Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Ứng dụng Đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:
Ứng dụng Đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024
1. Lý thuyết
a) Các công thức đạo hàm
Đạo hàm các hàm số cơ bản |
Đạo hàm các hàm hợp u = u(x) |
(c)’ = 0 (c là hằng số) (x)’ = 1 |
|
(sin x)’ = cos x (cos x)’ = -sin x
|
(sin u)’ = u’.cos u (cos u)’ = -u’.sin u
|
b) Các quy tắc tính đạo hàm
Cho các hàm số u = u(x), v = v(x)
có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:
1. (u + v)’ = u’ + v’
2. (u – v)’ = u’ – v’
3. (u.v)’ = u’.v + v’.u
4.
Chú ý:
a) (k.v)’ = k.v’ (k: hằng số)
b)
Mở rộng:
c) Đạo hàm của hàm số hợp
Cho hàm số y = f(u(x)) = f(u) với u = u(x). Khi đó:
Phương pháp giải:
- Sử dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm trong phần lý thuyết.
- Nhận biết và tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức.
- Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: a) Cho . Giải bất phương trình f’(x) > g’(x).
b) Cho . Giải phương trình f’(x) = 0.
c) Cho y = cos2x + sin x. Giải phương trình y’ = 0.
Lời giải
a) Ta có
Ta có:
Vậy phương trình có tập nghiệm là .
b) Ta có
Đặt
Với
Với
Vậy f’(x) = 0 có 4 nghiệm , .
c) Ta có: y’ = – 2sin x.cos x + cos x = – sin 2x + cos x
Khi đó, phương trình có dạng:
.
Vậy nghiệm của phương trình là .
Ví dụ 2: a) Cho y = tan x. Chứng minh y’ – y2 – 1 = 0.
b) Cho y = xsinx. Chứng minh: x.y – 2(y’– sinx) + x(2cosx – y) = 0.
Lời giải
a)
Ta có: y’ – y2 – 1 = 1 + tan2x – tan2x – 1 = 0 (đpcm).
b) y’ = (xsin x)’ = x’.sin x + x.(sin x)’ = sin x + xcos x.
Ta có: x.y – 2(y’ – sin x) + x(2cos x – y)
= x2.sin x – 2(sin x + xcosx – sin x) + x(2cosx – xsin x)
= x2sin x – 2xcos x + 2xcosx – x2sinx = 0 (đpcm).
2. Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho hàm số . Nghiệm của phương trình y’.y = 2x + 1 là:
A. x = 2.
B. x = 1.
C. Vô nghiệm.
D. x = – 1.
Câu 2. Cho hàm số , có đạo hàm là f’(x). Tập hợp những giá trị của x để f’(x) = 0 là:
A.
B.
C.
D.
Câu 3. Cho hàm số y = 3x3 + x2 + 1, có đạo hàm là y’. Để thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?
A.
B.
C.
D.
Câu 4. Cho hàm số , có đạo hàm là y’. Tìm tất cả các giá trị của m để với .
A.
B.
C.
D.
Câu 5. Cho hàm số , có đạo hàm là y’. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1, x2 thỏa mãn .
A. ;
B.
C. ;
D. .
Câu 6. Cho hàm số y = (2x2 + 1)3, có đạo hàm là y’. Để thì x nhận các giá trị nào sau đây?
A. Không có giá trị nào của x.
B.
C.
D. R.
Câu 7. Cho hàm số . Giải bất phương trình f’(x) > 0.
A.
B.
C.
D.
Câu 8. Cho hàm số . Phương trình f’(x) = 0 có tập nghiệm S là:
A.
B.
C.
D.
Câu 9. Cho hàm số Tập nghiệm S của bất phương trình có bao nhiêu giá trị nguyên?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 10. Cho hàm số y = x3 + mx2 + 3x – 5 với m là tham số. Tìm tập hợp M tất cả các giá trị của m để y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt:
A. M = (– 3; 3).
B.
C. M = R.
D. .
Câu 11. Cho hàm số y = x3 – 3x + 2017. Bất phương trình y’ < 0 có tập nghiệm là:
A. S = (– 1; 1).
B. .
C. .
D. .
Câu 12. Cho hàm số f(x) = x4 + 2x2 – 3. Tìm x dể f’(x) > 0?
A. –1 < x < 0.
B. x < 0.
C. x > 0.
D. x < – 1.
Câu 13. Cho hàm số y = (m – 1)x3 – 3(m + 2)x2 – 6(m + 2)x + 1. Tập giá trị của m để là
A.
B. [-2; 0].
C.
D.
Câu 14. Cho hàm số f(x) = acosx + 2sinx – 3x + 1. Tìm a để phương trình f’(x) = 0 có nghiệm?
A.
B.
C. |a|>5.
D. |a|<5.
Câu 15. Cho hàm số . Giải phương trình f’(x) = 0.
A.
B.
C.
D. .
Bảng đáp án
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
C |
D |
A |
B |
A |
C |
A |
C |
C |
D |
A |
C |
B |
B |
C |
3. Bài tập tự luyện
Câu 1: Cho f(x)= sin( π/2-3x). Giải phương trình f' ( x)=0?
Lời giải:
Câu 2: Cho hàm số y=tan( 2x+ 2π/3). Giải bất phương trình y’> 0
Lời giải:
Câu 3: Cho hàm số: y=2sinx - 2cosx + 10. Tìm nghiệm của phương trình y'=0
Lời giải:
Câu 4: Cho hàm số: y= 2tan3x + 3cot 2x+ 90. Giải phương trình y'=0
Lời giải:
Câu 5: Cho hàm số: y=(- 1)/2 cos( 4x- π/6). Giải phương trình y'=1
Lời giải:
Đạo hàm của hàm số đã cho :
Câu 6: Cho hàm số y= 2x+ 1+ cos2x. Giải phương trình y'= 2
A. x=π/3+kπ B. x=π/6+kπ C. x=kπ/2 D. x=kπ
Lời giải:
Đạo hàm của hàm số là : y'=2-2sin2x
Để y^'=2 khi và chỉ khi: 2- 2sin 2x = 2
⇔ sin2x= 0 ⇔2x= kπ ⇔ x= kπ/2
Chọn C.
Câu 7: Cho hàm số y= x3 +3x + sin3x. Tập nghiệm của bất phương trình y^' ≤0
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Ta có đạo hàm: y'=3x2+3+3cos3x
Với mọi x ta luôn có: cos3x ≥ -1 nên 3cos3x ≥ -3
⇒ 3+ 3cos3x ≥0 ( 1)
Mà 3x2 ≥0 với mọi x. ( 2)
Từ ( 1) và ( 2) suy ra; y'=3x2+3+3cos3x ≥0
⇒Để y'≤0 khi và chỉ khi 3x2+3+3cos3x=0
Vậy nghiệm của bất phương trình y'≤0 là x= 0
Chọn B. .
Câu 8: Cho hàm số y= x + √x+ sin2 x. Giải bất phương trình y'≥0
Lời giải:
Điều kiện: x ≥0
Taị các điểm x > 0 hàm số đã cho có đạo hàm:
Câu 9: Cho hàm số: y= cos ( 2x- π/3) . sin (2x- π/4) . Giải phương trình y’= 2
Lời giải:
Đạo hàm của hàm số đã cho là ;
Câu 10: Cho hàm số y= tan( x3 + 3x2+ 3x+ 9). Giải phương trình y'=0?
A. x= 0 B. x = 2 C. x= -1 D. Đáp án khác
Lời giải:
+ Điều kiện cos( x3+3x2+3x+9)≠0
+ Tại các điểm x thỏa mãn điều kiện xác định; hàm số có đạo hàm :
+ Với x= -1 ta có: cos( x3+3x2+3x+9)=cos8≠0 ( thỏa mãn điều kiện xác định)
Vậy nghiệm của phương trình y’= 0 là x= - 1
Chọn C.
Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác:
Các bài toán về vi phân, đạo hàm cấp cao và ý nghĩa của đạo hàm
Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải
Phép tịnh tiến và cách giải các dạng bài tập
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền
- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.
2021 © All Rights Reserved.