Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức tính góc giữa hai đường thẳng (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 10 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Công thức tính góc giữa hai đường thẳng (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

I. Lý thuyết tổng hợp

- Góc giữa hai đường thẳng là góc $\alpha$được tạo bởi hai đường thẳng d và d’ có số đo  $0^o\le \alpha \le {90}^o$. Khi d song song hoặc trùng với d’, ta quy ước góc giữa chúng bằng $0^o$.

- Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương hoặc hai vectơ pháp tuyến của chúng.

II. Các công thức

- Cho hai đường thẳng d và d’ có vectơ chỉ phương lần lượt là: $\overrightarrow{u}=(a;b)$ và $\overrightarrow{u\text{'}}=(a\text{'};b\text{'})$. Góc giữa hai đường thẳng được xác định bởi:

$\cos (d,d\text{'})=\left|cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u\text{'}})\right|=\frac{\left|a.a\text{'}+b.b\text{'}\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{a{\text{'}}^2+b{\text{'}}^2}}$

- Cho hai đường thẳng d và d’ có vectơ pháp tuyến lần lượt là: $\overrightarrow{n}=(a;b)$ và $\overrightarrow{n\text{'}}=(a\text{'};b\text{'})$. Góc giữa hai đường thẳng được xác định bởi:

$\cos (d,d\text{'})=\left|cos(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n\text{'}})\right|=\frac{\left|a.a\text{'}+b.b\text{'}\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{a{\text{'}}^2+b{\text{'}}^2}}$

- Gọi k và k’ lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng d và d’. Ta có:

$\tan (d,d\text{'})=\left|\frac{k-k\text{'}}{1+k.k\text{'}}\right|$

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Tính góc giữa hai đường thẳng d: 3x + y - 2 = 0 và d’: 2x - y + 3 = 0.

Lời giải:

Hai đường thẳng d và d’ có các vectơ pháp tuyến lần lượt là: $\overrightarrow{n}=(3;1)$ và $\overrightarrow{n\text{'}}=(2;-1)$. Ta có:

$$\begin{gathered} \cos (d,d\text{'})=\left|cos(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n\text{'}})\right| \\ =\frac{\left|3.2+1.(-1)\right|}{\sqrt{3^2+1^2}.\sqrt{2^2+{(-1)}^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \Rightarrow (d,d\text{'})={45}^o \end{gathered}$$

Bài 2: Tính góc giữa hai đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=1+3t\end{array}\right.$và d’: $\left\{\begin{array}{l}x=4+t\\ y=2+t\end{array}\right.$.

Lời giải:

Hai đường thẳng d và d’ có các vectơ chỉ phương lần lượt là: $\overrightarrow{u}=(2;3)$ và $\overrightarrow{u\text{'}}=(1;1)$. Ta có:

$$\begin{gathered} \cos (d,d\text{'})=\left|cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u\text{'}})\right| \\ =\frac{\left|2.1+3.1\right|}{\sqrt{2^2+3^2}.\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{5\sqrt{26}}{26} \\ \Rightarrow (d,d\text{'})\approx {11}^{o}18\text{'} \end{gathered}$$

Bài 3: Cho hai đường thẳng d và d’ có hệ số góc lần lượt là 3 và -1. Tính góc giữa d và d’.

Lời giải:

Ta có:

$$\begin{gathered} \tan (d,d\text{'})=\left|\frac{3-(-1)}{1+3.(-1)}\right|=2 \\ \Rightarrow (d,d\text{'})\approx {63}^{o}26\text{'} \end{gathered}$$

IV. Bài tập vận dụng 

Bài 1: Tính góc giữa hai đường thẳng d: 5x + 2y - 1 = 0 và d’: 2x - y + 7 = 0.

Bài 2: Cho hai đường thẳng d và d’ có hệ số góc lần lượt là -2 và -1. Tính góc giữa d và d’.

Bài 3: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , AB = a , AD = . SA = a và SA vuông góc (ABCD) .

1) Chứng minh (SBC) vuông góc (SAB) và (SCD) vuông góc (SAD)

2) Tính góc giữa (SCD) và (ABCD)

Bài 4: Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam giác đều và vuông góc (ABC).

1) Xác định chân đường cao H kẻ từ S của hình chóp .

2) Chứng minh (SBC) vuông góc (SAC) .

3) Gọi I là trung điểm SC, chứng minh (ABI) vuông góc (SBC)

Bài 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là a. Gọi I là trung điểm BC

1) Chứng minh (SBC) vuông góc (SAI) .

2) Biết góc giữa (SBC) và (ABC) là 60 độ. Tính chiều cao SH cua hình chóp.

Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a.

1) Tính độ dài đường cao hình chóp.

2) M là trung điểm SC. Chứng minh (MBD) vuông góc (SAC).

3) Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp.

Bài 7: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB = 2a ,

AD = CD =a , cạnh SA vuông góc với đáy và SA = a.

1) Chứng minh (SAD) vuông góc (SCD) và (SAC) vuông góc (SBC).

2) Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD). Tính tan φ .

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . SA = a và SA vuông

góc (ABCD). Tính góc giữa (SBC) và (SCD)

Bài 8: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a  , SA = SB = SC= a .

1) Chứng minh (SBD) vuông góc (ABCD)

2) Chứng minh tam giác SBD vuông .

Bài 9: Cho tam giác đều ABC cạnh a , I là trung điểm BC và D là điểm đối xứng với A

qua I . Dựng  và SD vuông góc (ABC) . Chứng minh :

1) (SAB) vuông góc (SAC) .

2) (SBC) vuông góc (SAD)

Bài 10: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và . Có SA = SB = 

1) Chứng minh (SAC) vuông góc (ABCD) và SB vuông góc BC .

2) Tính tang của góc giữa (SBD) và (ABCD) .

Bài 11: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc nhau . Gọi I là trung điểm AB .

1) Chứng minh (SAD) vuông góc (SAB) .

2) Tính góc giữa SD và (ABCD) .

3) Gọi F là trung điểm AD . Chứng minh (SCF) vuông góc (SID) .

Bài 12

Cho hình chóp S.ABC, SA vuông góc ABC

a) Xác định góc giữa (ABC) và (SBC)

b) Giả sử tam giác ABC vuông tại B xác định góc giữa hai mp (ABC) và (SBC)

Bài 13: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=SB=SC=SD=a. Tính cosin của góc giữa (SAB) và (SAD).

V. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Cạnh AB = a nằm trong mặt phẳng(P), cạnh AC = a√2 , AC tạo với (P) một góc 60°. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. (ABC) tạo với (P) góc 45°

B. BC tạo với (P) góc 30°

C. BC tạo với (P) góc 45°

D. BC tạo với (P) góc 60°

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên mặt phẳng (P)

Câu 2: Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD. Gọi I là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây sai ?

A. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là góc ∠AIB

B. (BCD) ⊥ (AIB)

C. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) là góc ∠CBD

D. (ACD) ⊥ (AIB)

Lời giải:

Chọn C

Xét phương án C:

Ta có: 

Nên đáp án C sai

Câu 3: Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ (ABC) và AB ⊥ BC , gọi I là trung điểm BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc nào sau đây?

A. Góc SBA.          B. Góc SCA.          C. Góc SCB.          D. Góc SIA.

Lời giải:

Chọn A

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA ⊥ (ABCD), gọi O là tâm hình vuông ABCD. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc ∠ABS

B. Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là góc ∠SOA

C. Góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) là góc ∠SDA

D. (SAC) ⊥ (SBD)

Lời giải:

Chọn C

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Biết SO ⊥ (ABCD), SO = a√3 và đường tròn ngoại tiếp ABCD có bán kính bằng a. Gọi α là góc hợp bởi mặt bên (SCD) với đáy. Khi đó tanα = ?

Lời giải:

Chọn D

Gọi M là trung điểm của CD

Do bán kính đường tròn ngoại tiếp ABCD có bán kính a nên R = OA = a ⇒ AC = 2a ⇒ AB = AD = a√2

Câu 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2AB. Góc giữa (SAB) và (ABC) bằng α. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

Lời giải:

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC

Gọi CO ∩ AB = H suy ra H là trung điểm AB (vì ΔABC đều)

Câu 7: Trong không gian cho tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi H; K lần lượt là trung điểm của AB, CD. Ta có tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) bằng :

Lời giải:

Ta có:

Vì H là trung điểm của AB

⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ d (vì d // AB)

⇒ d ⊥ SK (theo định lý ba đường vuông góc)

Do đó: ∠KSH = α là góc giữa (SAB) và (SCD)

Mà SH là đường cao trong tam giác SAB đều cạnh a ⇒ SH = a√3/2

Xét tam giác SHK vuông tại H có:

Vậy chọn đáp án B

Câu 8: Cho hình lập phương ABCD.A₁B₁C₁D₁ . Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (A₁D₁CB) và (ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. α = 45°              B. α = 30°              C. α = 60°              D. α = 90°

Lời giải:

Chọn đáp án A

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có tâm O và SA ⊥ (ABCD). Khẳng định nào sau đây sai ?

A. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc ∠ABS

B. (SAC) ⊥ (SBD)

C. Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là góc ∠SOA

D. Góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) là góc ∠SDA

Lời giải:

   Chọn D

Câu 10: Cho tứ diện đều ABCD . Tính của góc giữa hai mặt (ABC) và (ACD) .

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của AC khi đó BH ⊥ AC, DH ⊥ AC

Lại có: (ABC) ∩ (ACD) = AC

⇒ Góc giữa hai mặt (ABC) và (ACD)của tứ diện bằng ∠BHD

Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc ∠ABC = 60°. Các cạnh SA ; SB ; SC đều bằng a(√3/2) . Gọi φ là góc của hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) . Giá trị tanφ bằng bao nhiêu?

A. 2√5               B. 3√5                C. 5√3                D. Đáp án khác

Lời giải:

Do AB = BC và ∠ABC = 60° nên tam giác ABC đều

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD)

Do SA = SB = SC nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Chọn D

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. AB = 2a; AD = DC = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a√2. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

A. (SBC) ⊥ (SAC)

B. Giao tuyến của (SAB) và (SCD) song song với AB

C. (SDC) tạo với (BCD) một góc 60°

D. (SBC) tạo với đáy một góc 45°

Lời giải:

Vậy chọn C

Câu 13: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = AA’ = a; AD = 2a. Gọi α là góc giữa đường chéo A’C và đáy ABCD. Tính α .

A. α ≈ 20°45'               B. α ≈ 24°5'               C. α ≈ 30°18'               D. α ≈ 25°48'

Lời giải:

Chọn B.

Từ giả thiết ta suy ra: AA' ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của A’C lên mặt phẳng (ABCD)

⇒ (A'C, (ABCD)) = (A'C, AC) = ∠A'CA = α

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác ABC vuông tại B ta có:

AC² = AB² + BC² = a² + 4a² = 5a² ⇒ AC = a√5 .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác AA’C vuông tại A ta có:

Câu 14: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Xét mặt phẳng (A’BD). Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Góc giữa mặt phẳng ( A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng α mà tanα = 1/√2 .

B. Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng α mà tanα = 1/√3

C. Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương phụ thuộc vào kích thước của hình lập phương.

D. Góc giữa mặt phẳng ( A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng nhau.

Lời giải:

ABCD.A'B'C'D' là hình lặp phương nên hình chiếu của tam giác A’BD lên các mặt chứa các cạnh của hình lặp phương là các tam giác bằng nhau.

Gọi S₁ là diện tích các tam giác này

Lại có S₁ = S_AD'B.cosα

⇒ Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng nhau.

Vậy chọn đáp án D

Câu 15: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao SH bằng cạnh đáy. Tính số đo góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy.

A. 30°             B. 45°             C. 60°             D. 75°

Lời giải:

Chọn C

+ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC

Vì tam giác ABC là tam giác đều cạnh a nên tính được : AN = a(√3)/2

Từ giả thiết suy ra H là trọng tậm tam giác ABC

+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SHA vuông tại H ta có:

Câu 16: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a√2 và chiều cao bằng a√2/2 . Tính số đo của góc giữa mặt bên và mặt đáy.

A. 30°             B. 45°             C. 60°             D. 75°

Lời giải:

Chọn B

Giả sử hình chóp đã cho là S.ABCD có đường cao SH.

Ta có: (ABCD) ∩ (SCD) = CD

Gọi M là trung điểm của CD

+ Ta có: SH ⊥ CD và HM ⊥ CDnên CD ⊥(SHM)

SM ⊥ CD .

((ABCD), (SCD)) = (HM, SM) = ∠SMH

Mặt khác: HM là đường trung bình của tam giác ACD nên HM = (1/2)AD = a√2/2

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SHM vuông tại H , ta có :

Chọn B

Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a√3 . Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

Lời giải:

Ta có SB = SD = 2a

⇒ ΔSCD = ΔSCB (c.c.c)

⇒ Chân đường cao hạ từ B và D đến SC của hai tam giác đó trùng nhau và độ dài đường cao bằng nhau; BH = DH

Lại có BH = DH và O là trung điểm BD nên HO ⊥ BD hay tam giác HOB vuông tại O

Chọn đáp án C

Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng bao nhiêu?

A. 30°             B. 45°             C. 90°             D. 60°

Lời giải:

Ta có: SC ⊥ BD (vì BD ⊥ AC, BD ⊥ SA)

Trong mặt phẳng (SAC) , kẻ OI ⊥ SC thì ta có SC ⊥ (BID)

Khi đó ((SCB), (SCD)) = ∠BID

Trong tam giác SAC, kẻ đường cao AH thì AH = a(√2/√3)

Mà O là trung điểm AC và OI // AH nên OI = a/√6

Tam giác IOD vuông tại O có ∠OID = √3 ⇒ ∠OID = 60°

Vậy hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) hợp với nhau một góc 60°

Chọn D.

Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA ⊥ (ABCD); SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau góc 60°.

A. x = 3a/2              B. x = a/2              C. x = a             D. x = 2a

Lời giải:

* Trong (SAB) dựng AI ⊥ SB ta chứng minh được AI ⊥ (SBC)   (1)

Trong (SAD) dựng AJ ⊥ SD ta chứng minh được AJ ⊥ (SCD)   (2)

Từ (1) và (2) ⇒ góc ((SBC), (SCD)) = (AI, AJ) = ∠IAJ

* Ta chứng minh được AI = AJ. Do đó, nếu góc ∠IAJ = 60° thì ΔAIJ đều ⇒ AI = AJ = IJ

Tam giác SAB vuông tại A có AI là đường cao

Chọn C

Câu 20: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥ (ABC). Gọi E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC . Góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và (SBC) là :

A. ∠CSF             B. ∠BSF              C. ∠BSE             D. ∠CSE

Lời giải:

Ta có: E và F lần lượt là trung điểm của AB và AC nên EF là đường trung bình của tam giác: EF // BC

Góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và (SBC) là : ∠BSE

Chọn C

Câu 21: . Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và nằm trong mặt phẳng (P). Trên các đường thẳng vuông góc với (P) tại B và C lần lượt lấy D; E nằm trên cùng một phía đối với (P) sao cho BD = a(√3/2), CE = a√3 . Góc giữa (P) và (ADE) bằng bao nhiêu?

A. 30°             B. 60°             C. 90°             D. 45°

Lời giải:

Suy ra tam giác ADE cân tại D.

Gọi H là trung điểm AE, ta có

Chọn B

Xem các phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác: 

Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Công thức xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Công thức xác định tâm và bán kính của đường tròn hay, chi tiết nhất

Công thức viết phương trình đường tròn

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn