Phương pháp giải Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác (HAY NHẤT 2024)

381

Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác (HAY NHẤT 2024) hay, chi tiết nhất, từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh nắm vững kiến thức về hỗn số, từ đó học tốt môn Toán 11.

Phương pháp giải Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác (HAY NHẤT 2024)

1. Lý thuyết

Nhắc lại công thức nghiệm phương trình lượng giác

sinx=sinαx=α+2kπx=πα+2kπkcosx=cosαx=α+2kπx=α+2kπktanx=tanαx=α+kπkcotx=cotαx=α+kπk

2. Các dạng bài tập

Dạng 1: Phương trình lượng giác sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử đưa về phương trình tích

Phương pháp giải:

Sử dụng các biến đổi thích hợp để xuất hiện nhân tử chung như công thức nhân đôi, công thức nhân ba...

- Công thức nhân đôi:

sin2a = 2sina.cosa

cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a

tan2a=2tana1tan2a

- Công thức nhân ba:

sin3a = 3sina – 4sin3a

cos3a = 4cos3a – 3cosa

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) cosx – 2sin2x = 0

b) 6sin4x + 5sin8x = 0

c) cos2x – sin2x = 0

Lời giải

a) cosx – 2sin2x = 0

cosx2.2.sinxcosx=0

cosx14sinx=0

cosx=014sinx=0cosx=0sinx=14x=π2+kπx=arcsin14+k2πx=πarcsin14+k2πk

Vậy họ nghiệm của phương trình là x=π2+kπ;x=arcsin14+k2π; x=πarcsin14+k2π;k

b) 6sin4x + 5sin8x = 0

6sin4x+5.2.sin4xcos4x=02sin4x3+5cos4x=0

sin4x=03+5cos4x=0sin4x=0cos4x=354x=kπ4x=±arccos35+k2πx=kπ4x=±14arccos35+kπ2k

Vậy họ nghiệm của phương trình là x=kπ4;x=±14arccos35+kπ2;k.

c) cos2x – sin2x = 0

cos2x2sinxcosx=0cosxcosx2sinx=0cosx=0cosx2sinx=0x=π2+kπk2sinx=cosx  *

Giải phương trình (*)

Trường hợp 1: cosx = 0. Thay vào (*) ta được sinx = 0

Ta thấy sin2x + cos2x = 02 + 02 = 0 (Vô lí) (Loại).

Trường hợp 2: cosx0xπ2+kπ;k

Chia hai vế của phương trình cho cosx, ta được

*2.sinxcosx=1tanx=12

x=arctan12+kπ;k (Thỏa mãn)

Vậy họ nghiệm của phương trình là: x=π2+kπ;x=arctan12+kπ;k.

Ví dụ 2: Giải phương trình: sinx.cos3x – sinx + 2cos3x – 2 = 0.

Lời giải

Ta có: sinx.cos3x – sinx + 2cos3x – 2 = 0

sinxcos3x1+2cos3x1=0cos3x1sinx+2=0cos3x1=0sinx+2=0cos3x=1sinx=2 ​(Loai)3x=k2πx=k2π3;k

Vậy họ nghiệm của phương trình là: x=k2π3;k.

Dạng 2: Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng

Phương pháp giải:

- Công thức biến đổi tổng thành tích

cosa+cosb=2cosa+b2cosab2

cosacosb=2sina+b2sinab2

sina+sinb=2sina+b2cosab2

sinasinb=2cosa+b2sinab2

- Công thức biến đổi tích thành tổng

cosa.cosb=12cosa+b+cosab

sina.sinb=12cosabcosa+b

sina.cosb=12sina+b+sinab

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) sin2x.sin5x = sin3x.sin4x

b) sin5x.cos3x = sin4x.cos2x

Lời giải

a) sin2x.sin5x = sin3x.sin4x

12cos5x2xcos5x+2x=12cos4x3xcos4x+3xcos3xcos7x=cosxcos7xcos3x=cosx

3x=x+k2π3x=x+k2π2x=k2π4x=k2πx=kπx=kπ2x=kπ2k

Vậy họ nghiệm của phương trình là: x=kπ2;k.

b) sin5x.cos3x = sin4x.cos2x

12sin5x+3x+sin5x3x=12sin4x+2x+sin4x2xsin8x+sin2x=sin6x+sin2xsin8x=sin6x

8x=6x+k2π8x=π6x+k2π2x=k2π14x=π+k2πx=kπx=π14+kπ7k

Vậy họ nghiệm của phương trình là: x=kπ;x=π14+kπ7;k.

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) sin3x + sin2x = sinx

b) sinx + sin3x = cos2x + cos4x

Lời giải

a) sin3x + sin2x = sinx

sin3xsinx+sin2x=02cos3x+x2.sin3xx2+sin2x=02cos2xsinx+2sinxcosx=02sinxcos2x+cosx=02sinx.2cos2x+x2.cos2xx2=04sinx.cos3x2.cosx2=0

sinx=0cos3x2=0cosx2=0x=kπ3x2=π2+kπx2=π2+kπx=kπx=π3+k2π3x=π+k2πx=kπx=±π3+k2πk

Vậy họ nghiệm của phương trình là: x=kπ;x=±π3+k2π;k.

b) sinx + sin3x = cos2x + cos4x

2sinx+3x2cosx3x2=2cos2x+4x2cos2x4x22sin2xcosx=2cos3xcosxsin2xcosxcos3xcosx=0cosxsin2xcos3x=0

cosx=0sin2x=cos3xcosx=0sin2x=sinπ23x

x=π2+kπ2x=π23x+k2π2x=ππ2+3x+k2πx=π2+kπ5x=π2+k2πx=π2+k2π

x=π2+kπx=π10+k2π5x=π2k2πx=π2+kπx=π10+k2π5k

Vậy họ nghiệm của phương trình là: x=π2+kπ;x=π10+k2π5;k.

Dạng 3: Sử dụng công thức hạ bậc

Phương pháp giải:

Công thức hạ bậc hai:

cos2a=1+cos2a2

sin2a=1cos2a2

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: sin2x + sin23x = 2sin22x.

Lời giải

Ta có: sin2x + sin23x = 2sin22x

1cos2x2+1cos6x2=2.1cos4x2cos2xcos6x=2cos4xcos6x+cos2x2cos4x=02cos6x+2x2cos6x2x22cos4x=02cos4xcos2x2cos4x=02cos4xcos2x1=0

cos4x=0cos2x=14x=π2+kπ2x=k2πx=π8+kπ4x=kπk

Vậy họ nghiệm của phương trình là: x=π8+kπ4;x=kπ;k.

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2

Lời giải

Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác và cách giải – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Vậy họ nghiệm của phương trình là x=π10+kπ5;x=π4+kπ2;x=π2+kπ;k.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Nghiệm của phương trình cos2x – cosx = 0 thuộc khoảng 0<x<π là:

A. x=π6

B. x=π2

C. x=π4

D. x=-π2

Câu 2. Giải phương trình cos2x – sin2x = 0

A. x=π2+kπx=arctan13+kπ  k

B. x=π2+kπx=arctan14+kπ  k

C. x=π2+kπx=arctan15+kπ  k

D. x=π2+kπx=arctan12+kπ  k

Câu 3. Nghiệm của phương trình sin2x – sinx = 2 – 4cosx là:

A. x=π4+k2πx=π3+kπk

B.  x=π3+k2πx=π3+k2πk

C. x=π3+k2πx=π4+kπk

D.  x=π2+k2πx=π3+k2πk

Câu 4. Nghiệm của phương trình sin x.cos x.cos2x = 0 là:

A. x=kπ

B. x=kπ2

C. x=kπ8

D. x=kπ4

Câu 5. Nghiệm của phương trình cos3x – cos5x = sinx là:

A. x=kπx=π24+k2πx=5π24+kπ2    k

B. x=k2πx=π24+kπ2x=5π24+kπ2    k

C. x=kπx=π24+kπ2x=5π24+kπ2   k

D. x=kπ2x=π24+kπ2x=5π24+kπ2    k

Câu 6. Phương trình cos5x.cos3x = cos 4x.cos2x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A.  sinx = cos x

B.  cosx = 0

C.  cos8x = cos6x

D.  sin8x = cos6x

Câu 7. Phương trình cosx + 3cos2x + cos3x = 0 có nghiệm là:

A. x=π16+kπ4k

B. x=±π6+k2πk

C. x=π4+kπ2k

D. x=π3+k2πk

Câu 8. Nghiệm của phương trình cos3x – cos4x + cos5x = 0 là:

A.  x=π8+kπ4x=π3+k2π,k

B. x=π8+kπ4x=π3+k2π,k

C. x=π8+kπ4x=±π3+k2π,k

D. x=π8+kπx=±π3+k2π,k

Câu 9. Phương trình 2sinx + cosx – sin2x – 1 = 0 có nghiệm là:

A. x=π6+kπx=5π6+kπx=kπ ,k

B. x=π6+k2πx=5π6+k2πx=k2π ,k

C. x=±π6+k2πx=k2π ,k

D. x=±π6+k2πx=kπ ,k

Câu 10. Một họ nghiệm của phương trình cos x.sin23x – cosx = 0 là:

A. π6+kπ3;k

B. π6+kπ3;k

C. kπ2;k

D. kπ4;k

Câu 11. Các nghiệm của phương trình sin2x + sin23x = cos2x + cos23x là:

A. x=±π4+k2π;k

B. x=π4+kπ2,x=π8+kπ2;k

C. x=π4+kπ2,x=π8+kπ4;k

D. x=±π4+kπ2;k

Câu 12. Các nghiệm của phương trình cosxcos5x=12cos6x (với k) là:

A. x=π8+kπ

B. x=kπ2

C. x=kπ4

D. x=π8+kπ4

Câu 13. Họ nghiệm của phương trình sin2x + cos24x = 1 là:

A. x=kπ13x=kπ15k

B.  x=kπ23x=kπ25k

C. x=kπ3x=kπ5k

D.  x=kπ33x=kπ35k

4. Bài tập ứng dụng 

Câu 1. Nghiệm của phương trình √12+2tanx=0 là:

A. π/6+kπ

B. (-π)/3+kπ

C. (-π)/6+kπ

D. (-π)/6+k2π

Lời giải

Chọn C

Ta có: √12+2tanx=0 ⇔ 2√3+2tanx=0

⇔ tan x= - √3 ⇔ tanx= tan (- π)/3

⇔ x= (-π)/3+kπ

Câu 2: Tìm nghiệm của phương trình: Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

A.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

B.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

C.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

D.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Lời giải

Chọn A.

Ta có:

Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Câu 3: Cho phương trình Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác . Tìm m để phương trình có nghiệm?

A. Không tồn tại m.

B.m ϵ[-1;3] .

C. m ϵ[-3;-1]

D. mọi giá trị của m.

Lời giải

Chọn C.

Ta có: Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cos⁡( 2x- π/3) ≤ 1

Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

-1 ≤ m+2 ≤ 1 hay-3 ≤ m ≤ -1

Câu 4: Họ nghiệm của phương trình cot(x+π/3)+1=0 là

A.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác .

B.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

C.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác .

D.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Lời giải

Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Chọn B.

Câu 5: Nghiệm của phương trình 3cot x+ √3=0là:

A.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

B.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

C.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

D. x= (-π)/3+kπ.

Lời giải

Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Chọn D.

Câu 6: Phương trình Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác có nghiệm là

A. Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

B. Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

C. Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

D. Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Lời giải

Ta có: √3+tanx=0

Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Chọn B.

Câu 7: Giải phương trình : 2tanx+ 10= 0

A. x= arctan 5+ k.π

B. x = arctan -5+ kπ

C. x= - 5+kπ

D. x= 1/5+kπ

Lời giải

Ta có: 2tanx + 10 = 0 ⇒ 2tanx= - 10

⇒ tanx= - 5.

Sử dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình

Suy ra:Nghiệm của phương trình đã cho là: x= arctan-5+ kπ; k∈Z

Câu 8: Giải phương trình : 1/2.cot⁡( x+3π/4)=0.

A. (-π)/4+kπ.

B. π/4+kπ.

C. π/2+kπ.

D. π/3+kπ

Lời giải

Ta có: 1/2.cot⁡( x+3π/4)=0 ⇒ cot⁡( x+3π/4)=0.

⇒ cot(x+ 3π/4)=cot π/2

⇒ x+ 3π/4= π/2+kπ ⇒ x= (-π)/4+kπ

Chon A.

 

Câu 9: Nghiệm của phương trình Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

A.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác .

B.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác .

C.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác .

D.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác .

Lời giải

Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Chọn D.

Câu 10. Giải phương trình : 2cos(x+ 300) + 1= 0

A.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

B.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

C.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

D.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Lời giải

Ta có: 2cos(x+300)+ 1= 0 ⇒ 2cos(x+ 300) = - 1

⇒ cos( x+ 300)= -1/2 = cos1200

Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Chọn B.

Câu 11: Giải phương trình : 2sin( x – 100) – sin900 = 0

A.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

B.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

C.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

D. Một đáp án khác

Lời giải

Ta có: 2sin(x- 100) - sin 900= 0

⇒ 2sin(x – 100) = sin900 = 1

⇒ sin( x- 100) = 1/2 = sin300

Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Chọn C.

Ví dụ 12.Giải phương trình 2cos(x+ 100) + 10= 0

Lời giải

Ta có : 2cos(x+ 100) + 10= 0

⇒ 2cos(x+ 100) = - 10

⇒ cos( x+ 100) = - 5 (*)

Do với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cos⁡(x+ 100 ) ≤ 1 nên từ (*) suy ra phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 12: Giải phương trình 2cos( 1200 - x)+ 1= 0

A.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

B.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

C.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

D.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Lời giải:

Ta có: 2cos (1200- x) + 1 = 0

⇒ 2cos(1200 – x) = - 1

⇒ cos(1200-x) = (- 1)/2=cos1200

Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Câu 13: Giải phương trình: 3sin⁡(x- π/5)+3=0

Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Lời giải:

Ta có: Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Chọn C.

Câu 14: Giải phương trình: √2 tan⁡( x- 150 )- √2=0

A. 300+ k. 1800

B.450+ k.3600

C.450+ k.1800

D. 600+ k. 1800

Lời giải

Lời giải:

Ta có: √2 tan⁡( x- 150 )- √2=0

⇒ √2 tan⁡( x- 150 )= √2

⇒ tan (x- 150) = 1= tan 450

⇒ x- 150 = 450+ k. 1800

⇒ x = 600+ k.1800

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x= 600+ k. 1800

Chọn D.

Câu 15: Giải phương trình 3 cot⁡(x+ 2π/5)- √3=0

A. Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

B.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

C.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

D.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Lời giải:

Ta có:

Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Chọn B.

Câu 16: Giải phương trình 2tanx – 6= 0

A. x= 3+ k. π

B. x = - 3+ kπ

C.x= arctan 3+ kπ

D. Phương trình vô nghiệm

Lời giải:

Ta có: 2tanx – 6= 0 ⇒ 2tanx = 6

⇒ tan x= 3

⇒ x = arcrtan 3+ k.π

Chọn C.

Câu 17: Giải phương trình Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

A.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

B.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

C.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

D.Phương trình vô nghiệm

Lời giải:

Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Chọn A.

Câu 18: Giải phương trình 3sin(x+ 100) - 1=0

A. Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

B. Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

C. Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

D. Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Lời giải:

Ta có; 3sin(x+ 100) - 1= 0

Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Chọn D.

Câu 19: Giải phương trình √3 sin⁡( x+π/10)+3=0

A. x= π/10+k2π

B. x= -π/10+k2π

C. Phương trình vô nghiệm

D. Đáp án khác

Lời giải:

Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Kết hợp với (*) suy ra phương trình đã cho vô nghiệm

Chọn D.

Câu 20: Giải phương trình: 2sin( x+π/6) – cos 3π/2=0

Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Lời giải:

Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Chọn A.

Câu 21: Giải phương trình : 2sin(x+ π/8)-10=0

A.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

B.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

C.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

D.Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Lời giải:

Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Chọn B.

Xem thêm các dạng Toán 11 hay, chọn lọc khác:

Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác và cách giải

Xét tính chẵn, lẻ, chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác và cách giải

Cách tính GTNN - GTLN của hàm số lượng giác chi tiết nhất

Cách giải phương trình lượng giác cơ bản chi tiết nhất

Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác và cách giải

Đánh giá

0

0 đánh giá