Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải bài tập Cách tính GTNN - GTLN của hàm số lượng giác (HAY NHẤT 2024) gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Cách tính GTNN - GTLN của hàm số lượng giác (HAY NHẤT 2024)

1. Lý thuyết

a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền $D\subset ℝ$.

-  Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\le M,\forall x\in D\\ \exists x_0\in D,f\left(x_0\right)=M\end{array}\right.$

- Số thực m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu $\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\ge m,\forall x\in D\\ \exists x_0\in D,f\left(x_0\right)=m\end{array}\right.$

b) Tính bị chặn của hàm số lượng giác:

$\begin{array}{l}-1\le \sin x\le 1\forall x\in ℝ\\ -1\le \cos x\le 1\forall x\in ℝ\end{array}$

2. Các dạng bài tập

Dạng 1. Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác

Phương pháp giải:

$-1\le \sin \left[u\left(x\right)\right]\le 1; 0\le {\sin }^2\left[u\left(x\right)\right]\le 1;$$0\le \left|\sin \left[u\left(x\right)\right]\right|\le 1$

$-1\le \cos \left[u\left(x\right)\right]\le 1; 0\le {\cos }^2\left[u\left(x\right)\right]\le 1;$$0\le \left|\cos \left[u\left(x\right)\right]\right|\le 1$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số:

a) y = sin2x + 3

b) y = 4sin2xcos2x +1

c) y = 5 – 3cos²3x

Lời giải

a) Ta có: $-1\le \sin 2x\le 1\forall x\in ℝ$

$\iff 2\le \sin 2x+3\le 4\forall x\in ℝ$

Vậy hàm số y = sin2x + 3 có giá trị lớn nhất là 4 và giá trị nhỏ nhất là 2.

b) y = 4sin2xcos2x +1 = 2sin4x + 1

Ta có: $-1\le \sin 4x\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff -2\le 2\sin 4x\le 2\forall x\in ℝ\\ \iff -1\le 2\sin 4x+1\le 3\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy hàm số y = 4sin2xcos2x +1 có giá trị lớn nhất là 3 và giá trị nhỏ nhất là -1.

c) Ta có: $0\le {\cos }^{2}3x\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff 0\le 3{\cos }^{2}3x\le 3\forall x\in ℝ\\ \iff -3\le -3{\cos }^{2}3x\le 0\forall x\in ℝ\\ \iff 2\le 5-3{\cos }^{2}3x\le 5\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy hàm số y = 5 – 3cos²3x có giá trị lớn nhất là 5 và giá trị nhỏ nhất là 2.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số:

a) $y=\sqrt{2-\sin 2x}$

b) y = cos2x + 4sinx - 5

c) y = 4|cos(3x-1)| + 1

Lời giải

a) Điều kiện xác định: $2-\sin 2x\ge 0\iff \sin 2x\le 2$ (Luôn đúng với mọi x)

Tập xác định D = R.

Ta có: $-1\le \sin 2x\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff -1\le -\sin 2x\le 1\forall x\in ℝ\\ \iff 1\le 2-\sin 2x\le 3\forall x\in ℝ\\ \iff 1\le \sqrt{2-\sin 2x}\le \sqrt{3}\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy hàm số $y=\sqrt{2-\sin 2x}$ có giá trị lớn nhất là $\sqrt{3}$ và giá trị nhỏ nhất là 1.

b) y = cos2x + 4sinx – 5

= 1 – 2sin²x + 4sinx – 5

= -2sin²x + 4sinx – 4

= -2(sin²x – 2sinx + 1) – 2

= -2(sinx – 1)² – 2

Ta có:  $-1\le \sin x\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff -2\le \sin x-1\le 0\forall x\in ℝ\\ \iff 0\le {\left(\sin x-1\right)}^2\le 4\forall x\in ℝ\\ \iff -8\le -2{\left(\sin x-1\right)}^2\le 0\forall x\in ℝ\\ \iff -10\le -2{\left(\sin x-1\right)}^2-2\le -2\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy hàm số y = cos2x + 4sinx – 5 có giá trị lớn nhất là -2 và giá trị nhỏ nhất là -10.

c) Ta có: $0\le \left|\cos \left(3x-1\right)\right|\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff 0\le 4\left|\cos \left(3x-1\right)\right|\le 4\forall x\in ℝ\\ \iff 1\le 4\left|\cos \left(3x-1\right)\right|+1\le 5\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy hàm số y = 4|cos(3x-1)| + 1 có giá trị lớn nhất là 5 và giá trị nhỏ nhất là 1.

