Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức chuyển đổi giữa phương trình tổng quát với phương trình tham số của đường thẳng (HAY NHẤT 2024) gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 10 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Công thức chuyển đổi giữa phương trình tổng quát với phương trình tham số của đường thẳng (HAY NHẤT 2024)

I. Lý thuyết tổng hợp

- Một đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương hoặc một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.

- Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d đi qua điểm $M_0(x_0;y_0)$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(a;b)$. Phương trình đường tham số của đường thẳng d là: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}\right.$ (tham số t) với $a^2+b^2\ne 0$.

- Cho đường thẳng d đi qua điểm $M_0(x_0;y_0)$ và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(a;b)$, ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d được viết dưới dạng:

$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$

$\iff ax+by+c=0$ ($c=-a{x}_0-b{y}_0$)

II. Các công thức

- Công thức chuyển đổi từ phương trình tổng quát thành phương trình tham số của đường thẳng:

Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0

+ Dựa vào phương trình tổng quát, ta xác định một điểm $M_0(x_0;y_0)$ thuộc đường thẳng d

+ Dựa vào phương trình tổng quát, đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(a;b)$ nên ta có vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(-b;a)$ hoặc $\overrightarrow{u}=(b;-a)$

+ Viết phương trình tham số của d có dạng: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0-bt\\ y=y_0+at\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+bt\\ y=y_0-at\end{array}\right.$

- Công thức chuyển đổi từ phương trình tham số thành phương trình tổng quát của đường thẳng:

Cho đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}\right.$ 

+ Dựa vào phương trình tham số, ta xác định được điểm $M_0(x_0;y_0)$ thuộc đường thẳng d

+ Dựa vào phương trình tham số, đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(a;b)$ nên ta có vectơ pháp tuyến của d là $\overrightarrow{n}=(-b;a)$ hoặc $\overrightarrow{n}=(b;-a)$

+ Viết phương trình tổng quát của d dưới dạng:

$-b(x-x_0)+a(y-y_0)=0$

Hoặc

$b(x-x_0)-a(y-y_0)=0$

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho đường thẳng d: 3x – 2y + 1 = 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng d.

Lời giải:

Biết đường thẳng d: 3x – 2y + 1 = 0

Ta có:

Điểm A(1; 2) thuộc đường thẳng d do 3.1 – 2.2 + 1 = 0

Vectơ pháp tuyến của d là  $\overrightarrow{n}=(3;-2)\Rightarrow$ Vectơ chỉ phương của d là: $\overrightarrow{u}=(2;3)$

Phương trình tham số của đường thẳng d là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2+3t\end{array}\right.$

Bài 2: Cho đường thẳng d: 4x + 4 = 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng d.

Lời giải:

Biết đường thẳng d: 4x + 4 = 0

Ta có:

Điểm B(-1; 3) thuộc đường thẳng d do 4.(-1) + 4 = 0

(có thể lấy tung độ bất kì vì phương trình đường thẳng d không phụ thuộc tung độ y)

Vectơ pháp tuyến của d là  $\overrightarrow{n}=(4;0)\Rightarrow$ Vectơ chỉ phương của d là: $\overrightarrow{u}=(0;-4)$

Phương trình tham số của đường thẳng d là: $\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=3-4t\end{array}\right.$

Bài 3: Cho đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+4t\\ y=3-2t\end{array}\right.$. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d.

Lời giải:

Biết đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+4t\\ y=3-2t\end{array}\right.$.

Ta có:

Điểm C(-1; 3) thuộc vào đường thẳng d dựa vào phương trình tham số. (cho t = 0 thay vào phương trình tham số của d, ta tìm được tọa độ C)

Vectơ chỉ phương của d là  $\overrightarrow{u}=(4;-2)\Rightarrow$ Vectơ pháp tuyến của d là $\overrightarrow{n}=(2;4)$

Phương trình tổng quát của d là:

2(x + 1) + 4(y – 3)  = 0

$\iff$ 2x + 4y – 10 = 0

$\iff$x + 2y – 5 = 0

IV. Bài tập vận dụng 

Câu 1: Cho đường thẳng d: x - 3y + 9 = 0. Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng tham số?

A. (d) :     B. (d) : 

C. (d) :     D. (d) : 

Lời giải:

Đáp án: A

+ Đường thẳng d: 

⇒ Phương trình tham số của đường thẳng (d) : 

Câu 2: Cho đường thẳng (d) :  . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d.

A. x - y - 1 = 0    B. x - y + 3 = 0    C. x + y - 7 = 0    D. x - y - 5 = 0

Lời giải:

Đáp án: D

+ Đường thẳng (d) : 

⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d:

1( x - 3) – 1( y + 2) = 0 hay x - y - 5 = 0

Câu 3: Cho đường thẳng ( d) :  . Viết phương trình đường thẳng d dạng tổng quát?

A. 2x + 3y + 2 = 0    B. 2x + 3y = 0    C. 3x - 2y + 1 = 0    D. Đáp án khác

Lời giải:

Đáp án: B

Đường thẳng d: : 

⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d:

2(x - 3) + 3(y + 2) = 0 hay 2x + 3y = 0

Câu 4: Cho đường thẳng d: - 2x - 3y + 6 = 0 .Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng chính tắc?

A.     B. 

C.     D. Không có phương trình chính tắc

Lời giải:

Đáp án: C

Đường thẳng d: 

⇒ Phương trình chính tắc của đường thẳng d:

Câu 5: Cho đường thẳng d:  . Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng chính tắc?

A.     B.     C.     D. 

Lời giải:

Đáp án: A

Đường thẳng d: 

⇒ Phương trình chính tắc của đường thẳng d:

Câu 6: Cho đường thẳng ( d): -2x + 3y + 6 = 0. Viết phương trình đường thẳng d dạng chính tắc?

A.     B.     C.     D. 

Lời giải:

Đáp án: B

Đường thẳng d: 

⇒ Phương trình chính tắc của đường thẳng d:

Câu 7: Cho đường thẳng d:  .Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng tham số?

A.     B.     C.     D. 

Lời giải:

Đáp án: A

Đường thẳng d: 

⇒ Phương trình tham số của đường thẳng (d): 

Câu 8: Cho đường thẳng d:  = 1. Viết phương trình đường thẳng d dạng chính tắc?

A.     B.     C.     D. 

Lời giải:

Đáp án: D

+ Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát :

 = 1 ⇔ - 3x + 2y + 6 = 0

+ Đường thẳng d đi qua M( 2;0) và VTPT n→( -3;2) nên một VTCP u→( 2; 3) .

⇒ Phương trình đường thẳng d dạng chính tắc : 

V. Bài tập tự luyện 

Bài 1. Cho ∆ABC có A(–2; 3), B(2; 5), C(5; 1).

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB và AC.

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng BC.

c) Tính khoảng cách từ điểm B lần lượt đến cạnh AC và tính diện tích tam giác ABC.

d) Viết phương trình đường trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

a)

• Với A(–2; 3), B(2; 5) ta có $\overrightarrow{AB}=\left(4;2\right)$.

Do đó đường thẳng AB có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{AB}=\left(2;-4\right)$.

Đường thẳng AB đi qua A(–2; 3) và nhận ${\overrightarrow{n}}_{AB}=\left(2;-4\right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình tổng quát là:

2(x + 2) – 4(y – 3) = 0 ⇔ x – 2y + 8 = 0.

• Với A(–2; 3), C(5; 1) ta có $\overrightarrow{AC}=\left(7;-2\right)$.

Do đó đường thẳng AC có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{AC}=\left(2;7\right)$.

Đường thẳng AC đi qua A(–2; 3) và nhận ${\overrightarrow{n}}_{AC}=\left(2;7\right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình tổng quát là:

2(x + 2) + 7(y – 3) = 0 ⇔ 2x + 7y – 17 = 0.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng AB, AC lần lượt là x – 2y + 8 = 0, 2x + 7y – 17 = 0.

b) Với B(2; 5), C(5; 1) ta có $\overrightarrow{BC}=\left(3;-4\right)$.

Đường thẳng BC đi qua B(2; 5) và nhận $\overrightarrow{BC}=\left(3;-4\right)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là:

$\left\{\begin{array}{l}x=2+3t\\ y=5-4t\end{array}\right.$

Vậy phương trình tham số của đường thẳng BC là $\left\{\begin{array}{l}x=2+3t\\ y=5-4t\end{array}\right.$

c) Với B(2; 5) và đường thẳng AC: 2x + 7y – 17 = 0 ta có:

$d\left(B,AC\right)=\frac{\left|2.2+7.5-17\right|}{\sqrt{2^2+7^2}}=\frac{22\sqrt{53}}{53}$.

