Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng song song (HAY NHẤT 2024) gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 10 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Công thức xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng song song (HAY NHẤT 2024)

I. Lý thuyết tổng hợp

- Cho hai đường thẳng d và d’ song song với nhau. Khoảng cách hai đường thẳng này bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của đường thẳng này đến đường thẳng kia.

- Để tính khoảng cách hai đường thẳng song song ta cần:

+ Đưa phương trình hai đường thẳng về dạng tổng quát.

+ Lấy một điểm A bất kì thuộc đường thẳng d.

+ Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d’ .

+ Kết luận: d(d; d’) = d(A; d’) .

II. Các công thức

- Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và d’: ax + by + c’  (d // d’).

+ Lấy điểm A(x’; y’) thuộc d

+ Tính khoảng cách từ A đến d’, có: $d(d;d\text{'})=d(A;d\text{'})=\frac{\left|ax\text{'}+by\text{'}+c\text{'}\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

III. Ví dụ minh họa

Bài 1:  Cho hai đường thẳng song song là d: 3x + 2y + 1 = 0 và d’: 3x + 2y - 1 = 0. Tìm khoảng cách giữa d và d’.

Lời giải:

Có điểm A(-1; 1) thuộc đường thẳng d: 3x + 2y + 1 = 0

Ta có:

$$\begin{gathered} d(d;d\text{'})=d(A;d\text{'}) \\ =\frac{\left|3.(-1)+2.1-1\right|}{\sqrt{3^2+2^2}}=\frac{2\sqrt{13}}{13} \end{gathered}$$

Bài 2: Cho hai đường thẳng song song là d: x + 5y – 1 = 0 và d’: x + 5y + 4 = 0. Tìm khoảng cách giữa d và d’.

Lời giải:

Có điểm A(-4; 1) thuộc đường thẳng d: x + 5y – 1 = 0

Ta có: 

$$\begin{gathered} d(d;d\text{'})=d(A;d\text{'}) \\ =\frac{\left|-4+5.1+4\right|}{\sqrt{1^2+5^2}}=\frac{5\sqrt{26}}{26} \end{gathered}$$

Bài 3: Cho hai đường thẳng song song là d: 3x + 4y + 2 = 0 và d’: 3x + 4y + 4 = 0. Tìm khoảng cách giữa d và d’.

Lời giải:

Có điểm A(2; -2) thuộc đường thẳng d: 3x + 4y + 2= 0

Ta có:

$$\begin{gathered} d(d;d\text{'})=d(A;d\text{'}) \\ =\frac{\left|3.2+4.(-2)+4\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{2}{5} \end{gathered}$$

IV. Bài tập vận dụng 

Bài 1: Cho hai đường thẳng song song là d: 6x + 8y + 9 = 0 và d’: 6x + 8y + 7 = 0. Tìm khoảng cách giữa d và d’.

Bài 2: Cho hai đường thẳng song song là d: x + y + 2 = 0 và d’: x + y + 5 = 0. Tìm khoảng cách giữa d và d’.

Bài 3:  Cho hai đường thẳng d: x + y - 4 = 0 và đường thẳng ∆:  . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng này?

Bài 4: Cho đường thẳng d: x - 2y + 2 = 0 . Phương trình các đường thẳng song song với d và cách d một đoạn bằng √5 là

Bài 5: Cho đường thẳng d: 3x + 4y + 1 = 0. Có 2 đường thẳng d₁ và d₂ cùng song song với d và cách d một khoảng bằng 1. Hai đường thẳng đó có phương trình là:

Bài 6:  Khoảng cách giữa 2 đường thẳng (a): 7x + y - 3 = 0 và (b): 7x + y + 12 = 0 là

Bài 7: Cho đường thẳng d: 3x - 4y + 2 = 0. Có đường thẳng a và b cùng song song với d và cách d một khoảng bằng 1. Hai đường thẳng đó có phương trình là:

Bài 8: Cho đường thẳng d: 2x - 3y + 6 = 0 và đường thẳng ∆: 4x - 6y + 20 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ // d sao cho khoảng cách hai đường thẳng d’ và ∆ là √13

Bài 9:  Cho tam giác ABC có B( - 2; 1) và C( 2; 0). Điểm A thuộc đường thẳng
d: x+ 4y- 10= 0 .Tính diện tích tam giác ABC.

V. Bài tập tự luyện

Câu 1: Khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆: 6x - 8y - 101 = 0 và d: 3x - 4y = 0 là:

A. 10, 1    B. 1,01    C. 12    D. √101 .

Hướng dẫn giải

+ Ta có: 

⇒ Hai đường thẳng đã cho song song với nhau: d // ∆.

+ Lấy điểm O( 0;0) thuộc đường thẳng d.

+ Do hai đường thẳng d và ∆ song song với nhau nên

d(∆; d) = d ( O; ∆) =  = 10,1

Chọn A.

Câu 2: Tập hợp các điểm cách đường thẳng ∆: 3x - 4y + 2 = 0 một khoảng bằng 2 là hai đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A. 3x - 4y + 8 = 0 hoặc 3x - 4y + 12 = 0.    B. 3x - 4y - 8 = 0 hoặc 3x - 4y + 12 = 0.

C. 3x - 4y - 8 = 0 hoặc 3x - 4y - 12 = 0.    D. 3x - 4y + 8 = 0 hoặc 3x - 4y - 12 = 0.

Lời giải

Gọi điểm M (x ; y) là điểm cách đường thẳng ∆ một khoảng bằng 2. Suy ra :

d(M(x; y); Δ) = 2 ⇔  = 2

|3x - 4y + 2| = 10 ⇒ 

Vậy tập hợp các điểm cách ∆ một khoảng bằng 2 là hai đường thẳng :

3x - 4y + 12 = 0 và 3x - 4y - 8 = 0

Chọn B.

Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d₁: 5x + 3y - 3 = 0 và d₂: 5x + 3y + 7 = 0 song song nhau. Đường thẳng d vừa song song và cách đều với d₁; d₂ là:

A. 5x + 3y - 2 = 0    B. 5x + 3y + 4 = 0    C. 5x + 3y + 2 = 0    D. 5x + 3y - 4 = 0

Lời giải

Lấy điểm M ( x; y) thuộc đường thẳng d. Suy ra:

d(M(x; y); d₁)=d(M(x; y); d₂) ⇔ 

⇔ 

Đường thẳng d: 5x + 3y + 2 song song với hai đường thẳng d₁ và d₂.

Vậy đường thẳng d thỏa mãn là: 5x + 3y + 2 = 0

Chọn C.

Câu 4: Cho đường thẳng d:  và đường thẳng ∆:  . Tính khoảng cách hai đường thẳng này.

A. 1    B. 0.    C. 2    D. 3

Lời giải

+ Đường thẳng d: 

⇒ Phương trình d: 3(x - 2) – 2(y + 1) = 0 hay 3x - 2y - 8 = 0

+ Đường thẳng ∆: 

⇒ Phương trình ∆: 3(x - 0) – 2(y + 4) = 0 hay 3x - 2y - 8 = 0

⇒ hai đường thẳng này trùng nhau nên khoảng cách hai đường thẳng này là 0.

Chọn B.

Câu 5: Cho hai đường thẳng d: x + y - 2 = 0 và đường thẳng ∆:  . Viết phương trình đường thẳng d’// d sao cho khoảng cách hai đường thẳng d’ và ∆ là √2.

A. x + y - 1 = 0    B. x + y + 1= 0    C. x + y - 3 = 0    D. Cả B và C đúng.

Lời giải

+ Do đường thẳng d’// d nên đường thẳng d có dạng (d’) : x + y + c = 0( c ≠ -2)

+ Đường thẳng ∆: 

⇒ Phương trình ∆: 1(x + 2) + 1(y - 3) = 0 hay x + y - 1 = 0.

+ Lấy điểm M ( 1; 0) thuộc ∆.

Để khoảng cách hai đường thẳng d’ và ∆ bằng 2 khi và chỉ khi:

d( d’; ∆) = d( M; d’) = 2

⇔  = √2 ⇔ |1 + c| = 2

⇔

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : x + y + 1 = 0 và x + y - 3 = 0

Chọn D.

Câu 6: Cho tam giác ABC có B( 1; -2) và C( 0; 1). Điểm A thuộc đường thẳng
d: 3x+ y= 0 .Tính diện tích tam giác ABC.

A. 1    B. 3    C. 0,5    D. 2

Lời giải

+ Phương trình đường thẳng BC:

⇒ Phương trình BC: 3(x - 1) + 1(y + 2) = 0 hay 3x + y - 1 = 0 .

+ ta có; BC =  = √10

+ Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và BC:

Ta có:  ⇒ d // BC.

Mà điểm A thuộc d nên d( A; BC) = d( d; BC) . (1)

+ Ta tính khoảng cách hai đường thẳng d và BC.

Lấy điểm O(0; 0) thuộc d.

⇒ d(d; BC) = d(O;BC) =  =  ( 2)

Từ ( 1) và ( 2) suy ra d( A; BC) =  .

+ Diện tích tam giác ABC là S =  d( A,BC).BC =  . .√10 = 0, 5

Chọn C.

 Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác: 

Công thức xác định tâm và bán kính của đường tròn hay, chi tiết nhất

Công thức viết phương trình đường tròn

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Công thức xác định tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, độ dài trục lớn, trục bé của Elip

Công thức viết phương trình chính tắc của Elip