Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Nhị thức Niu-tơn (HAY NHẤT 2024) gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Phương pháp giải Nhị thức Niu-tơn (HAY NHẤT 2024)

1. Lý thuyết

a) Định nghĩa:

b) Nhận xét:

Trong khai triển Niu tơn (a + b)ⁿ có các tính chất sau

- Gồm có n + 1 số hạng

- Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n

- Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n

- Các hệ số có tính đối xứng: $C_n^k=C_n^{n-k}$

- Quan hệ giữa hai hệ số liên tiếp: $C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$

- Số hạng tổng quát thứ k + 1 của khai triển: $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$

Ví dụ:

Số hạng thứ nhất $T_1=T_{0+1}=C_n^0{a}^n$, số hạng thứ k: $T_k=T_{(k-1)+1}=C_n^{k-1}{a}^{n-k+1}{b}^{k-1}$

c) Hệ quả:

Ta có: ${(1+x)}^n=C_n^0+x{C}_n^1+x^2{C}_n^2+\mathrm{...}+x^n{C}_n^n$

Từ khai triển này ta có các kết quả sau

$\begin{array}{l}{C}_n^0+C_n^1+\mathrm{...}+C_n^n=2^n\\ C_n^0-C_n^1+C_n^2-\mathrm{...}+{(-1)}^n{C}_n^n=0\end{array}$

2. Các dạng bài tập

Dạng 1. Tìm số hàng chứa x^m trong khai triển

Phương pháp giải:

* Với khai triển (ax^p + bx^q)ⁿ (p, q là các hằng số)

Ta có: ${\left(a{x}^p+b{x}^q\right)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{\left(a{x}^p\right)}^{n-k}{\left(b{x}^q\right)}^k$$=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k{x}^{np-pk+qk}$

Số hạng chứa x^m ứng với giá trị k thỏa mãn: np – pk + qk = m

Từ đó tìm $k=\frac{m-np}{q-p}$

Vậy hệ số của số hạng chứa x^m là: $C_n^k{a}^{n-k}.b^k$ với giá trị k đã tìm được ở trên.

* Với khai triển P(x) = (a + bx^p + cx^q)ⁿ  (p, q là các hằng số)

Ta có: $P\left(x\right)={\left(a+b{x}^p+c{x}^q\right)}^n$$=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{\left(b{x}^p+c{x}^q\right)}^k$

$=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}\sum _{j=0}^k{C}_k^j{\left(b{x}^p\right)}^{k-j}{\left(c{x}^q\right)}^j$

Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x^m.

* Chú ý:

- Nếu k không nguyên hoặc k > n thì trong khai triển không chứa x^m, hệ số phải tìm bằng 0.

- Nếu hỏi hệ số không chứa x tức là tìm hệ số chứa x⁰.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển đa thức của: x(1 – 2x)⁵ + (1 + 5x)¹⁰.

Lời giải

Vậy hệ số của đa thức trong khai triển là: $C_5^4{\left(-2\right)}^4+C_{10}^5{5}^5=787580$.

Ví dụ 2: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau ${\left(x^3-\frac{2}{x}\right)}^n$, biết rằng $C_n^{n-1}+C_n^{n-2}=78$ với x > 0.

Lời giải

Ta có: $C_n^{n-1}+C_n^{n-2}=78$ (Điều kiện: $n\ge 2;n\in \mathbb{N}$)

$\begin{array}{l}\iff \frac{n!}{\left(n-1\right)!.1!}+\frac{n!}{\left(n-2\right)!.2!}=78\\ \iff n+\frac{n\left(n-1\right)}{2}=78\\ \iff 2n+n^2-n=156\\ \iff n^2+n-156=0\\ \iff \left(n-12\right)\left(n+13\right)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}n=12\\ n=-13\left(Loại\right)\end{array}\right.\end{array}$

Do đó ta được khai triển:

$\begin{array}{l}{\left(x^3-\frac{2}{x}\right)}^{12}=\sum _{k=0}^{12}{C}_{12}^k{\left(x^3\right)}^{12-k}{\left(-\frac{2}{x}\right)}^k\\ =\sum _{k=0}^{12}{C}_{12}^k{\left(-2\right)}^k{x}^{36-3k}{x}^{-k}\\ =\sum _{k=0}^{12}{C}_{12}^k{\left(-2\right)}^k{x}^{36-4k}\end{array}$

Cần tìm hệ số không chứa x trong khai triển nên $36-4k=0\iff k=9$.

Vậy hệ số không chứa x của khai triển là: $C_{12}^9{\left(-2\right)}^9=-112640$.

Ví dụ 3: Tìm hệ số của x¹⁵ trong khai triển (1 – x + 2x²)¹⁰.

Lời giải

Ta có khai triển:

$\begin{array}{l}{\left(1–x+2x^2\right)}^{10}=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k{\left(-x+2x^2\right)}^k\\ =\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k\sum _{j=0}^k{C}_k^j{\left(-x\right)}^{k-j}{\left(2x^2\right)}^j\\ =\sum _{k=0}^{10}\sum _{j=0}^k{C}_{10}^k{C}_k^j{\left(-1\right)}^{k-j}{.2}^j.x^{k+j}\end{array}$

Cần hệ số của x¹⁵ trong khai triển nên $\left\{\begin{array}{l}k+j=15\\ 0\le j\le k\le 10\\ j,k\in \mathbb{N}\end{array}\right.$

Trường hợp 1: k = 8; j = 7, ta được 1 hệ số là $C_{10}^8{C}_8^7{\left(-1\right)}^{8-7}{.2}^7=-46080$

Trường hợp 2: k = 9; j = 6, ta được 1 hệ số là $C_{10}^9{C}_9^6{\left(-1\right)}^{9-6}{.2}^6=-53760$

Trường hợp 3: k = 10; j = 5, ta được 1 hệ số là $C_{10}^{10}{C}_{10}^5{\left(-1\right)}^{10-5}{.2}^5=-8064$

Vậy hệ số của x¹⁵ trong khai triển là: – 46080 – 53760 – 8064 = –107904.

Dạng 2. Bài toán tính tổng

Phương pháp giải:

Dựa vào khai triển nhị thức Niu tơn

${(a+b)}^n$$=C_n^0{a}^n+a^{n-1}b{C}_n^1+a^{n-2}{b}^2{C}_n^2+\mathrm{...}+b^n{C}_n^n$.

Ta chọn những giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức trên.

Một số kết quả ta thường hay sử dụng:

$\begin{array}{l}{C}_n^k=C_n^{n-k}\\ C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}\\ C_n^0+C_n^1+\mathrm{...}+C_n^n=2^n\\ C_n^0-C_n^1+C_n^2-\mathrm{...}+{\left(-1\right)}^n{C}_n^n=0\\ {\left(1+x\right)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{x}^k\end{array}$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính tổng

Lời giải

Ví dụ 2: Tìm số n thỏa mãn:

a) $C_n^0+2C_n^1+4C_n^2+\mathrm{...}+2^n{C}_n^n=243$

b) $C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^3+C_{2n+1}^5+\mathrm{...}+C_{2n+1}^{2n+1}=4096$

Lời giải

Ví dụ 3. Cho khai triển (1 – 2x)²⁰ = a₀ +a₁x + a₂x² + … + a₂₀x²⁰. Giá trị của a₀ + a₁ + a₂ + … + a₂₀ bằng:

A. 1

B. 3²⁰  

C. 0

D. – 1

Lời giải

Chọn A

3. Bài tập vận dụng 

Câu 1. Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức (2x – 3)²⁰²⁰

A. 2021.                        B. 2019.                        C. 2018.                         D. 2020.

Câu 2. Hệ số x⁶ trong khai triển (1 – 2x)¹⁰ thành đa thức là:

A. – 13440.                   B. – 210.                       C. 210.                          D. 13440.

Câu 3. Số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu tơn(x ≠ 0) là

Câu 4. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu tơn ,  

Câu 5. Tìm hệ số của số hạng chứa x⁶ trong khai triển x³(1 – x)⁸

A. – 28                      B. 70                         C. – 56                      D. 56

Câu 6. Trong khai triển biểu thức (x + y)²¹ , hệ số của số hạng chứa x¹³y⁸ là:

A. 116280                 B. 293930                 C. 203490                 D. 1287

Câu 7. Hệ số của x⁶ trong khai triển  bằng:

A. 792                       B. 210                       C. 165                       D. 252

Câu 8. Trong khai triển , hệ số của x³, (x > 0) là: 

A. 60                         B. 80                         C. 160.                      D. 240

Câu 9. Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển P(x) = (x + 1)⁶ + (x + 1)⁷ + ... + (x + 1)¹²

A. 1715.                    B. 1711.                    C. 1287.                    D. 1716.

Câu 10. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  biết

A. – 3003                  B. – 5005                  C. 5005                     D. 3003

Câu 11. Tính tổng  

A. S = 2¹⁰                  B. S = 4¹⁰                  C. S = 3¹⁰                  D. S = 3¹¹

Câu 12. Tổng   bằng

A. 4²⁰²¹                      B. 2²⁰²¹ + 1                C. 4²⁰²¹ – 1                D. 2²⁰²¹ – 1 

Câu 13. Số tập con của tập hợp gồm 2022 phần tử là

A. 2022                     B. 2²⁰²²                      C. 2022²                    D. 2.2022

Câu 14. Trong khai triển (x – 2)¹⁰⁰ = a₀ + a₁x¹ + ... + a₁₀₀x¹⁰⁰. Tổng hệ số: a₀ + a₁+ ... + a₁₀₀ là

A. – 1                        B. 1                           C. 3¹⁰⁰                       D. 2¹⁰⁰ 

Câu 15. Tổng   Bằng:

A. 2^n-2                        B. 2^n-1                        C. 2^2n-2                      D. 2^2n-1 

Bảng đáp án

4. Bài tập tự luyện 

Câu 1: Số hạng không chứa x trong khai triển là

Lời giải:

Đáp án : B

Ta có số hạng thứ k+ 1 là :

Số hạng không chứa x tương ứng với: (60-5k)/6=0

⇔ 60 – 5k= 0 ⇔ k= 12.

Do vậy số hạng cần tìm là: 

Câu 2: Trong khai triển ( x - y)¹¹, hệ số của số hạng chứa x⁸y³ là:

Lời giải:

Đáp án : A

Câu 3: Trong khai triển nhị thức (2+ x)6 xét các khẳng định sau:

I. Gồm có 7 số hạng.

II. Số hạng thứ 3 là 16x.

III. Hệ số của x5 là 12.

Trong các khẳng định trên

A. Chỉ I và III đúng

B. Chỉ II và III đúng

C. Chỉ I và II đúng

D. Cả ba đúng

Lời giải:

Đáp án : A

Câu 4: Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển .

A.37    B.38    C.36    D.39

Lời giải:

Đáp án : B

⇒ k= 8t ( với t nguyên)

Lại có: 0≤k≤300 nên 0≤8t≤300

⇔ 0≤t≤37,5. Mà t nguyên nên t ∈ {0,1,2,3..., 37}.

Có 38 giá trị nguyên của t thỏa mãn. Suy ra có 38 giá trị của k thỏa mãn.

⇒ Có 38 số hạng hữu tỉ trong khai triển đã cho.

Câu 5: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển P(x) = ( x+1)⁶ +(x+ 1)⁷ + ( x+ 1)⁸ + ..+ (x+ 1)¹² .

