Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệuCông thức viết phương trình chính tắc của Elip (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 10 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Công thức viết phương trình chính tắc của Elip (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

I. Lý thuyết tổng hợp

- Định nghĩa: Cho hai điểm cố định $F_1$ và $F_2$ và một độ dài không đổi 2a lớn hơn $F_1{F}_2$. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho $F_{1}M+F_{2}M=2a$.

- Phương trình chính tắc của elip: Cho elip (E) có các tiêu điểm $F_1$ và $F_2$. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi $F_{1}M+F_{2}M=2a$. Chọn hệ trục tọa độ Oxy, cho $F_1$(-c; 0) và $F_2$(c; 0). Khi đó ta có:

M (x; y) $\in \left(E\right)\iff \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$. (1)  với $b^2=a^2-c^2$

Phương trình (1) là phương trình chính tắc của elip.

II. Các công thức

Từ các thông tin đề bài cho, ta tìm a, b dựa vào các công thức:

+ Hai tiêu điểm: $F_1$(-c; 0) và $F_2$(c; 0)

+ Bốn đỉnh: $A_1$(-a; 0), $A_2$(a; 0), $B_1$ (0; -b) và $B_2$(0; b)

+ Độ dài trục lớn: ${\text{A}}_1{\text{A}}_2=2a$

+ Độ dài trục nhỏ: $B_1{B}_2=2b$

+ Tiêu cự: $F_1{F}_2=2c$

+ Tâm sai của (E): $e=\frac{c}{a}<1$

+ $b^2=a^2-c^2$

Từ đó tìm ra a và b để viết phương trình chính tắc của elip: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Lập phương trình elip (E) biết độ dài trục lớn là 12, độ dài trục nhỏ là 6.

Lời giải:

Gọi các đỉnh của elip là: $A_1$(-a; 0), $A_2$(a; 0), $B_1$ (0; -b) và $B_2$(0; b)

Ta có độ dài trục lớn: ${\text{A}}_1{\text{A}}_2=2a=12\Rightarrow a=6$

Ta có độ dài trục nhỏ: $B_1{B}_2=2b=6\Rightarrow b=3$ 

Ta có phương trình chính tắc của elip: $\frac{x^2}{6^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\iff \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$.

Bài 2: Cho elip (E) có tiêu cự là 12 và tâm sai là 0,5 . Lập phương trình chính tắc của elip (E).

Lời giải:

Bài 3: Lập phương trình elip (E) biết độ dài trục lớn là 18, độ dài trục nhỏ là 10.

Lời giải:

Gọi các đỉnh của elip là: $A_1$(-a; 0), $A_2$(a; 0), $B_1$ (0; -b) và $B_2$(0; b)

Ta có độ dài trục lớn: ${\text{A}}_1{\text{A}}_2=2a=18\Rightarrow a=9$

Ta có độ dài trục nhỏ: $B_1{B}_2=2b=10\Rightarrow b=5$ 

Ta có phương trình chính tắc của elip: 

$\frac{x^2}{9^2}+\frac{y^2}{5^2}=1\iff \frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{25}=1$

IV. Bài tập vận dụng 

Bài 1: Lập phương trình elip (E) biết độ dài trục lớn là 20, độ dài trục nhỏ là 14.

Bài 2: Cho elip (E) có tiêu cự là 18 và tâm sai là 0,5. Lập phương trình chính tắc của elip (E).

Bài 3: Lập phương trình elip (E) biết độ dài trục lớn là 12, độ dài trục nhỏ là 6.

Bài 4: Cho elip (E) có tiêu cự là 12 và tâm sai là 0,5 . Lập phương trình chính tắc của elip (E).

Bài 5: Lập phương trình elip (E) biết độ dài trục lớn là 18, độ dài trục nhỏ là 10.

Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip ( E) có độ dài trục lớn bằng 12 và độ dài trục bé bằng 6. Phương trình nào sau đây là phương trình của elip (E)?

Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E) có độ dài trục lớn bằng 10 và độ dài tiêu cự bằng 6. Phương trình nào sau đây là phương trình của elip (E)?

Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E) có độ dài trục nhỏ bằng 8 và độ dài tiêu cự bằng 10. Phương trình nào sau đây là phương trình của elip (E)

Bài 9: Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng 4√3.

Bài 10: Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn bằng 6 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng 1/3 .

Bài 11: Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là

M( 4; 3)

Bài 12: Phương trình của Elip có độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng 6 là:

V. Bài tập tự luyện 

Câu 1: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó có tiêu cự bằng 2 và trục lớn bằng 10?

A.  = 1     B.  = 1

C.  = 1     D.  = 1

Lời giải:

Đáp án:A

Từ đề ta có:  ⇒ 

Từ công thức b² = a² - c² ⇒ b = 

Phương trình chính tắc của elip:      = 1

Câu 2: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó có tâm sai bằng  và độ dài trục lớn bằng 6?

A.  = 1     B.  = 1

C.  = 1     D.  = 1

Lời giải:

Đáp án: C

Giả sử elip có phương trình tổng quát là  = 1 (a,b > 0).

Do (E) có tâm sai bằng  và độ dài trục lớn bằng 6 nên ta có:

 ⇔  ⇔  ⇒ ( E ): = 1

Câu 3: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng 4√3

A.  = 1     B.  = 1

C.  = 1     D.  = 1

Lời giải:

Đáp án: C

Giả sử elip có phương trình tổng quát là  = 1 (a,b > 0).

