Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Các tính chất của bất đẳng thức (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 10 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Các tính chất của bất đẳng thức (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

I. Lí thuyết tổng hợp.

1. Khái niệm bất đẳng thức:

Các mệnh đề dạng “a < b”, “a > b”, “$a\le b$” hoặc  “$a\ge b$”  được gọi là bất đẳng thức.

2. Bất đẳng thức hệ quả:

Nếu mệnh đề “$a<b\Rightarrow c<d$” đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a < b và viết là $a<b\Rightarrow c<d$.

3. Bất đẳng thức tương đương:

Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c <  d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là $a<b\iff c<d$.

4. Tính chất của bất đẳng thức:

+ Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số (biểu thức): $a<b\iff a+c<b+c$

+ Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số (biểu thức), với c dương: $a<b\iff ac<bc$

+ Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số (biểu thức), với c âm: $a<b\iff ac>bc$

+ Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều: $\left\{\begin{array}{l}a<b\\ c<d\end{array}\right.\Rightarrow a+c<b+d$

+ Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều: Với a > 0, c > 0 : $\left\{\begin{array}{l}a<b\\ c<d\end{array}\right.\Rightarrow ac<bd$

+ Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa:

Với $n\in \mathbb{N}*$, $a<b\iff a^{2n+1}<b^{2n+1}$

Với $n\in \mathbb{N}*$ và a > 0, $a<b\iff a^{2n}<b^{2n}$

+ Khai căn hai vế của một bất đẳng thức:

$a < b\iff \sqrt{a} <\sqrt{b}$(a > 0, b > 0)

$a<b\iff \sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}$

- Chú ý:

+ Các mệnh đề “a < b”  hoặc  “a > b” gọi là các bất đẳng thức ngặt.

+ Các mệnh đề “$a\le b$” hoặc  “$a\ge b$” gọi là các bất đẳng thức không ngặt.

+ Các tính chất của bất đẳng thức đúng với cả bất đẳng thức ngặt và bất đẳng thức không ngặt.

II. Các công thức

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Chứng minh rằng $x^3+y^3\ge x^{2}y+x{y}^2$ với $\forall x,y\ge 0$.

Lời giải:

Với  $\forall x,y\ge 0\Rightarrow x+y\ge 0$

Ta có:

 (luôn đúng $\forall x,y\ge 0$ vì $x+y\ge 0$ và ${(x-y)}^2\ge 0$)

Suy ra điều phải chứng minh.

Bài 2: Cho số thực x, y. Chứng minh rằng:

a) $x^4+3\ge 4x$;

b) $x\ge y\iff x^5\ge y^5$;

c) $xy\le \frac{x^2+y^2}{2}$.

Lời giải:

a)

$\iff {(x-1)}^2\left[{(x+1)}^2+2\right]\ge 0(*)$

Có: ${(x-1)}^2\ge 0\forall x\in ℝ$

$$\begin{gathered} {(x+1)}^2\ge 0\iff {(x+1)}^2+2\ge 2 \\ \Rightarrow {(x+1)}^2+2>0\forall x\in ℝ \end{gathered}$$

$\Rightarrow$(*) luôn đúng với mọi số thực x.

$\Rightarrow x^4+3\ge 4x\forall x\in ℝ$ (điều cần phải chứng minh)

b)

$$\begin{gathered} x\ge y \\ \iff x^{2.2+1}\ge y^{2.2+1} \end{gathered}$$

$\iff x^5\ge y^5$ (điều cần phải chứng minh)

c)

$\iff {(x-y)}^2\ge 0$ (luôn đúng với mọi số thực x, y)

$\Rightarrow xy\le \frac{x^2+y^2}{2}$ với mọi số thực x, y (điều cần phải chứng minh).

Bài 3: So sánh các số sau bằng cách áp dụng tính chất của bất đẳng thức:

a) $\sqrt{27}$ và $\sqrt{34}$;

b) $\sqrt[3]{78}$ và $\sqrt[3]{3}$.

Lời giải:

a)

Có: 27 < 34

$\iff \sqrt{27}<\sqrt{34}$

b)

Có: 78 > 3

$\iff \sqrt[3]{78}>\sqrt[3]{3}$

IV. Bài tập vận dụng 

Câu 1: Cho a, b là hai số tùy ý. Chứng minh rằng : $\frac{a^2+b^2}{2}\ge {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$.

