Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức tính độ dài vectơ (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 10 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Công thức tính độ dài vectơ (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

I. Lí thuyết tổng hợp

- Định nghĩa: Mỗi vecto đều có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vecto đó. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$ chính bằng độ dài đoạn thẳng AB. Kí hiệu: $\left|\overrightarrow{AB}\right|$

- Độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2\right)$ được tính theo công thức: $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}$.

II. Các công thức

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Biết AB = 2a và AD = a. Tính độ dài  $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right|$.

Lời giải:

Do ABCD là hình chữ nhật nên ta có: BC = AD = a

Xét tam giác ABC vuông tại B (do ABCD là hình chữ nhật)

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

Bài 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài $\left|\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right|$.

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông cân tại B (do ABCD là hình vuông) :

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

Bài 3: Cho vectơ $\overrightarrow{a}=(1;6m)$. Tìm m để độ dài $\left|\overrightarrow{a}\right|=5$.

Lời giải:

IV. Bài tập tự luyện  

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ =(4;1) và =(1;4). Tính độ dài vectơ 

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính khoảng cách giữa hai điểm M(1; -2) và N (-3; 4).

Hướng dẫn giải:

Đáp án D

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 4), B(3; 2), C(5; 4). Chu vi P của tam giác đã cho.

Hướng dẫn giải:

Đáp án B

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(-1; 1), B(0; 2), C(3; 1) và D(0; -2). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Tứ giác ABCD là hình bình hành

B. Tứ giác ABCD là hình thoi

C. Tứ giác ABCD là hình thang cân

D. Tứ giác ABCD không nội tiếp được đường tròn

Hướng dẫn giải:

Đáp án C

Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình thang cân (hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân).

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;3) và B(4;2). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho C cách đều hai điểm A và B.

Hướng dẫn giải:

Đáp án B

Đáp án B

Bài 6: Cho tam giác $ABC$ đều cạnh a. Khi đó $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|$ bằng:

     A. $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=a\sqrt{3}.$                       B. $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

     C. $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=2a.$                         D. Một đáp án khác.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Gọi  H là trung điểm của  $BC\Rightarrow AH\perp BC.$ Suy ra $AH=\frac{BC\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$ Ta lại có $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|2\overrightarrow{AH}\right|=2.\frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.

Bài 7: Cho tam giác vuông cân $ABC$ tại A có $AB=a$. Tính   $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|.$

     A. $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=a\sqrt{2}.$                        B.   $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$     

     C. $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=2a.$                        D.  $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=a.$

Hướng dẫn giải:

Chọn A. Gọi D là điểm thỏa mãn tứ giác $ABDC$ là hình vuông. $\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=AD=a\sqrt{2}.$

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh C, $AB=\sqrt{2}$. Tính độ dài của $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.$

     A. $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{5}.$                        B. $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=2\sqrt{5}.$

     C.  $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{3}.$                        D. $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=2\sqrt{3}.$

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có  $AB=\sqrt{2}\stackrel{}{\to }AC=CB=1.$

Gọi I là trung điểm $BC\stackrel{}{\to }AI=\sqrt{A{C}^2+C{I}^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}.$

Khi đó   $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AI}\stackrel{}{\to }\left|\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\right|=2\left|\overrightarrow{AI}\right|=2.\frac{\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}.$

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác: 

Công thức khoảng cách giữa hai điểm vectơ lớp 10

Tất tần tật về Định lí Côsin và hệ quả chi tiết nhất

Công thức tính độ dài đường trung tuyến chi tiết nhất

Tất tần tật về Định lí Sin chi tiết nhất

Các công thức tính diện tích tam giác đầy đủ, chi tiết nhất