Do (E) có trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng 4√3 nên :

 ⇔  ⇔  ⇔  ⇒ ( E ): = 1

Câu 4: Elip (E) có tiêu điểm F( 2√3;0) và diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng 32 có phương trình chính tắc là:

A.  = 1     B.  = 1

C.  = 1     D.  = 1

Lời giải:

Đáp án: B

Giả sử elip có phương trình tổng quát là  = 1 (a,b > 0).

Elip ( E) có tiêu điểm: F(2√3;0) nên c=2√3 => c2= 12.

Hình chữ nhật cơ sở có diện tích: S= ( 2a).(2b)= 4ab= 32 ⇔ ab= 8

⇔a².b² = 64 ⇔ a² ( a² – c²)= 64

⇔ a² ( a² – 12) = 64

⇔ a⁴—12a²- 64= 0

⇔ a²= 16 ⇒ b² = 4

Vậy phương tình elip là:      = 1

Câu 5:Lập phương trình chính tắc của elip biết độ dài trục lớn hơn độ dài trục nhỏ 4 đơn vị, độ dài trục nhỏ hơn độ dài tiêu cự 4 đơn vị.

A.  = 1     B.  = 1

C.  = 1     D.  = 1

Lời giải:

Đáp án: C

Elip ( E) có độ dài trục lớn hơn độ dài trục nhỏ 4 đơn vị nên:

2a - 2b = 4 hay a - b = 2 ⇔ a = b + 2 ( 1)

Elip ( E) có độ dài trục nhỏ hơn độ dài tiêu cự 4 đơn vị nên

2b - 2c = 4 ⇔ b - c = 2 ⇔ c = b - 2. ( 2)

Lại có: a²= b² + c² ( 3)

Thay (1), ( 2) vào ( 3) ta được

 = b² +  ⇔ b² + 4b+4= b² + b² – 4b+ 4

⇔ b² - 8b=0 ⇔ 

Với b = 8 thì a = b + 2 = 10

=> Phương trình chính tắc của Elip là:      = 1

Câu 6:Lập phương trình chính tắc của elip biết tỉ số giữa độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng √2, tổng bình phương độ dài trục lớn và tiêu cự bằng 64.

A.  = 1     B.  = 1

C.  = 1     D.  = 1

Lời giải:

Đáp án: A

+ Elip ( E) có tỉ số độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng √2 nên :

 = √2 ⇒ c =  ⇒ c² =  (1) .

+ Mặt khác, tổng bình phương độ dài trục lớn và tiêu cự bằng 64 nên:

( 2a)² + ( 2c)2 = 64 ⇔ 4a² + 4c² = 64

⇔ a² + c² = 16 (2)

Lại có: a²= b² + c² ( 3).

Giải hệ phương trình ( 1) ; ( 2) và (3) ta được :

c = 

Phương trình chính tắc của Elip là:     = 1

Câu 7:Elip có tổng độ dài hai trục bằng 18 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng  . Phương trình chính tắc của elip là

A.  = 1     B.  = 1

C.  = 1     D.  = 1

Lời giải:

Đáp án: A

Giả sử elip có phương trình tổng quát là  = 1 (a,b > 0).

+ Tổng độ dài hai trục của Elip là 18 nên :

2a + 2b = 18 ⇔ a + b = 9 ⇔ b = 9 - a (1)

Tiêu cự của Elip là 2c, độ dài trục lớn là 2a suy ra tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng  nên :  =  =  => c =  (2)

Mà a² - b² = c² ( 3)

Thay (1); ( 2) vào ( 3) ta được :

a² – (9 - a)² =  ⇔ a² – 81 + 18a – a² = 

⇔  -18a + 81 = 0 ⇔ 

+ Với a = 45 thì b = 9- 45 = - 36 < 0 loại.

+ Với a = 5 thì b= 9 - 5 = 4

Vậy phương trình cần tìm là:     = 1

Câu 8: Elip có tổng độ dài hai trục bằng 10 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng  . Phương trình chính tắc của elip là:

A.  = 1     B.  = 1

C.  = 1     D.  = 1

Lời giải:

Đáp án: D

Giả sử elip có phương trình tổng quát là  = 1 (a,b > 0).

+ Tổng độ dài hai trục của Elip là 2a + 2b = 10 ⇔ a + b = 5 ⇔ b = 5 - a ( 1)

+ Tiêu cự của Elip là 2c; độ dài trục lớn là 2a suy ra tỉ số:

 =  nên c =  ( 2)

Mà a² – b² = c² ( 3)

Thay (1);( 2) vào (3) ta được :

a² - ( 5 - a )² =  ⇔ a² – 25 + 10a – a²= 

⇔  - 10a+ 25 = 0 ⇔ 

+ Với a = 15 thì b = 5- 15 = - 10 < 0 loại.

+ Với a = 3 thì b = 5 - 3 = 2

Vậy phương trình cần tìm là:  = 1

Câu 9: Lập phương trình elip (E) biết độ dài trục lớn là 20, độ dài trục nhỏ là 14.

Câu 10: Cho elip (E) có tiêu cự là 18 và tâm sai là 0,5. Lập phương trình chính tắc của elip (E).

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác: 

Công thức xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Công thức xác định tâm và bán kính của đường tròn hay, chi tiết nhất

Công thức viết phương trình đường tròn

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Công thức xác định tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, độ dài trục lớn, trục bé của Elip