Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức giải bất phương trình một ẩn (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 10 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Công thức giải bất phương trình một ẩn (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

I. Lí thuyết tổng hợp

- Bất phương trình một ẩn: Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f(x) < g(x) (f(x) $\le$ g(x)) (1). Trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi f(x) và g(x) lần lượt là vế trái và vế phải của bất phương trình (1). Số thực $x_0$ sao cho f($x_0$) < g($x_0$) (f($x_0$) $\le$ g($x_0$)) là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình (1). Bất phương trình (1) cũng có thể viết lại dưới dạng như sau g(x) > f(x) (g(x) $\ge$ f(x))

- Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm. 

- Điều kiện xác định của một bất phương trình: Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa là điều kiện xác định (gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình (1).

- Bất phương trình chứa tham số: Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem với các giá trị nào của tham số bất phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm nghiệm đó.

- Bất phương trình tương đương: Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu “$\iff$” để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó.

- Phép biến đổi bất phương trình tương đương: Để giải một bất phương trình ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình tương đương cho đến khi được bất phương trình đơn giản có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương.

- Các phép biến đổi tương đương:

+ Cộng (trừ): Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình thì ta được một bất phương trình tương đương.

+ Nhân (chia): Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) ta được một bất phương trình tương đương. Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.

+ Bình phương: Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện của nó ta được một bất phương trình tương đương.

- Chú ý:

+ Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình có thể bị thay đổi. Để tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị x thỏa mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới.

+  Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình với biểu thức mới, ta cần lưu ý đến điều kiện về dấu của biểu thức đó. Nếu biểu thức nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trường hợp.

+ Khi giải bất phương trình mà phải bình phương hai vế thì ta xét hai trường hợp:

TH1: Hai vế cùng có giá trị không âm

TH2: Hai vế cùng có giá trị âm

II. Các công thức

Cho P(x), Q(x) và f(x) là các biểu thức ẩn x.

P(x) < Q(x) $\iff$ P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)

P(x) < Q(x) + f(x) $\iff$ P(x) – f(x) < Q(x)

(tương tự với phép chia)

$P\left(x\right).Q\left(x\right)>0\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}P\left(x\right)>0\\ Q\left(x\right)>0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}P\left(x\right)<0\\ Q\left(x\right)<0\end{array}\right.\end{array}\right.$

(tương tự với phép chia)

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải bất phương trình: $-2x+\frac{3}{5}>2x-7$.

Lời giải:

$$\begin{gathered} -2x+\frac{3}{5}>2x-7 \\ \iff -2x-2x>\frac{-3}{5}-7 \\ \iff -4x>\frac{-3}{5}-7 \\ \iff 4x<7+\frac{3}{5} \\ \iff 4x<\frac{38}{5} \\ \iff x<\frac{19}{10} \end{gathered}$$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm $S=\left(-\infty ;\frac{19}{10}\right)$.

Bài 2: Giải bất phương trình: (2x – 7)(4 – 5x) > 0.

Lời giải:

Ta có: (2x – 7)(4 – 5x) > 0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(\frac{4}{5};\frac{7}{2}\right)$.

Bài 3: Giải bất phương trình $\frac{3x-4}{x-2}>0$.

Lời giải:

Điều kiện xác định của bất phương trình là $x\ne 2$

Ta có: $\frac{3x-4}{x-2}>0$

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}3x-4>0\\ x-2>0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}3x-4<0\\ x-2<0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}3x>4\\ x>2\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}3x<4\\ x<2\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x>\frac{4}{3}\\ x>2\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x<\frac{4}{3}\\ x<2\end{array}\right.\end{array}\right. \end{gathered}$$

$\iff \left[\begin{array}{l}x>2\\ x<\frac{4}{3}\end{array}\right.$  (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-\infty ;\frac{4}{3}\right)\cup \left(2;+\infty \right)$.

IV. Bài tập tự luyện

3.1 Tự luận

Câu 1: Giải và biện luận bất phương trình: $m(m^{2}x+2)<x+m^2+1$.