Dạng 2. Hàm số có dạng y = asinx + bcosx + c (với a, b khác 0)

Phương pháp giải:

Bước 1: Ta đưa hàm số về dạng chỉ chứa sin[u(x)] hoặc cos[u(x)]:

y = asinx + bcosx + c$=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x\right)+c$

$\iff y=\sqrt{a^2+b^2}.\sin \left(x+\alpha \right)+c$ với $\alpha$ thỏa mãn

$\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}};\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Bước 2: Đánh giá $-1\le \sin \left(x+\alpha \right)\le 1\forall x\in ℝ$

$\iff -\sqrt{a^2+b^2}\le \sqrt{a^2+b^2}\sin \left(x+\alpha \right)$$\le \sqrt{a^2+b^2}\forall x\in ℝ$

$\iff -\sqrt{a^2+b^2}+c\le \sqrt{a^2+b^2}\sin \left(x+\alpha \right)+c$$\le \sqrt{a^2+b^2}+c\forall x\in ℝ$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

a) $y=\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x+1$

b) y = 3sinx + 4cosx + 6

Lời giải

a)

$\begin{array}{l}y=\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x+1\\ =2\left(\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x\right)+1\\ =2\left(\sin 2x\cos \frac{\pi }{3}-\cos 2x\sin \frac{\pi }{3}\right)+1\\ =2\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)+1\end{array}$

Ta có: $-1\le \sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff -2\le 2\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\le 2\forall x\in ℝ\\ \iff -1\le 2\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)+1\le 3\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy hàm số $y=\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x+1$ có giá trị lớn nhất là 3 và giá trị nhỏ nhất là -1.

b) y = 3sinx + 4cosx + 6$=5\left(\frac{3}{5}\sin x+\frac{4}{5}\cos x\right)+6$

Đặt $\cos \alpha =\frac{3}{5}$ và $\sin \alpha =\frac{4}{5}$ (vì ${\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=1$)

Ta được: $-1\le \sin \left(x+\alpha \right)\le 1\forall x\in ℝ$.

Ta có: $-1\le \sin \left(x+\alpha \right)\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff -5\le 5\sin \left(x+\alpha \right)\le 5\forall x\in ℝ\\ \iff 1\le 5\sin \left(x+\alpha \right)+6\le 11\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy hàm số y = 3sinx + 4cosx + 6 có giá trị lớn nhất là 11 và giá trị nhỏ nhất là 1.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

$y=\sqrt{3}\sin 2x+{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x+1$

Lời giải

$\begin{array}{l}y=\sqrt{3}\sin 2x+{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x+1\\ =\sqrt{3}\sin 2x-\left({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right)+1\\ =\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x+1\\ =2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x\right)+1\\ =2\left(\sin 2x\cos \frac{\pi }{6}-\cos 2x\sin \frac{\pi }{6}\right)+1\\ =2\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)+1\end{array}$

Ta có: $-1\le \sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff -2\le 2\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)\le 2\forall x\in ℝ\\ \iff -1\le 2\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)+1\le 3\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là 3 và giá trị nhỏ nhất là -1.

Dạng 3: Hàm số có dạng $y=\frac{a_1\sin x+b_1\cos x+c_1}{a_2\sin x+b_2\cos x+c_2}$

Lý thuyết: Phương trình $a\sin x+b\cos x=c$ có nghiệm khi $a^2+b^2\ge c^2$ (Lý thuyết có trong phần 7)

Phương pháp giải:

Bước 1: Điều kiện xác định: $a_2\sin x+b_2\cos x+c_2\ne 0$.

Bước 2: $y=\frac{a_1\sin x+b_1\cos x+c_1}{a_2\sin x+b_2\cos x+c_2}$

$\iff y{a}_2\sin x+y{b}_2\cos x+y{c}_2$$=a_1\sin x+b_1\cos x+c_1$

$\iff \left(y{a}_2-a_1\right)\sin x+\left(y{b}_2-b_1\right)\cos x$$=-y{c}_2+c_1$ (*)

Bước 3: Để phương trình (*) có nghiệm x thì

${\left(y{a}_2-a_1\right)}^2+{\left(y{b}_2-b_1\right)}^2\ge {\left(-y{c}_2+c_1\right)}^2$

Tìm đoạn chứa y, sau đó đưa ra kết luận về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y=\frac{\sin x+2\cos x+1}{\sin x+\cos x+2}$

Lời giải

Điều kiện xác định: $\sin x+\cos x+2\ne 0$

Ta có: sinx + cosx + 2

$\begin{array}{l}=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)+2\\ =\sqrt{2}\left(\sin x\cos \frac{\pi }{4}+\cos x\sin \frac{\pi }{4}\right)+2\\ =\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+2\ge -\sqrt{2}+2>0\end{array}$

Do đó $\sin x+\cos x+2\ne 0\forall x\in ℝ$.

