Tìm tọa độ điểm A' là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục ∆

Ngọc Nguyễn Ngày: 01-07-2023 Lớp 11

258

Với giải Bài 1.27 trang 33 Chuyên đề Toán 11 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài tập cuối chuyên đề 1 giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải, từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Tìm tọa độ điểm A' là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục ∆

Bài 1.27 trang 33 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆: 2x – y – 1 = 0 và hai điểm A(– 1; 2), B(– 3; 4).

a) Tìm tọa độ điểm A' là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục ∆.

b) Xác định điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

a) Ta có: 2 . (– 1) – 2 – 1 = – 5 ≠ 0 nên A(– 1; 2) không thuộc ∆.

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống ∆.

Vì H thuộc ∆ nên H(x; 2x – 1). Ta có: $\vec{A H} = (x + 1; 2 x - 3)$ , vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là $\vec{u_{Δ}} = (1; 2)$ .

Vì AH vuông góc với ∆ nên $\vec{A H} . \vec{u_{Δ}} = 0 \Leftrightarrow (x + 1) .1 + (2 x - 3) .2 = 0$ .

Từ đó suy ra x = 1 nên H(1; 1).

Vì A' là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục ∆ nên AA' vuông góc với ∆ tại H và H là trung điểm của AA'. Suy ra $\{\begin{cases} x_{A'} = 2 x_{H} - x_{A} = 2.1 - (- 1) = 3 \\ y_{A'} = 2 y_{H} - y_{A} = 2.1 - 2 = 0 \end{cases}$ . Vậy A'(3; 0).

Chuyên đề Toán 11 (Kết nối tri thức): Bài tập cuối chuyên đề 1 (ảnh 1)

Ta có: 2 . (– 3) – 4 – 1 = – 11; 2 . (– 1) – 2 – 1 = – 5 và (– 11) . (– 5) = 55 > 0 nên hai điểm A và B nằm về một phía của đường thẳng ∆.

Vì M thuộc ∆ và A và A' đối xứng nhau qua ∆ nên MA = MA' và A' và B nằm về hai phía của đường thẳng ∆.

Do đó, MA + MB = MA' + MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của A'B và ∆.

Ta có: $\vec{A' B} = (- 6; 4)$ , suy ra $\vec{n_{A' B}} = (2; 3)$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng A'B. Phương trình đường thẳng A'B là 2(x – 3) + 3(y – 0) = 0 hay 2x + 3y – 6 = 0.

Tọa độ giao điểm M của A'B và ∆ là nghiệm của hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 x - y - 1 = 0 \\ 2 x + 3 y - 6 = 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{9}{8} \\ y = \frac{5}{4} \end{cases}$ . Vậy $M (\frac{9}{8}; \frac{5}{4})$ .