Hướng dẫn:

Xét hiệu:   

$\frac{a^2+b^2}{2}-{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$

= $\frac{2\left(a^2+b^2\right)}{4}-\frac{a^2+2ab+b^2}{4}$   

=$\frac{1}{4}\left(2a^2+2b^2-a^2-b^2-2ab\right)$

= $\frac{1}{4}{\left(a-b\right)}^2\ge 0$

Vậy $\frac{a^2+b^2}{2}\ge {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$.  Dấu “=” xảy ra khi  a = b.

Câu 2: Cho a, b, c, d là các số thực, chứng minh rằng:

$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)$.

Hướng dẫn:

Câu 3: Chứng minh rằng:

$\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)\ge 8abc\forall a,b,c\ge 0$

Hướng dẫn:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

$$\begin{gathered} \left.\begin{array}{l}a+b\ge 2\sqrt{ab}\\ b+c\ge 2\sqrt{bc}\\ c+a\ge 2\sqrt{ca}\end{array}\right\} \\ \Rightarrow \left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge 8abc \end{gathered}$$

Dấu “=” xảy ra $\iff a=b=c$.

Câu 4: Chứng minh rằng: $\frac{a^2+8}{\sqrt{a^2+4}}\ge 4$

Hướng dẫn:

Ta có:

$a^2+8=(a^2+4)+4\ge \text{2 }\sqrt{(a^2+4).4}$

( theo bất đẳng thức Cô-si)

Do đó:

$\frac{a^2+8}{\sqrt{a^2+4}}\ge \frac{2\sqrt{\left(a^2+4\right).4}}{\sqrt{a^2+4}}=4$

Dấu “=” xảy ra $\iff a^2+4=4\iff a=0$

Câu 5: Cho a, b, c > 0  và a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge 9$(1)

Hướng dẫn:   

Đặt  x = $a^2+2bc$;  y = $b^2+2ac$;  z =$c^2+2ab$ ( do a, b, c > 0 nên x, y, z > 0) 

Ta có:

$x+y+z={\left(a+b+c\right)}^2=1$  

Với x + y + z = 1  và x, y, z > 0, theo bất đẳng thức Cô-si cho 3 số ta có: 

$x+y+z\ge$3$\sqrt[3]{xyz}$. 

và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge$3$\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}$.

$\Rightarrow \left(x+y+z\right).\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge 9$

Suy ra $\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge 9$ 

hay $\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge 9$.

Câu 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{4x^4-3x^2+9}{x^2}$; $x\ne 0$.

Hướng dẫn:

Xét hàm số

$y=\frac{4x^4-3x^2+9}{x^2}=4x^2+\frac{9}{x^2}-3$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: $4x^2+\frac{9}{x^2}\ge 2\sqrt{4x^2.\frac{9}{x^2}}=12$

$\Rightarrow y\ge 9$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{4x^4-3x^2+9}{x^2}$ là 9 khi $4x^2=\frac{9}{x^2}$

$\iff x^2=\frac{3}{2}\iff x=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

Câu 7: Cho $x\ge 2$. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x-2}}{x}$.

Hướng dẫn:

Ta có $f\left(x\right)\ge 0$ và  ${\left[f\left(x\right)\right]}^2=\frac{x-2}{x^2}=\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}$

$$\begin{gathered} =\frac{1}{8}-2{\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{4}\right)}^2\le \frac{1}{8} \\ \Rightarrow 0\le f\left(x\right)\le \frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4} \end{gathered}$$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng $\frac{\sqrt{2}}{4}$ đạt được khi x=4

Câu 8: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất m của hàm số $y=\sqrt{6-2x}+\sqrt{3+2x}$.

Hướng dẫn:

Tập xác định của hàm số $D=\left[-\frac{3}{2};3\right]$.

Ta thấy $y>0\forall x\in \left[-\frac{3}{2};3\right]$.

Có:

$y^2=9+2\sqrt{\left(6-2x\right)\left(3+2x\right)}\ge 9\forall x\in \left[-\frac{3}{2};3\right]$.

Suy ra $y\ge 3$;$\forall x\in \left[-\frac{3}{2};3\right]$.

Dấu bằng xảy ra khi $\left[\begin{array}{l}x=-\frac{3}{2}\\ x=3\end{array}\right.$.

Vậy $\underset{x\in \left[-\frac{3}{2};3\right]}{Miny}=3$.

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:

$2\sqrt{\left(6-2x\right)\left(3+2x\right)}\le \left(6-2x\right)+\left(3+2x\right)=9$

với $\forall x\in \left[-\frac{3}{2};3\right]$.

Suy ra:

$\begin{array}{l}{y}^2\le 18,\forall x\in \left[-\frac{3}{2};3\right]\\ \Rightarrow y\le 3\sqrt{2},\forall x\in \left[-\frac{3}{2};3\right]\end{array}$

Dấu bằng xảy ra khi :

$6-2x=3+2x\iff x=\frac{3}{4}$

Vậy $\underset{x\in \left[-\frac{3}{2};3\right]}{Maxy}=3\sqrt{2}$.

Câu 9: Cho các số thực a, b thỏa mãn $ab>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\frac{2a}{b}-\frac{2b}{a}-1$.

Hướng dẫn:

Ta có:

$$\begin{gathered} P=\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\frac{2a}{b}-\frac{2b}{a}-1 \\ =\left(\frac{a^2}{b^2}-\frac{2a}{b}+1\right)+\left(\frac{b^2}{a^2}-\frac{2b}{a}+1\right)-3 \\ ={\left(\frac{a}{b}-1\right)}^2+{\left(\frac{b}{a}-1\right)}^2-3\ge -3 \end{gathered}$$

 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{b}=1\\ \frac{b}{a}=1\end{array}\right.\iff a=b\ne 0$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là -3 khi $a=b$ ($a,b\ne 0$).

Câu 10: Người ta dùng 100 m rào để rào một mảnh vườn hình chữ nhật để thả gia súc. Biết một cạnh của hình chữ nhật là bức tường (không phải rào). Tính diện tích lớn nhất của mảnh vườn để có thể rào được?

Hướng dẫn:

Đặt cạnh của hình chữ nhật lần lượt là x, y (x, y > 0; y là cạnh của bức tường).

Ta có: $2x+y=100$.

Diện tích hình chữ nhật là :

$\begin{array}{l}S=xy=2.x.\frac{y}{2}\stackrel{C\text{}osi}{\le }2.{\left(\frac{x+\frac{y}{2}}{2}\right)}^2\\ =\frac{1}{8}{\left(2x+y\right)}^2\\ =\frac{1}{8}{\left(100\right)}^2=1250\end{array}$

Vậy diện tích lớn nhất của mảnh vườn là 1250 ${\text{m}}^{\text{2}}$ khi:

$x=\frac{y}{2}\iff y=2x\Rightarrow x=25\text{\hspace{0.17em}m}$; $y=50\text{\hspace{0.17em}m}$.

V. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho các bất đẳng thức a > b và c > d. Bất đẳng thức nào sau đây đúng

A. $a-c>b-d$.   

B. $a+c>b+d$.   

C. $ac>bd$. 

D. $\frac{a}{c}>\frac{b}{d}$.

Hướng dẫn:

Chọn B.

Theo tính chất bất đẳng thức,$\left\{\begin{array}{l}a>b\\ c>d\end{array}\right.\iff a+c>b+d$

Câu 2: Suy luận nào sau đây đúng?

A. $\left\{\begin{array}{l}a>b>0\\ c>d>0\end{array}\right.\Rightarrow ac>bd$.

B. $\left\{\begin{array}{l}a>b\\ c>d\end{array}\right.\Rightarrow a-c>b-d$.

C. $\left\{\begin{array}{l}a>b\\ c>d\end{array}\right.\Rightarrow ac>bd$.      

D. $\left\{\begin{array}{l}a>b\\ c>d\end{array}\right.\Rightarrow \frac{a}{c}>\frac{b}{d}$.

Hướng dẫn

Chọn A.

$\left\{\begin{array}{l}a>b>0\\ c>d>0\end{array}\right.\Rightarrow ac>bd$ đúng theo tính chất nhân hai bất đẳng thức dương cùng chiều.

Câu 3: Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực a?

A. $6a>3a$. 

B. $3a>6a$. 

C. $6-3a>3-6a$.

D. $6+a>3+a$.

Hướng dẫn

Chọn D.

Ta có $6+a>3+a$

$\iff 6+a-3-a>0$

$\iff 3>0$ đúng với mọi số thực a.

Câu 4: Cho a, b là các số thực bất kì. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. $a>b\iff a-b>0$.

B. $a>b>0\Rightarrow \frac{1}{a}<\frac{1}{b}$.     

C. $a>b\iff a^3>b^3$.        

D. $a>b\iff a^2>b^2$.

Hướng dẫn

Chọn D.

Các mệnh đề A, B, C đúng.

Mệnh đề D sai. Ta có phản ví dụ: $-2>-5$ nhưng ${\left(-2\right)}^2=4<25={\left(-5\right)}^2.$

Câu 5: Cho a > b khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $2a<2b$. 

B. $a>b-c,\forall c\in ℝ.$

C.  $-a<-b.$

D. $ac>cb,\forall c\in ℝ$.

Hướng dẫn

Chọn C.

Đáp án A sai ví dụ $2>0\Rightarrow 2.2>2.0$

Đáp án B sai với a = 3, b = 2, c = -2.

Đáp án C đúng vì $-a<-b\iff a>b.$

Đáp án D sai khi $c\le 0.$

Câu 6: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. $\left|a+b\right|\le \left|a\right|+\left|b\right|$.

B. $\left|x\right|<a\iff -a<x<a,\left(a>0\right)$.

C. $a>b\iff ac>bc{,}^{}\left(\forall c\in ℝ\right)$. 

D. $a+b\ge 2\sqrt{ab}$, $\left(a\ge 0,b\ge 0\right)$.

Hướng dẫn

Chọn C.

Các đáp án A, B đều đúng theo tính chất của bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Đáp án D đúng theo bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm a và b.

Đáp án C sai khi c < 0 (vì khi nhân 2 vế của một bất đẳng thức với một số âm thì ta được bất đẳng thức mới đổi chiều bất đẳng thức đã cho).

Câu 7: Cho hai số thực a và b thỏa mãn a + b = 4. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Tích a.b có giá trị nhỏ nhất là 2.    

B. Tích a.b không có giá trị lớn nhất.

C. Tích a.b có giá trị lớn nhất là 4.     

D. Tích a.b có giá trị lớn nhất là 2.

Hướng dẫn

Chọn C.

Với mọi số thực a và b ta luôn có:

$a.b\le \frac{{\left(a+b\right)}^2}{4}\iff a.b\le 4.$ 

Dấu “=” xảy ra $\iff a=b=2.$

Câu 8: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(x\right)=2x+\frac{3}{x}$ với x > 0 là:

A. $4\sqrt{3}$.     

B. $2\sqrt{6}$.

C. $\sqrt{6}$.       

D. $2\sqrt{3}$.

Hướng dẫn

Chọn B.

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có $2x+\frac{3}{x}\ge 2\sqrt{6}$ suy ra giá trị nhỏ nhất của f(x) bằng $2\sqrt{6}$.

Câu 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$.

A. 2. 

B. $\sqrt{2}$.       

C. $2-\sqrt{2}$  

D. 0.

Hướng dẫn

Chọn B.

$A=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$có tập xác định $D=\left[2;4\right]$.

Ta có: $A^2=2+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(4-x\right)}\ge 2$

$\Rightarrow A\ge \sqrt{2}$, dấu bằng xảy ra khi x = 2 hoặc x = 4.

Câu 10: Cho các mệnh đề sau

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\left(I\right)$;$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3\left(II\right)$ ;

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}\left(III\right)$

Với mọi giá trị của a, b, c dương ta có:

A. (I) đúng và (II), (III) sai.      

B. (II) đúng và (I), (III) sai.

C. (III) đúng và (I), (II) sai.      

D. (I), (II), (III) đúng.

Hướng dẫn

Chọn D.

Với mọi a, b, c dương ta luôn có:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}\iff \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$, dấu bằng xảy ra khi a = b. Vậy (I) đúng.

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}$

$\iff \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3$, dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Vậy (II) đúng.

$\left(a+b+c\right).\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9$,

$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}$dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Vậy (III) đúng.

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác:

Bất đẳng thức Cô-si và hệ quả chi tiết nhất

Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối chi tiết nhất

Dấu của nhị thức bậc nhất chi tiết nhất

Công thức giải bất phương trình một ẩn chi tiết nhất

Công thức giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối chi tiết nhất