Tập xác định: D = R.

Ta có $y=\frac{\sin x+2\cos x+1}{\sin x+\cos x+2}$

$\iff y\sin x+y\cos x+2y=\sin x+2\cos x+1$

$\iff \left(y-1\right)\sin x+\left(y-2\right)\cos x=1-2y$ (*)

Để phương trình (*) có nghiệm x thì ${\left(y-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2\ge {\left(1-2y\right)}^2$

$\begin{array}{l}\iff y^2-2y+1+y^2-4y+4\ge 1-4y+4y^2\\ \iff 2y^2+2y-4\le 0\\ \iff 2\left(y-1\right)\left(y+2\right)\le 0\end{array}$

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}y-1\ge 0\\ y+2\le 0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}y-1\le 0\\ y+2\ge 0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}y\ge 1\\ y\le -2\end{array}\right.\left(Loại\right)\\ \left\{\begin{array}{l}y\le 1\\ y\ge -2\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff -2\le y\le 1 \end{gathered}$$

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là 1 và giá trị nhỏ nhất là -2.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y=\frac{2\sin x-2\cos x}{\sin x-\cos x+3}$

Lời giải

Điều kiện xác định: $\sin x-\cos x+3\ne 0$

Ta có: sinx – cosx + 3

$\begin{array}{l}=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)+3\\ =\sqrt{2}\left(\sin x\cos \frac{\pi }{4}-\cos x\sin \frac{\pi }{4}\right)+3\\ =\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+3\ge -\sqrt{2}+3>0\end{array}$

Do đó $\sin x-\cos x+3\ne 0\forall x\in ℝ$.

Tập xác định: D = R.

Ta có: $y=\frac{2\sin x-2\cos x}{\sin x-\cos x+3}$

$\iff y\sin x-y\cos x+3y=2\sin x-2\cos x$

$\iff \left(y-2\right)\sin x-\left(y+2\right)\cos x=-3y$ (*)

Để phương trình (*) có nghiệm x thì ${\left(y-2\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2\ge {\left(-3y\right)}^2$

$\begin{array}{l}\iff y^2-4y+4+y^2+4y+4\ge 9y^2\\ \iff 7y^2\le 8\iff y^2\le \frac{8}{7}\iff \left|y\right|\le \sqrt{\frac{8}{7}}\\ \iff -\frac{\sqrt{56}}{7}\le y\le \frac{\sqrt{56}}{7}\end{array}$

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là $\frac{\sqrt{56}}{7}$ và giá trị nhỏ nhất là $-\frac{\sqrt{56}}{7}$.

3. Bài tập vận dụng

Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2sin5x – 1

A. min y = -3, max y = 3

B. min y = -1, max y = 1

C. min y = -1, max y=3

D. min y = -3, max y = 1

Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=1+3\cos \left(\frac{\pi }{4}-3x\right)$

A. min y = -2, max y = 4

B. min y = 2, max y = 4

C. min y = -2, max y = 3

D. min y = -1, max y = 4

Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\left|\cos \left(-2x^2+\frac{\pi }{3}\right)\right|+1$

 

A. max y = 1, min y = 0

B. max y = 2, min y = 0

C. max y = 1, min y = -1

D. max y = 2,  min y = 1

Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)+3$

 

A. min y = 2, max y = 5

B. min y = 1, max y = 4

C. min y = 1,max y = 5

D. min y = 1, max y = 3

Câu 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{2\sin x+3}$

A. $\max y=\sqrt{5}$, min y = 1

B. $\max y=\sqrt{5}$, $\min y=2\sqrt{5}$

C. $\max y=\sqrt{5}$, min y = 2

D. $\max y=\sqrt{5}$, min y = 3

Câu 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=3+2\sqrt{2+{\sin }^{2}2x}$

