Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (HAY NHẤT 2024) gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 10 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Phương pháp giải Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (HAY NHẤT 2024)

I. Lý thuyết tổng hợp

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là gì?

- Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm M(x’; y’). Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d được kí hiệu là d(M; d) và $d(M;d)=\frac{\left|ax\text{'}+by\text{'}+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

- Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng Δ chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường thẳng d về dạng tổng quát.

- Cho hai điểm M(x; y) và N(x’; y’), khoảng cách giữa M và N là: $MN=\sqrt{{(x\text{'}-x)}^2+{(y\text{'}-y)}^2}$

II. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

- Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm M(x’; y’), ta có:

$d(M;d)=\frac{\left|ax\text{'}+by\text{'}+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

- Cho hai điểm M(x; y) và N(x’; y’), ta có:

$MN=\sqrt{{(x\text{'}-x)}^2+{(y\text{'}-y)}^2}$

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho một đường thẳng có phương trình có dạng d: – x + 3y + 1 = 0. Hãy tính khoảng cách từ Q (2; 1) tới đường thẳng d.

Lời giải:

Ta có:

$d(Q;d)=\frac{\left|-2+3.1+1\right|}{\sqrt{{(-1)}^2+3^2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$

Bài 2: Cho một đường thẳng có phương trình có dạng d’: 2x + 2y + 5 = 0. Tính khoảng cách từ M (2; 3) tới đường thẳng d’.

Lời giải:

Ta có:

$d(M;d\text{'})=\frac{\left|2.2+2.3+5\right|}{\sqrt{2^2+2^2}}=\frac{15\sqrt{2}}{4}$

Bài 3: Cho hai điểm A(2; 7) và B(1; 3). Tính độ dài đoạn thẳng AB.

Lời giải:

Ta có:

$AB=\sqrt{{(1-2)}^2+{(3-7)}^2}=\sqrt{17}$

IV. Bài tập vận dụng

Bài 1. Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng (a): x - 3y + 4 = 0 và
(b): 2x + 3y - 1 = 0 đến đường thẳng ∆: 3x + y + 16 = 0 bằng:

A. 2√10    

B. 

C. 

D. 2

Lời giải

Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng ( a) và ( b) tọa độ điểm A là nghiệm hệ phương trình :

 ⇒ A( -1; 1)

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là :

d( A; ∆) =  = 

Chọn C

Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A( 1; 2) ; B(0; 3) và C(4; 0) . Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A bằng:

A.     

B. 3    

C.     

D. 

Lời giải

+ Phương trình đường thẳng BC:

⇒ ( BC) : 3(x - 0) + 4( y - 3) = 0 hay 3x + 4y - 12 = 0

⇒ chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

d( A; BC) =  = 

Chọn A.

Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; -4); B(1; 5) và C(3;1) . Tính diện tích tam giác ABC.

A. 10    

B. 5    

C. √26    

D. 2√5

Lời giải

+ Phương trình BC:

⇒Phương trình BC: 2( x - 1) + 1( y - 5) = 0 hay 2x + y - 7 = 0

⇒ d( A;BC) =  = √5

+ BC =  = 2√5

⇒ diện tích tam giác ABC là: S =  .d( A; BC).BC =  .√5.2√5 = 5

Chọn B.

Bài 4. Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng d₁ : 4x - 3y + 5 = 0 và
d₂: 3x + 4y – 5 = 0, đỉnh A( 2; 1). Diện tích của hình chữ nhật là:

A. 1.    

B. 2    

C. 3    

D. 4

Lời giải

+ Nhận xét : điểm A không thuộc hai đường thẳng trên.

⇒ Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ A(2; 1) đến hai đường thẳng trên, do đó diện tích hình chữ nhật bằng

S =  = 2 .

Chọn B.

Câu 5: Khoảng cách từ A(3; 1) đến đường thẳng  gần với số nào sau đây ?

A. 0, 85                    B. 0,9                       C. 0,95                    D. 1

Lời giải:

Đáp án: B

Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:

(d): 

=> ( d): 2(x - 1) + 1( y - 3) = 0 hay 2x + y - 5 = 0

=> d(A, d) =  ≈ 0,894

Câu 6: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng 4x - 3y + 5 = 0 và
3x + 4y + 5 = 0 đỉnh A(2; 1) . Diện tích của hình chữ nhật là

A. 6                     B. 2                       C. 3                           D. 4

Lời giải:

Đáp án: A

+ Khoảng cách từ đỉnh A(2; 1) đến đường thẳng 4x - 3y + 5 = 0 là  = 2

+ Khoảng cách từ đỉnh A(2; 1) đến đường thẳng 3x + 4y + 5 = 0 là  = 3

=> Diện tích hình chữ nhật bằng 2.3 = 6

Câu 7: Tính diện tích hình bình hành ABCD biết A( 1; -2) ; B( 2; 0) và D( -1; 3)

A. 6                      B. 4,5                       C. 3                       D. 9

Lời giải:

Đáp án: D

+ Đường thẳng AB: 

=> Phương trình AB: 2(x - 1) – 1(y + 2) = 0 hay 2x – y - 4 = 0

+ độ dài đoạn AB: AB =  = √5

Khoảng cách từ D đến AB: d( D; AB)=  = 

=> Diện tích hình chữ nhật ABCD là S = AB.d( D; AB) = √5. = 9

Câu 8: Tính khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳn (d) : x + y - 2 = 0 và
( ∆) : 2x + 3y - 5 = 0 đến đường thẳng (d’) : 3x - 4y + 11 = 0

A. 1                   B. 2                     C. 3                       D. 4

Lời giải:

Đáp án: B

+ Giao điểm A của hai đường thẳng d và ∆ là nghiệm hệ phương trình

 => A( 1; 1)

+ Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d’) là :

d( A; d’) =  = 2 

Câu 9: Cho một đường thẳng có phương trình có dạng d: – x + 3y + 1 = 0. Hãy tính khoảng cách từ Q (2; 1) tới đường thẳng d.

Lời giải:

Ta có:

$d(Q;d)=\frac{\left|-2+3.1+1\right|}{\sqrt{{(-1)}^2+3^2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$

Câu 10: Cho một đường thẳng có phương trình có dạng d’: 2x + 2y + 5 = 0. Tính khoảng cách từ M (2; 3) tới đường thẳng d’.

Lời giải:

Ta có:

$d(M;d\text{'})=\frac{\left|2.2+2.3+5\right|}{\sqrt{2^2+2^2}}=\frac{15\sqrt{2}}{4}$

Câu 11: Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng (a): x - 3y + 4 = 0 và
(b): 2x + 3y - 1 = 0 đến đường thẳng ∆: 3x + y + 16 = 0 bằng:

A. 2√10    

B. 

C. 

D. 2

Lời giải

Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng ( a) và ( b) tọa độ điểm A là nghiệm hệ phương trình :

 ⇒ A( -1; 1)

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là :

d( A; ∆) =  = 

Chọn C

Câu 12: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A( 1; 2) ; B(0; 3) và C(4; 0) . Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A bằng:

A.     

B. 3    

C.     

D. 

Lời giải

+ Phương trình đường thẳng BC:

⇒ ( BC) : 3(x - 0) + 4( y - 3) = 0 hay 3x + 4y - 12 = 0

⇒ chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

d( A; BC) =  = 

Chọn A.

Câu 13: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; -4); B(1; 5) và C(3;1) . Tính diện tích tam giác ABC.

A. 10    

B. 5    

C. √26    

D. 2√5

Lời giải

+ Phương trình BC:

⇒Phương trình BC: 2( x - 1) + 1( y - 5) = 0 hay 2x + y - 7 = 0

⇒ d( A;BC) =  = √5

+ BC =  = 2√5

⇒ diện tích tam giác ABC là: S =  .d( A; BC).BC =  .√5.2√5 = 5

Chọn B.

Câu 14: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng d₁ : 4x - 3y + 5 = 0 và
d₂: 3x + 4y – 5 = 0, đỉnh A( 2; 1). Diện tích của hình chữ nhật là:

A. 1.    

B. 2    

C. 3    

D. 4

Lời giải

+ Nhận xét : điểm A không thuộc hai đường thẳng trên.

⇒ Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ A(2; 1) đến hai đường thẳng trên, do đó diện tích hình chữ nhật bằng

S =  = 2 .

Chọn B.

V. Bài tập tự luyện 

Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng $\Delta :\left\{\begin{array}{l}x=5+3t\\ y=-5-4t\end{array}\right.$. 

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, tìm điểm M thuộc trục Ox sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆: 3x + y – 3= 0 bằng $\sqrt{10}$.

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; – 2) và đường thẳng ∆: x + y – 4 = 0.

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆. 

b) Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(– 1; 0) và song song với ∆. 

c) Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(0; 3) và vuông góc với ∆. 

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(– 2; – 1). 

a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC. 

b) Tính diện tích tam giác ABC. 

Bài 5: Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong các trường hợp sau:

a) A(- 3; 1) và ∆₁: 2x + y – 4 = 0;

b) B(1; - 3) và .

Bài 6: Cho một đường thẳng có phương trình có dạng d: –2x + 4y + 1 = 0. Tính khoảng cách từ P(0; 1) tới đường thẳng d.

Bài 7: Cho một đường thẳng có phương trình có dạng d: x + 5y + 1 = 0. Tính khoảng cách từ M(5; 6) tới đường thẳng d.

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác: 

Công thức xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Công thức xác định tâm và bán kính của đường tròn hay, chi tiết nhất

Công thức viết phương trình đường tròn

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Công thức xác định tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, độ dài trục lớn, trục bé của Elip