightarrow$ tứ giác $BFEC$ là hình thang.

Ta có: $\hat{B}=\hat{C}$ (tam giác $ABC$ là tam giác cân tại $A$)

$\Rightarrow$ hình thang $BFEC$ là hình thang cân.

Vì $FE//BC$ $\Rightarrow \widehat{FEB}=\widehat{CBE}$ (hai góc so le trong)

Mà $\widehat{CBE}=\widehat{FBE}$ ($BE$ là phân giác góc $B$)

$\Rightarrow \widehat{FBE}=\widehat{FEB}$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }BFE$ là tam giác cân tại $F$

$\Rightarrow EF=BF$ 

Vậy hình thang BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Bài 26 Trang 83 SBT Toán 8 Tập 1 Chứng minh rằng hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. 

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Hình thâng cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

+) Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau.

Lời giải:

Giả sử ABCD là hình thang có hai đường chéo $AC=BD$. Ta chứng minh $ABCD$ là hình thang cân.

Từ $B$ kẻ đường thẳng song song với $AC$ cắt đường thẳng $DC$ tại $K.$

Ta có hình thang $ABKC$ (do AB//CK) có hai cạnh bên $BK//AC$ nên $AC=BK$

Mà $AC=BD(gt)$

Suy ra: $BD=BK$ do đó $∆BDK$ cân tại $B$

$\Rightarrow {\hat{D}}_1=\hat{K}$ (tính chất tam giác cân)

Ta lại có: ${\hat{C}}_1=\hat{K}$ (hai góc đồng vị)

Suy ra:  ${\hat{D}}_1={\hat{C}}_1$

Xét $∆ACD$ và $∆BDC:$

$AC=BD(gt)$

${\hat{D}}_1={\hat{C}}_1$ (chứng minh trên)

$CD$ cạnh chung

Do đó: $∆ACD=∆BDC(c.g.c)$ $\Rightarrow \widehat{ADC}=\widehat{BCD}$   

Hình thang $ABCD$ có $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$ nên là hình thang cân.

Bài 27 Trang 83 SBT Toán 8 Tập 1 Tính các góc của hình thang cân, biết một góc bằng  ${50}^0$

Phương pháp giải:

 Ta sử dụng kiến thức:

+) Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

+) Hai góc kề một cạnh bên của hình thang có tổng bằng ${180}^0.$

Lời giải:

Giả sử hình thang cân $ABCD$ có $AB//CD$ và  $\hat{D}={50}^0$

Vì $\hat{C}=\hat{D}$ (tính chất hình thang cân)

$\Rightarrow \hat{C}={50}^0$

Vì $AB//CD$ nên $\hat{A}+\hat{D}={180}^0$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

$\Rightarrow \hat{A}={180}^0-\hat{D}={180}^0-{50}^0={130}^0$

Lại có $\hat{B}=\hat{A}$ (tính chất hình thang cân)

$\Rightarrow \hat{B}={130}^0$     

Bài 28 Trang 83 SBT Toán 8 Tập 1 Hình thang cân $ABCD$ có đáy nhỏ $AB$ bằng cạnh bên $AD.$ Chứng minh rằng $CA$ là tia phân giác của góc $C.$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.

Lời giải:

Ta có: 

$AB=AD(gt)$

$AD=BC$ (tính chất hình thang cân)

$\Rightarrow AB=BC$ do đó $∆ABC$ cân tại $B$

$\Rightarrow {\hat{A}}_1={\hat{C}}_1$ (1) (tính chất tam giác cân)

Mặt khác, ABCD là hình thang có đáy là AB nên $AB//CD$

Suy ra ${\hat{A}}_1={\hat{C}}_2$ (2) (hai góc so le trong)

Từ (1) và (2) suy ra ${\hat{C}}_1={\hat{C}}_2$ (cùng bằng ${\hat{A}}_1)$

Vậy $CA$ là tia phân giác của $\widehat{BCD}$.

Bài 29 Trang 83 SBT Toán 8 Tập 1 Hai đoạn thẳng $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $O.$ Biết rằng $OA=OC,$ $OB=OD.$ Tứ giác $ACBD$ là hình gì $?$ Vì sao $?$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

+) Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Lời giải:

Lời giải:

Ta có: $OA=OC(gt)$

$\Rightarrow ∆OAC$ cân tại $O$

$\Rightarrow \widehat{OAC}={\displaystyle \frac{{180}^0-\widehat{AOC}}{2}}$ (tính chất tam giác cân)   $(1)$

$OB=OD(gt)$

$\Rightarrow ∆OBD$ cân tại $O$

$\Rightarrow \widehat{OBD}={\displaystyle \frac{{180}^0-\widehat{BOD}}{2}}$ (tính chất tam giác cân)   $(2)$

$\widehat{AOC}=\widehat{BOD}$ (đối đỉnh)  $(3)$

Từ $(1),$ $(2)$ và $(3)$ suy ra: $\widehat{OAC}=\widehat{OBD}$

$\Rightarrow AC//BD$ (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Suy ra: Tứ giác $ACBD$ là hình thang

Ta có: $AB=OA+OB$

           $CD=OC+OD$

Mà $OA=OC,$ $OB=OD$

Suy ra: $AB=CD$

Vậy hình thang $ACBD$ là hình thang cân.

Bài 30 Trang 83 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $ABC$ cân tại $A.$ Lấy điểm $D$ trên cạnh $AB,$ điểm $E$ trên cạnh $AC$ sao cho $AD=AE.$