A. $\min y=3+2\sqrt{2},\max y=3+2\sqrt{3}$

B. $\min y=2+2\sqrt{2},\max y=3+2\sqrt{3}$

C. $\min y=3-2\sqrt{2},\max y=3+2\sqrt{3}$

D. $\min y=3+2\sqrt{2},\max y=3+3\sqrt{3}$

Câu 7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 – 2cos²3x

A. min y = 1, max y = 2

B. min y = 1, max y = 3

C. min y = 2, max y = 3

D. min y = -1, max y = 3

Câu 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin²x – 4sinx + 5

A. max y = 9, min y = 2

B. max y = 10, min y = 2

C. max y = 6, min y = 1

D. max y = 5, min y = 1

Câu 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos2x + 4cosx – 2

A. max y = 3, min y = -7

B. max y = -1, min y = -5

C. max y = 4, min y = -1

D. max y = 3,  min y = -5

Câu 10. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3sin x + 4cosx + 1

A. max y = 6, min y = -2

B. max y = 4, min y = -4

C. max y = 6, min y = -4

D. max y = 6, min y = -1

Câu 11. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{3}\cos x+\sin x+4$

A. min y = 2, max y = 4

B. min y = 2, max y = 6

C. min y = 4, max y = 6

D. min y = 2, max y = 8

Câu 12. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4sin 6x + 3cos 6x

A. min y = -5, max y = 5

B. min y = -4, max y = 4

C. min y = -3, max y = 5

D. min y = -6, max y = 6

Câu 13. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin²x + 3sin2x – 4cos²x

A. $\min y=-3\sqrt{2}-1,\max y=3\sqrt{2}+1$

B. $\min y=-3\sqrt{2}-1,\max y=3\sqrt{2}-1$

C. $\min y=-3\sqrt{2},\max y=3\sqrt{2}-1$

D. $\min y=-3\sqrt{2}-2,\max y=3\sqrt{2}-1$

Câu 14. Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x+2}$ là

A. 1

B. $\sqrt{2}$

C. $\frac{1}{2}$

D. 2

Câu 15. Gọi M, m lần lượt là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{\cos x+2\sin x+3}{2\cos x-\sin x+4}$. Giá trị của M+m là:

A. $\frac{20}{11}$

B. $\frac{24}{11}$

C. $\frac{4}{11}$

D. $\frac{15}{2}$

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
D	A	D	C	A	A	B	B	D	C	B	A	B	A	B

4. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= 1- 2|cos3x|.

A. M=3 ; m= - 1.

B. M= 1 ; m= -1.

C. M=2 ;m= -2.

D. M=0 ; m= -2.

Lời giải:.

Chọn B.

Với mọi x ta có : - 1 ≤ cos3x ≤ 1 nên 0 ≤ |cos3x| ≤ 1

⇒ 0 ≥ -2|cos3x| ≥ -2

Bài 2: Hàm số y= 1+ 2cos²x đạt giá trị nhỏ nhất tại x= x₀. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.x₀=π+k2π, kϵZ .

B.x₀=π/2+kπ, kϵZ .

C.x₀=k2π, kϵZ .

D.x₀=kπ ,kϵZ .

Lời giải:.

Chọn B.

Ta có - 1 ≤ cosx ≤ 1 ⇒ - 0 ≤ cos²x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 1+2cos²x ≤ 3

Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1 .

Dấu ‘=’ xảy ra khi cosx=0 ⇒ x=π/2+kπ, kϵZ .

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= sin2x+ 2cos2x.

A.M= 3 ;m= 0

B. M=2 ; m=0.

C. M=2 ; m= 1.

D.M= 3 ; m= 1.

Lời giải:.

Chọn C.

Ta có: y = sin² x+ 2cos²x = (sin²x+ cos²x) + cos²x = 1+ cos² x.

Do: -1 ≤ cosx ≤ 1 nên 0 ≤ cos² x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ cos² x+1 ≤ 2

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là M= 2 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là m= 1

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 4sinx - 3

A.M= 1; m= - 7

B. M= 7; m= - 1

C. M= 3; m= - 4

D. M=4; m= -3

Lời giải

Chọn A

Ta có : - 1 ≤ sinx ≤ 1 nên - 4 ≤ 4sinx ≤ 4

Suy ra : - 7 ≤ 4sinx-3 ≤ 1

Do đó : M= 1 và m= - 7

Bài 5: Tìm tập giá trị T của hàm số y= -2cos2x + 10 .

A. [5; 9]

B.[6;10]

C. [ 8;12]

D. [10; 14]

Lời giải:

Chọn C

Với mọi x ta có : - 1 ≤ cos⁡2x ≤ 1 nên-2 ≤ -2cos2x ≤ 2

⇒ 8 ≤ -2cos2x+10 ≤ 12

Do đó tập giá trị của hàm số đã cho là : T= [ 8 ;12]

Bài 6: Tính độ dài giá trị của hàm số y = 10 - 2cos2x

A. 10

B. 8

C.6

D. 4

Lời giải

Với mọi x ta có: - 1 ≤ cos2x ≤ 1 nên-2 ≤ -2cos2x ≤ 2

Suy ra: 8 ≤ 10-2cos2x ≤ 12

Do đó; tập giá trị của hàm số đã cho là: [8; 12] và độ dài đoạn giá trị của hàm số là : 12 – 8= 4

Chọn D.