A.1711    B.1287    C.1716    D.1715

Lời giải:

Đáp án : D

Câu 6: Tìm hệ số chứa x¹² trong khai triển ( 3x+ x²)¹⁰

A.145654    B.298645    C.295245    D.Đáp án khác

Lời giải:

Đáp án :

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có số hạng thứ k+ 1 trong khai triển là:

Câu 7: Khai triển đa thức P(x) = (5x - 1)²⁰⁰³ ta được :

P(x)= a₂₀₀₃.x²⁰⁰³ + a₂₀₀₂.x²⁰⁰² + ...+ a₁x+ a₀.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án : C

Câu 8: Tìm hệ số chứa x⁴ trong khai triển (2x+ 1/2x)¹⁰

A.1960    B.1920    C.1864    D.1680

Lời giải:

Đáp án : B

Câu 9: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: ( xy²- 1/xy)⁸

A.70y⁴ B.25y⁴ C.50y⁵ D.80y⁴

Lời giải:

Đáp án :

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có:

Số hạng không chứa x ứng với: 8 - 2k=0 ⇔ k= 4

⇒ số hạng cần tìm 

Câu 10: Tìm số hạng đứng vị trí chính giữa trong khai triển: ( x²+ xy)²⁰

Lời giải:

Đáp án : D

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có:

Câu 11: Khai triển đa thức: P(x)= ( 2 x- 1)¹⁰⁰⁰ ta được:

P(x)= a₁₀₀₀x¹⁰⁰⁰ + a₉₉₉x⁹⁹⁹+ ....+ a₁x+ a₀ .Tính a₁₀₀₀ + a₉₉₉ + ...+ a₁ + a₀ ?

A.-1    B.0    C.2    D.1

Lời giải:

Đáp án : D

Ta có: (x) = a₁₀₀₀x¹⁰⁰⁰ + a₉₉₉x⁹⁹⁹+ ....+ a₁x+ a₀

Cho x = 1 ta được P(1) = a₁₀₀₀ + a₉₉₉ + a₉₉₈ + ...+ a₁+ a₀ (1)

Mặt khác: P(x) = ( 2x-1)¹⁰⁰⁰ nên P(1)= (2.1 – 1)¹⁰⁰⁰ = 1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: a₁₀₀₀ + a₉₉₉ + a₉₉₈ + ...+ a₁+ a₀ = 1

Câu 12: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển P(x) = x.(2+ x)⁵ + x²( 1 + x )¹⁰

A.110    B.120    C.130    D.140

Lời giải:

Đáp án : C

Câu 13: Số hạng không chứa x trong khai triển (x² + 1/x - 1)¹⁰ là

A.1951    B.1950    C.3150    D.-360

Lời giải:

Đáp án : A

Câu 14: Số hạng chứa x⁸ trong khai triển (x³ - x² -1)⁸ là

A.168x⁸    B.168    C.238x⁸    D.238

Lời giải:

Đáp án : D

Câu 15: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển P(x)= (1+ x)+ 2(1+x)² + ...+ 8(1+x)⁸

A.487    B.636    C.742    D.568

Lời giải:

Đáp án : B

Các biểu thức ( 1 + x ) ; 2( 1 + x )² ; 3(1+x)³ ; 4(1+ x)⁴ không chứa số hạng chứa x⁵

Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 5(1+x)⁵ là 

Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 6(1+x)⁶ là 

Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 7(1+x)⁷ là 

Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 8(1+ x)⁸ là 

Vậy hệ số của x₅ trong khai triển P(x) là :

Xem thêm Phương pháp giải các dạng bài tập hay, chi tiết khác:

Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp chi tiết nhất

Xác định biến cố và tính xác suất của biến cố chi tiết nhất

Trọn bộ công thức tính xác suất đầy đủ, chi tiết nhất

Công thức hoán vị

Công thức chỉnh hợp