Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Công thức Chứng minh hai mặt phẳng song song (HAY NHẤT 2024) gồm đầy đủ các phần: Lý thuyết, phương pháp giải, bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp học sinh làm tốt bài tập Toán 11 từ đó học tốt môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Phương pháp giải Công thức Chứng minh hai mặt phẳng song song (HAY NHẤT 2024)

1. Lý thuyết

a) Định nghĩa

Hai mặt phẳng  được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

Tức là: $\left(\alpha \right)//\left(\beta \right)$$\iff \left(\alpha \right)\cap \left(\beta \right)=\varnothing$

b) Tính chất

Định lý 1:

Nếu mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau  và hai đường thẳng này cùng song song với mặt phẳng $\left(\beta \right)$ thì $\left(\alpha \right)//\left(\beta \right)$.

Tức là:$\left\{\begin{array}{l}a,b\subset \left(\alpha \right)\\ a\cap b=M\\ a//\left(\beta \right)\\ b//\left(\beta \right)\end{array}\right.$$\Rightarrow \left(\alpha \right)//\left(\beta \right)$

Định lý 2:

Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

Hệ quả 1:

Nếu $d//\left(\alpha \right)$ thì trong $\left(\alpha \right)$ có một đường thẳng song song với d và qua d có duy nhất một mặt phẳng song song với $\left(\alpha \right)$.

Hệ quả 2:

Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song.

Tức là:$\left\{\begin{array}{l}\left(\alpha \right)//\left(\gamma \right)\\ \left(\beta \right)//\left(\gamma \right)\\ \left(\alpha \right)\ne \left(\beta \right)\end{array}\right.$$\Rightarrow \left(\alpha \right)//\left(\beta \right)$

Hệ quả 3:

Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng $\left(\alpha \right)$. Mọi đường thẳng đi qua A và song song với $\left(\alpha \right)$ đều nằm trong mặt phẳng qua A song song với $\left(\alpha \right)$.

Tức là:$\left\{\begin{array}{l}A\notin \left(\alpha \right)\\ A\in d\\ d//\left(\alpha \right)\end{array}\right.$$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}d\subset \left(\beta \right)\\ A\in \left(\beta \right)//\left(\alpha \right)\end{array}\right.$

Định lý 3:

Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến đó song song với nhau.

Tức là:$\left\{\begin{array}{l}\left(\alpha \right)//\left(\beta \right)\\ \left(\gamma \right)\cap \left(\alpha \right)=a\\ \left(\gamma \right)\cap \left(\beta \right)=b\end{array}\right.$$\Rightarrow b//a$

Hệ quả:

Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau

$\left\{\begin{array}{l}\left(\alpha \right)\text{//}\left(\beta \right)\\ a\cap \left(\alpha \right)=A,\text{ a}\cap \left(\beta \right)=B\\ b\cap \left(\alpha \right)=A^{\text{'}},\text{ b}\cap \left(\beta \right)=B^{\text{'}}\\ \text{a//b}\end{array}\right.$

$\Rightarrow AB=A\text{'}B\text{'}$

2. Công thức

Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song

Dựa vào định lý 1 và hệ quả như sau:

Định lý 1:$\left\{\begin{array}{l}a,b\subset \left(\alpha \right)\\ a\cap b=M\\ a//\left(\beta \right)\\ b//\left(\beta \right)\end{array}\right.$$\Rightarrow \left(\alpha \right)//\left(\beta \right)$

Hệ quả 2 (của định lý 1):$\left\{\begin{array}{l}\left(\alpha \right)//\left(\gamma \right)\\ \left(\beta \right)//\left(\gamma \right)\\ \left(\alpha \right)\ne \left(\beta \right)\end{array}\right.$$\Rightarrow \left(\alpha \right)//\left(\beta \right)$

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Chứng minh (OMN) // (SBC).

Lời giải

+ Vì O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD

+ Xét tam giác SBD có N, O là trung điểm của SD và BD

Nên NO là đường trung bình của tam giác SBD.