Bài 7: Tính tổng giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số sau: y= √3 sin⁡( 2016x+2019)

A. - 4032

B. √3

C. -√3

D. 0

Lời giải:

Chọn D

Với mọi x ta có :- 1 ≤ sin⁡(2016x+2019) ≤ 1

⇒ -√3 ≤ √3sin⁡(2016x+2019) ≤ √3

Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là -√3 và giá trị lớn nhất của hàm số là √3

⇒ Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là - √3+ √3=0

Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= 1/(1+sinx)

A. m= 1/2

B. m= 1/√2

C. m= 1

D. m= √2

Lời giải:

Chọn A

Điều kiện xác định : sinx ≠ -1 hay x ≠ (- π)/2+k2π

+ Với mọi x thỏa mãn điều kiện ta có : - 1 0

+ Nếu mẫu 1+ sinx > 0 thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 1+ sinx đạt giá trị lớn nhất

Hay 1+ sinx=2 < ⇒ sinx= 1( thỏa mãn điều kiện) .

Khi đó ymin = 1/2

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là 1/2 khi sinx= 1

Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất M, giá trị nhỏ nhất m của hàm số: y= 2018sin( 9x+π/100)+2000

A. m=18 ; M=4018

B. m = -18; M= 18

C. m=-18; M= 4018

D. Đáp án khác

Lời giải:

Chọn C

Hàm số xác định trên R.

Với mọi x ta có: - 1 ≤ sin( 9x+π/100) ≤ 1 nên - 2018 ≤ 2018sin( 9x+π/100) ≤ 2018

⇒ -18 ≤ 2018sin( 9x+π/100)+2000 ≤ 4018

⇒ giá trị nhỏ nhất của hàm số là -18 khi sin( 9x+π/100)=-1

Giá trị lớn nhất của hàm số là 4018 khi sin( 9x+π/100)=1

Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= ∜sinx- √cosx.

A. m= -1; M=1.

B. m = 0; M=1

C. m= -1;M=0

D. m= -1 và M không tồn tại.

Lời giải:

Chọn A

Với mọi x thỏa mãn điều kiện : sinx > 0 và cosx > 0 .Ta có:

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là m= – 1 khi: (sinx=0 và cosx=1 ⇒ x= k2π.

Hàm số đạt giá trị lớn nhất là M=1 khi (sinx=1 và cosx=0 ⇒ x= π/2+k2π.

Bài 11. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : y= cos² x – 6cosx + 11. Tính M.m

A.30

B.36

C.27

D.24

Lời giải:

Ta có: cos² x – 6cosx +11 = ( cos²x – 6cosx + 9) +2 = (cosx -3)² + 2

Do - 1 ≤ cosx ≤ 1 ⇒ - 4 ≤ cosx-3 ≤ -2

⇒ 0 ≤ (cosx-3)^2 ≤ 16

⇒ 2 ≤ (cosx-3)^2+2 ≤ 18

Suy ra:M= 18 và m= 2 nên M. m= 36.

Chọn B.

Bài 12. Gọi M và lần lượt là giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của hàm số

y=(cosx+2sinx+3)/(2cosx-sinx+4). Tính S= M+11m

A.4

B.5

C. 6

D. 8

Lời giải:.

Gọi y₀ là một giá trị của hàm số.

Khi đó phương trình y₀=(cosx+2sinx+3)/(2cosx-sinx+4) có nghiệm.

⇒ y₀.( 2cosx- sinx + 4) = cosx +2sinx + 3 có nghiệm

⇒ 2y₀.cosx – sinx.y0 + 4y₀- cosx – 2sinx – 3=0 có nghiệm

⇒ ( 2y₀ -1)cosx – ( y₀+2).sinx =3- 4y₀ (*)

Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi :

(2y₀-1)² + ( y₀ + 2)² ≥ (3-4y₀)²

⇒ 4y₀² – 4y₀ +1 +y₀² +4y₀ + 4 ≥ 9-24y₀+16y₀²

⇒ 11y₀² – 24y₀ + 4 ≤ 0  2/11 ≤ y₀ ≤ 2

Suy ra: M=2 và m=2/11 nên S= M+ 11m= 4

Chọn A.

Bài 13. Cho hàm số y= √(1+2sin² x)+ √(1+2〖cos² x)-1. Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số. Khi đó; giá trị M+ m gần với giá trị nào nhất?

