Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức hoán vị (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Công thức hoán vị (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

1. Tổng hợp lý thuyết

- Cho tập A gồm n phần tử ($n\ge 1$). Khi xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập hợp A, (gọi tắt là một hoán vị của A).

- Số hoán vị của một tập hợp có n phần tử là P_n = n! = n(n – 1)(n – 2)…3.2.1.

- Đặc điểm: Đây là sắp xếp có thứ tự và số phần tử sắp xếp đúng bằng số phần tử trong nhóm (bằng n).

- Chú ý: Giai thừa: n! = n(n – 1)(n – 2)…3.2.1

Quy ước: 0! = 1; 1! = 1.

2. Công thức tính

Công thức hoán vị: P_n = n! = n(n – 1)(n – 2)…3.2.1.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xếp 10 bạn, trong đó có 5 bạn nam và 5 bạn nữ, vào một ghế dài. Có bao nhiêu cách xếp sao cho:

a) Xếp bất kì

b) Các bạn nam ngồi cạnh nhau

c) Các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ với nhau

Lời giải

a) Số cách xếp 10 bạn vào một ghế dài là một hoán vị của 10: 10!

b) Xếp các bạn nam ngồi cạnh nhau. Ta ghép 5 bạn nam vào 1 “bó”: có 5! cách xếp bên trong “bó”

Rồi xếp 5 bạn nữ cùng 1 “bó” vào ghế dài có: 6! cách xếp.

Vậy có 5! . 6! = 86400 cách xếp sao cho các bạn nam ngồi cạnh nhau.

c) Giả sử xếp 10 bạn vào ghế dài có đánh số thứ tự từ 1 đến 10.

Để xếp xen kẽ các bạn nam và nữ

+ Trường hợp 1: Các bạn nam ngồi vị trí lẻ, các bạn nữ ngồi vị trí chẵn

Số cách xếp các bạn nam: 5!

Số cách xếp các bạn nữ: 5!

Do đó có 5! . 5! cách xếp.

+ Trường hợp 2: Các bạn nam ngồi vị trí chẵn, các bạn nữ ngồi vị trí lẻ

Tương tự như trường hợp trên ta có 5! . 5! cách xếp.

Vậy có 2 . 5! . 5! = 28800 cách xếp.

Ví dụ 2: Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5. Lập được bao nhiêu số tự nhiên sao cho:

a) Số có 6 chữ số khác nhau

b) Số chẵn có 6 chữ số khác nhau

c) Số có 6 chữ số khác nhau có số 1 và 2 đứng cạnh nhau

Lời giải

a) Lập số có 6 chữ số từ các chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; 5

Cách 1: Vị trí đầu tiên (chữ số đầu tiên khác 0): có 5 cách chọn

Các vị trí còn lại là hoán vị của 5 phần tử còn lại: 5!

Vậy có 5 . 5! = 600 số.

Cách 2: Lập số có 6 chữ số khác nhau (kể cả chữ số 0 đứng đầu) là hoán vị của 6: 6!

Lập số có 6 chữ số khác nhau nhưng có chữ số 0 đứng đầu là: 5!

Vậy số có 6 chữ số khác nhau là: 6! – 5! = 600 số.

b) Gọi số $\overline{abcdef}$ là số chẵn có 6 chữ số trong các số trên

Vì $\overline{abcdef}$ là số chẵn nên $f\in \left\{0;2;4\right\}$

+ Trường hợp 1: f = 0

Các số a, b, c, d, e là hoán vị của 5 chữ số còn lại: 5! = 120

+ Trường hợp 2: $f\in \left\{2;4\right\}$

Chọn f: có 2 cách chọn

Chọn a từ các số {1; 2; 3; 4; 5}\{f}: có 4 cách chọn

Chọn b, c, d, e là hoán vị của các chữ số {0; 1; 2; 3; 4; 5}\{a; f}: có 4!

Do đó có 2 . 4 . 4! = 192 số.

Vậy có 120 + 192 = 312 số chẵn có 6 chữ số khác nhau.

c) Để lập được số có 6 chữ số khác nhau có số 1 và 2 đứng cạnh nhau.

Ta ghép 1 và 2 với nhau coi như 1 vị trí.

Giả sử số có 6 chữ số cần lập ở 5 vị trí như hình dưới

Vị trí đầu tiên có 4 cách chọn (chữ số 1 ghép với 2; 3; 4; 5)

Các vị trí còn lại là hoán vị của 4 chữ số: 4!

Ở vị trí chứa chữ số 1 và 2 có 2! cách xếp chúng.

