Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Cách giải phương trình lượng giác cơ bản (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Cách giải phương trình lượng giác cơ bản (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

1. Lý thuyết

a) Phương trình sin x = m

Trường hợp 1: |m| > 1. Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: $\left|m\right|\le 1$. Phương trình có nghiệm.

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:

$$\begin{gathered} \sin x=m\iff \sin x=\sin \alpha \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=\pi -\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\right. \end{gathered}$$

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:

$\sin x=m\iff \left[\begin{array}{l}x=\arcsin m+k2\pi \\ x=\pi -\arcsin m+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\right.$

- Các trường hợp đặc biệt:

$\sin x=0\iff x=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

b) Phương trình cos x = m

Trường hợp 1: |m| > 1. Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: $\left|m\right|\le 1$. Phương trình có nghiệm.

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:

$$\begin{gathered} \cos x=m\iff \cos x=\cos \alpha \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=-\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\right. \end{gathered}$$

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:

$\cos x=m\iff \left[\begin{array}{l}x=\arccos m+k2\pi \\ x=-\arccos m+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\right.$

- Các trường hợp đặc biệt:

$\begin{array}{l}\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ \cos x=1\iff x=k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ \cos x=-1\iff x=\pi +k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

c) Phương trình: tan x = m. Điều kiện: $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:

$$\begin{gathered} \tan x=m\iff \tan x=\tan \alpha \\ \iff x=\alpha +k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:

$\tan x=m\iff x=\arctan m+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

d) Phương trình: cot x = m. Điều kiện: $x\ne k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ 

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:

$$\begin{gathered} \cot x=m\iff \cot x=\cot \alpha \\ \iff x=\alpha +k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:

$\cot x=m\iff x=\mathrm{arccot}m+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

e) Chú ý:

Nếu gặp bài toán yêu cầu tìm số đo độ của góc lượng giác sao cho sin (cos, tan, cot) của chúng bằng m.

Ví dụ: $\sin \left(x+20°\right)=\frac{1}{2}$ ta có thể áp dụng các công thức nghiệm nêu trên, lưu ý sử dụng kí hiệu số đo độ trong công thức nghiệm.

Đối với ví dụ trên ta viết: $\left[\begin{array}{l}x+20°=30°+k360°\\ x+20°=180°-30°+k360°\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

chứ không viết $\left[\begin{array}{l}x+20°=30°+k2\pi \\ x+20°=180°-30°+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

2. Phương pháp giải

Sử dụng công thức nghiệm cơ bản của phương trình lượng giác.

Mở rộng công thức nghiệm, với u(x) và v(x) là hai biểu thức của x.

$\sin u\left(x\right)=\sin v\left(x\right)\iff \left[\begin{array}{l}u\left(x\right)=v\left(x\right)+k2\pi \\ u\left(x\right)=\pi -v\left(x\right)+k2\pi \end{array}\right.$$\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\cos u\left(x\right)=\cos v\left(x\right)$$\iff u\left(x\right)=\pm v\left(x\right)+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\tan u\left(x\right)=\tan v\left(x\right)\iff u\left(x\right)=v\left(x\right)+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\cot u\left(x\right)=\cot v\left(x\right)\iff u\left(x\right)=v\left(x\right)+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

b) 3cos(x+1) = 1

c) $\tan \left(3x+15°\right)=\sqrt{3}$

d) $\cot \left(\frac{\pi }{3}-x\right)-1=0$

Lời giải

a) $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\begin{array}{l}\begin{array}{l}\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{3}\\ \iff \left[\begin{array}{l}x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x-\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ x=\pi +k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}\end{array}$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi ;x=\pi +k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

b) 3cos(x+1) = 1

$\begin{array}{l}\iff cos\left(x+1\right)=\frac{1}{3}\\ \iff x+1=\pm \arccos \frac{1}{3}+k2\pi \\ \iff x=-1\pm \arccos \frac{1}{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=-1\pm \arccos \frac{1}{3}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

c) Điều kiện xác định: $\cos \left(3x+15°\right)\ne 0$

$\begin{array}{l}\iff 3x+15°\ne 90°+k180°\\ \iff 3x\ne 75°+k180°\\ \iff x\ne 25°+k60°\left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Ta có: $\tan \left(3x+15°\right)=\sqrt{3}$

$\begin{array}{l}\iff \tan \left(3x+15°\right)=\tan 60°\\ \iff 3x+15°=60°+k180°\\ \iff 3x=45°+k180°\end{array}$

$\iff x=15°+k60°\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ (Thỏa mãn)

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=15°+k60°;k\in \mathbb{Z}$.

d) Điều kiện xác định:

$\sin \left(\frac{\pi }{3}-x\right)\ne 0\iff \frac{\pi }{3}-x\ne k\pi$$\iff x\ne \frac{\pi }{3}-k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\begin{array}{l}\cot \left(\frac{\pi }{3}-x\right)-1=0\\ \iff \cot \left(\frac{\pi }{3}-x\right)=1\\ \iff \cot \left(\frac{\pi }{3}-x\right)=\cot \frac{\pi }{4}\\ \iff \frac{\pi }{3}-x=\frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}$

$\iff x=\frac{\pi }{12}-k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ (Thỏa mãn)

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{12}-k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) $\sin \left(3x-\frac{3\pi }{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{6}-x\right)$

b) cos5x – sinx = 0

c) $\cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)+\sin \left(\frac{\pi }{3}-x\right)=0$

d) $\cot \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\cot \left(-2x\right)$

Lời giải

a) $\sin \left(3x-\frac{3\pi }{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{6}-x\right)$

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}3x-\frac{3\pi }{4}=\frac{\pi }{6}-x+k2\pi \\ 3x-\frac{3\pi }{4}=\pi -\frac{\pi }{6}+x+k2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}4x=\frac{11\pi }{12}+k2\pi \\ 2x=\frac{19\pi }{12}+k2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{11\pi }{48}+\frac{k\pi }{2}\\ x=\frac{19\pi }{24}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{11\pi }{48}+\frac{k\pi }{2};x=\frac{19\pi }{24}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

b) cos5x – sinx = 0$\iff \cos 5x=\sin x\iff \cos 5x=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}5x=\frac{\pi }{2}-x+k2\pi \\ 5x=-\frac{\pi }{2}+x+k2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}6x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ 4x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}\\ x=-\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3};x=-\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$.

c) $\cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)+\sin \left(\frac{\pi }{3}-x\right)=0$

$\begin{array}{l}\iff \cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=-\sin \left(\frac{\pi }{3}-x\right)\\ \iff \cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)\\ \iff \cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x+\frac{\pi }{3}\right)\end{array}$

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}2x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}-x+\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 2x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{2}+x-\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}3x=\frac{13\pi }{12}+k2\pi \\ x=-\frac{7\pi }{12}+k2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{13\pi }{36}+\frac{k2\pi }{3}\\ x=-\frac{7\pi }{12}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

Vậy họ nghiệm của phương trình là $x=\frac{13\pi }{36}+\frac{k2\pi }{3};x=-\frac{7\pi }{12}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

d) Điều kiện xác định:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\ne 0\\ \sin \left(-2x\right)\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+\frac{\pi }{3}\ne k\pi \\ -2x\ne k\pi \end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ne -\frac{\pi }{3}+k\pi \\ x\ne -\frac{k\pi }{2}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

Ta có: $\cot \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\cot \left(-2x\right)$

$\iff x+\frac{\pi }{3}=-2x+k\pi \iff 3x=-\frac{\pi }{3}+k\pi$

$\iff x=-\frac{\pi }{9}+\frac{k\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ (Thỏa mãn)

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=-\frac{\pi }{9}+\frac{k\pi }{3};k\in \mathbb{Z}$.

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

a) (1 + 2cosx)(3 – cosx) = 0

b) (cotx + 1)sin3x = 0

c) $\frac{\sin 3x}{\cos 3x-1}=0$

d) tanx.tan2x = 1

Lời giải

a) (1 + 2cosx)(3 – cosx) = 0

$\begin{array}{l}\iff \left[\begin{array}{l}1+2\cos x=0\\ 3–\cos x=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\cos x=-\frac{1}{2}\\ \cos x=3\left(Loại\right)\end{array}\right.\\ \iff x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Vậy họ nghiệm của phương trình là $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

b) Điều kiện xác định: $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Ta có: (cotx + 1)sin3x = 0

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}\cot x+1=0\\ \sin 3x=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\cot x=-1\\ 3x=k\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\frac{k\pi }{3}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

Kết hợp với điều kiện xác định ta được họ nghiệm của phương trình là:

$x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ;x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

c) Điều kiện xác định:

$$\begin{gathered} \cos 3x-1\ne 0 \\ \iff \cos 3x\ne 1 \\ \iff 3x\ne k2\pi \\ \iff x\ne \frac{k2\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$.

Ta có: $\frac{\sin 3x}{\cos 3x-1}=0$

$\Rightarrow \sin 3x=0\iff 3x=k\pi \iff x=\frac{k\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Kết hợp với điều kiện xác định ta được họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{3}+\frac{k2\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

d) Điều kiện xác định:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\cos x\ne 0\\ \cos 2x\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ 2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

tanx.tan2x = 1 (*)

Trường hợp 1: tanx = 0. Thay vào (*) (vô lí).

Trường hợp 2: $\tan x\ne 0\iff x\ne k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

(*) $\iff \tan 2x\ne \frac{1}{\tan x}$

$\begin{array}{l}\iff \tan 2x=\cot x\iff \tan 2x=\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\\ \iff 2x=\frac{\pi }{2}-x+k\pi \iff 3x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ \iff x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Kết hợp với điều kiện xác định ta được họ nghiệm của phương trình là $x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

4. Bài tập ứng dụng

Câu 1. Họ nghiệm của phương trình $\tan \left(x+\frac{\pi }{5}\right)+\sqrt{3}=0$ là

A. $\frac{8\pi }{15}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

B. $-\frac{8\pi }{15}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

C. $-\frac{8\pi }{15}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

D. $\frac{8\pi }{15}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Câu 2. Số nghiệm của phương trình: $\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=1$ với $0\le x\le 2\pi$ là:

A. 0

B. 2

C. 1

D. 3

Câu 3. Các nghiệm phương trình $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$ là:

A. $\left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\frac{5\pi }{12}+k\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

B. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\frac{5\pi }{12}+k\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

C. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=-\frac{\pi }{12}+k\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

D. $\left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\\ x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}\end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

Câu 4. Các nghiệm của phương trình $\cos \left(3x+15°\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ là:

A. $\left[\begin{array}{l}x=25°+k.120°\\ x=-15°+k.120°\end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

B. $\left[\begin{array}{l}x=5°+k.120°\\ x=15°+k.120°\end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

C. $\left[\begin{array}{l}x=25°+k.120°\\ x=15°+k.120°\end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

D. $\left[\begin{array}{l}x=5°+k.120°\\ x=-15°+k.120°\end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

Câu 5. Nghiệm của phương trình 2sinx.cosx = 1 là:

A. $x=k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

B. $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

C. $x=\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$

D. $x=k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Câu 6. Phương trình $\tan x=\tan \frac{x}{2}$ có họ nghiệm là:

A. $x=k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

B. $x=k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

C. $x=\pi +k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

D. $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Câu 7. Nghiệm của phương trình sin3x = cosx là:

A. $x=k\pi ;x=\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$

B. $x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2};x=\frac{\pi }{4}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

C. $x=k\pi ;x=\frac{\pi }{4}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

D. $x=k2\pi ;x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Câu 8. Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của phương trình sin 4x + cos5x = 0 theo thứ tự là:

A. $x=-\frac{\pi }{18};x=\frac{\pi }{2}$

B. $x=-\frac{\pi }{18};x=\frac{2\pi }{9}$

C. $x=-\frac{\pi }{18};x=\frac{\pi }{6}$

D. $x=-\frac{\pi }{18};x=\frac{\pi }{3}$

Câu 9. Giải phương trình $\sin \left(4x-\frac{\pi }{4}\right)+\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=0$

A. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{7\pi }{72}+\frac{k\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{24}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

B. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{7\pi }{72}+\frac{k\pi }{3}\\ x=\frac{11\pi }{24}+2k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

C. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{7\pi }{72}+\frac{k\pi }{3}\\ x=\frac{11\pi }{4}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

D. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{7\pi }{72}+\frac{k\pi }{3}\\ x=\frac{11\pi }{24}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 10. Nghiệm của phương trình $\sin x.\left(2\cos x-\sqrt{3}\right)=0$ là:

A. $\left[\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

B. $\left[\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

C. $\left[\begin{array}{l}x=k2\pi \\ x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

D. $x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Câu 11. Nghiệm của phương trình tanx = cotx

A. $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$

B. $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

C. $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

D. $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{4};k\in \mathbb{Z}$

Câu 12. Nghiệm của phương trình tan3x.cot2x = 1 là

A. $\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$

B. $-\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$

C. $k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

D. Vô nghiệm

Câu 13. Phương trình $\left(\sin x+1\right)\left(\sin x-\sqrt{2}\right)=0$ có các nghiệm là:

A. $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

B. $x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi , x=-\frac{\pi }{8}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

C. $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

D. $x=\pm \frac{\pi }{2}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Câu 14. Giải phương trình $\frac{\cos 2x}{1-\sin 2x}=0$

A. $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

B. $x=\frac{3\pi }{14}+k\pi ,\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

C. $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi ,\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

D. $x=\frac{3\pi }{4}+k\pi ,\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Câu 15. Tìm tổng các nghiệm của phương trình $\sin \left(5x+\frac{\pi }{3}\right)=\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ trên $\text{[}0;\pi \text{]}$

A. $\frac{7\pi }{18}$

B. $\frac{4\pi }{18}$

C. $\frac{47\pi }{8}$

D. $\frac{47\pi }{18}$

Bảng đáp án

5. Bài tập tự luyện 

Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sinx = sin(π/6)        c) tanx – 1 = 0

b) 2cosx = 1.        d) cotx = tan2x.

Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin⁡x = sin⁡π/6

b)

c) tan⁡x=1⇔cos⁡x= π/4+kπ (k ∈ Z)

d) cot⁡x=tan⁡2x

Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos² x - sin2x =0.

b) 2sin(2x – 40º) = √3

Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos²x-sin²x=0 ⇔cos²x-2 sin⁡x cos⁡x=0

        ⇔ cos⁡x (cos⁡x - 2 sin⁡x )=0

b) 2 sin⁡(2x-40º )=√3

⇔ sin⁡(2x-40º )=√3/2

Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau:

Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin⁡(2x+1)=cos⁡(3x+2)

b)

⇔ sin⁡x+1=1+4k

⇔ sin⁡x=4k (k ∈ Z)

Nếu |4k| > 1⇔|k| > 1/4; phương trình vô nghiệm

Nếu |4k| ≤ 1 mà k nguyên ⇒ k = 0 .Khi đó:

        ⇔sin⁡x = 0 ⇔ x = mπ (m ∈ Z

Bài 4: Giải các phương trình sau

a) cos(3x + π) = 0

b) cos (π/2 - x) = sin2x

Lời giải:

Bài 5: Giải các phương trình sau

a) sinx.cosx = 1

b) cos² x - sin² x + 1 = 0

Lời giải:

Bài 6: Giải các phương trình sau

a) cos² x - 3cosx + 2 = 0

b) 1/(cos² x) - 2 = 0.

Lời giải:

Bài 7: Giải các phương trình sau: (√3-1)sinx = 2sin2x.

Lời giải:

Bài 8: Giải các phương trình sau: (√3-1)sinx + (√3+1)cosx = 2√2 sin2x

Lời giải:

Xem thêm các dạng Toán 11 hay, chọn lọc khác:

Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác và cách giải

Xét tính chẵn, lẻ, chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác và cách giải

Cách tính GTNN - GTLN của hàm số lượng giác chi tiết nhất

Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác và cách giải

Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác và cách giải