A. 3,23

B. 3,56

C. 2,78

D.2,13

Lời giải:

+ Xét t= √(1+2sin² x)+ √(1+2cos² x)

⇒ t² = 1+ 2sin² x+ 1+ 2cos² x+ 2. √((1+2sin² x).( 1+2cos² x) )

=4+2√(3+ sin² 2x)

Mà sin²2x ≥ 0 nên t² ≥ 4+ 2√3

Mà t > 0 nên t ≥ √(4+2√3) =1+ √3

Suy ra: y= t-1 ≥ √3

Dấu “=” xảy ra khi sin2x=0 .

+ Lại có:

√(1+2sin² x)+ √(1+2cos² x) ≤ √((1^2+ 1^2 ).( 1+2sin²x+ 1+2cos² x) )= 2√2

⇒ y= √(1+2sin² x)+ √(1+2cos² x)-1 ≤ 2√2-1

Dấu “=” xảy ra khi sin2 x= cos2x

Vậy {(m= √3 và M=2√2-1) ⇒ M+ m≈3,56

Chọn B.

Bài 14: Gọi M; m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=8sin²x+3cos2x . Tính P= M- 2m.

A. P = - 1

B. P = 1

C. P = 2

D. P = 0

Lời giải:

Chọn A.

Ta có: y = 8sin2 x + 3cos2x = 8sin2x + 3( 1 – 2sin2x ) = 2sin2x+ 3.

Mà -1 ≤ sinx ≤ 1 ⇒ 0 ≤ sin^x ≤ 1 ⇒ 3 ≤ 2sin^x+3 ≤ 5 ⇒ 3 ≤ y ≤ 5.

Suy ra: M= 5 và m= 3

Do đó: P = 5- 2.3= - 1

Bài 15:Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y= 4sin2x + 3.cos2x .

A. M= 3

B. M= 1

C. M= 5

D. M= 4

Lời giải:

Chọn C.

Ta có: y = 4sin2x+ 3cos2x = 5.( 4/5.sin2x+ 3/5 cos2x).

Đặt cosα= 4/5 và sinα= 3/5

Khi đó: y= 5( cosα.sin2x+sinα.cos2x)=5.sin⁡( α+2x)

⇒ - 5 ≤ y ≤ 5

Suy ra M= 5.

Bài 16:Gọi M ; m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= sin²x – 4sinx+ 5. Tính M+ m.

A.3

B.8

C.10

D.12

Lời giải:

Chọn D.

Ta có: y= sin²x – 4sinx+ 5= ( sinx- 2)² + 1.

Do: -1 ≤ sinx ≤ 1 nên-3 ≤ sinx-2 ≤ -1

⇒ 1 ≤ ( sinx-2)² ≤ 9 ⇒ 2 ≤ ( sinx-2)²+1 ≤ 10 .

Suy ra: M=10 và m = 2

Do đó; M+ m = 12

Bài 17:Cho hàm số y= cos²x- cosx có tập giá trị là T. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc T.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải:

Chọn C.

Ta có: cos²x- cosx = (cosx- 1/2)²- 1/4 .

Do - 1 ≤ cosx ≤ 1 nên (- 3)/2 ≤ cosx- 1/2 ≤ 1/2

⇒ 0 ≤ ( cosx- 1/2)² ≤ 9/4 ⇒ (- 1)/4 ≤ ( cosx- 1/2)²- 1/4 ≤ 2.

Do đó (- 1)/4 ≤ y ≤ 2. Vậy tập giá trị của hàm số là [(- 1)/4;2]

⇒ Trong đoạn [ -1/4;2] có ba giá trị nguyên thỏa mãn là 0; 1 và 2.

Do đó có 3 giá trị thỏa mãn.

Bài 18:Hàm số y= cos²x+ 2sinx+ 2 đạt giá trị nhỏ nhất tại x0. Mệnh đề nào sau đây là đúng.

A. x= (-π)/2+k2π.

B. x= π/2+k2π.

C. x= k π

D. x= k2π

Lời giải:

Chọn B.

Ta có: cos²x+ 2sinx+ 2 = 1- sin²x+ 2sinx + 2= - sin²x + 2sinx+ 3 = - (sinx-1)² + 4

Mà - 1 ≤ sinx ≤ 1 nên-2 ≤ sinx-1 ≤ 0

Suy ra: 0 ≤ ( sinx-1)² ≤ 4 ⇒ -4 ≤ - (sinx-1)² ≤ 0

⇒ 0 ≤ 4 - (sinx-1)² ≤ 4

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi sinx= 1 ⇒ x= π/2+k2π.

Bài 19:Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của hàm số y= sin⁴x -2 cos²x+ 1.

A.M= 2; m= - 2

B.M=1; m=0

C.M=4;m= - 1

D M=2;m= - 1

Lời giải:

Chọn D.