Hướng dẫn:

Bất phương trình tương đương với:

$$\begin{gathered} (m^3-1)x<m^2-2m+1 \\ \iff (m-1)x\text{\hspace{0.33em}<\hspace{0.33em}}\frac{{(m-1)}^2}{m^2+m+1} \end{gathered}$$
+) Với m = 1: bất phương trình trở thành 0x < 0, suy ra bất phương trình vô nghiệm.
+) Với m > 1: bất phương trình tương đương với $x<\frac{m-1}{m^2+m+1}$
+) Với m < 1 bất phương trình tương đương với $x>\frac{m-1}{m^2+m+1}$
Vậy:
m = 1, bất phương trình vô nghiệm.
m > 1, bất phương trình có nghiệm là $x<\frac{m-1}{m^2+m+1}$.

m < 1, bất phương trình có nghiệm là $x>\frac{m-1}{m^2+m+1}$.

Câu 2: Tìm m để bất phương trình $\left(m^2-3m\right)x+m<2-2x$ vô nghiệm.

Hướng dẫn:

Bất phương trình tương đương với $\left(m^2-3m+2\right)x<2-m$.

Rõ ràng nếu  $m^2-3m+2\ne 0\iff \left\{\begin{array}{c}m\ne 1\\ m\ne 2\end{array}\right.$bất phương trình luôn có nghiệm.

Với m = 1 bất phương trình trở thành $0x<1$: vô nghiệm.

Với m = 2 bất phương trình trở thành $0x<0$: vô nghiệm.

Vậy với m = 1 hoặc m = 2, bất phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 3: Tìm giá trị thực của tham số m để bất phương trình $2x-m<3\left(x-1\right)$ có tập nghiệm là $\left(4;+\infty \right).$

Hướng dẫn:

Ta có: $2x-m<3(x-1)\iff x>3-m.$

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(3-m;+\infty \right)$

Để bất phương trình trên có tập nghiệm là $\left(4;+\infty \right)$ thì $3-m=4\iff m=-1.$

Câu 4: Xét dấu biểu thức $f\left(x\right)=\frac{2-x}{2x+1}$.

Hướng dẫn:

Ta có: $2-x=0\iff x=2$;

$2x+1=0\iff x=-\frac{1}{2}$

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy:

$f\left(x\right)>0khix\in \left(-\frac{1}{2};2\right)$;

$f\left(x\right)<0khix\in \left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)\cup \left(2;+\infty \right)$

Câu 5: Tìm nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình $x\left(x-2\right)\left(x+1\right)>0$.

Hướng dẫn:

Đặt $f\left(x\right)=x\left(x-2\right)\left(x+1\right).$

Ta có: $x=0;x-2=0\iff x=2$

và  $x+1=0\iff x=-1.$

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy:

$f\left(x\right)>0\iff x\in \left(-1;0\right)\cup \left(2;+\infty \right).$

Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là 3.

Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình $\left|3x+1\right|>2$.

Hướng dẫn:

Ta có :

$$\begin{gathered} \left|3x+1\right|>2 \\ \iff \left[\begin{array}{l}3x+1>2\\ 3x+1<-2\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x>\frac{1}{3}\\ x<-1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-\infty ;-1\right)\cup \left(\frac{1}{3};+\infty \right)$.

Câu 7: Tìm tất cả các giá trị nguyên x trong [-2017; 2017] thỏa mãn bất phương trình $\left|2x+1\right|<3x$.

Hướng dẫn:

$$\begin{gathered} \left|2x+1\right|<3x \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ -3x<2x-1<3x\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x>\frac{1}{5}\\ x>-1\end{array}\right.\iff x>\frac{1}{5} \end{gathered}$$

Mà $x\in \left[-2017;2017\right]$

$\Rightarrow x\in \left[\frac{1}{5};2017\right]$

Vậy có 2017 giá trị nguyên x thỏa mãn đề bài.

Câu 8: Tìm tập nghiệm của bất phương trình $\left|\frac{-5}{x+2}\right|<\left|\frac{10}{x-1}\right|$.

Hướng dẫn:

Điều kiện xác định: $\left\{\begin{array}{l}x\ne -2\\ x\ne 1\end{array}\right..$

Bất phương trình $\left|\frac{-5}{x+2}\right|<\left|\frac{10}{x-1}\right|$

$$\begin{gathered} \iff \frac{1}{\left|x+2\right|}<\frac{2}{\left|x-1\right|} \\ \iff \left|x-1\right|-2\left|x+2\right|<0\left(\ast \right). \end{gathered}$$

Ta có bảng xét dấu các giá trị tuyệt đối:

+) Trường hợp 1: Với $x<-2,$ khi đó 

$\left(\ast \right)\iff -x+1+2\left(x+2\right)<0\iff x<-5.$

Kết hợp với điều kiện $x<-2,$ ta được tập nghiệm $S_1=\left(-\infty ;-5\right).$

+) Trường hợp 2: Với $-2<x<1,$ khi đó

$$\begin{gathered} \left(\ast \right)\iff -x+1-2\left(x+2\right)<0 \\ \iff 3x>-3\iff x>-1. \end{gathered}$$

Kết hợp với điều kiện $-2<x<1,$ ta được tập nghiệm $S_2=\left(-1;1\right).$

+) Trường hợp 3: Với $x>1$ khi đó $\left(\ast \right)\iff x-1-2\left(x+2\right)<0\iff x>-5.$

Kết hợp với điều kiện $x>1,$ ta được tập nghiệm $S_3=\left(1;+\infty \right).$

Vậy tập nghiệm bất phương trình là

$$\begin{gathered} S=S_1\cup S_2\cup S_3 \\ =\left(-\infty ;-5\right)\cup \left(-1;1\right)\cup \left(1;+\infty \right). \end{gathered}$$

Câu 9: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình $-3x+y+2\le 0$.

Hướng dẫn:

Trước hết, ta vẽ đường thẳng $d:-3x+y+2=0.$

Ta thấy (0; 0) không là nghiệm của bất phương trình.

Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ d không chứa điểm (0; 0)

Câu 10: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình 2x + y > 1.

Hướng dẫn:

Trước hết, ta vẽ đường thẳng d: 2x + y = 1.

Ta thấy (0; 0) không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm (0; 0).

3.2 Trắc nghiệm

Câu 1: Bất phương trình nào sau đây không tương đương với bất phương trình $x+5\ge 0$?

A. $-x^2\left(x+5\right)\le 0$.

B. $\sqrt{x+5}\left(x+5\right)\ge 0$.

C. ${\left(x-1\right)}^2\left(x+5\right)\ge 0$.    

D. $\sqrt{x+5}\left(x-5\right)\ge 0$.

Hướng dẫn:

Chọn D.

Ta có $x+5\ge 0\iff x\ge -5$.

Ta xét các bất phương trình:

Đáp án A: $-x^2\left(x+5\right)\le 0\iff x\ge -5$.

Đáp án B: $\sqrt{x+5}\left(x+5\right)\ge 0\iff x\ge -5$.

Đáp án C: ${\left(x-1\right)}^2\left(x+5\right)\ge 0\iff x\ge -5$.

Đáp án D: $\sqrt{x+5}\left(x-5\right)\ge 0\iff x\ge 5$.

Câu 2: Cho $f\left(x\right)=2x-4$, khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $f\left(x\right)>0\iff x\in \left(2;+\infty \right)$.      

B. $f\left(x\right)<0\iff x\in \left(-\infty ;-2\right)$

C. $f\left(x\right)>0\iff x\in \left(-2;+\infty \right)$.    

D. $f\left(x\right)=0\iff x=-2$.

Hướng dẫn:

Chọn A.

Ta có:

Câu 3: Bất phương trình $m^2\left(x-1\right)\ge 9x+3m$ có nghiệm đúng với mọi x khi:

A. m=1

B. m=-3

C. $m=\varnothing .$  

D. $m=-1$

Hướng dẫn:

Chọn B.

Bất phương trình tương đương với $\left(m^2-9\right)x\ge m^2+3m.$

Dễ thấy nếu $m^2-9\ne 0\iff m\ne \pm 3$ thì bất phương trình không thể có nghiệm đúng $\forall x\in ℝ$

Với m=3 bất phương trình trở thành $0x>18$: vô nghiệm

Với m=-3  bất phương trình trở thành $0x\ge 0$: nghiệm đúng với mọi $x\in ℝ.$

Vậy giá trị cần tìm là  $m=-3.$

Câu 4: Miền nghiệm của bất phương trình $4\left(x-1\right)+5\left(y-3\right)>2x-9$ là nửa mặt phẳng chứa điểm:

A. $\left(0;0\right)$.    

B. $\left(1;1\right)$.     

C. $\left(-1;1\right)$.   

D. $\left(2;5\right)$.

Hướng dẫn:

Chọn D.

Ta có: 

$$\begin{gathered} 4\left(x-1\right)+5\left(y-3\right)>2x-9 \\ \iff 4x-4+5y-15>2x-9 \\ \iff 2x+5y-10>0 \end{gathered}$$

Dễ thấy, tại điểm $\left(2;5\right)$ ta có: $2.2+5.5-10>0$ (đúng).