Do đó NO // SB mà $SB\subset \left(SBC\right)$ nên NO // (SBC)

+ Tương tự MO // SC (Vì MO là đường trung bình của tam giác SAC)

Mà $SC\subset \left(SBC\right)$ nên MO // (SBC)

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}NO,MO\subset \left(MNO\right)\\ NO\cap MO=O\\ NO//\left(SBC\right)\\ MO//\left(SBC\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left(MNO\right)//\left(SBC\right)$

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm SA, SB, SC.

a) Chứng minh (MNP) // (ABC).

b) Gọi H, G, L lần lượt là trọng tâm tam giác SAB, SAC, SBC. Chứng minh (HGL) // (MNP).

Lời giải

a) Ta có

MN là đường trung bình của tam giác SAB nên MN // AB mà $AB\subset \left(ABC\right)$nên MN // (ABC)

NP là đường trung bình của tam giác SBC nên NP // BC mà $BC\subset \left(ABC\right)$nên NP // (ABC)

Ta có:$\left\{\begin{array}{l}MN,NP\subset \left(MNP\right)\\ MN\cap NP=N\\ MN//\left(ABC\right)\\ NP//\left(ABC\right)\end{array}\right.$$\Rightarrow \left(MNP\right)//\left(ABC\right)$

b) Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC

Vì H, G, L lần lượt là trọng tâm tam giác SAB, SAC, SBC nên $\frac{SH}{SI}=\frac{SG}{SJ}=\frac{SL}{SK}=\frac{2}{3}$

Xét tam giác SIJ có $\frac{SH}{SI}=\frac{SG}{SJ}=\frac{2}{3}$ nên HG // IJ mà $IJ\subset \left(ABC\right)$ nên HG // (ABC)

Tương tự HL // IK mà $IK\subset \left(ABC\right)$ nên HL // (ABC)

Ta có:$\left\{\begin{array}{l}HG,HL\subset \left(HGL\right)\\ HG\cap HL=H\\ HG//\left(ABC\right)\\ HL//\left(ABC\right)\end{array}\right.$$\Rightarrow \left(HGL\right)//\left(ABC\right)$

Lại có (MNP) // (ABC) nên (HGL) // (MNP).

4. Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SA. Mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng nào dưới đây:

A. (MNP) // (SBC)

B. (MNP) // (SCD)

C. (MNP) // (SBD)

D. (MNP) // (SAC)

Câu 2. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M, N, H lần lượt là trung điểm của AB, AC, A’B’. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. (AHC’) // (MB’C)

B. (AHC’) // (BB’C’C)

C. (AHC’) // (MB’C’)

D. (AHC’) // (MNB)

Câu 3: Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’. Gọi H là trung điểm của A’B’. Mặt phẳng (AHC’) song song với đường thẳng nào sau đây?

A. CB’        B. BB’        C. BC         D. BA’

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O , gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA; SD. Chọn mệnh đề sai?

A. OM // mp(SBC)

B. ON // mp(SAB)

C. (OMN) // (SBC)

D. (OMN) và (SBC) cắt nhau

Câu 5: Cho hình bình hành ABCD. Vẽ các tia Ax; By, Cz, Dt song song, cùng hướng nhau và không nằm trong mp (ABCD). Mp (α) cắt Ax;By, Cz, Dt lần lượt tại A’, B’,C’, D’. Khẳng định nào sau đây sai?

A. A’B’C’D’ là hình bình hành

B. mp(AA’B’B) // (DD’C’C)

C. AA’ = CC’ và BB’ = DD'

D. OO’ // AA’

Trong đó O là tâm hình bình hành ABCD , O’ là giao điểm của A’C’ và B’D’

Câu 6: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Tìm mệnh đề đúng ?

A. (CBE) // (ADF)

B. (ADB) // (CEF)

C. (CDF) // (ABE)

D. Không có hai mặt phẳng nào song song

Câu 7: Cho hình lăng trụ ABC.A1B1C1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. (ABC) // (A₁B₁C₁)

B. AA₁ // (BCC₁)

C. AB // (A₁B₁C₁)

D. AA₁BB₁ là hình chữ nhật

Câu 8: Cho hình hộp ABCD.A₁B₁C₁D₁. Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. ABCD là hình bình hành

B. Các đường thẳng A₁C; AC₁; DB₁; D₁B đồng quy

C. (ADD₁A₁) // (BCC₁B₁)

D. AD₁CB là hình chữ nhật

Câu 9: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M ; P và Q lần lượt là trung điểm của AB ; CD và C’D’. Gọi N là trung điểm của AM. Tìm mệnh đề đúng ?

A. (NPC’) // (ADC)

B. (MCC’) // (NPQ)

C. (PMC’) // (DNB’)

D. (MCC’) // (APQ)

Câu 10: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và A’B’C’D’. Gọi G là giao điểm của CD’và C’D. Tìm mệnh đề đúng ?

A. (OAG) // (O’CC’)

B. (OBG) // (PAO’)

C. (ODG) // (AO’D’)

D. Tất cả sai

5. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm của A’B’. Đường thẳng B’C song song với mặt phẳng nào sau đây ?

A. (AHC’)        B. (AA’H)        C. (HAB)        D.(HA’C’)

Lời giải:

Chọn A

Gọi K là giao điểm của B’C và BC’, gọi I là trung điểm của BA

   + Do HB’ = AI = AB/2 và HB’ // AI

⇒ tứ giác AHB’I là hình bình hành.

⇒ AH // B’I  (1)

   + Xét tam giác ABC’ có I và K lần lượt là trung điểm của AB và BC’.

⇒ IK là đường trung bình của tam giác ABC’

Nên IK // AC’    (2)

   + Từ (1) và (2) suy ra: (AHC’) // (B’CI)

Mà B’C ⊂ (B’CI)

⇒ B’C // mp(AHC’)

Câu 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Mặt phẳng (AB’D’)song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?

A. (BCA’)       B. (BC’D)       C. (A’C’C)       D. (BDA’)

Lời giải:

Chọn B

   + Do BDD’B’ là hình bình hành nên BD // B’D’   (1)

   + Do ADC’B’ là hình bình hành nên AB’ // DC’   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: mp(AB’D’) // mp(BC’D)

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’,B’,C’,D’ lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC và SD. Chọn mệnh đề sai ?

A. A’B’ // (ABCD)

B. A’C’ // (ABCD)

C. A’C’ // BD

D. (ACD) // (A’B’C’)

Lời giải:

Chọn C

   + Do A’ và B’ lần lượt là trung điểm của SA và SB

⇒ A’B’ là đường trung bình của tam giác SAB và A’B’ // AB

Mà AB ⊂ (ABCD) nên A’B’ // (ABCD)   (1)

⇒ A đúng

   + Do A’ và C’ lần lượt là trung điểm của SA và SC

⇒ A’C’ là đường trung bình của tam giác SAC và A’C’ // AC

Mà AC ⊂ (ABCD) nên A’C’ // (ABCD)  (2)

⇒ B đúng

   + Từ (1) và (2) và kết hợp với A’B’ và A’C’ là hai đường thẳng cắt nhau tại A’ và cùng thuộc mp(A’B’C’D’) ta suy ra: mp(ABCD) // mp(A’B’C’D’)

⇒ D đúng

Câu 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’. Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’. Tìm mặt phẳng song song với mp(CA’M’).

A. mp(AMB’)

B. mp(GMC’)

C. mp(GBG’)

D. mp(AGA’)

Lời giải:

   + Xét tứ giác CMB’M’ có:

=> Tứ giác CMB’M’ là hình bình hành

=> CM’// MB’.

   + Xét tứ giác CBB’C’ có M và M’ lần lượt là trung điểm của BC; B’C’

=> MM’ là đường trung bình của CBB’C’ và MM’// BB’; MM’= BB’⇒ AA’// MM’và AA’= MM’ ( chú ý tính chất hình lăng trụ)

⇒ Tứ giác AMM’A’ là hình bình hành.

⇒ AM // A’M’

   + xét hai mp(CA’M’) và mp(AMB’):

Chọn A

Câu 5: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong 2 mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M; N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M và N lần lượt cắt AD; AF tại M’; N’. Tìm mặt phẳng song song với (DEF)

A. (NN’C)        B. (AMM’)       C. (BMC)       D. (MNN’M’)

Lời giải:

   + Nhận xét: Hai hình vuông ABCD và ABEF có chung cạnh AB nên hai hình vuông này có độ dài các cạnh bằng nhau

⇒ Độ dài các đường chéo bằng nhau: AC = BF

   + Xét tam giác ACD có MM’ // CD // AB nên:

AM'/AD = AM/AC (định lí Ta-let)  (1)

   + Xét tam giác FAB có NN’ // AB nên:

BN/BF = AN'/AF (định lí Ta-let)  (2)

Mà BN = AM và AC = BF   (3)’

Từ (1); (2); (3) suy ra:

Câu 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bên AA’; BB’; CC’ và DD’. Khẳng định nào dưới đây sai?

A. (AA’B’B) // (DD’C’C)

B. (BA’D’) // (ADC’)

C. A’B’CD là hình bình hành

D. BB’D’D là một tứ giác

Lời giải:

Dựa vào hình vẽ dưới và tính chất của hình hộp, ta thấy rằng:

- Hai mặt bên (AA’B’B) và (DD’C’C) đối diện, song song với nhau- Hình hộp có hai đáy (ABCD) ; (A’B’C’D’) là hình bình hành

⇒ A’B’ = CD và A’B’ // CD

suy ra A’B’CD là hình hình hành.

- BD // B’D’ suy ra B; B’; D; D’ đồng phẳng nên BB’D’D là tứ giác

- Mặt phẳng (BA’D’) chứa đường thẳng CD’ mà CD’ cắt C’D suy ra (BA’D’) không song song với mặt phẳng (AD’C)

Chọn B

Câu 7: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M; N và P lần lượt là trung điểm của AA’; BB’ và CC’. Tìm mệnh đề sai?

A. BP // mp (A’NC’)

B. mp(MPB) // mp(A’C’N)

C. mp(ABC) // mp(A’B’C’)

D. A’N // mp(ABC)

Lời giải:

   + Ta có ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên mp(ABC) // mp(A’B’C’) (tính chất hình lăng trụ). Nên C đúng.

   + Xét tứ giác BNB’P có:

⇒ tứ giác BNC’P là hình bình hành

⇒ BP // NC’

Mà NC’ ⊂ mp(A’NC’) nên BP // mp(A’NC’)

⇒ A đúng.

   + Do M và P lần lượt là trung điểm của AA’ và CC’

⇒ MP // AC // A’C’

   + Xét mp(MPB) và mp(A’C’N) có:

⇒ mp(MPB) // mp(A’C’N)

⇒ B đúng

⇒ D sai

Chọn D

Câu 8: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BB’ và CC’. Gọi Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và (A’B’C’) Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Δ // AB         B. Δ // AC         C. Δ // BC         D. Δ // AA'

Lời giải:

Ta có:

MN ⊂ (AMN)

B'C' ⊂ (A'B'C')

MN || B'C'

⇒ Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và (A’B’C’) sẽ song song với MN và B’C’

Suy ra Δ // BC

Chọn C

Câu 9: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M; N; P; K và H lần lượt là trung điểm của AB; BC; CD; C’D’ và A’D’. Tìm mệnh đề sai?

A. MN // mp(HKD)

B. mp(B’MN) // mp(HKD)

C. DK // mp(MNB’)

D. C’P // mp(NB’D’)

Lời giải:

   + Xét tam giác ABC có M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC.

⇒ MN là đường trung bình của tam giác ABC và MN // AC    (1)   + Tương tự; HK là đường trung bình của tam giác A’D’C’ nên HK // A’C’   (2)

Mà AC // A’C’ ( tính chất của hình hộp)

⇒ MN // HK (*)

Mà HK ⊂ mp(HKD) nên MN // mp(HKD)

⇒ A đúng

   + Hình bình hành ABCD có MP là đường trung bình nên MP // BC và MP = BC

Lại có: BC // B’C’ và BC = B’C’

⇒ MP // B’C’ và MP = B’C’

⇒ Tứ giác MPC’B’ là hình bình hành.

⇒ MB’ // PC’   (3)

   + dễ chứng minh được tứ giác DPC’K là hình bình hành nên DK // PC’  (4)

Từ (3) và (4) suy ra: MB’ // DK   (**)

Mà MB’ ⊂ mp(MNB’) nên DK // mp (MNB’)

⇒ C đúng

   + từ (*) và (**) suy ra: B. mp(B’MN) // mp(HKD).

⇒ B đúng

Chọn D

Xem các Phương pháp giải bài tập hay, chi tiết khác: 

Định lý Ta-lét trong không gian

Hai mặt phẳng song song và cách giải bài tập

Công thức Giao tuyến của ba mặt phẳng và hệ quả

Công thức Chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian

Công thức Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng