Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Các tính chất của tích vô hướng (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 10 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Các tính chất của tích vô hướng (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

I. Lí thuyết tổng hợp

- Với các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ khác vectơ $\overrightarrow{0}$ và số thực k tùy ý ta có: Các tính chất của tích vô hướng:

II. Các công thức

- Với các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$khác vectơ $\overrightarrow{0}$ và số thực k tùy ý ta có:

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho tam giác ABC và M là điểm bất kì khác A, B, C. Chứng minh rằng:

$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{AB}=0$

Lời giải:

$$\begin{gathered} VT=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{AB} \\ =\overrightarrow{MA}(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB})+\overrightarrow{MB}(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}) \\ +\overrightarrow{MC}(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}) \\ =\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MA} \\ -\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} \\ =\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} \\ -\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC} \\ =(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC})+(-\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}) \\ +(-\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}) \\ = 0 + 0 + 0 = 0 = VP \end{gathered}$$

$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{AB}=0$ (điều cần phải chứng minh)

Bài 2: Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a. Tính giá trị biểu thức P biết rằng: $P=A{B}^2+B{C}^2+2\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{BC}$.

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông cân tại B (do ABCD là hình vuông) :

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

$$\begin{gathered} A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=a^2+a^2=2a^2 \\ \Rightarrow AC=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2} \end{gathered}$$

Ta có ABCD là hình vuông nên ta có AB // DC và AB = DC $\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow P=A{B}^2+B{C}^2+2\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{BC} \\ ={\overrightarrow{AB}}^2+{\overrightarrow{BC}}^2+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} \\ ={(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})}^2={\overrightarrow{AC}}^2 \\ =A{C}^2={\left(a\sqrt{2}\right)}^2=2a^2 \\ \Rightarrow P=2a^2 \end{gathered}$$

Bài 3: Cho hình thoi ABCD cạnh a. Chứng minh rằng $(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DC})(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BA})=0$.

Lời giải:

Do ABCD là hình thoi nên ta có:

AB // DC và AB = DC$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

Xét đẳng thức: $(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DC})(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BA})=0$

$$\begin{gathered} VT=(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DC})(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BA}) \\ =(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB})={\overrightarrow{AD}}^2-{\overrightarrow{AB}}^2 \\ \Rightarrow VT=A{D}^2-A{B}^2 \\ =a^2-a^2=0=VP \end{gathered}$$

$(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DC})(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BA})=0$ (điều cần phải chứng minh).

IV. Bài tập vận dụng 

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 0; -2), B (2; 1; -1). Độ dài của đoạn thẳng AB là

A.  $\sqrt{2}$

B.  $\sqrt{18}$

C. $2\sqrt{7}$

D. $\sqrt{3}$

Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;-2;0\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(-2;3;1\right)$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-8$

B. $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(-1;1;-1\right)$

C. $\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{14}$

D. $2\overrightarrow{a}=\left(2;-4;0\right)$

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(2;4;-2\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(3;-1;6\right)$. Tính$P=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$.

A. P = -10

B. P = -40

C. P = 16 

D. P = -34

Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(2;1;0\right)$ và$\overrightarrow{b}=\left(-1;0;-2\right)$. Tính $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

A. $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=-\frac{2}{25}$

B. $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=-\frac{2}{5}$

C. $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{2}{25}$

D. $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{2}{5}$

Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(1;-2;1\right),$$\overrightarrow{b}=\left(2;-4;2\right)$. Khi đó $\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]$ có tọa độ bằng

A. (0 ; 0 ; 0). 

B. (1 ; 1 ; 1)

C. (2 ; 8 ; 2)

D. (1 ; -2 ; 1).

Câu 6: Cho bốn véc tơ $\overrightarrow{a}=\left(-1;1;0\right)$,$\overrightarrow{b}=\left(1;1;0\right)$ ,$\overrightarrow{c}=\left(1;1;1\right)$, $\overrightarrow{d}=\left(2;0;1\right)$. Chọn mệnh đề đúng.

A.$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ đồng phẳng. 