Câu 5: Cho nhị thức bậc nhất $f\left(x\right)=ax+b\left(a\ne 0\right)$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nhị thức $f\left(x\right)$ có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng $\left(-\infty ;-\frac{b}{a}\right)$.

B. Nhị thức $f\left(x\right)$ có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng $\left(-\frac{b}{a};+\infty \right)$.

C. Nhị thức $f\left(x\right)$ có giá trị trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng $\left(-\infty ;\frac{b}{a}\right)$.

D. Nhị thức $f\left(x\right)$ có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng $\left(\frac{b}{a};+\infty \right)$.

Hướng dẫn:

Chọn B. Theo định lý về dấu của nhị thức bậc nhất.

Câu 6: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Bất phương trình ax + b < 0 có tập nghiệm là R  khi a = 0 và b < 0.

B. Bất phương trình bậc nhất một ẩn luôn có nghiệm.

C. Bất phương trình ax + b < 0 vô nghiệm khi a = 0 và $b\ge 0$.

D. Bất phương trình ax + b < 0 vô nghiệm khi a = 0.

Hướng dẫn:

Chọn D.

Xét ax + b < 0, khi a = 0 thì bất phương trình có dạng $0x+b<0$

+) Nếu $b<0$ thì tập nghiệm là R

+) Nếu $b\ge 0$ thì bất phương trình vô nghiệm.

Câu 7: Cho f(x), g(x) là các hàm số xác định trên R, có bảng xét dấu như sau:

Khi đó tập nghiệm của bất phương trình $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge 0$ là:

A. $\left[1;2\right]$.     

B. $\left[1;2\right)\cup \left(3;+\infty \right)$.

C. $\left[1;2\right)\cup \left[3;+\infty \right)$.

D. $\left[1;2\right]\cup \left[3;+\infty \right)$.

Hướng dẫn:

Chọn C.

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta có

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge 0\iff x\in \left[1;2\right)\cup \left[3;+\infty \right)$.

Câu 8: Cho bất phương trình $\left|\frac{2}{x-13}\right|>\frac{8}{9}$. Số nghiệm nguyên nhỏ hơn 13 của bất phương trình là:

A. 0. 

B. 1. 

C. 2. 

D. 3.

Hướng dẫn:

Chọn C.

Ta có:  $\left|\frac{2}{x-13}\right|>\frac{8}{9}$

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}\frac{2}{x-13}<-\frac{8}{9}\\ \frac{2}{x-13}>\frac{8}{9}\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}\frac{8x-86}{9\left(x-13\right)}<0\\ \frac{122-8x}{9\left(x-13\right)}>0\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}\frac{43}{4}<x<13\\ 13<x<\frac{61}{4}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Nghiệm nguyên nhỏ hơn 13 của bất phương trình là 11; 12.

Vậy bất phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên nhỏ hơn 13.

Câu 9: Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình $\left(2-x\right)\left(x+1\right)\left(3-x\right)\le 0$ là:

A. 1. 

B. 4. 

C. 2. 

D. 3.

Hướng dẫn:

Chọn C.

Bảng xét dấu vế trái:

Suy ra $x\in \left(-\infty ;-1\right]\cup \left[2;3\right]$.

Vậy số nghiệm nguyên dương của bất phương trình trên là 2.

Câu 10: Hàm số có kết quả xét dấu như dưới đây là hàm số nào?

A. $f\left(x\right)=x-3$.   

B. $f\left(x\right)=\frac{x}{x+3}$.   

C. $f\left(x\right)=x\left(3-x\right)$.        

D. $f\left(x\right)=x\left(x-3\right)$.

Hướng dẫn

Chọn C.

Từ bảng xét dấu ta thấy $f\left(x\right)=0$ khi $x=0$; $x=3$ nên đáp án chỉ có thể là $f\left(x\right)=x\left(3-x\right)$ hoặc $f\left(x\right)=x\left(x-3\right)$.

Mặt khác $f\left(x\right)>0$ khi $x\in \left(0;3\right)$ nên đáp án là $f\left(x\right)=x\left(3-x\right)$

Xem các phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác:

Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối chi tiết nhất

Dấu của nhị thức bậc nhất chi tiết nhất

Công thức giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối chi tiết nhất

Dấu của tam thức bậc hai chi tiết nhất

Công thức giải bất phương trình bậc hai một ẩn chi tiết nhất