Vậy khoảng cách từ điểm B đến cạnh AC bằng $\frac{22\sqrt{53}}{53}$.

Ta có $\overrightarrow{AC}=\left(7;-2\right)$ nên $AC=\sqrt{7^2+{\left(-2\right)}^2}=\sqrt{53}$.

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.d\left(B,AC\right).AC=\frac{1}{2}.\frac{22\sqrt{53}}{53}.\sqrt{53}=11$  (đvdt).

Vậy diện tích ∆ABC bằng 11 đvdt.

d) Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó tọa độ của điểm I thỏa mãn:

$\left\{\begin{array}{c}{x}_I=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-2+2}{2}=0\\ y_I=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{3+5}{2}=4\end{array}\right.$

Suy ra I(0; 4).

Ta có $\overrightarrow{CI}=(0-5;4-1)=(-5;3)$.

Đường trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC chính là đường thẳng đi qua hai điểm C và I, tức là đường thẳng CI.

Do đó đường thẳng CI đi qua C(5; 1) có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{CI}(-5;3)$.

Phương trình tham số của đương thẳng CI là : $\left\{\begin{array}{l}x=5-5t\\ y=1+3t\end{array}\right.$.

Vậy phương trình tham số của đường trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC là: $\left\{\begin{array}{l}x=5-5t\\ y=1+3t\end{array}\right.$.

Bài 2. Cho hai đường thẳng ∆₁: (m – 3)x + 2y + m² – 1 = 0 và ∆₂: –x + my + (m – 1)² = 0.

a) Xác định vị trí tương đối và xác định giao điểm (nếu có) của ∆₁ và ∆₂ trong các trường hợp m = 0, m = 1.

b) Tìm m để hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ song song với nhau.

Hướng dẫn giải

a)

• Nếu m = 0 thì:

Phương trình ∆₁: –3x + 2y – 1 = 0 và phương trình ∆₂: –x + 1 = 0.

Đường thẳng ∆₁, ∆₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\overrightarrow{n}}_1=\left(-3;2\right),{\overrightarrow{n}}_2=\left(-1;0\right)$.

Ta có a₁b₂ – a₂b₁ = (–3).0 $-2$.(–1) = 2 ≠ 0.

Suy ra ${\overrightarrow{n}}_1,{\overrightarrow{n}}_2$ là hai vectơ không cùng phương.

Khi đó ta có ∆₁, ∆₂ cắt nhau tại điểm M.

Vì M là giao điểm của ∆₁ và ∆₂ nên tọa độ điểm M thỏa hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}-3x+2y-1=0\\ -x+1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\right.$

Suy ra M(1; 2).

• Nếu m = 1 thì:

Phương trình ∆₁: –2x + 2y = 0 và phương trình ∆₂: –x + y = 0.

Đường thẳng ∆₁, ∆₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\overrightarrow{n}}_1=\left(-2;2\right),{\overrightarrow{n}}_2=\left(-1;1\right)$.

Ta có $\frac{-2}{-1}=\frac{2}{1}$.

Suy ra ${\overrightarrow{n}}_1,{\overrightarrow{n}}_2$ là hai vectơ cùng phương.

Khi đó ta có ∆₁, ∆₂ song song hoặc trùng nhau.

Chọn điểm O(0; 0) ∈ ∆₁.

Thay tọa độ điểm O vào phương trình ∆₂ ta được: –0 + 0 = 0 (đúng).

Suy ra O(0; 0) ∈ ∆₂.

Do đó ∆₁ ≡ ∆₂.

Vậy khi m = 0 thì ∆₁ cắt ∆₂ tại điểm M(1; 2) và khi m = 1 thì ∆₁ trùng ∆₂.

b) ∆₁: (m – 3)x + 2y + m² – 1 = 0 và ∆₂: –x + my + (m – 1)² = 0.

∆₁, ∆₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\overrightarrow{n}}_1=\left(m-3;2\right),{\overrightarrow{n}}_2=\left(-1;m\right)$.

Chọn $B\left(0;\frac{1-m^2}{2}\right)\in {\Delta }_1$.

∆₁ // ∆₂ khi và chỉ khi ${\overrightarrow{n}}_1,{\overrightarrow{n}}_2$ là hai vectơ cùng phương và B ∉ ∆₂.

Ta có ${\overrightarrow{n}}_1,{\overrightarrow{n}}_2$ là hai vectơ cùng phương.

⇔ a₁b₂ – a₂b₁ = 0.

⇔ (m – 3).m – 2.(–1) = 0.

⇔ m² – 3m + 2 = 0.

⇔ m = 1 hay m = 2.

Ở câu a), ta đã chứng minh được ∆₁ trùng ∆₂ khi m = 1.

Do đó ta loại m = 1.

Với m = 2, ta có tọa độ $B\left(0;-\frac{3}{2}\right)$ và phương trình ∆₂: –x + 2y + 1 = 0.

Thay tọa độ B vào phương trình ∆₂, ta được: $-0+2.\left(-\frac{3}{2}\right)+1=-2\ne 0$.

Suy ra với m = 2, B ∉ ∆₂.

Vậy m = 2 thì ∆₁ // ∆₂.

Bài 3. Tìm m để góc hợp bởi hai đường thẳng ∆₁: $\sqrt{3}x-y+7=0$ và ∆₂: mx + y + 1 = 0 một góc bằng 30°.

Hướng dẫn giải

∆₁: $\sqrt{3}x-y+7=0$ và ∆₂: mx + y + 1 = 0

∆₁, ∆₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\overrightarrow{n}}_1=\left(\sqrt{3};-1\right),{\overrightarrow{n}}_2=\left(m;1\right)$.

Ta có $\cos \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\frac{\left|m\sqrt{3}+\left(-1\right).1\right|}{\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}.\sqrt{m^2+1^2}}$.

Hay $\cos \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\frac{\left|m\sqrt{3}-1\right|}{2\sqrt{m^2+1}}$

Theo đề, ta có góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ bằng 30°.

Ta suy ra $\frac{\left|m\sqrt{3}-1\right|}{2\sqrt{m^2+1}}=\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff \sqrt{3\left(m^2+1\right)}=\left|m\sqrt{3}-1\right|$

⇔ 3m² + 3 = 3m² – $2\sqrt{3}m$+ 1

⇔ $2\sqrt{3}m$ = –2

$\iff m=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Vậy $m=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 4. Cho đường thẳng d: 3x – 2y + 1 = 0 và điểm M(1; 2). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M và tạo với đường thẳng d một góc 45°.

Hướng dẫn giải

Gọi $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.

Phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(1; 2) có dạng: a(x – 1) + b(y – 2) = 0.

⇔ ax + by – a – 2b = 0.

Đường thẳng d: 3x – 2y + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}^{\text{'}}=\left(3;-2\right)$.

Góc giữa hai đường thẳng ∆ và d là:

cos(∆, d) =$\frac{\left|3a+\left(-2\right).b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{3^2+{\left(-2\right)}^2}}=\frac{\left|3a-2b\right|}{\sqrt{13}.\sqrt{a^2+b^2}}$

Theo đề, ta có ∆ tạo với d một góc 45°.

Suy ra $\cos 45°=\frac{\left|3a-2b\right|}{\sqrt{13}.\sqrt{a^2+b^2}}$.

$\iff \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\left|3a-2b\right|}{\sqrt{13}.\sqrt{a^2+b^2}}$

$\iff \sqrt{26\left(a^2+b^2\right)}=2\left|3a-2b\right|$

⇔ 26a² + 26b² = 4(9a² – 12ab + 4b²)

⇔ –10a² + 48ab + 10b² = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}a=5b\\ a=-\frac{1}{5}b\end{array}\right.$

• Với a = 5b, ta chọn a = 5.

Ta suy ra b = 1.

Khi đó ta nhận được phương trình đường thẳng ∆: 5x + y – 7 = 0.

• Với $a=-\frac{1}{5}b$, ta chọn a = 1.

Ta suy ra b = –5.

Khi đó ta nhận được phương trình đường thẳng ∆: x – 5y + 9 = 0.

Vậy có hai đường thẳng ∆ thỏa yêu cầu bài toán có phương trình lần lượt là 5x + y – 7 = 0 và x – 5y + 9 = 0.

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác: 

Công thức liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng

Công thức viết phương trình đường thẳng theo đoạn chắn hay, chi tiết nhất

Công thức tìm điểm đối xứng qua đường thẳng hay và chi tiết

Công thức viết phương trình đường phân giác hay chi tiết nhất

Công thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng hay và chi tiết nhất