B. $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{d}$ đồng phẳng.

C. $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{d}$ đồng phẳng.

D. $\overrightarrow{d}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ đồng phẳng.

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết A (1; 1; 1), B (4; 3; 2), C (5; 2; 1). Diện tích tam giác ABC là

A. $\frac{\sqrt{42}}{4}$

B. $\sqrt{42}$

C. $2\sqrt{42}$

D. $\frac{\sqrt{42}}{2}$

Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A (1; 0; 1), B (2; 0; -1), C (0; 1; 3), D (3; 1; 1). Thể tích khối tứ diện ABCD là

A.$V=\frac{2}{3}$

B. $V=\frac{4}{3}$

C. V = 4

D. V = 2.

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có A (-1; 0; 2), B (1; 1; -1), D (0; 1; 1), A’ (2; -1; 0). Thể tích V của khối hình hộp ABCD. A’B’C’D’ là

A. V = 1.                              

B. V = 4.                              

C. V = 5.                              

D. V = 6.

Câu 10: Cho ba vectơ $\overrightarrow{a}=\left(4;2;5\right),\overrightarrow{b}=\left(3;1;3\right),\overrightarrow{c}=\left(2;0;1\right)$. Chọn mệnh đề đúng:

A. Ba vectơ đồng phẳng

B. Ba vectơ không đồng phẳng.

C. Ba vectơ cùng phương

D. $\overrightarrow{c}=\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]$

ĐÁP ÁN

V. Bài tập tự luyện 

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Giá trị của

A. 0

B. BC²

C. AB² - BC²

D. AB²

Câu 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Giá trị của

A. AB²

B. BC²

C. AB² - BC²

D. 0

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 9. Giá trị của AB→.AC→ bằng

A. 0 B. 3 C. 81 D. 9

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho:

A. 1 B. -1 C. -56 D. 56

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho a→ = (1;-3),b→=(6;x). Hai vectơ đó vuông góc với nhau khi và chỉ khi

A. x = - 2 B. x = 2 C. x = -3 D. x = 3

Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho u→ =(-1;x),v→=(2;4). Hai vectơ này có độ dài bằng nhau khi và chỉ khi

A. x=√19

B. x=-√19

C. x=√21

D. x ∈ {-√19; √19}

Câu 7: Cho tứ giác ABCD. Biểu thức

A. 0→

B. CD²

C. 0

D. AB² + AC² + AD²

Câu 8: Cho hình thoi ABCD. Giá trị của

A. 1

B. 0

C. AB2 - BC2

D. AB2 + BC2

Câu 9: Nếu điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB thì

A. 1     B. -AB²     C. 0     D. AB²

Câu 10: Cho vectơ a→. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(3; -1); B(2; 10); C(-4; 2).Tính tích vô hướng AB→.AC→ .

A. 40

B. – 40

C. 26

D. – 26

Câu 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ   Tính tích vô hướng  

A. – 30

B. 3

C. 30

D. 43

Câu 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ   Tìm tọa độ vectơ .

Câu 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ. Tính cosin của góc giữa hai vectơ 

Câu 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ . Tính góc giữa hai vectơ 

A.90°

B. 60°

C. 45°

D. 30°

Câu 16: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(6; 0); B(3;1) và C(-1; -1). Tính số đo góc B của tam giác đã cho.

A. 15°

B.60°

C. 120°

D. 135°.

Câu 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ. Tìm k để vectơ u→ vuông góc với v

A. k = 20

B. k = -20

C. k = -40

D. k= 40

Câu 18: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ . Tìm vectơ d→ biết .

Câu 19: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ  với m ∈ R. Tìm m để a→ vuông góc với trục hoành.

A. m = 4

B. m = -4

C. m = -2

D. m = 2

Câu 20: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 4); B(3; 2); C(5; 4). Tính chu vi P của tam giác đã cho.

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác: 

Công thức tính độ dài vectơ chi tiết nhất

Công thức khoảng cách giữa hai điểm vectơ lớp 10

Tất tần tật về Định lí Côsin và hệ quả chi tiết nhất

Công thức tính độ dài đường trung tuyến chi tiết nhất

Tất tần tật về Định lí Sin chi tiết nhất