Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức cấp số cộng (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Công thức cấp số cộng  (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 

1. Lý thuyết

a) Định nghĩa: (u_n) là cấp số cộng khi $u_{n+1}=u_n+d,n\in {\mathbb{N}}^{*}$ (d gọi là công sai)

Nhận xét:

- Cấp số cộng (u_n) là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai d > 0.

- Cấp số cộng (u_n) là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai d < 0.

- Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

b) Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) được xác định bởi công thức:

un = u1 + (n – 1)d với $n\in {\mathbb{N}}^{*},n\ge 2$.

c) Tính chất: 

Ba số hạng  là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi $u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$.

d) Tổng n số hạng đầu tiên S_n được xác định bởi công thức:

$$\begin{gathered} S_n=u_1+u_2+\mathrm{...}+u_n \\ =\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2} \end{gathered}$$

2. Công thức

- Công thức tính tính công sai: d = u_n+1 – u_n với $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

- Công thức tìm số hạng tổng quát: u_n = u₁ + (n – 1)d với $n\in {\mathbb{N}}^{*},n\ge 2$.

- Tính chất của 3 số hạng $u_{k-1},u_k,u_{k+1}\left(k\ge 2\right)$ liên tiếp của cấp số cộng: $u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$.

- Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng: $S_n=\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2}$.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn: $\left\{\begin{array}{c}{u}_2-u_3+u_5=10\\ u_4+u_6=26\end{array}\right.$

a) Xác định công sai và số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

b) Xác định công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng.

c) Tính số hạng thứ 100 của cấp số cộng.

d) Tính tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

Lời giải

a) Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{c}{u}_2-u_3+u_5=10\\ u_4+u_6=26\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}(u_1+d)-(u_1+2d)+(u_1+4d)=10\\ (u_1+3d)+(u_1+5d)=26\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+3d=10\\ u_1+4d=13\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ d=3\end{array}\right.\end{array}$

Vậy công sai d = 3 và số hạng đầu tiên u₁ = 1.

b) Số hạng tổng quát: u_n = u₁ + (n – 1)d = 1 + (n – 1).3 = 3n – 2.

c) Số hạng thứ 100 là: u₁₀₀ = 3.100 – 2 = 298.

d) Tổng 15 số hạng đầu tiên:

$S_{15}=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2}=\frac{15.\left(2.1+14.3\right)}{2}=330$

Ví dụ 2: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn: u_n = 2n – 3.

a) Xác định công sai của cấp số cộng.

b) Số 393 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng.

c) Tính S = u₁ +  u₃ +  u₅ + … +  u_2021.

Lời giải

a) Ta có: u_{n + 1} = 2(n + 1) – 3 = 2n – 1

Công sai của cấp số cộng: d = u_n+1 – u_n = (2n – 1) – (2n – 3) = 2

b) Gọi số hạng thứ k của cấp số cộng là 393, ta có u_k = 393.

Khi đó: 2k – 3 = 393. Suy ra k = 198.

Vậy số 393 là số hạng thứ 198 của cấp số cộng.

c) Ta có: u₁ = 2 . 1 – 3 = – 1

Dãy số là (v_n): u₁;  u₃;  u₅; …  u₂₀₂₁ là cấp số cộng với số hạng đầu tiên là u₁ = – 1 và công sai d’ = u₃ – u₁ = 2d = 4

Dãy (v_n) có: (2021 – 1) : 2 + 1 = 1011 số hạng

Vậy tổng $S=u_1+u_3+u_5+\dots +u_{2021}$$=\frac{1011.\left(2.\left(-1\right)+1010.4\right)}{2}=2041209$.

4. Bài tập vận dụng 

Bài 1: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120.

Lời giải:

Giả sử bốn số hạng đó là a – 3x, a – x, a + x, a + 3x với công sai là d = 2x. Khi đó, ta có:

Vậy bốn số cần tìm là 2,4,6,8.

Bài 2: Cho cấp số cộng 

1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số ;

2. Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ;

3. Tính S = u₄ + u₅ + …+ u₃₀.

Lời giải:

Từ giả thiết bài toán, ta có:

1. Số hạng thứ 100 của cấp số: u_100=u_1+99d=-295

2. Tổng của 15 số hạng đầu:

3. Ta có:

Bài 3: Cho CSC

1. Xác định công sai và công thức tổng quát của cấp số;

2. Tính S = u₁ + u₄ + u₇ + …+ u₂₀₁₁.

Lời giải:

Gọi d là công sai của CSC, ta có:

1. Ta có công sai d = 3 và số hạng tổng quát : u_n = u₁ + (n-1)d = 3n-2.

2. Ta có các số hạng u₁, u₄, u₇,..., u₂₀₁₁ lập thành một CSC gồm 670 số hạng với công sai d’ = 3d, nên ta có:

Bài 4: Cho một cấp số cộng (u_n) có u₁ = 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850. Tính

Lời giải:

Gọi d là công sai của cấp số đã cho

Ta có: S₁₀₀ = 50(2u₁ + 99d) = 24850

Ta có

Bài 5: Cho cấp số cộng (u_n). Xác định cấp số cộng

Lời giải:

Ta có:

Vậy công thức của CSC là : u_n = u₁ + (n-1)d = 70-20n

Bài 6: Với CSC ở câu 3. Tính tổng S = u₅ + u₇ + …+ u₂₀₁₁

Lời giải:

Ta có u₅, u₇, …, u₂₀₁₁ lập thành CSC với công sai d = và có 1003 số hạng nên

Bài 7: Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = 4 và d = -5 Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

Lời giải:

5. Bài tập tự luyện 

Bài 1: Cho cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu bằng 3 và số hạng cuối bằng 24. Tính tổng các số hạng này

A. 105        B. 27        C. 108        D. 111

Lời giải:

Đáp án: C

Đáp án C

Ta có u₁ = 3; u₈ = 24, n = 8. S₈= 8/2(3+24) = 108

Bài 2: Cho các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng

Lời giải:

Đáp án: B

Đáp án là B. Dãy ở câu b là CSC với công sai d = - 3.

Bài 3: Cho 4 số lập phương thành cấp số cộng. Tổng của chúng bằng 22. Tổng các bình phương của chúng bằng 166. Tổng các lập phương của chúng bằng :

A. 22        B. 166        C. 1752        D. 1408

Lời giải:

Đáp án: D

Đáp án là D

Gọi 4 số lập thành cấp số cộng là u₁,u₂,u₃,u₄

Vậy 4 số đó là 1,4,7,10 hoặc 10,7,4,1

Tổng các lập phương của chúng: 1³+4³+7³+10³=1408

Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đồ thị (d) của hàm số y= 4x-5.

Với mỗi số nguyên dương, gọi A_n là giao điểm của(d) và đường thẳng x=n. Xét dãy số (u_n) với u_n là tung độ của điểm A_n. Tính u₁+...+u₁₅.

A. 405        B. 305        C. 205        D. 105

Lời giải:

Đáp án: A

Dễ thấy u_n = 4n -5

Ta có: u_n+1 = 4(n + 1) - 5 = 4n - 1

⇒ u_n+1=u_n+4 với n ≥ 1 ⇒ (u_n) là một cấp số cộng với công sai d = 4

Đáp án là A

Bài 5: Tìm x biết 1+3 +5+...+x =64

A. 9        B. 11        C. 15        D. 17

Lời giải:

Đáp án: C

Vậy x=u_n=u₁+(n-1)d=1+7.2=15

Đáp án C.

Vậy x=u_n=u₁+(n-1)d=1+7.2=15

Đáp án C.

Bài 6: Cho hai cấp số cộng (u_n): 4,7,10,13,16,...và (v_n):1,6,11,16,21,...Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng , có bao nhiêu số hạng chung?

A. 10        B. 20        C. 30        D. 40

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có: u_n = 4+(n-1).3 = 3n+1, 1 ≤ n ≤ 100

v_n = 1+ (k-1).5 = 5k -4, 1 ≤ k ≤ 100

Để một số là số hạng chung của hai cấp số cộng ta phải có:

3n +1 =5k -4 ⇔ 3n = 5(k-1) ⇒ n⋮5 tức là n = 5t, k =1 + 3t, t ∈ Z

Vì 1 ≤ n ≤ 100 nên 1 ≤ t ≤ 20. Có 20 số hạng chung của hai dãy

Chọn đáp án B

Bài 7: Mặt sàn tầng một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m. Cầu thang đi tầng 1 lên tầng 2 gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18cm. Độ cao của tầng hai so với mặt sân là:

A. 4,10m        B. 4,28m        C. 1,89m        D. 1,8m

Lời giải:

Đáp án: B

Độ cao tầng hai so với mặt sàn là h = (0,5+ 0,18n) (m) với n = 21. Vậy ta có độ cao tầng 2 bằng 4,28m

Đáp án B

Bài 8: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng?

Lời giải:

Đáp án: B

Đáp án B. Ta có u_n+1-u_n=2(n+1)-2n=2. Đây là CSC với công sai d = 2.

Bài 9: Người ta trồng 3003 cây theo hình tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ 2 có 2 cây, hàng thứ 3 có 3 cây,...Vậy có tất cả bao nhiêu hàng?

A. 75        B. 76        C. 77        D. 78

Lời giải:

Đáp án: C

Gọi số hàng cần tìm là n. Ta có các hàng cây lập thành CSC với công sai d = 1 và số hạng đầu là 1.

Khi đó: 3003 = [2.1 + (n – 1).1].n/2, suy ra n = 77.

Đáp án C.

Bài 10: Công sai của cấp số cộng

A. 0        B. -1        C. -2        D. -3

Lời giải:

Đáp án: D

Bài 11: Số hạng đầu tiên của cấp số cộng dương

A. 2        B. 3        C. 4        D. 5

Lời giải:

Đáp án: B

Đáp án B.

Bài 12: Xác định số đo góc nhỏ nhất của một tứ giác lồi, biết rằng số đo 4 góc lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất bằng 5 lần góc nhỏ nhất.

A. 30º        B. 45º        C. 15º        D. 60º

Lời giải:

Đáp án: A

Gọi 4 góc đó lập thành cấp số cộng là u₁,u₂,u₃,u₄

Ta có:

Đáp án A.

Bài 13: Xen vào giữa hai số 4 và 40 bốn số để được một cấp số cộng có công sai lớn hơn 3. Tìm tổng 4 số đó.

A. 88        B. 92        C. 128        D. 132

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có 40 = u₆=4+5d. Vậy d = 7.2

.

Ta có u₂+u₃+u₄+u₅=4u₁+10d=88

Đáp án A.

Bài 14: Giá tiền công khoan giếng ở cơ sở A được tính như sau: giá của mét khoan đầu tiên là 8000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng lên 500 đồng so với giá của mét khoan ngay trước nó. Vậy muốn khoan 20 mét thì mất bao nhiêu đồng?

A. 200000 đồng

B. 255000 đồng

C. 285000 đồng

D. 315000 đồng

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có giá các mét khoan lập thành một CSC với công sai d = 500, số hạng đầu là 8000

Khi đó khoan 20 mét thì mất số đồng là:20/2 [2.8000 + (20 – 1)500] = 255000 đồng.

Đáp án B

Bài 15: Cho một dãy số có các số hạng đầu tiên là 1,8,22,43...Hiệu của hai số hạng liên tiếp của dãy số đó lập thành một cấp số cộng: 7,14,21,...,7n. Số 35351 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số đã cho?

A. 57

B. 80

C. 101

D. 200

Lời giải:

Đáp án: C

Gọi n là số thứ tự của 35351 trong dãy số.

Ta có 35351 = 1 + 7(1+2+3+…+n- 1). Khi đó 1+2+3+…+ n-1 = 5050. Khi đó n = 101.

Đáp án C

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác: 

Công thức tính công sai của cấp số cộng

Công thức tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng

Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

Công thức cấp số nhân

Công thức tính công bội của cấp số nhân