Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệuPhương pháp giải Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (HAY NHẤT 2024) gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 10 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Phương pháp giải Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (HAY NHẤT 2024)

I. Lý thuyết tổng hợp

Định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn:

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính tại điểm đó thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

- Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

- Từ một điểm trên đường tròn ta có duy nhất một tiếp tuyến đi qua điểm đó. Từ một điểm ngoài đường tròn, ta có hai tiếp tuyến với đường tròn đi qua điểm đó.

II. Các công thức về Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

- Cho đường tròn (C): ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$ hoặc $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$. Điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc đường tròn (C).

+ Nếu phương trình đường tròn có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ thì phương trình tiếp tuyến là: $x{x}_0+y{y}_0-a(x+x_0)-b(y+y_0)+c=0$.

+ Nếu phương trình đường tròn có dạng ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$ thì phương trình tiếp tuyến là: $(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=R^2$

- Cho đường tròn (C): ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$ hoặc $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$. Điểm $N(x_0;y_0)$ nằm ngoài đường tròn (C).

+ Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm N:

$y-y_0=m(x-x_0)\iff mx-y-m{x}_0+y_0=0$ (1)

+ Có $d(I,d)=R$ ta tính được m thay m vào phương trình (1) ta được phương trình tiếp tuyến. Ta luôn tìm được hai đường tiếp tuyến.

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho đường tròn (C): ${(x-1)}^2+y^2=18$. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(-2; 3).

Lời giải:

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(-2; 3) là:

Bài 2: Cho đường tròn (C): ${(x-1)}^2+{(y-1)}^2=5$. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm B(-1; 2).

Lời giải:

Phương trình tiếp tuyến của (C) là:

Bài 3: Cho đường tròn (C): ${(x-4)}^2+{(y+3)}^2=2$. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm C(4; 0).

Lời giải:

Gọi tiếp tuyến của (C) cần tìm là đường thẳng d

Ta có điểm C không thuộc đường tròn (C)

Phương trình đường thẳng đi qua điểm C là:

$$\begin{gathered} y-0=m(x-4) \\ \iff mx-4m-y=0 \end{gathered}$$

Tâm của đường tròn (C) là I(4; -3) và bán kính $R=\sqrt{2}$

Với $m=-\frac{\sqrt{14}}{2}$, có phương trình tiếp tuyến là: $\frac{\sqrt{14}}{2}x-4.\frac{\sqrt{14}}{2}-y=0$

$\iff \frac{\sqrt{14}}{2}x-y-2\sqrt{14}=0$

Với $m=-\frac{\sqrt{14}}{2}$, có phương trình tiếp tuyến là: $-\frac{\sqrt{14}}{2}x-4.\left(-\frac{\sqrt{14}}{2}\right)-y=0$

$\iff -\frac{\sqrt{14}}{2}x-y+2\sqrt{14}=0$

IV. Bài tập vận dụng

Câu 1: Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): x² + y² - 3x-y= 0 tại điểm N(1;-1) là:

A. d: x + 3y - 2 = 0    B. d: x - 3y + 4 = 0

C. d: x - 3y - 4 = 0    D. d: x + 3y + 2 = 0

Câu 2: Cho đường tròn( C): x² + y² - 2x + 8y - 23 = 0 và điểm M( 8; -3) . Độ dài đoạn tiếp tuyến của ( C) xuất phát từ M là :

A. 10    B. 2√10    C.     D. √10

Câu 3: Cho đường tròn ( C ) : x² + y² - 3x - y = 0. Phương trình tiếp tuyến của ( C) tại M(1 ; -1) là:

A. x + 3y - 1 = 0    B. 2x - 3y + 1 = 0    

C. 2x - y + 4 = 0    D. x + 3y + 2 = 0

Câu 4: Cho đường tròn (x - 3)² + (y - 1)² = 10. Phương trình tiếp tuyến của ( C) tại điểm A( 4; 4) là

A. x - 3y + 5 = 0    B. x + 3y - 4 = 0    

C. x - 3y + 16 = 0    D. x + 3y - 16 = 0

Câu 5: Cho đường tròn (x - 2)² + (y - 2)² = 9 . Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A( 5; -1) là

A. x + y - 4 = 0 và x - y - 2 = 0 .    

B. x = 5 và y = -1.

C. 2x - y - 3 = 0 và 3x + 2y - 3 = 0.    

D. 3x - 2y + 1 = 0 và 2x + 3y + 5 = 0

Câu 6: Cho đường tròn (C): x² + y² + 2x - 6y + 5 = 0 . Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d: x + 2y - 15 = 0 là

A. x + 2y = 0 và x + 2y - 10 = 0.    

B. x - 2y = 0 và x - 2y + 10 = 0.

C. x + 2y - 12 = 0 và x + 2y + 22 = 0    

D. x + 2y + 3 = 0 và x + 2y + 7 = 0

Câu 7: Cho đường tròn (C): ${(x-2)}^2+{(y-3)}^2=16$. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm B(2; 7).

