Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức tìm điểm đối xứng qua đường thẳng (HAY NHẤT 2024) gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 10 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Công thức tìm điểm đối xứng qua đường thẳng (HAY NHẤT 2024)

I. Lý thuyết tổng hợp

- Đường trung trực: Đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng vuông góc với AB tại trung điểm của AB.

- Điểm A và B đối xứng qua đường thẳng d khi và chỉ khi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

II. Các công thức

- Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0, điểm $A(x_A;y_A)$ không thuộc d. Tìm điểm $B(x_B;y_B)$ là điểm đối xứng với A qua d, cách làm như sau:

+ Tìm điểm $H(x_H;y_H)$ là hình chiếu vuông góc của A lên d:

Vì $H\in d\Rightarrow a{x}_H+b{y}_H+c=0$ (1)

Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(b;-a)$

$AH\perp d\Rightarrow \overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{u}$ 

$\Rightarrow b(x_H-x_A)-a(y_H-y_A)=0$ (2)

Giải hệ (1) và (2) ta được tọa độ điểm H.

+ Biết H là trung điểm của AB, từ đó tìm ra tọa độ của B:

$x_B=2x_H-x_A$

$y_B=2y_H-y_A$

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho đường thẳng d: x - y = 0 và điểm A(1; 3). Tìm điểm đối xứng với A qua d.

Lời giải:

Dễ thấy điểm A không thuộc đường thẳng d

Gọi điểm đối xứng với A qua d là A’(x’; y’)

Gọi $H(x_0;y_0)$ là hình chiếu của điểm A trên đường đường thẳng d.

Ta có: $H\in d\Rightarrow x_0-y_0=0\Rightarrow x_0=y_0$ (1)

Mặt khác: Vectơ pháp tuyến của d là  $\overrightarrow{n}=(1;-1)\Rightarrow$ Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(1;1)$

Có $\overrightarrow{u}=(1;1)$ 

$AH\perp d\Rightarrow \overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{u}$

$\Rightarrow 1(x_0-1)+1(y_0-3)=0$

$\iff x_0+y_0-4=0$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow 2x_0=4\iff x_0=2$

$\Rightarrow x_0=y_0=2\Rightarrow H(2;2)$

Có H là trung điểm của AA’ nên: 

$\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=2.2-1\\ y\text{'}=2.2-3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\text{'}=3\\ y\text{'}=1\end{array}\right.\Rightarrow A\text{'}(3;1)$

Bài 2: Cho điểm M(2; -3). Tìm điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng  d: -2x + y = 0.

Lời giải:

Dễ thấy điểm M không thuộc đường thẳng d

Gọi điểm đối xứng với M qua d là M’(x’; y’)

Gọi $H(x_0;y_0)$ là hình chiếu của điểm M trên đường đường thẳng d.

Ta có: $H\in d\Rightarrow -2x_0+y_0=0$ (1)

Mặt khác: Vectơ pháp tuyến của d là $\overrightarrow{n}=(-2;1)$ 

$\Rightarrow$ Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(1;2)$

Có $MH\perp d\Rightarrow \overrightarrow{MH}\perp \overrightarrow{u}$ 

$\Rightarrow 1(x_0-2)+2(y_0+3)=0$

$\iff x_0+2y_0=-4$ (2)

Từ (1) và (2) 

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}-2x_0+y_0=0\\ x_0+2y_0=-4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_0=\frac{-4}{5}\\ y_0=\frac{-8}{5}\end{array}\right.$

$\Rightarrow H(\frac{-4}{5};\frac{-8}{5})$

Có H là trung điểm của MM’ nên: 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x\text{'}=2.\frac{-4}{5}-2\\ y\text{'}=2.\frac{-8}{5}+3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\text{'}=\frac{-18}{5}\\ y\text{'}=-\frac{1}{5}\end{array}\right. \\ \Rightarrow M\text{'}(\frac{-18}{5};-\frac{1}{5}) \end{gathered}$$

Bài 3: Cho điểm B(1; 4). Điểm B’ đối xứng với B qua d: 4x – 5y + 1 = 0. Tìm B’.

Lời giải:

Dễ thấy điểm B không thuộc vào đường thẳng d.

Gọi điểm đối xứng với B qua d là B’(x’; y’)

Gọi $H(x_0;y_0)$ là hình chiếu của điểm B trên đường đường thẳng d.

Ta có: $H\in d\Rightarrow 4x_0-5y_0=-1$ (1)

Mặt khác: Vectơ pháp tuyến của d là $\overrightarrow{n}=(4;-5)$ 

$\Rightarrow$ Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(5;4)$

Có $BH\perp d\Rightarrow \overrightarrow{BH}\perp \overrightarrow{u}$ 

$\Rightarrow 5(x_0-1)+4(y_0-4)=0$

$\iff 5x_0+4y_0=21$ (2)

Từ (1) và (2) 

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}4x_0-5y_0=-1\\ 5x_0+4y_0=21\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_0=\frac{101}{41}\\ y_0=\frac{89}{41}\end{array}\right. \\ \Rightarrow H(\frac{101}{41};\frac{89}{41}) \end{gathered}$$

Có H là trung điểm của BB’ nên: 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x\text{'}=2.\frac{101}{41}-1\\ y\text{'}=2.\frac{89}{41}-4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\text{'}=\frac{161}{41}\\ y\text{'}=\frac{14}{41}\end{array}\right. \\ \Rightarrow B\text{'}(\frac{161}{41};\frac{14}{41}) \end{gathered}$$

IV. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho đường thẳng d: x - y = 0 và điểm M(1; 3). Tìm hình chiếu của M trên d?

A. (1; 3)    B. (2; 2)    C. ( 3; -1)    D. (4; -1)

Lời giải

+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên a - b = 0 (1)

+ Ta có: MH→(a - 1; b - 3).

Đường thẳng MH vuông góc d nên (MH) ⃗ cùng phương n_d→(1; -1)

⇒  ⇔ -a + 1 = b - 3 hay a + b = 4 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ : 

⇒ Tọa độ điểm H(2; 2).

Chọn B.

Câu 2: Cho đường thẳng d: x + 2y + 4 = 0 và điểm M(1; 3). Gọi M’ (x; y) là điểm đối xứng với M qua d. Tính 2x - y?

A. 1    B. 2    C. 0    D. -1

Lời giải

+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên a + 2b + 4 = 0 (1)

+ Ta có: (MH) ⃗(a - 1; b - 3).

Đường thẳng MH vuông góc d nên MH→ cùng phương n_d→(1;2)

⇒  ⇔ 2a - 2 = b - 3 hay 2a - b = -1 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ : 

⇒ Tọa độ điểm H(-1,2; -1,4).

+ Gọi M’đối xứng với M qua d thì H là trung điểm MM’ nên tọa độ điểm M’:

Vậy M’(-3,4; - 5,8) ⇒ 2x - y = -1

Chọn D.

Câu 3: Cho đường thẳng d: 2x- y= 0 và điểm M(1 ; 0). Gọi M’ (x; y) là điểm đối xứng với M qua d. Tính 4x + 3y?

A. 1    B. 2    C. 0    D. -1

Lời giải

+ Gọi H(a ; b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên 2a- b= 0 (1)

+ Ta có: MH→(a - 1; b).

Đường thẳng MH vuông góc d nên MH→ cùng phương n_d→(2; -1)

⇒  ⇔ -a + 1 = 2b hay a + 2b = 1 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ : 

⇒ Tọa độ điểm H(0,2; 0,4).

+ Gọi M’đối xứng với M qua d thì H là trung điểm MM’ nên tọa độ điểm M’:

Vậy M’(-0,6; 0,8) ⇒ 4x + 3y = 0

Chọn C.

Câu 4: Cho đường thẳng d:  = 1 và điểm A(2; 0). Tìm điểm đối xứng với điểm A qua d?

A. (2; -1)    B. (-2; -1)    C. (-1; 1)    D. (-1; 3)

Lời giải

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được :

 = 1

⇒ Điểm A thuộc đường thẳng d nên điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d là chính nó.

Chọn C.

Câu 5: Cho đường thẳng (d): x + y - 3 = 0 và điểm M(2; 1) thuộc (d). Tập hợp những điểm A( x; y) sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng nào?

A. x + y - 4 = 0    B. x + y - 1 = 0    C. x - y - 1 = 0    D. x - y + 3 = 0

Lời giải

+ Đường thẳng (d) có VTPT n→( 1; 1).

+ Vecto MA→( x - 2; y - 1).

Do M là hình chiếu của A trên d nên MA vuông góc d

⇒ Hai vecto MA→ và n→ cùng phương

⇔  ⇔ x - 2 = y - 1 hay x - y - 1 = 0

Vậy tập hợp những điểm A sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng:
∆: x- y- 1= 0

Chọn C.

Câu 6. Cho tam giác OBC có O(0; 0) ; B( 0; 2) và C(-2; 0). Gọi G là trọng tâm tam giác OBC. Tìm điểm G’ đối xứng với G qua BC?

A. G’( -  ;-  )    B. G’(  ; -  )    C. G’(  ;  )    D. G’( -  ;  )

Lời giải

+ ta có: OB→(0; 2); OC→( -2; 0)

⇒ OB= 2; OC= 2 và OB→.OC→ = 0.(-2) + 2.0 = 0

⇒ OB vuông góc OC và OB= OC

⇒ Tam giác OBC vuông góc tại O.

+ Do G là trọng tâm tam giác OBC nên tọa độ điểm G:

 ⇒ G(-  ;  )

+ Gọi M là trung điểm của BC. Do tam giác OBC là vuông cân tại O nên đường trung tuyến OM đồng thời là đường cao nên OM vuông góc BC tại M.

⇒ G’ đối xứng với G qua BC nên M là trung điểm của GG’.

- M là trung điểm BC nên tọa độ điểm M:  ⇒ M(-1; 1)

- M là trung điểm GG’nên tọa độ điểm G’ là:

 ⇒ G’( -  ;  )

⇒ Vậy tọa độ điểm G’( -  ;  )

Chọn D.

Câu 7: Cho đường thẳng d: x + 4y + 4 = 0 và điểm M(1; 2). Gọi M’ (x; y) là điểm đối xứng với M qua d. Tìm M’?

A. M’(  ; -  )    B. M’(  ;  )    C. M’(-  ;  )    D. M’(-  ; -  )

Lời giải

+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên a + 4b + 4 = 0 (1)

+ Ta có: MH→(a - 1; b - 2).

Đường thẳng MH vuông góc d nên MH→ cùng phương n_d→(1;4)

⇒  ⇔ 4a - 4 = b - 2 hay 4a – b = 2 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ : 

⇒ Tọa độ điểm H( ;  ).

+ Gọi M’ đối xứng với M qua d thì H là trung điểm MM’ nên tọa độ điểm M’:

Vậy M’(-  ; -  )

Chọn D.

Câu 8: Cho đường thẳng d: x + y - 2 = 0 và điểm M(1 ;0). Gọi M’ (x; y) là điểm đối xứng với M qua d. Tìm tọa độ điểm M’?

A. (0; 2)    B. (-2; 1)    C. (2; 1)    D. (-1; 2)

Lời giải

+ Gọi H(a ; b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên a+ b- 2= 0 (1)

+ Ta có: MH→(a - 1; b).

Đường thẳng MH vuông góc d nên MH→ cùng phương n_d→(1 ; 1)

⇒  ⇔ a - 1 = b hay a - b = 1 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ : 

⇒ Tọa độ điểm H(1,5; 0,5).

+ Gọi M’đối xứng với M qua d thì H là trung điểm MM’ nên tọa độ điểm M’:

Vậy M’(2; 1)

Chọn C.

Câu 9: Cho đường thẳng d:  = 1 và điểm A(-2; 1). Tìm điểm đối xứng với điểm A qua d?

A. (2; -1)    B. (-2; -1)    C. (-2; 1)    D. (-1; 3)

Lời giải

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được :

 = 1

⇒ Điểm A thuộc đường thẳng d nên điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d là chính nó.

Chọn C.

Câu 10: Cho đường thẳng (d): 2x + 3y - 3 = 0 và điểm M(0; 1) thuộc (d). Tập hợp những điểm A( x; y) sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng nào?

A. 2x + 3y - 4 = 0    B. 3x - 2y + 2 = 0    C. 3x - 2y - 1 = 0    D. 2x - 3y + 3 = 0

Lời giải

+ Đường thẳng (d) có VTPT n→(2; 3).

+ Vecto MA→( x; y - 1).

Do M là hình chiếu của A trên d nên MA vuông góc d

⇒ Hai vecto MA→ và n→ cùng phương

⇔  ⇔ 3x = 2y - 2 hay 3x - 2y + 2 = 0

Vậy tập hợp những điểm A sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng:
∆: 3x - 2y + 2 = 0

Chọn B.

Câu 11. Cho tam giác OBC có O(0; 0) ; B( 0; 6) và C(-6; 0). Gọi G là trọng tâm tam giác OBC. Tìm điểm G’ đối xứng với G qua BC?

A. G’( -  ;-  )    B. G’( -1; 1)    C. G’(-2; 2)    D. G’(-4; 4)

Lời giải

+ ta có: OB→(0; 6); OC→( -6; 0)

⇒ OB= 6; OC= 6 và OB→.OC→ = 0.(-6) + 6.0 = 0

⇒ OB vuông góc OC và OB= OC

⇒ Tam giác OBC vuông góc tại O.

+ Do G là trọng tâm tam giác OBC nên tọa độ điểm G:

 ⇒ G( -2; 2)

+ Gọi M là trung điểm của BC. Do tam giác OBC là vuông cân tại O nên đường trung tuyến OM đồng thời là đường cao nên OM vuông góc BC tại M.

⇒ G’ đối xứng với G qua BC nên M là trung điểm của GG’.