Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức khai triển nhị thức Niu – tơn (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 hay, chi tiết nhất, từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh nắm vững kiến thức về hỗn số, từ đó học tốt môn Toán 11.

Công thức khai triển nhị thức Niu – tơn (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

1. Tổng hợp lý thuyết

a) Định nghĩa:

b) Nhận xét:

Trong khai triển Niu - tơn (a + b)ⁿ có các tính chất sau

- Gồm có n + 1 số hạng

- Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n

- Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n

- Các hệ số có tính đối xứng: $C_n^k=C_n^{n-k}$

- Quan hệ giữa hai hệ số liên tiếp: $C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$

- Số hạng thứ k + 1 của khai triển: $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$

Ví dụ:

Số hạng thứ nhất $T_1=T_{0+1}=C_n^0{a}^n$, số hạng thứ k: $T_k=T_{(k-1)+1}=C_n^{k-1}{a}^{n-k+1}{b}^{k-1}$

c) Hệ quả:

Ta có: ${(1+x)}^n=C_n^0+x{C}_n^1+x^2{C}_n^2+\mathrm{...}+x^n{C}_n^n$

Từ khai triển này ta có các kết quả sau

$\begin{array}{l}{C}_n^0+C_n^1+\mathrm{...}+C_n^n=2^n\\ C_n^0-C_n^1+C_n^2-\mathrm{...}+{\left(-1\right)}^n{C}_n^n=0\end{array}$

2. Công thức tính

Công thức khai triển nhị thức Niu – tơn:

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khai triển (1 – 3x)⁶ thành tổng các đơn thức.

Lời giải

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu – tơn:

(1 – 3x)⁶

$=C_6^0{.1}^6+C_6^1{.1}^5{\left(-3x\right)}^1+C_6^2{.1}^4{\left(-3x\right)}^2$$+C_6^3{.1}^3{\left(-3x\right)}^3+C_6^4{.1}^2{\left(-3x\right)}^4$$+C_6^5{.1}^1{\left(-3x\right)}^5+C_6^6{\left(-3x\right)}^6$

= 1 – 18x + 135x² – 540x³ + 1215x⁴ – 1458x⁵ + 729x⁶.

Ví dụ 2: Khai triển (x + 2y)⁵ thành tổng các đơn thức.

Lời giải

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu – tơn:

(x + 2y)⁵

$=C_5^0{x}^5+C_5^1{x}^4\left(2y\right)+C_5^2{x}^3{\left(2y\right)}^2$$+C_5^3{x}^2{\left(2y\right)}^3+C_5^{4}x{\left(2y\right)}^4+C_5^5{\left(2y\right)}^5$

= x⁵ + 10x⁴y + 40x³y² + 80x²y³ + 80xy⁴ + 32y⁵.

4. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tính hệ số x¹⁰y⁸ trong khai triển ( x + y)¹⁸?

A.43758    B.23145    C.45    D.12458

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Theo công thức nhị thức Niu- tơn; hệ số chứa x¹⁰.y⁸ là: 

Câu 2: Tìm hệ số của x⁴ trong khai triển ( 2x- 5)7

A.175000    B.–70000    C.70000    D.-175000

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

Ta có: (2x – 5)⁷ = [ (2x + (-5)]⁷

Theo công thức nhị thức Niu-tơn; số hạng chứa x⁴ là: 

Do đó hệ số của x₄ là: 

Câu 3: Trong khai triển nhị thức (x + 1)ⁿ⁺⁹. Có tất cả 17 số hạng. Vậy n bằng:

A.10    B.17    C.9    D.12

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Chú ý: Số các số hạng của khai triển mũ n là n + 1.

Vậy khai triển (x+1)^{n+ 9} có tất cả 17 số hạng suy ra n + 9= 17 + 1.

⇔ n + 9= 18 nên n= 9

Câu 4: Tìm hệ số chứa x⁹ trong khai triển

(1+x)⁹+(1+x)¹⁰+(1+x)¹¹+(1+x)¹²+(1+x)¹³+(1+x)¹⁴+(1+x)¹⁵

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

+ Trong khai triển (1+x)⁹ thì số hạng chứa x⁹ là: 

+ Tương tự hệ số chứa x⁹ trong các khai triển ( 1+x)¹⁰; ( 1+ x)¹¹; ( 1+ x)¹²; ...; ( 1+ x)¹⁵ là

Do đó; hệ số chứa x⁹ cần tìm là:

 .

Câu 5: Trong khai triển  , hai số hạng cuối là:

 .

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Ta có:

 là hai số hạng cuối cùng của khai triển

Câu 6: Trong khai triển (2∛x+3√x )¹⁰,(x>0) số hạng chứa x⁴ sau khi khai triển là

A.1808640    B.1088640x4    C.1808460x4    D.207360

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

Câu 7: Hệ số của số hạng chứa x⁹ trong khai triển (4/3-3x³)¹⁵ là

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

Câu 8: Trong khai triển (1+ 3x)²⁰ với số mũ tăng dần, hệ số của số hạng đứng chính giữa là:

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

5. Bài tập tự luyện

Câu 1: Số hạng không chứa x trong khai triển là

Lời giải:

Đáp án : B

Ta có số hạng thứ k+ 1 là :

Số hạng không chứa x tương ứng với: (60-5k)/6=0

⇔ 60 – 5k= 0 ⇔ k= 12.

Do vậy số hạng cần tìm là: 

Câu 2: Trong khai triển ( x - y)¹¹, hệ số của số hạng chứa x⁸y³ là:

Lời giải:

Đáp án : A

Câu 3: Trong khai triển nhị thức (2+ x)6 xét các khẳng định sau:

I. Gồm có 7 số hạng.

II. Số hạng thứ 3 là 16x.

III. Hệ số của x5 là 12.

Trong các khẳng định trên

A. Chỉ I và III đúng

B. Chỉ II và III đúng

C. Chỉ I và II đúng

D. Cả ba đúng

Lời giải:

Đáp án : A

Câu 4: Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển .

A.37    B.38    C.36    D.39

Lời giải:

Đáp án : B

⇒ k= 8t ( với t nguyên)

Lại có: 0≤k≤300 nên 0≤8t≤300

⇔ 0≤t≤37,5. Mà t nguyên nên t ∈ {0,1,2,3..., 37}.

Có 38 giá trị nguyên của t thỏa mãn. Suy ra có 38 giá trị của k thỏa mãn.

⇒ Có 38 số hạng hữu tỉ trong khai triển đã cho.

Câu 5: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển P(x) = ( x+1)⁶ +(x+ 1)⁷ + ( x+ 1)⁸ + ..+ (x+ 1)¹² .

A.1711    B.1287    C.1716    D.1715

Lời giải:

Đáp án : D

Câu 6: Tìm hệ số chứa x¹² trong khai triển ( 3x+ x²)¹⁰

A.145654    B.298645    C.295245    D.Đáp án khác

Lời giải:

Đáp án :

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có số hạng thứ k+ 1 trong khai triển là:

Câu 7: Khai triển đa thức P(x) = (5x - 1)²⁰⁰³ ta được :

P(x)= a₂₀₀₃.x²⁰⁰³ + a₂₀₀₂.x²⁰⁰² + ...+ a₁x+ a₀.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án : C

Câu 8: Tìm hệ số chứa x⁴ trong khai triển (2x+ 1/2x)¹⁰

A.1960    B.1920    C.1864    D.1680

Lời giải:

Đáp án : B

Câu 9: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: ( xy²- 1/xy)⁸

A.70y⁴ B.25y⁴ C.50y⁵ D.80y⁴

Lời giải:

Đáp án :

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có:

Số hạng không chứa x ứng với: 8 - 2k=0 ⇔ k= 4

⇒ số hạng cần tìm 

Câu 10: Tìm số hạng đứng vị trí chính giữa trong khai triển: ( x²+ xy)²⁰

Lời giải:

Đáp án : D

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có:

Xem thêm các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác: 

Công thức tính tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn

Công thức tìm hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn

Công thức tìm số hạng trong khai triển nhị thức Niu-tơn

Công thức tính xác suất

Phương pháp quy nạp toán học và cách giải