Câu 8: Cho đường tròn (C): ${(x-4)}^2+{(y+3)}^2=25$. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm C(2; 3).

Câu 9: Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): x² + y² - 3x-y= 0 tại điểm N(1;-1) là:

A. d: x + 3y - 2 = 0    B. d: x - 3y + 4 = 0

C. d: x - 3y - 4 = 0    D. d: x + 3y + 2 = 0

Câu 10: Cho đường tròn( C): x² + y² - 2x + 8y - 23 = 0 và điểm M( 8; -3) . Độ dài đoạn tiếp tuyến của ( C) xuất phát từ M là :

A. 10    B. 2√10    C.     D. √10

Câu 11: Cho đường tròn ( C ) : x² + y² - 3x - y = 0. Phương trình tiếp tuyến của ( C) tại M(1 ; -1) là:

A. x + 3y - 1 = 0    B. 2x - 3y + 1 = 0    C. 2x - y + 4 = 0    D. x + 3y + 2 = 0

Câu 12: Cho đường tròn (x - 3)² + (y - 1)² = 10 . Phương trình tiếp tuyến của ( C) tại điểm A( 4; 4) là

A. x - 3y + 5 = 0    B. x + 3y - 4 = 0    C. x - 3y + 16 = 0    D. x + 3y - 16 = 0

Câu 13: Cho đường tròn (x - 2)² + (y - 2)² = 9 . Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A( 5; -1) là

A. x + y - 4 = 0 và x - y - 2 = 0 .    B. x = 5 và y = -1.

C. 2x - y - 3 = 0 và 3x + 2y - 3 = 0.    D. 3x - 2y + 1 = 0 và 2x + 3y + 5 = 0

Câu 14: Cho đường tròn (C): x² + y² + 2x - 6y + 5 = 0 . Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d: x + 2y - 15 = 0 là

A. x + 2y = 0 và x + 2y - 10 = 0.    B. x - 2y = 0 và x - 2y + 10 = 0.

C. x + 2y - 12 = 0 và x + 2y + 22 = 0    D. x + 2y + 3 = 0 và x + 2y + 7 = 0

Câu 15: Đường tròn ( C) có tâm I ( -1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng d: 3x - 4y + 5 = 0 tại điểm H có tọa độ là

A. ( -  ; -  )    B. ( ;  )    C. ( ; -  )    D. ( -  ;  )

Câu 16: Cho đường tròn (C) : x² + y² - 6x + 2y + 5 = 0 và đường thẳng
d: 2x + (m - 2)y – m - 7 = 0. Với giá trị nào của m thì d là tiếp tuyến của (C) ?

A. m = 3    B. m = 15    C. m = 13    D. m = 3 hoặc m = 13.

Câu 17: Cho đường tròn ( C) có tâm I(-1; 2), bán kính R = √29. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M biết điểm M thuộc đường thẳng d:  và tọa độ M nguyên?

A. x + 2y + 3 = 0    B. 2x + 5y + 21 = 0

C. 3x + 5y - 8 = 0    D. Đáp án khác\

V. Bài tập tự luyện 

Câu 1: Cho hàm số y = -2x³ + 6x² - 5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ bằng 3.

Lời giải:

Ta có y' = -6x² + 12x; y' (3) = -18; y(3) = -5

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 3 là

y = -18(x - 3) - 5 = -18x + 49

Câu 2: Cho hàm số (C):y = 1/4x⁴ - 2x². Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x⁰ > 0 biết rằng y'' (x₀ )= -1.

Lời giải:

Ta có y' = x³ - 4x; y'' = 3x² - 4

Vì y'' (x₀ ) = -1 ⇒ 3x₀² - 4 = -1 ⇒ x₀² = 1 ⇒ x₀ = 1 (Vì x₀ > 0)

Với x₀ = 1 ⇒ y₀ = -7/4 ; y₀' = -3. Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm M là:

y = -3(x - 1) - 7/4 = -3x + 5/4

Câu 3: Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y =(x - 5)/(-x + 1) tại điểm A của (C) và trục hoành. Viết phương trình của d.

Lời giải:

Hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là nghiệm của phương trình

(x - 5)/(-x + 1) = 0 ⇒ x = 5

Khi đó tọa độ điểm A = (5; 0)

ĐKXĐ x ≠ 1. Ta có y'= (-4)/(-x + 1)² ; y'(5) = -1/4

Phương trình đường thẳng d chính là phương trình tiếp tuyến tại điểm A(5;0) có dạng

y = -1/4 (x - 5) = -1/4 x + 5 /4

Câu 4: Cho đồ thị hàm số y = 3x - 4x² có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 3).

Lời giải:

Ta có y' = 3 - 8x

Gọi M(x₀ , y₀) là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng:

y = (3 - 8x₀ )(x - x₀ ) + 3x₀ - 4x₀²

Vì tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 3) nên ta có:

3 = (3 - 8x₀ )(1 - x₀ ) + 3x₀ - 4x₀²

Với x₀ = 0 thì  .

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3(x - 0) + 0 = 3x

Với x₀ = 2 thì  .

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -13(x - 2) - 10 = -13x + 16

Câu 5: Cho hàm số y = x³ - 3x² + 6x + 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi M(x₀,y₀) là tọa độ tiếp điểm.

Ta có y' = 3x² - 6x + 6

Khi đó y' (x₀ )=3x₀² - 6x₀ + 6 = 3(x₀² - 2x₀ + 2) = 3[(x₀ - 1)² + 1] ≥ 3

Vậy hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến là y' (x₀) = 3, dấu bằng xảy ra khi x₀ = 1

Với x₀ = 1 thì 

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3(x - 1) + 5 = 3x + 2

Câu 6: Cho hàm số (C):y = x³ - 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc bằng 9.

Lời giải:

Gọi M(x₀, y₀) là tọa độ tiếp điểm.

Ta có y' = 3x² - 3

Khi đó y'(x₀ ) = 3x₀₂ - 3 = 9 

Với x₀ = 2 thì 

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9(x - 2) + 4 = 9x - 14

Với x₀ = -2 thì .

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9(x + 2) + 0 = 9x + 18

Câu 7: Cho hàm số y = (-x + 5)/(x + 2) có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d:y = -1/7 x + 5/7

Lời giải:

ĐKXĐ: x ≠ -2. Ta có y' = (-7)/(x + 2)² .

Gọi tọa độ tiếp điểm là M(x₀, y₀)

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình d:y = -1/7 x + 5/7 nên ta có

Với 

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -1/7 (x - 5) + 0 = -1/7 x + 5/7 (loại).

Với x₀ = -9 

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -1/7 (x + 9) - 2 = -1/7 x - 23/7 (thỏa mãn).

Câu 8: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = -x⁴ - 2x² + 3 vuông góc với đường thẳng Δ: x - 8y + 2017 = 0

Lời giải:

Ta có y'= -4x³ - 4x.

Gọi tọa độ tiếp điểm là M(x₀, y₀)

Phương trình Δ:x - 8y + 2017 = 0 hay Δ: y = 1/8 x + 2017/8

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng có phương trình d:y = 1/8 x + 2017/8 nên ta có

y'(x₀ ) = -8 hay -4x₀³ - 4x₀ = -8 ⇔ x₀ = 1

Với 

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -8(x - 1) + 0 = -8x + 8 (thỏa mãn).

Câu 9: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 1/3 x³ + 1/2 x² - 2x + 1 và tiếp tuyến tạo với đường thẳng d:x + 3y - 1 = 0 một góc 45₀.

Lời giải:

Gọi tọa độ tiếp điểm là M(x₀, y₀).

Có y' = x₂ + x - 2

Phương trình đường thẳng d: x + 3y - 1 = 0 ⇔ y = -1/3 x + 1/3

Vì tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + 3y - 1 = 0 một góc 45⁰ nên ta có

Với 

. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

Với 

x₀ = 0 ⇒ y(x₀ )= 1. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y = -2(x - 0) + 1 = -2x + 1

x₀ = -1 ⇒ y(x₀ ) = 19/6. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y = -2(x + 1) + 19/6 = -2x + 7/6

Vậy các phương trình tiếp tuyến cần tìm là: ;

y = -2x + 1; y = -2x + 7/6