Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Công thức phép quay (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024 gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Công thức phép quay (50 bài tập minh họa) HAY NHẤT 2024

1. Lý thuyết

* Định nghĩa: Cho điểm O và góc lượng giác $\alpha$. Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM’ = OM và góc lượng giác (OM; OM’) bằng $\alpha$ được gọi là phép quay tâm O góc $\alpha$.

Điểm O được gọi là tâm quay, còn $\alpha$ được gọi là góc quay của phép quay đó.

Phép quay tâm O góc $\alpha$ biến điểm M thành M’ thường được kí hiệu là $Q_{\left(O,\alpha \right)}.$

$Q_{\left(O,\alpha \right)}\left(M\right)=M\text{'}\iff \left\{\begin{array}{l}OM=OM\text{'}\\ \left(OM,OM\text{'}\right)=\alpha \end{array}\right..$

* Tính chất:

- Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.

- Biến đường thẳng thành đường thẳng.

- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

- Biến tam giác thành tam giác bằng nó.

- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

2. Công thức

Phép quay tâm O, góc 90⁰: $Q_{\left(O;90°\right)}\left[M\left(x;y\right)\right]=M\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right)$. Khi đó: $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=-y\\ y\text{'}=x\end{array}\right.$

Phép quay tâm O, góc -90⁰: $Q_{\left(O;-90°\right)}\left[M\left(x;y\right)\right]=M\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right)$. Khi đó: $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=y\\ y\text{'}=-x\end{array}\right.$

Phép quay tâm O, góc 180⁰: $Q_{\left(O;180°\right)}\left[M\left(x;y\right)\right]=M\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right)$. Khi đó: $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=-y\\ y\text{'}=-x\end{array}\right.$

Tổng quát: 

Phép quay tâm O, góc quay $\alpha$: $Q_{\left(O;\alpha \right)}\left[M\left(x;y\right)\right]=M\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right)$.

Khi đó: $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=x\cos \alpha -y\sin \alpha \\ y\text{'}=x\sin \alpha +y\cos \alpha \end{array}\right.$

Phép quay tâm I(a;b), góc quay $\alpha$: $Q_{\left(I;\alpha \right)}\left[M\left(x;y\right)\right]=M\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right)$.

Khi đó: $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=a+\left(x-a\right)\cos \alpha -\left(y-b\right)\sin \alpha \\ y\text{'}=b+\left(x-a\right)\sin \alpha +\left(y+b\right)\cos \alpha \end{array}\right.$

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1;5).

a) Tìm tọa độ điểm B là ảnh của điểm A qua phép quay tâm O(0; 0) góc quay –90⁰.

b) Tìm tọa độ điểm C là ảnh của điểm A qua phép quay tâm O(0; 0) góc quay 45⁰.

Lời giải

a) Điểm B là ảnh của điểm A qua phép quay Q_(O,-90^o₎

Cách 1: Vẽ hình

Dựa vào vẽ, ta suy ra B(5;1).

Cách 2: Áp dụng công thức:

Do Q_(O,-90^o₎(A) = B nên $\left\{\begin{array}{l}{x}_B=y_A=5\\ y_B=-x_A=1\end{array}\right.$. Vậy B(5;1).

b) Điểm C là ảnh của điểm A qua phép quay Q_(O,45^o₎

Áp dụng công thức tọa độ: $\left\{\begin{array}{l}{x}_c=x_A\cos \alpha -y_A\sin \alpha \\ y_c=x_A\sin \alpha +y_A\cos \alpha \end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_c=\left(-1\right)\cos 45°-5\sin 45°\\ y_c=\left(-1\right)\sin 45°+5\cos 45°\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_c=-3\sqrt{2}\\ y_c=2\sqrt{2}\end{array}\right.$

Vậy $C\left(-3\sqrt{2};2\sqrt{2}\right)$

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: 5x – 3y + 15 = 0.

Tìm đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép quay tâm O(0;0) góc quay –90⁰.

Lời giải

Đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép quay Q_(O,-90^o₎

Cách 1:

Do Q_(O,-90^o₎(d) = d’ nên $d\text{'}\perp d$. Do đó phương trình d’ có dạng: 3x + 5y + c = 0.

Lấy điểm $M\left(-3;0\right)\in d$, gọi $M\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right)\in d\text{'}$ là ảnh của điểm M qua phép quay Q_(O,-90^o₎

Suy ra: $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=y_M=0\\ y\text{'}=-x_M=3\end{array}\right.\Rightarrow M\text{'}\left(0;3\right).$

Do $M\text{'}\left(0;3\right)\in d\text{'}$ nên 3.0 + 5.3 + c = 0$\Rightarrow c=-15$

Vậy d’ có phương trình là 3x + 5y – 15 = 0.         

Cách 2:

Với mọi điểm $M\left(x;y\right)\in d,M\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right)\in d\text{'}$ sao cho Q_(O,-90^o₎(M) = M’.

Khi đó ta có: $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=y\\ y\text{'}=-x\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-y\text{'}\\ y=x\text{'}\end{array}\right..$

Do $M\left(x;y\right)\in d$ nên ta có 5x – 3y + 15 = 0

$\begin{array}{l}\iff 5\left(-y\text{'}\right)–3x\text{'}+15=0\\ \iff 3x’+5y’–15=0\end{array}$

Do $M\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right)\in d\text{'}$ nên d' có phương trình: 3x + 5y – 15 = 0.

