Diện tích hình chữ nhật mới là: ${\displaystyle \frac{90}{100}}a.{\displaystyle \frac{90}{100}}b$ 

Diện tích hình chữ nhật ban đầu là: $a.b$

Phần diện tích bị giảm đi là : $ab-{\displaystyle \frac{90}{100}}a.{\displaystyle \frac{90}{100}}b$ $=ab$ $-{\displaystyle \frac{81}{100}}ab$  $={\displaystyle \frac{19}{100}}ab$

Vậy diện tích của hình giảm đi $19\mathrm{\%}$ so với diện tích hình ban đầu.

Bài 15 Trang 157 SBT Toán 8 Tập 1 Diện tích hình chữ nhật bằng 48 $c{m}^2$$,$ một cạnh của nó có độ dài $8cm.$ Đường thẳng song song với một trong các cạnh của hình chữ nhật chia hình chữ nhật đó thành hai hình chữ nhật bằng nhau. Tính chu vi của mỗi hình chữ nhật được tạo thành.

Phương pháp giải:

Gợi ý: Để chia hình chữ nhật thành hai hình chữ nhật bằng nhau ta kẻ đường thẳng song song với một trong các cạnh của hình chữ nhật tại trung điểm của cạnh còn lại.

Lời giải:

Diện tích hình chữ nhật $48$ $c{m}^2$, một cạnh có độ dài bằng $8cm,$ độ dài cạnh kia :

$48:8=6$ $(cm)$

Có hai cách vẽ đường thẳng song song với một trong các cạnh của hình chữ nhật để chia hình chữ nhật đó thành hai hình chữ nhật bằng nhau.

Cách 1:

Chia hình chữ nhật bởi trung điểm của chiều dài thì ta có hai hình chữ nhật bằng nhau có kích thước là $4cm$ và $6cm.$

Chu vi mỗi hình là: $(4+6).2=20$ $(cm)$

Cách 2: 

Chia hình chữ nhật bởi trung điểm của chiều rộng thì ta có hai hình chữ nhật bằng nhau có kích thước là $8cm$ và $3cm.$

Chu vi mỗi hình là: $(8+3).2=22(cm).$

Bài 16 Trang 157 SBT Toán 8 Tập 1 Tính các cạnh của một hình chữ nhật, biết rằng bình phương của độ dài một cạnh là $16$ $(cm)$ và diện tích của hình chữ nhật là $28$ $c{m}^2$.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật: $S=ab$ với $a,b$ lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.

Lời giải:

Gọi độ dài hai cạnh của hình chữ nhật là $a$ và $b$ $(a>0,b>0).$

Theo bài ra, giả sử ta có :

$a^2=16$ và $ab=28$

$a^2=16$ nên $a=4(cm)$ (vì $a>0$) 

Suy ra $b=28:a=28:4=7$ $(cm)$

Vậy hai kích thước là $4cm$ và $7cm.$

Bài 17 Trang 157 SBT Toán 8 Tập 1 Tính các cạnh của một hình chữ nhật, biết tỉ số các cạnh là ${\displaystyle \frac{4}{9}}$ và diện tích của nó là $144.$

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật: $S=ab$ với $a,b$ lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.

Lời giải:

Gọi độ dài hai cạnh hình chữ nhật là $a$ và $b$ $(0<a<b).$

Theo bài ra ta có: ${\displaystyle \frac{a}{b}}$  $={\displaystyle \frac{4}{9}}$ và $ab=144$

Vì ${\displaystyle \frac{a}{b}}$  $={\displaystyle \frac{4}{9}}$ nên $a={\displaystyle \frac{4}{9}}b$

Thay $a={\displaystyle \frac{4}{9}}b$ vào $ab=144$, ta có:

 ${\displaystyle \frac{4}{9}}b$$.b=144$ hay $b^2=144:{\displaystyle \frac{4}{9}}=144.{\displaystyle \frac{9}{4}}=324={18}^2$

$\Rightarrow b=18$ $(cm)$ $\Rightarrow a={\displaystyle \frac{4}{9}}.18=8$ $(cm)$

Vậy hai kích thước là $8cm$ và $18cm.$

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý Pi-ta-go vào tam giác vuông có cạnh huyền là c và hai cạnh góc vuông a, b, ta có: $a^2+b^2=c^2$

Công thức tính diện tích tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông a, b là: $S={\displaystyle \frac{1}{2}}ab$

Lời giải:

Gọi độ dài cạnh góc vuông của tam giác vuông cân là $a$ ($0<a<l$ )

Theo định lý Pi-ta-go vào tam giác vuông, ta có: $a^2+a^2=l^2$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow 2a^2=l^2\Rightarrow a^2=\frac{l^2}{2}\\ & S=\frac{1}{2}a.a=\frac{1}{2}.a^2=\frac{1}{2}.\frac{l^2}{2}=\frac{1}{4}{l}^2\end{array}$

Vậy diện tích tam giác là $S={\displaystyle \frac{1}{4}}{l}^2$

Bài 19 Trang 158 SBT Toán 8 Tập 1 Tính diện tích các hình trên hình $182$ (mỗi ô vuông là một đơn vị diện tích ).

