Toptailieu.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 8 Bài 4: Diện tích hình thang chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 4: Diện tích hình thang

Bài 32 Trang 161 SBT Toán 8 Tập 1 Tính $x,$ biết đa giác ở hình $188$ có diện tích là $3375m^2$

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác: $S={\displaystyle \frac{1}{2}}ah$ với $a;h$ lần lượt là độ dài cạnh đáy và chiều cao tương ứng.

Công thức tính diện tích hình thang: $S={\displaystyle \frac{a+b}{2}}.h$ với $a;b$ là độ dài hai đáy và $h$ là độ dài chiều cao hình thang.

Lời giải:

Hình đa giác đã cho gồm một hình thang và một hình tam giác.

Diện tích phần hình thang là $S_1,$ diện tích hình tam giác là $S_2$

$S_1={\displaystyle \frac{50+70}{2}}.30=1800$ ($m^2$)

$S_2=S-S_1=3375-1800=1575$ ($m^2$)

Lại có: $S_2={\displaystyle \frac{1}{2}}h.70$

Nên chiều cao $h$ của tam giác là:

$h={\displaystyle \frac{2S_2}{70}}={\displaystyle \frac{2.1575}{70}}=45$ $(m)$

Độ dài $x=45+30=75(m)$

Bài 33 Trang 161 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình chữ nhật $ABCD$ có cạnh $AB=5cm,BC=3cm.$ Vẽ hình bình hành $ABEF$ có cạnh $AB=5cm$ và có diện tích bằng diện tích của hình chữ nhật $ABCD.$ Vẽ được bao nhiêu hình $ABEF$ như vậy?

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật: $S=ab$ với $a;b$ là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.

Diện tích hình bình hành: $S=ah$ với $a;h$ lần lượt là cạnh đáy và chiều cao tương ứng.

Lời giải:

Trên $CD$ ta lấy điểm $E$ bất kì ($E$ khác $C$ và $D$). Từ $A$ kẻ đường thẳng song song với $BE$ cắt đường thẳng $CD$ tại $F$.

Tứ giác $ABEF$ có các cạnh đối song song với nhau nên $ABEF$ là hình bình hành

Ta có diện tích hình chữ nhật $ABCD$ bằng: $S_{ABCD}=AB.AD$

Diện tích hình bình hành $ABEF$ bằng: $S_{ABEF}=AD.EF=AB.AD$ (vì $EF=AB$ do $ABEF$ là hình bình hành)

Suy ra: $S_{ABCD}=S_{ABEF}$ 

Vậy với mỗi điểm E bất kì trên CD, ta dựng được hình bình hành $ABEF$ thỏa mãn $S_{ABCD}=S_{ABEF}$ 

Ta có thể vẽ được vô số hình như vậy.

Bài 34 Trang 161 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình chữ nhật $ABCD$ có cạnh $AB=5cm,BC=3cm.$ Vẽ hình bình hành $ABEF$ có các cạnh $AB=5cm,BE=5cm$ và có diện tích bằng diện tích của hình chữ nhật $ABCD.$ Vẽ được mấy hình $ABEF$ như vậy ?

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật: $S=ab$ với $a;b$ là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.

Diện tích hình bình hành: $S=ah$ với $a;h$ lần lượt là cạnh đáy và chiều cao tương ứng.

Lời giải:

Vẽ cung tròn tâm $B$ bán kính $5cm$ cắt Đường thẳng $CD$ tại hai điểm $E$ và $E^{\prime }$ (vì ta có $BA>BC$)

Nối $BE,$ từ $A$ kẻ đường thẳng song song với $BE$ cắt đường thẳng $CD$ tại $F$

Nối $B{E}^{\prime },$ từ $A$ kẻ đường thẳng song song với $B{E}^{\prime }$ cắt đường thẳng $CD$ tại $F^{\prime }$

Ta có hình bình hành $ABEF$ và hình bình hành $AB{E}^{\prime }{F}^{\prime }$ có cạnh $AB=5cm,BE=5cm,B{E}^{\prime }=5cm,$ có diện tích bằng $AD.AB=3.5=15c{m}^2$ và bằng diện tích hình chữ nhật $ABCD.$

Có thể vẽ được hai hình như vậy.

Bài 35 Trang 161 SBT Toán 8 Tập 1 Tính diện tích của một hình thang vuông, biết hai đáy có độ dài là $2cm$ và $4cm,$ góc tạo bởi một cạnh bên và đáy lớn có số đo bằng ${45}^0.$

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính diện tích hình thang: $S={\displaystyle \frac{a+b}{2}}.h$ với $a;b$ là độ dài hai đáy và $h$ là chiều cao của hình thang.

Lời giải:

Xét hình thang vuông $ABCD$ có:

$\hat{A}=\hat{D}={90}^0;\hat{C}={45}^0$

Kẻ $BE\perp CD$

Trong tam giác vuông $BEC$ có $\widehat{BEC}={90}^0$

$\hat{C}={45}^{\circ }\Rightarrow$$∆BEC$ vuông cân tại $E$

$\Rightarrow BE=EC$

Tứ giác $ABED$ có ba góc vuông $\hat{A}=\hat{D}=\widehat{BED}={90}^0$ nên $ABED$ là hình chữ nhật.

$\Rightarrow DE=AB=2cm$

$EC=DC–DE=4–2=2(cm)$ $\Rightarrow BE=2cm$

$S_{ABCD}={\displaystyle \frac{1}{2}}.BE\left(AB+CD\right)$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}.2.\left(2+4\right)=6(c{m}^2)$

Bài 36 Trang 161 SBT Toán 8 Tập 1 Tính diện tích hình thang, biết các đáy có độ dài là $7cm$ và $9cm,$ một trong các cạnh bên dài $8cm$ và tạo với đáy một góc có số đo bằng $30°$

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính diện tích hình thang: $S={\displaystyle \frac{a+b}{2}}h$ với $a;b$ là độ dài hai đáy và $h$ là chiều cao hình thang.

Trong tam giác vuông có 1 góc nhọn bằng ${30}^0$ thì cạnh đối diện với góc ${30}^0$ bằng một nửa cạnh huyền.

Lời giải:

Xét hình thang $ABCD$ có đáy $AB=7cm$ và $CD=9cm,$ cạnh bên $BC=8cm,$ $\hat{C}={30}^{\circ }$

Kẻ $BE\perp CD.$ Tam giác vuông $CBE$ có $\hat{E}={90}^{\circ }$ và $\hat{C}={30}^{\circ }$

$\Rightarrow BE={\displaystyle \frac{1}{2}}CB=4$$(cm)$ (trong tam giác vuông, cạnh đối diện với góc ${30}^0$ bằng một nửa cạnh huyền) 

$S_{ABCD}={\displaystyle \frac{AB+CD}{2}}.BE$ $={\displaystyle \frac{7+9}{2}}.4=32(c{m}^2)$

Bài 37 Trang 162 SBT Toán 8 Tập 1 Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua trung điểm của đường trung bình của hình thang và cắt hai đáy hình thang sẽ chia hình thang đó thành hai hình thang có diện tích bằng nhau.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất đường trung bình của hình thang bằng nửa tổng hai đáy.

Công thức tính diện tích hình thang: $S={\displaystyle \frac{a+b}{2}}.h$

Lời giải:

Giả sử hình thang $ABCD$ có $AB//CD,$ đường trung bình là $MN.$ Gọi $I$ là trung điểm của $MN,$ đường thẳng bất kỳ đi qua $I$ cắt $AB$ tại $P$ và $CD$ tại $Q$

Ta có hai hình thang $APQD$ và $BPQC$ có chung đường cao.

$MI$ là đường trung bình của hình thang $APQD:$

$\Rightarrow MI={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(AP+QD\right)$

$IN$ là đường trung bình của hình thang $BPQC:$

$\Rightarrow IN={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(BP+QC\right)$

$S_{APQD}={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(AP+QD\right).AH$ $=MI.AH$ $(1)$

$S_{BPQC}={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(BP+QC\right).AH$ $=NI.AH$ $(2)$

$IM=IN$ (gt) $(3)$

Từ $(1),(2)$ và $(3)$ suy ra : $S_{APQD}=S_{BPQC}$ không phụ thuộc vào $P$ và $Q$

Bài 38 Trang 162 SBT Toán 8 Tập 1 Diện tích hình bình hành bằng 24 $c{m}^2$. Khoảng cách từ giao điểm hai đường chéo đến các cạnh hình bình hành bằng $2cm$ và $3cm.$ Tính chu vi của hình bình hành đó.

Phương pháp giải:

Diện tích hình bình hành bằng tích giữa chiều cao và cạnh đáy: $S=a.h$

Chu vi hình bình hành: $P=(a+b).2$ với $a;b$ là độ dài hai cạnh kề nhau của hình bình hành.

Lời giải:

Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo hình bình hành $ABCD,$ khoảng cách từ $O$ đến cạnh $AB$ là $OH=2cm,$ đến cạnh $BC$ là $OK=3cm.$

Kéo dài $OH$ cắt cạnh $CD$ tại $H^{\prime }$

$OH\perp AB\Rightarrow O{H}^{\prime }\perp CD$ (do AB//DC) và $O{H}^{\prime }=2cm$

nên $H{H}^{\prime }$ bằng đường cao của hình bình hành

$\begin{array}{rl}& S_{ABCD}=H{H}^{\prime }.AB\\ & \Rightarrow AB=\frac{S_{ABCD}}{H{H}^{\prime }}=\frac{24}{4}=6(cm)\end{array}$

Kéo dài $OK$ cắt $AD$ tại $K^{\prime }$

$OK\perp BC\Rightarrow O{K}^{\prime }\perp AD$ (do AD//BC) và $O{K}^{\prime }=3(cm)$

nên $K{K}^{\prime }$ là đường cao của hình bình hành

$$\begin{gathered} S_{ABCD}=K{K}^{\prime }.BC \\ \Rightarrow BC=\begin{array}{r}\frac{S_{ABCD}}{K{K}^{\prime }}\end{array}=\begin{array}{r}\frac{24}{6}\end{array}=4 \end{gathered}$$$(cm)$

Chu vi hình bình hành $ABCD$ là:

$(6+4).2=20$ $(cm)$

Bài 39 Trang 162 SBT Toán 8 Tập 1 Một hình chữ nhật có các kích thước $a$ và $b.$ Một hình bình hành cùng có hai cạnh là $a$ và $b.$ Tính góc nhọn của hình bình hành nếu diện tích của nó bằng một nửa diện tích của hình chữ nhật ($a$ và $b$ có cùng đơn vị đo)

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật bằng tích chiều dài với chiều rộng: $S=ab$

Công thức tính diện tích hình bình hành bằng tích cạnh đáy với chiều cao tương ứng: $S=ah$

Lời giải:

Xét hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $AB=a,$ chiều rộng $AD=b.$

$\Rightarrow S_{ABCD}=ab$

Hình bình hành $MNPQ$ có góc $M$ là góc tù, $MN=a,$ cạnh $MQ=b$

Kẻ đường cao $MH$

$S_{MNPQ}=MH.a$

Theo bài ra ta có : $MH.a={\displaystyle \frac{1}{2}}a.b$

$\Rightarrow MH={\displaystyle \frac{1}{2}}b$ hay $MH={\displaystyle \frac{MQ}{2}}$

$∆MHQ$ vuông tại $H$ và $MH={\displaystyle \frac{MQ}{2}}$

Cạnh đối diện góc nhọn bằng một nửa cạnh huyền nên $\widehat{MQH}={30}^{\circ }$

Vậy góc nhọn của hình bình hành bằng ${30}^{\circ }$

Bài 40 Trang 162 SBT Toán 8 Tập 1 Hai cạnh của một hình bình hành có độ dài là $6cm$ và $8cm.$ Một trong các đường cao có độ dài là $5cm.$ Tính độ dài đường cao thứ hai. Hỏi bài toán có mấy đáp số ?

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính diện tích hình bình hành bằng tích cạnh đáy với chiều cao tương ứng: $S=ah$ 

Lời giải:

Giả sử hình bình hành $ABCD$ có $AB=8cm,AD=6cm.$

Kẻ $AH\perp CD,AK\perp BC$ 

Ta có $5cm<6cm;5cm<8cm$

Đường cao là cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền thỏa mãn có hai trường hợp:

+) Nếu $AK=5cm,$ khi đó

$\begin{array}{l}{S}_{ABCD}=AK.BC=5.6=30(c{m}^2)\\ S_{ABCD}=AH.AD=8.AH\\ \Rightarrow 8.AH=30\\ \Rightarrow AH={\displaystyle \frac{30}{8}}={\displaystyle \frac{15}{4}}(cm)\end{array}$

+) Nếu $AH=5cm$

$\begin{array}{l}{S}_{ABCD}=AH.CD=5.8=40(c{m}^2)\\ S_{ABCD}=AK.BC=6.AK\\ \Rightarrow 6.AK=40\\ \Rightarrow AK={\displaystyle \frac{40}{6}}={\displaystyle \frac{20}{3}}(cm)\end{array}$

Vậy đường cao thứ hai có độ dài là ${\displaystyle \frac{15}{4}}(cm)$ cm hoặc ${\displaystyle \frac{20}{3}}$ $(cm)$

Bài 41 Trang 162 SBT Toán 8 Tập 1 Một hình chữ nhật và một hình bình hành đều có hai cạnh là $a$ và $b$. Hỏi hình nào có diện tích lớn hơn ($a$ và $b$ có cùng đơn vị đo) ?

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật bằng tích chiều dài với chiều rộng: $S=ab$

Công thức tính diện tích hình bình hành bằng tích cạnh đáy và chiều cao tương ứng: $S^{\prime }=ah$

Lời giải:

Hình chữ nhật có hai cạnh là $a$ và $b$ thì diện tích hình chữ nhật: $S=ab$

Hình bình hành có hai cạnh là $a$ và $b$ thì có diện tích hình bình hành: $S^{\prime }=ah$ với $h$ là đường cao ứng với cạnh $a$.

Do đường vuông góc phải ngắn hơn đường xiên nên $h<b$. Khi đó $S^{\prime }=ah<ab=S$ 

Trong hình bình hành, nếu $h^{\prime }$ là đường cao ứng với cạnh $b$ thì $h^{\prime }<a$ (đường vuông góc phải ngắn hơn đường xiên). Khi đó, diện tích hình bình hành là: $S^{\prime }=h^{\prime }.b<a.b=S$

Vậy $S^{\prime }<S$ hay diện tích hình bình hành nhỏ hơn diện tích hình chữ nhật.

Bài 4.1 Trang 162 SBT Toán 8 Tập 1 a) Hình thang $ABCD,$ đáy lớn $AB=10cm,$ đáy nhỏ $CD=6cm$ và đường cao $DE=5cm.$

b) Hình thang cân $ABCD,$ đáy nhỏ $CD=6cm,$ đường cao $DH=4cm$ và cạnh bên $AD=5cm.$

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính diện tích hình thang bằng tích của nửa tổng hai đáy với chiều cao: $S={\displaystyle \frac{a+b}{2}}.h$

Lời giải:

a) Áp dụng công thức tính diện tích hình thang.

$S={\displaystyle \frac{a+b}{2}}.h={\displaystyle \frac{10+6}{2}}.5$ $=40(c{m}^2)$

b)Xét hình thang cân $ABCD$ có $AB//CD$

Đáy nhỏ $CD=6cm,$ cạnh bên $AD=5cm$

Đường cao $DH=4cm.$ Kẻ $CK\perp AB$

Ta có tứ giác $CDHK$ là hình chữ nhật (vì có $DC//HK,DH//CK$ (cùng vuông với AB) và $DH\mathrm{\perp }HK$)

Suy ra $HK=CD=6cm$

$∆AHD$ vuông tại $H.$ Theo định lý Pi-ta-go ta có: $A{D}^2=A{H}^2+D{H}^2$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \mathrm{A}{\mathrm{H}}^2=A{D}^2-D{H}^2=5^2-4^2 \\ =25-16=9\Rightarrow AH=3cm \end{gathered}$$

Xét hai tam giác vuông $DHA$ và $CKB:$

$\widehat{DHA}=\widehat{CKB}={90}^{\circ }$

$AD=BC$ (tính chất hình thang cân)

$\hat{A}=\hat{B}$  (do ABCD là hình thang cân)

Do đó: $∆DHA=∆CKB$ (cạnh huyền, góc nhọn)

$\Rightarrow KB=AH=3(cm)$

$AB=AH+HK+KB$ $=3+6+3=12(cm)$

$S_{ABCD}={\displaystyle \frac{AB+CD}{2}}.DH$ $={\displaystyle \frac{12+6}{2}}.4=36(c{m}^2)$

Bài 4.2 Trang 162 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình thang $ABCD$ có đáy nhỏ $CD$ và đáy lớn $AB$

a) Hãy vé tam giác $ADE$ mà diện tích của nó bằng diện tích hình thang đã cho. Từ đó suy ra cách tính diện tích hình thang dựa vào độ dài hai cạnh đáy và độ dài đường cao của hình thang.

b) Hãy chia hình thang đã cho thành hai phần có diện tích bằng nhau bằng một đường thẳng đi qua đỉnh $D$ của nó.

Phương pháp giải:

a) Chứng minh $∆DFC=∆EFB(g.c.g)$

b) Gọi $K$ là trung điểm của $AE,$ nối $K$ với $D.$ Từ đó chia hình hợp lí để hình thang đã cho chia thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Lời giải:

a) Từ điểm C kẻ đường thẳng k song song với BD và k cắt đường thẳng AB tại E.

Khi đó ta có $DC//BE$ và $BD//CE$ nên $DCEB$ là hình bình hành

Gọi F là giao điểm của DE và BC, suy ra F là trung điểm của DE và BC (tính chất) 

Hay $FD=FE,FC=FB$ 

Suy ra $∆DFC=∆EFB(c.g.c)$

Do đó $S_{DFC}=S_{EFB}$ (*)

Ta có: 

$\begin{array}{l}{S}_{ABCD}=S_{ADEB}+S_{DFC}\\ S_{ADE}=S_{ADEB}+S_{FBE}\end{array}$

Kết hợp với (*) suy ra: $S_{ABCD}=S_{ADE}$

Vì $DCEB$ là hình bình hành $\Rightarrow DC=BE$

$AE=AB+BE=AB+DC$

$$\begin{gathered} S_{ADE}={\displaystyle \frac{1}{2}}DH.AE \\ ={\displaystyle \frac{1}{2}}DH.\left(AB+CD\right) \end{gathered}$$

Vậy : $S_{ABCD}={\displaystyle \frac{1}{2}}DH.\left(AB+CD\right)$

b) 

Dựa trên hình vẽ câu a ta chọn điểm $K$ là trung điểm $AE.$

Ta nối $DK$ cắt hình thang theo đường $DK$ ta có hai phần diện tích bằng nhau:

Một phần là $∆ADK$ có $AK={\displaystyle \frac{AB+CD}{2}}$

Một phần là hình thang $BCDK$ có hai đáy $CD+BK={\displaystyle \frac{AB+CD}{2}}$

Và có chiều cao bằng nhau nên có diện tích bằng nhau.

Bài 4.3 Trang 162 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình bình hành $ABCD$ có diện tích $S.$ Trên cạnh $BC$ lấy hai điểm $M,N$ sao cho $BM=MN=NC=$ ${\displaystyle \frac{1}{3}}BC$

a) Tính diện tích của tứ giác $ABMD$ theo $S$

b) Từ điểm $N$ kẻ $NT$ song song với $AB$ ($T$ thuộc $AC$). Tính diện tích của tứ giác $ABNT$ theo $S$

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính diện tích hình bình hành bằng tích cạnh đáy và chiều cao tương ứng: $S=ah$

Công thức tính diện tích hình tam giác bằng nửa tích cạnh đáy và chiều cao tương ứng: $S={\displaystyle \frac{1}{2}}ah$

Lời giải:

a) $∆DMC$ có $CM={\displaystyle \frac{2}{3}}BC$

Hình bình hành $ABCD$ và $∆DMC$ có chung đường cao kẻ từ đỉnh $D$ đến $BC.$

Gọi độ dài đường cao là $h,BC=a$

Ta có diện tích hình bình hành $ABCD$ là $S=a.h$

$\begin{array}{l}{S}_{DMC}={\displaystyle \frac{1}{2}}h.{\displaystyle \frac{2}{3}}a={\displaystyle \frac{1}{3}}ah={\displaystyle \frac{1}{3}}S\\ S_{ABMD}=S_{ABCD}-S_{DMC}\\ =S-{\displaystyle \frac{1}{3}}S={\displaystyle \frac{2}{3}}S\end{array}$

b) $S_{ABC}=\begin{array}{r}\frac{1}{2}\end{array}{S}_{ABCD}=\begin{array}{r}\frac{S}{2}\end{array}$ (do ABCD là hình bình hành nên đường chéo AC chia ABCD thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau)

$CN=\begin{array}{r}\frac{1}{3}\end{array}BC,$ $NT//AB.$

Theo tính chất đường thẳng song song cách đều $\Rightarrow CT=\begin{array}{r}\frac{1}{3}\end{array}AC$

$∆ABC$ và $∆BTC$ có chung chiều cao kẻ từ đỉnh $B,$ đáy $CT=\begin{array}{r}\frac{1}{3}\end{array}AC$

$\Rightarrow S_{BTC}=\begin{array}{r}\frac{1}{3}\end{array}{S}_{ABC}=\begin{array}{r}\frac{1}{3}\end{array}.\begin{array}{r}\frac{S}{2}\end{array}=\begin{array}{r}\frac{S}{6}\end{array}$

$∆BTC$ và $∆TNC$ có chung chiều cao kẻ từ đỉnh $T,$ cạnh đáy $CN=\begin{array}{r}\frac{1}{3}\end{array}CB$

$\begin{array}{l}\Rightarrow S_{TNC}={\displaystyle \frac{1}{3}}{S}_{BTC}={\displaystyle \frac{1}{3}}.{\displaystyle \frac{S}{6}}={\displaystyle \frac{S}{18}}\\ \Rightarrow S_{ABNT}=S_{ABC}-S_{TNC}\\ ={\displaystyle \frac{S}{2}}-{\displaystyle \frac{S}{18}}={\displaystyle \frac{4S}{9}}\end{array}$