Vậy có 4 . 4! . 2! = 192 số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 1 và 2 đứng cạnh nhau.

4. Bài tập vận dụng  

Câu 1 : Tổ 1 của lớp 10A1 có 4 học sinh nữ và 6 học sinh nam .Hỏi có bao nhiêu cách xếp các học sinh này vào một bàn tròn.

A.362880    B.128800    C.246800    D.328600

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Tổ 1 có tất cả 10 học sinh.Mỗi cách xếp 10 học sinh này vào một bàn tròn là một hoán vị vòng quanh của 10 phần tử nên số cách xếp thỏa mãn đề bài là:

9!= 362880 cách xếp.

Câu 2 : Cuối năm học, các học sinh giỏi lớp 11A2 có tổ chức ăn liên hoan. Tổ 1 có 3 học sinh giỏi; tổ 2 có 4 học sinh giỏi; tổ 3 có 2 học sinh giỏi và tổ 4 có 3 học sinh giỏi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các học sinh này vào một bàn tròn?

A.10!    B.11!    C.12!    D.13!

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

Lớp 11A2 có tất cả số học sinh giỏi là: 3+ 4+ 2+ 3= 12 học sinh giỏi

Việc xếp 12 học sinh giỏi này vào một bàn tròn là một hoán vị vòng quanh của 12 phần tử nên số cách xếp thỏa mãn là: 11! cách xếp.

Câu 3 : Một hội nghị bàn tròn có ba phái đoàn: 4 người miền bắc, 3 người miền trung và 4 người miền nam. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho các thành viên sao cho những người có cùng miền thì ngồi gần nhau.

A.7268    B.6912    C.3286    D.4896

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

+ Ta coi: 4 người miền bắc là một nhóm X; 3 người miền trung là một nhóm Y và 4 người miền nam là một nhóm Z .

+ Số cách xếp ba nhóm X; Y; Z vào bàn tròn là: 2!= 2 cách.

+ Số cách xếp 4 người trong nhóm X là : 4!= 24 cách.

+ Số cách xếp 3 người trong nhóm Y là: 3!= 6 cách.

+ Số cách xếp 4 người trong nhóm Z là: 4! = 24 cách.

⇒ Số cách xếp thỏa mãn đầu bài là : 2. 24.6.24= 6912 cách.

Câu 4 : Một nhóm học sinh có 6 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 12 người này vào bàn tròn sao cho hai bạn cùng giới không ngồi cạnh nhau.

A.86400    B.172800    C.43200    D.Đáp án khác

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

+ Xếp 6 bạn nam vào 1 bàn tròn có : 5! Cách.

+ Khi đó giữa hai bạn nam có 1 vách ngăn. Có 6 vách ngăn. Xếp 6 bạn nữ vào 6 vách ngăn đó có 6! Cách.

Theo quy tắc nhân; số cách xếp thỏa mãn đầu bài là: 5!. 6!= 86400

5. Bài tập tự luyện 

Câu 1 : Trong một buổi dự tiệc; có 3 người phụ nữ và 4 người đàn ông cùng ngồi vào một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho những người này?

A.720    B.120    C.5040    D.2080

Lời giải:

Đáp án : A

Việc xếp 3+ 4= 7 người này vào một bàn tròn là một hoán vị vòng quanh của 7 phần tử nên có: 6!= 720 cách xếp thỏa mãn.

Câu 2 : Trong một buổi dạ hội; có 4 người đàn ông và 4 phụ nữ cùng ngồi vào một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho nam; nữ ngồi xen kẽ nhau.

A.36    B.144    C.576    D.128

Lời giải:

Đáp án : B

+ Xếp 4 bạn nam vào 4 ghế cách đều nhau có 3!= 6 cách.

    ( khi xếp vào bàn tròn thì vị trí người đầu tiên không quan trọng ) .

+ Xếp 4 bạn nữ vào 4 vị trí còn lại có 4!= 24 cách.

+ Theo quy tắc nhân có: 6.24= 144 cách thỏa mãn.

Câu 3 : Có 5 học sinh nam trong đó có bạn Hải và 3 học sinh nữ trong đó có bạn Liên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tám học sinh nói trên ngồi vào một bàn tròn sao cho hai bạn Hải và Liên không ngồi cạnh nhau ? (Hai cách xếp chỉ khác nhau một phép quay được coi là như nhau).

A.1440    B.5040    C.2880    D.3600

Lời giải:

Đáp án : D

- Số cách xếp 8 học sinh vào bàn tròn là hoán vị vòng quanh của tập 8 phần tử nên có :

   7 != 5040 cách xếp.