4. Bài tập vận dụng

Câu 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1;-5). Tìm ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay 90⁰

A. N(5;1)

B. N(5;-1)

C. N(1;5)

D. N(1;-5)

Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: 5x – 2y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O, góc quay -180⁰

A. d’: 5x – 2y + 6 = 0

B. d’: 5x – 2y – 3 = 0        

C. d’: 2x – 5y – 3 = 0

D. d’: 2x – 5y + 6 = 0

Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x² + y² + 6x + 5 = 0. Ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay 90⁰ là:

A. x² + (y – 3)² = 4

B. x² + y² + 6x – 6 = 0

C. x² + (y + 3)² = 4

D. x² + y² + 6x – 5 = 0

Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 3)² + y² = 4. Phép quay tâm O(0;0) góc quay 90⁰ biến (C) thành (C’) có phương trình:

A. x² + y² - 6x + 5 = 0

B. x² + y² - 6y + 6 = 0

C. x² + y² + 6x - 6 = 0

D. x² + y² - 6y + 5 = 0

Câu 5: Cho một tam giác ABC tâm O. gọi A, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Q(0; 120⁰)(∆ODC) = ∆OFA      

B. Q(0; 120⁰)(∆AOF) = ∆BOD

C. Q(0; 120⁰)(∆AOB) = ∆AOC      

D. Q(0; 60⁰)(∆OFE) = ∆ODE

Câu 6: Dựng ra phía ngoài tam giác vuông cân ABC đỉnh A các tam giác đều ABD và ACE. Góc giữa hai đường thẳng BE và CD là:

A. 90⁰      

B. 60⁰

C. 45⁰      

D. 30⁰

Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(1;0). Phép quay tâm O góc quay 45⁰ biến M thành M’ có tọa độ

Bài 8: Cho hình lục giác ABCDEF, tâm O. mệnh đề nào sau đây sai?

A. phép quay tâm O góc quay 60⁰ biến tam giác BCD thành tam giác ABC.

B. phép quay tâm O góc quay 120⁰ biến tam giác OEC thành tam giác OCA

C. phép quay tâm O góc quay -60⁰, biến tam giác AFD thành tam giác FEC.

D. phép quay tâm O góc quay -120⁰ biến tam giác BCD thành tam giác DEF.

Bài 9: Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C. dựng các tam giác đều ABD, BCE về cùng phía đối với đường thẳng AC. Gọi F, G lần lượt là trung điểm của các cạnh AE và DC. Tam giác BFG là:

A. tam giác thường      

B. tam giác vuông đỉnh B

C. tam giác cân đỉnh B      

D. tam giác đều

Bài 10: Cho hình thoi ABCD có góc A bằng 60⁰.

 a) Phép biến hình nào sau đây biến AB thành BC?

A. Đ0      

B. $\overrightarrow{T2OC}$

C. Q(D; 60⁰)      

D. Q(B; 120⁰)

b) Phép biến hình nào sau đây không biến A thành C?

A. ĐBD      

B. $\overrightarrow{T2OC}$

C. Q(B; 120⁰)      

D. Q(B; 120⁰)

5. Bài tập tự luyện 

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác ta dựng các hình vuông ABDE và ACFH. Gọi I là trung điểm của cạnh BCE

a. Chứng minh rằng AE = CD

b. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AE và CD. Chứng minh rằng tam giác BIJ là một tam giác đều

Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Điểm A chạy trên nửa đường tròn đó. Dựng về phía ngoài của tam giác ABC hình vuông ABEF. Chứng minh rằng E chạy trên một nửa đường tròn cố định

Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A (3; 4). Hãy tìm toạ độ điểm A’ là ảnh của A qua phép quay tâm O góc $90°$

Bài 4: Cho hình vuông ABCD tâm O. M là trung điểm của AB, N là trung điểm của OA. Tìm ảnh của tam giác AMN qua phép quay tâm O góc $90°$

Bài 5: Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài của tam giác các hình vuông BCIJ, ACMN, ABEF và gọi O, P, Q lần lượt là tâm đối xứng của chúng

a. Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh rằng DOP là tam giác vuông cân đỉnh D

b. Chứng minh AO vuông góc với PQ và AO = PQ

Bài 6: Dựng tam giác đều biết ba đỉnh nằm trên bốn cạnh của một hình bình hành cho trước

Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm B (-3; 6). Tìm tọa độ điểm E sao cho B là ảnh của E qua phép quay tâm O góc quay -$90°$

Bài 8: Cho hình vuông tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc quay $\alpha$, $0<\alpha \le 2\pi$ biến hình vuông trên thành chính nó?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M (2; 0) và điểm N (0; 2). Phép quay tâm O biến điểm M thành điển N, khi đó góc quay của nó là bao nhiêu?
Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A (3; 0). Tìm tọa độ ảnh A¢ của điểm A qua phép quay $Q_O^{90°}$

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác:

Công thức phép vị tự

Công thức phép đồng dạng

Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng và cách giải bài tập

Hai đường thẳng song song trong không gian và cách giải bài tập

Đường thẳng và mặt phẳng song song và cách giải bài tập