Hãy giải thích vì sao được tính như vậy.

Phương pháp giải:

Cắt ghép hình sao cho hợp lí để thành hình chữ nhật

Áp dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật: $S=ab$

Lời giải:

Hình $A$ cắt rời thành hai tam giác ghép lại được một hình chữ nhật có một cạnh $3$ ô vuông và một cạnh $2$ ô vuông nên có diện tích $6$ ô vuông ($6$ đơn vị diện tích)

Hình $B$ là một hình thang cân, cắt theo đường cao kẻ từ một đỉnh của đáy nhỏ ghép lại ta được một hình chữ nhật có cạnh $3$ ô vuông và một cạnh $2$ ô vuông nên diện tích bằng $6$ ô vuông ($6$ đơn vị diện tích)

Hình $C$ là hình thang vuông, cắt phần nhọn ghép lên ta được một hình chữ nhật có một cạnh là $3$ ô vuông và một cạnh $2$ ô vuông nên diện tích bằng $6$ ô vuông ($6$ đơn vị diện tích)

Hình $D$ ta lấy diện tích hình vuông có cạnh $5$ ô vuông trừ đi phần khuyết của $4$ góc mỗi góc là một nửa ô vuông ta có diện tích là: $5.5–4.{\displaystyle \frac{1}{2}}=25–2=23$ ô vuông ($23$ đơn vị diện tích).

Bài 20 Trang 158 SBT Toán 8 Tập 1 Trên giấy kẻ ô vuông, hãy vẽ:

a) Hai hình chữ nhật có cùng chu vi nhưng khác diện tích.

b) Hai hình chữ nhật có kích thước khác nhau nhưng cùng diện tích.

Phương pháp giải:

Công thức tính chu vi hình chữ nhật: $C=(a+b).2$

Công thức tính diện tích hình chữ nhật: $S=ab$

(với a, b là các kích thước của hình chữ nhật)

Lời giải:

Ta có hình vẽ dưới đây:

* Hình a:

Chu vi mỗi hình lần lượt là $(2+3).2=10$ và $(1+4).2=10$ (đơn vị độ dài)

Diện tích hai hình lần lượt là: $3.2=6$ và $4.1=4$ ( đơn vị diện tích).

* Hình b:

Chu vi mỗi hình lần lượt là: $(6+1).2=14$ và $(3+2).2=10$ ( đơn vị độ dài).

Diện tích hai hình bằng nhau và bằng: $6.1=3.2=6$ ( đơn vị diện tích).

Bài 21 Trang 158 SBT Toán 8 Tập 1

Cho hình bình hành $ABCD$$(h.183).$Từ $A$và $C$kẻ $AH$và $CK$vuông góc với đường chéo$BD.$ Chứng minh rằng hai tam giác $ABCH$ và $ADCK$ có cùng diện tích

Phương pháp giải:

Chứng minh các tam giác bằng nhau để có:

$S_{ABC}=S_{CDA}$   

$S_{AHC}=S_{CKA}$

Suy ra: $S_{ABC}+S_{AHC}=S_{CDA}+S_{CKA}$

Hay $S_{ABCH}=S_{ADCK}$

Lời giải:

Xét $∆ABC$ và $∆CDA$ có: 

$AC$ chung

$AB=CD$ (Vì $ABCD$ là hình bình hành)

$BC=DA$ (Vì $ABCD$ là hình bình hành)

Suy ra $∆ABC=∆CDA(c.c.c)$

$\Rightarrow S_{ABC}=S_{CDA}$     $(1)$

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

$ABCD$ là hình bình hành nên $OA=OC$ (tính chất hình bình hành)

Xét hai tam giác vuông $AOH$ và $CKO$ có:

$OA=OC$ (cmt)

$\widehat{AOH}=\widehat{COK}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }AOH=\mathrm{\Delta }COK$ (cạnh huyền-góc nhọn)

$\Rightarrow AH=CK$ (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác: $AH,CK$ cùng vuông góc với $BD$ nên $AH//CK$

Tứ giác $AHCK$ có $AH=CK$ (cmt) và $AH//CK$ (cmt) nên $AHCK$ là hình bình hành. 

Do đó: $AK=CH$ (tính chất hình bình hành)

Xét $∆AHC$ và $∆CKA$ có:

$AC$ chung

$CH=AK$ (cmt)

$AH=CK$ (cmt)

$\Rightarrow$ $∆AHC=∆CKA(c.c.c)$

$\Rightarrow S_{AHC}=S_{CKA}$    $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra:

$S_{ABC}+S_{AHC}=S_{CDA}+S_{CKA}$

Hay $S_{ABCH}=S_{ADCK}$

Bài 22 Trang 158 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình bình hành $ABCD$ $(h.184).$ Đường phân giác của các góc $A$ và $C$ cắt đường chéo $BD$ tại $E,F.$

a) Chứng minh rằng hai hình $ABCFE$ và $ADCFE$ có cùng diện tích.

b) Các hình đó có phải đa giác lồi không? Vì sao?

Phương pháp giải:

a) Chứng minh $S_{ABE}=S_{CDF}$

$S_{AED}=S_{CFB}$

Từ đó suy ra: $S_{ABCFE}=S_{ADCFE}$

b) Định nghĩa: Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó.

Lời giải:

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\hat{A}=\hat{C}$, mà $AE,CF$ lần lượt là phân giác góc A và góc C nên $\widehat{BAE}=\widehat{DAE}={\displaystyle \frac{\widehat{BAD}}{2}}$ và $\widehat{DCF}=\widehat{BCF}={\displaystyle \frac{\widehat{DCB}}{2}}$

Suy ra $\widehat{BAE}=\widehat{DAE}=\widehat{DCF}=\widehat{BCF}$

Xét $∆ABE$ và $∆CDF$ có:

$\widehat{BAE}=\widehat{DCF}$ (chứng minh trên)

$AB=CD$ (vì $ABCD$ là hình bình hành)

$\widehat{ABE}=\widehat{FDC}$ (hai góc ở vị trí so le trong)

$\Rightarrow ∆ABE=∆CDF(g.c.g)$

$\Rightarrow S_{ABE}=S_{CDF}$ $(1)$

Xét $∆AED$ và $∆CFB$ có:

$\widehat{DAE}=\widehat{BCF}$ (chứng minh trên)

$AD=CB$ (vì $ABCD$ là hình bình hành)

$\widehat{ADE}=\widehat{FBC}$ (hai góc ở vị trí so le trong)

$\Rightarrow ∆AED=∆CFB(g.c.g)$

$\Rightarrow S_{AED}=S_{CFB}$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra:

$S_{ABE}+S_{CFB}=S_{CDF}+S_{AED}$

Hay $S_{ABCFE}=S_{ADCFE}$

b. Hình $ABCFE$ không phải đa giác lồi vì nó nằm trên hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa cạnh $EF.$

Hình $ADCFE$ không phải là đa giác lồi vì nó nằm trên hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa cạnh $EF.$

Bài 23 Trang 158 SBT Toán 8 Tập 1 Trên hình $185,$ các tứ giác $ABCD$ và $EFCH$ đều là hình bình hành. Điểm $E$ nằm trên đường chéo $AC.$

a) Chứng minh rằng đa giác $AEHD$ và hình $ABCFE$ có cùng diện tích.

b) $ABCFE$ có phải là đa giác lồi không? Vì sao?

Phương pháp giải:

a) $S_{ABC}=S_{CDA}$

$S_{EFC}=S_{CHE}$

$S_{ABC}-S_{EFC}=S_{CDA}-S_{CHE}$

Hay $S_{ABCFE}=S_{AEHD}$

b) Định nghĩa: Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó.

Lời giải:

a) Xét $∆ABC$ và $∆CDA$ có:

$AB=CD$ ( vì $ABCD$ là hình bình hành)

$BC=AD$ ( vì $ABCD$ là hình bình hành)

$AC$ chung

$\Rightarrow ∆ABC=∆CDA(c.c.c)$

$\Rightarrow S_{ABC}=S_{CDA}$ (1)

Xét $∆EFC$ và $∆CHE$ có:

$EF=HC$ (vì $EFCH$ là hình bình hành)

$FC=EH$ (vì $EFCH$ là hình bình hành)

$EC$ chung

$\Rightarrow ∆EFC=∆CHE(c.c.c)$

$\Rightarrow S_{EFC}=S_{CHE}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$S_{ABC}-S_{EFC}=S_{CDA}-S_{CHE}$

Hay $S_{ABCFE}=S_{AEHD}$

 b) Hình $ABCFE$ không phải đa giác lồi vì nó nằm trên hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa cạnh $CF.$

Bài 24 Trang 159 SBT Toán 8 Tập 1 Cho một tam giác vuông cân. Chứng minh rằng tổng diện tích của hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông bằng diện tích của hình vuông dựng trên cạnh huyền (không sử dụng định lý Py-ta-go)

Phương pháp giải:

Chia các hình vuông thành các tam giác vuông cân rồi lập luận.

Lời giải:

Gọi $S$ là diện tích của tam giác $ABC$

Hình vuông có cạnh $AB$ được chia thành hai tam giác vuông cân bằng $∆ABC$ nên diện tích hình vuông cạnh $AB$ bằng $2S$

Hình vuông có cạnh $AC$ được chia thành hai tam giác vuông cân bằng $∆ABC$ nên có diện tích bằng $2S$

Hình vuông $BC$ được chia thành $4$ hình tam giác vuông cân bằng $∆ABC$ nên có diện tích bằng $4S$

Vì $4S=2S+2S$ nên diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền bằng tổng diện tích hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông.

Bài 2.1 Trang 159 SBT Toán 8 Tập 1 a) Nền của một phòng học có dạng hình chữ nhật, với chiều rộng đo được là $4m$ và chiều dài là $6m.$ Để có thể lát kín nền đó cần bao nhiêu viên gạch có hình vuông, với cạnh là $33,33cm?$