Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng (HAY NHẤT 2024)  gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 10 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Công thức xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng (HAY NHẤT 2024)

I. Lý thuyết tổng hợp

- Định nghĩa vectơ pháp tuyến: Vectơ $\overrightarrow{n}$ ($\overrightarrow{n}\ne 0$) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của vectơ $\overrightarrow{n}$ vuông góc với đường thẳng $\Delta$.

- Chú ý:

+ Nếu $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của $\Delta$ thì k$\overrightarrow{n}$ ($k\ne 0$)  cũng là vectơ pháp tuyến của $\Delta$.

+ Nếu đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(a;b)$ thì đường thẳng đó có các vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(b;-a)$ , $\overrightarrow{n\text{'}}=(-b;a)$.

II. Các công thức

- Cho $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của $∆\Rightarrow$ k$\overrightarrow{n}$ ($k\ne 0$)  là vectơ pháp tuyến của $∆$.

- Cho đường thẳng $∆$: ax + by + c = 0  $\Rightarrow$ Vectơ pháp tuyến của $∆$ là $\overrightarrow{n}=(a;b)$

- Cho đường thẳng $∆$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(a;b)$ thì đường thẳng đó có các vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(b;-a)$, $\overrightarrow{n\text{'}}=(-b;a)$.

- Cho đường thẳng d  và d’. Biết $d\perp d\text{'}$: Nếu d’ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u\text{'}}=(a;b)$ thì vectơ pháp tuyến của d là $\overrightarrow{n}=(a;b)$.

- Cho đường thẳng d và d’. Biết d // d’: Nếu d’ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u\text{'}}=(a;b)$ thì vectơ pháp tuyến của d là $\overrightarrow{n}=(-b;a),\overrightarrow{n}=(b;-a)$.

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho đường thẳng d: 5x – 6y + 3 = 0. Tìm vectơ pháp tuyến của d.

Lời giải:

Biết đường thẳng d: 5x – 6y + 3 = 0 

$\Rightarrow$ Vectơ pháp tuyến của d là: $\overrightarrow{n}=(5;-6)$

Bài 2: Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(8;3)$. Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng d.

Lời giải:

Biết đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(8;3)$

$\Rightarrow$ Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là: $\overrightarrow{n}=(-3;8)$

Bài 3: Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(3;7)$. Tìm vectơ pháp tuyến của các đường thẳng sau:

a) d’ song song với d

b) d’’ vuông góc với d

Lời giải:

a)

Do d’ song song với d và d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(3;7)$ nên ta có:

Vectơ pháp tuyến của d’ là $\overrightarrow{n\text{'}}=(-7;3)$

b)

Do d’’ vuông góc với d và d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(3;7)$ nên ta có:

Vectơ pháp tuyến của d’’ là $\overrightarrow{n\text{'}\text{'}}=(3;7)$

IV. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho đường thẳng d: 2x + 3y - 8 = 0. Trong các vecto sau; vecto nào không là VTPT của đường thẳng d?

A. n₁→( 4; 6)    B. n₂→(-2;-3)    C. n₃→( 4; -6)    D. n₄→(-6;-9)

Lời giải:

Đáp án: C

+ Đường thẳng d nhận vecto n→( 2; 3) làm VTPT.

+ Lại có; vecto n₁→ = 2n→; n₂→ = - n→ và n₄→ = - 3n→

=> Các vecto n₁→; n₂→; n₄→ cùng phương với vecto n ⃗ nên ba vecto này cũng là VTPT của đường thẳng d.

Câu 2: Cho đường thẳng d:  = 1. Tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng d?

A. n→( 2;3)    B. n→( 3;2)    C. n→( 2; -3)    D. n→( -2;3)

Lời giải:

Đáp án: B

Đường thẳng d:  = 1 ⇔ (d): 3x + 2y - 6 = 0

⇒ Đường thẳng d nhận vecto n→( 3;2) làm VTPT.

Câu 3: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của d: x - 4y + 2018 = 0

A. n₁→ = (1; 4).    B. n₁→ = (4;1)    C. n₁→ = (2;8)    D. n₁→ = (-2;8)

Lời giải:

Đáp án: D

Đường thẳng ax + by + c= 0 có VTPT là n→( a; b) .

Do đó; đường thẳng d có VTPT n→(1; - 4).

Lại có; n→(1; -4) và n'→(-2;8) cùng phương nên đường thẳng d nhận vecto n'→(-2;8) làm VTPT.

Câu 4: Cho đường thẳng d: 3x + 5y + 2018 = 0. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. d có vectơ pháp tuyến n→ = (3; 5)

B. d có vectơ chỉ phương u→ = (5; -3)

C. d có hệ số góc k = 

D. d song song với đường thẳng ∆ : 3x + 5y + 9080 = 0.

Lời giải:

Đáp án: C

Đường thẳng d: 3x+ 5y + 2018= 0 có:

    Vecto pháp tuyến n→(3;5)

    Vecto chỉ phương: u→( 5; 3)

    Từ 3x + 5y + 2018 = 0 suy ra: y =  x + 

Do đó đường thẳng d có hệ số góc k = 

Hai đường thẳng d và ∆ có;  =  ≠  nên hai đường thẳng này song song với nhau.

Câu 5: Đường thẳng d: 12x - 7y + 5 = 0 không đi qua điểm nào sau đây?

A. M(1; 1)    B. N( -1; -1)    C. P(-  ; 0)    D. Q(1;  ) .

Lời giải:

Đáp án: B

Đặt f( x; y) = 12x - 7y + 5. Ta thay tọa độ các điểm vào biểu thức f(x;y) ta được:

+ Thay tọa độ điểm M: f(1; 1) = 12.1 - 7.1 + 5 = 10 ≠ 0

⇒ điểm M không thuộc đường thẳng d.

+ Thay tọa độ điểm N(-1;-1): f(-1; -1) = 12.(-1) – 7.(-1) + 5 = 0

⇒ điểm N thuộc đường thẳng d

+ Tương tự thay tọa độ điểm P và Q vào ta thấy P và Q không thuộc đường thẳng d.

Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có A( 1; 2) ; B( 2;4). Tìm một VTPT của đường thẳng AC?

A. n→( 1; -2)    B. n→( 2; 4)    C. n→(-2; 1)    D. n→(2; 1)

Lời giải:

Đáp án: B

Do tam giác ABC vuông tại A nên AB vuông góc AC.

⇒ Vecto AB→( 1;2) là một VTPT của đường thẳng AC.

Mà AB→( 1;2) cùng phương với vecto n→( 2;4) nên đường thẳng AC nhận vecto

n→( 2; 4)làm VTPT.

Câu 7: Cho tam giác ABC cân tại A. Biết A( 1; -4) và M( -2; 3) là trung điểm của BC. Tìm một VTPT của đường thẳng BC?

A. n→( 1; -4)    B. n→( 3;5)    C. n→(3;-7)    D. n→(5;-3)

Lời giải:

Đáp án: C

Do tam giác ABC cân tại A lại có AM là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao

⇒ AM vuông góc BC.

⇒ Đường thẳng BC nhận vecto MA→( 3;-7) làm VTPT.

Câu 8: Cho đường thẳng d: 2x - 5y - 10 = 0. Trong các điểm sau; điểm nào không thuộc đường thẳng d?

A. A(5; 0)    B. B(0; -2)    C. C(-5; -4)    D. D(-2; 3)

Lời giải:

Đáp án:

+ Thay tọa độ điểm A ta được :2.5 - 5.0 - 10 = 0

⇒ Điểm A thuộc đường thẳng d.

+ Thay tọa độ điểm B ta được: 2.0 - 5.(-2) - 10 = 0

⇒ Điểm B thuộc đường thẳng d.

+ Thay tọa độ điểm C ta được : 2.(-5) - 5.(-4) – 10 = 0

⇒ Điểm C thuộc đường thẳng d.

+ Thay tọa độ điểm D vào ta được: 2.(-2) - 5.3 - 10 = - 29 ≠ 0

⇒ Điểm D không thuộc đường thẳng d.

V. Bài tập tự luyện 

Câu 1: Đường thẳng d: 12x – 7y + 5 = 0 không đi qua điểm nào sau đây?

A. M(1; 1)    B. N( -1; -1)    C. P(-  ; 0)    D. Q(1;  ) .

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có A( 1; 2) ; B( 2;4). Tìm một VTPT của đường thẳng AC?

A. n→( 1; -2)    B. n→( 2; 4)    C. n→(-2; 1)    D. n→(2; 1)

Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Biết A( 1; -4) và M( -2; 3) là trung điểm của BC. Tìm một VTPT của đường thẳng BC?

A. n→( 1; -4)    B. n→( 3;5)    C. n→(3;-7)    D. n→(5;-3)

Câu 4: Cho đường thẳng d: 2x – 5y – 10 = 0. Trong các điểm sau; điểm nào không thuộc đường thẳng d?

A. A(5; 0)    B. B(0; -2)    C. C(-5; -4)    D. D(-2; 3)

Câu 5: Cho đường thẳng d: 2x + 3y – 8 = 0. Trong các vecto sau; vecto nào không là VTPT của đường thẳng d?

A. n₁→( 4; 6)    B. n₂→(-2;-3)    C. n₃→( 4; -6)    D. n₄→(-6;-9)

Câu 6: Cho đường thẳng d:  = 1. Tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng d?

A. n→( 2;3)    B. n→( 3;2)    C. n→( 2; -3)    D. n→( -2;3)

Câu 7: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của d: x – 4y + 2018 = 0

A. n₁→ = (1; 4).    B. n₁→ = (4;1)    C. n₁→ = (2;8)    D. n₁→ = (-2;8)

Câu 8: Cho đường thẳng d: 3x + 5y + 2018 = 0. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. d có vectơ pháp tuyến n→ = (3; 5)

B. d có vectơ chỉ phương u→ = (5; -3)

C. d có hệ số góc k = 

D. d song song với đường thẳng ∆ : 3x + 5y + 9080 = 0.

• Câu 9: Cho đường thẳng Δ có phương trình 3x – 4y + 2 = 0. Điểm nào sau đây không nằm trên đường thẳng Δ?

  

  Câu 10: Phương trình của đường thẳng qua điểm M(x₀ ;y₀ ) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$ là:

  

  A. b(x - x₀) - a(y - y₀) = 0

  B. a(x + x₀) + b(y + y₀) = 0

  C. a(x - x₀) + b(y - y₀) = 0

  Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác: 

  Công thức viết phương trình tham số của đường thẳng hay, chi tiết nhất
  

  Công thức viết phương trình tổng quát của đường thẳng hay, chi tiết nhất
  

  Công thức chuyển đổi giữa phương trình tổng quát với phương trình tham số của đường thẳng
  

  Công thức liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng
  

  Công thức viết phương trình đường thẳng theo đoạn chắn hay, chi tiết nhất