Ta có: sin⁴x- 2cos²x + 1= sin⁴x – 2( 1- sin²x) + 1

= sin⁴x + 2sin²x - 1 = ( sin² x +1)²2 - 2

Mà: 0 ≤ sin² x ≤ 1 nên 1 ≤ sin² x+1 ≤ 2

Suy ra: 1 ≤ ( sin² x+1)² ≤ 4 ⇒ -1 ≤ ( sin² x+1)²-2 ≤ 2 .

Nên M= 2; m= - 1

Bài 20:Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 4sin⁴x – cos4x.

A. - 3

B. - 1

C. 3

D. 5

Lời giải:

Chọn B.

Ta có: y= 4sin⁴x – cos4x= 4.((1-cos2x)/2)²-(2cos² 2x-1)

= 1- 2cos2x+ cos²2x – 2cos²x + 1

= - cos⁴2x - 2cos2x + 2 = - (cos2x+ 1)² + 3

Mà -1 ≤ cos2x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ cos2x+1 ≤ 2 ⇒ 0 ≤ (cos2x+1)² ≤ 4 ⇒ -1 ≤ -(cos2x+1)²+3 ≤ 3

Suy ra m= - 1.

Bài 21:Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 2( sinx - cosx). Tính P= M+ 2m.

A. 2

B. - 2√2

C. - √2

D. 4√2

Lời giải:

Chọn B

Ta có : 2( sinx- cosx)=2√2 sin⁡( x- π/4)

Với mọi x thì : - 1 ≤ sin⁡( x- π/4) ≤ 1

⇒ - 2√2 ≤ 2√2.sin⁡( x- π/4) ≤ 2√2

Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là M= 2√2 và m= -2√2

⇒ P= M+ 2m= - 2√2

Bài 22:Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= √(1- cos² x)+1là:

A. 2 và 1

B. 0 và 3

C. 1 và 3

D.1 và 1+ √2

Lời giải:

Ta có : √(1- cos² x)= √(sin² x)= |sinx|

Do đó; hàm số y= √(1- cos² x)+1=|sinx|+1

Với mọi x ta có: - 1 ≤ sinx ≤ 1 nên 0 ≤ |sinx| ≤ 1

⇒ 1 ≤ |sinx|+1 ≤ 2

⇒ giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 2 và 1.

Chọn A

Bài 23:Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 4sin² x+ 6cos²x+ 2 là

A. 4

B. 6

C. 8

D. 10

Lời giải:

Ta có: 4sin²x + 6cos² x+ 1= 2( 1- cos2x) + 3( 1+cos2x) + 2 = cos2x+ 7

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cos2x ≤ 1 nên 6 ≤ cos2x+7 ≤ 8

Suy ra: giá trị nhỏ nhất của hàm số là 6

Chọn B.

Bài 24:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau

A.max y=4,min y=3/4

B.max y=3,min y=2

C.max y=4,min y=2

D.max y=3,min y=3/4

Lời giải:

Đặt t=sin²x, 0 ≤ t ≤ 1 ⇒ cos2x=1-2t

⇒ y= 2t+(1-2t)²=4²-2t+1=(2t-1/2)²+3/4

Do 0 ≤ t ≤ 1 ⇒ -1/2 ≤ 2t-1/2 ≤ 3/2 ⇒ 0 ≤ (2t-1/2)² ≤ 9/4 ⇒ 3/4 ≤ y ≤ 3 .

Vậy max y=3 đạt được khi x=π/2+kπ .

min y=3/4 đạt được khi sin²x=1/4 .

Chọn D.

Bài 25:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3sinx + 4cosx + 1

A. max y=6,min y=-2

B. max y=4,min y=-44

C. max y=6,min y=-4

D.max y=6,min y=-1

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức bunhia- xcopski: (ac+bd)² ≤ (c²+d²)(a²+b²) .

Đẳng thức xảy ra khi a/c=b/d .

Ta có: (3sinx+4cosx)² ≤ (3²+4²)(sin²+cos²)=25

⇒ 5 ≤ 3sinx+4cosx ≤ 5 ⇒ -4 ≤ y ≤ 6

Vậy max y=6 , đạt được khi tanx=3/4 .

min y=-4 , đạt được khi tanx=-3/4.

Chọn C.

Bài 26:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y=2sin²x+3sin2x-4cos²x

A. min y= -3√2 -1, max y=3√2 +1

B. min y= -3√2 -1, max y=3√2 -1

C. min y= -3√2 , max y=3√2 -1

D. min y= -3√2 -2, max y=3√2 -1

Lời giải:

Ta có: y= 2sin² x + 3sin2x - 4cos²x

= 1 – cos2x + 3sin2x - 2( 1+ cos2x)

=3sin2x-3cos2x-1=3√2sin(2x-π/4)-1

Mà -1 ≤ sin(2x- π/4) ≤ 1 ⇒ - 3√2 ≤ 3√2sin⁡(2x- π/4) ≤ 3√2

⇒ - 3√2-1 ≤ 3√2sin⁡( 2x- π/4)-1 ≤ 3√2-1

Suy ra min y= -3√2 -1, max y=3√2 -1 .

Chọn B.

Bài 27:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sin²x+3sin2x+3cos²x

A. min y= 2+√10 , max y=2-√10

B. min y= 2+√5, max y=2+√5

C. min y= 2+√2, max y=2-√2

D. min y= 2+√7, max y=2-√7

Lời giải:

Ta có:

Áp dụng bất đẳng thức bunhia- xcopki ta có :

- √(3²+ 1² ) ≤ 3sin2x+cos2x ≤ √(3²+ 1² )

Suy ra : -√10 ≤ 3sin2x+cos2x ≤ √10

⇒ 2-√10 ≤ y ≤ 2+√10

Từ đó ta có được: maxy=2+√10;miny=2-√10.

Chọn A.

Bài 28:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y=sinx+ √(2-sin²)

A.min y= 0, max y=3

B.min y= 0, max y=4

C.min y= 0, max y=6

D.min y= 0, max y=2

Lời giải:

Ta có 0 ≤ y ∀x và y²=2+2sin√(2-sin²)

Mà 2|sin√(2-sin²)| ≤ sin²+2-sin²=2

Suy ra 0 ≤ y² ≤ 4 ⇒ 0 ≤ y ≤ 4

min y=0 đạt được khi x=-π/2+k2π

max y=2 đạt được khi x=π/2+k2π

Chọn D.

Bài 29:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y=(sin2x+2cos2x+3)/(2sin2x-cos2x+4)

A. min y= -2/11, max y=2

B. min y= 2/11, max y=3

C. min y= 2/11, max y=4

D. min y= 2/11, max y=2

Lời giải:

+ Áp dụng bất đẳng thức bunhia-xcopski ta có:

(2sin2x – cos2x)² ≤ (2²+(-1)²). ( sin²2x + cos²2x) = 5

⇒ -√5 ≤ 2sin2x-cos2x ≤ √5

⇒ 4-√5 ≤ 4+ 2sin2x-cos2x ≤ 4+√5

⇒ 4+ 2sin2x- cos2x > 0 với mọi x.

+ Ta có:

y=(sin2x+2cos2x+3)/(2sin2x-cos2x+4)

⇒ y. 2sin2x – y.cos2x + 4y = sin2x +2cos2x + 3

⇔ (2y-1)sin2x-(y+2)cos2x=3-4y (*)

Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi:

⇒ (2y-1)²+(y+2)² ≥ (3-4y)²

⇔ 11y²-24y+4 ≤ 0 ⇔ 2/11 ≤ y ≤ 2

Suy ra: min y= 2/11, max y=2 .

Chọn D.

Bài 30:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=(2sin²3x+4sin3xcos3x+1)/(sin6x+4cos6x+10)

A. min y= (11-9√7)/83, max y=(11+9√7)/83

B. min y= (22-9√7)/11, max y=(22+9√7)/11

C. min y= (33-9√7)/83, max y=(33+9√7)/83

D. min y= (22-9√7)/83, max y=(22+9√7)/83

Lời giải:

+Áp dụng bất đẳng thức bunhia- xcopski ta có:

( sin6x+4cos6x)² ≤ (1²+4²). ( sin²6x+ cos²6x)= 17

⇒ -√17 ≤ sin6x+4cos6x ≤ √17

⇒ sin6x+4cos6x+10 ≥ 10-√17 > 0 ∀x thuộc R

Do đó; hàm số xác định với mọi x.

+ ta có: y=(2sin6x-cos6x+2)/(sin6x+4cos6x+10)

⇒ (y-2)sin6x+(4y+1)cos6x=2-10y

Phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi:

⇒ (y  -2)²+(4y + 1)² ≥ (2 - 10y)² ⇔ 83y² - 44y - 1 ≤ 0

⇒ (22 - 9√7)/83 ≤ y ≤ (22+9√7)/83.

Suy ra: min y = (22 - 9√7)/83, max y = (22 + 9√7)/83

Chọn D.

 

Xem thêm các dạng Toán 11 hay, chọn lọc khác:

Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác và cách giải

Xét tính chẵn, lẻ, chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác và cách giải

Cách giải phương trình lượng giác cơ bản chi tiết nhất

Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác và cách giải

Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác và cách giải