- Ta tính số cách xếp 8 học sinh vào bàn tròn sao cho hai bạn Hải, Liên ngồi cạnh nhau :

   + Ta coi hai bạn Hải ; Liên là một phần tử X

   + Số cách xếp X và 6 học sinh khác vào bàn tròn là hoán vị vòng quanh của tập có 7 phần tử nên có : 6 != 720 cách xếp.

   + Khi đổi chỗ hai bạn Hải ; Liên ta có thêm một cách xếp.

⇒ Số cách xếp thỏa mãn là : 720. 2= 1440 cách.

Suy ra : số cách xếp 8 học sinh vào bàn tròn sao cho hai bạn Hải và Liên không ngồi cạnh nhau là : 5040 – 1440= 3600 cách

Câu 4 : Có 4 nhóm đại sứ quán nước ngoài gồm: 3 người nước Anh; 4 người nước Pháp ; 4người nước Mỹ và 2 người nước Lào. Hỏi có bao nhiêu cách xếp họ vào một bàn tròn sao cho các đại sứ quán của cùng 1 nước ngồi cạnh nhau?

A.41472     B.20736    C.6912    D.Đáp án khác

Lời giải:

Đáp án : A

+ Ta coi; 3 người nước Anh là nhóm X; 4 người nước Pháp là nhóm Y; 4 người nước Mỹ là nhóm Z và 2 người nước Lào là nhóm T.

+ Số cách xếp 4 nhóm X; Y; Z; T vào bàn tròn là: 3! = 6 cách.

+ Số cách xếp 3 người nhóm X là một hoán vị của tập có 3 phần tử có: 3!= 6 cách.

+ Số cách xếp 4 người nhóm Y là 4!= 24 cách.

+ Số cách xếp 4 người nhóm Z là 4!= 24 cách.

+ Số cách xếp 2 người nhóm T là 2!= 2 cách.

⇒ Số cách xếp thỏa mãn đầu bài là:

6.6.24.24.2= 41472 cách.

Câu 5 : Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 người (trong đó có một cặp vợ chồng) vào một bàn tròn, sao cho vợ chồng ngồi cạnh nhau?

A.120    B.720     C.48    D.24

Lời giải:

Đáp án : C

+ Coi cặp vợ chồng đó là phần tử X.

+ Số cách xếp phần tử X và 4 người còn lại vào bàn tròn là hoán vị vòng quanh của 5 phần tử nên có: 4!= 24 cách xếp.

+ Ta có 2!= 2 cách xếp vợ chồng đó.

⇒ Số cách xếp thỏa mãn đầu bài là: 24. 2= 48 cách .

Câu 6 : Trong buổi dự tiệc có 10 người trong đó có 1 cặp vợ chồng. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 người này vào bàn tròn sao cho hai vợ chồng đó không ngồi cạnh nhau.

A.282240    B.146800     C.245200    D.186400

Lời giải:

Đáp án : A

+ Xếp người chồng trước: 1 cách.

+ Vì vợ chồng không được ngồi cạnh nhau nên có 7 cách xếp vị trí người vợ( trừ hai ghế sát chồng).

+ Xếp 8 người khác vào 8 vị trí còn lại: có 8! Cách xếp.

Theo quy tắc nhân có: 1. 7. 8!= 282240 cách.

Câu 7 : Một nhóm học sinh có 8 người trong đó có lớp trưởng; bí thư và lớp phó. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 8 bạn này vào bàn tròn sao cho 3 bạn cán bộ lớp không ngồi cạnh nhau.

A.6420    B.2860    C.4320    D.5420

Lời giải:

Đáp án : C

- Số cách xếp 8 người này vào bàn tròn là : 7! (1)

- Ta tính só cách xếp 8 bạn này vào bàn tròn sao cho ba bạn cán bộ lớp ngồi cạnh nhau. Coi ba bạn cán bộ lớp là phần tử X.

   + Có 5! Cách xếp 5 bạn còn lại và X vào bàn tròn.

   + Hoán đổi vị trí 3 bạn trong X có 3! Cách.

=> có 5!.3! cách xếp sao cho ba bạn cán bộ lớp ngồi cạnh nhau.(2)

Từ (1) và (2) suy ra số cách xếp thỏa mãn đầu bài là: 7!- 5!. 3!= 4320 cách.

Xem thêm Phương pháp giải các dạng bài tập hay, chi tiết khác:

Công thức chỉnh hợp

Công thức tổ hợp

Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn

Công thức tính tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn

Công thức tìm hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn