Toptailieu.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 8 Bài 3: Diện tích tam giác chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 3: Diện tích tam giác

Bài 25 Trang 159 SBT Toán 8 Tập 1 Hai đường chéo của hình chữ nhật chia hình chữ nhật thành bốn tam giác. Diện tích của các tam giác đó có bằng nhau không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Chứng minh các tam giác bằng nhau, từ đó suy ra diện tích của các tam giác đó bằng nhau.

Lời giải:

Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật $ABCD$ 

$\Rightarrow OA=OB=OC=OD$ (tính chất hình chữ nhật)

$∆OAB=∆OCD(c.g.c)$  $\Rightarrow S_{OAB}=S_{OCD}$ (1)

$∆OAD=∆OBC(c.g.c)$  $\Rightarrow S_{OAD}=S_{OBC}$ (2)

Kẻ $AH\perp BD$

$\begin{array}{rl}& S_{OAD}=\frac{1}{2}AH.OD\\ & S_{OAB}=\frac{1}{2}AH.OB\end{array}$ 

Suy ra: $S_{OAD}=S_{OAB}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

$S_{OAB}=S_{OBC}=S_{OCD}=S_{ODA}$

Bài 26 Trang 159 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $ABC$ có đáy $BC$ cố định và đỉnh $A$ di động trên một đường thẳng $d$ cố định song song với đường thẳng $BC.$ Chứng minh rằng tam giác $ABC$ luôn có diện tích không đổi.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác: $S={\displaystyle \frac{1}{2}}ah$ với $h;a$ lần lượt là chiều cao và cạnh đáy tương ứng.

Lời giải:

Đường thẳng d cố định song song với đường thẳng BC cố định nên khoảng cách hai đường thẳng d và BC là không đổi.

$∆ABC$ có đáy $BC$ không đổi, chiều cao $AH$ là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song không đổi. Vậy điểm $A$ thay đổi trên đường thẳng $d//BC$ thì $S_{ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}AH.BC$ không đổi.

Bài 27 Trang 159 SBT Toán 8 Tập 1 Tam giác $ABC$ có đáy $BC$ cố định và dài $4cm.$ Đỉnh $A$ di chuyển trên đường thẳng $d$ ($d\perp BC$). Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ xuống đường thẳng $BC.$

a. Điền vào ô trống trong bảng sau:

b) Vẽ đồ thị biểu diễn số đo $S_{ABC}$ theo độ dài AH

c) Diện tích tam giác ABC có tỉ lệ thuận với chiều cao AH không?

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác: $S={\displaystyle \frac{1}{2}}ah$ với $h$ là chiều cao tương ứng với cạnh đáy $a$.

Lời giải:

a) Ta có $S_{ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}BC.AH$$={\displaystyle \frac{1}{2}}.4.AH=2AH$

Ta có bảng sau:

b) $S_{ABC}$ là hàm số của chiều cao $AH.$

Gọi $y$ là diện tích của $∆ABC$ $\left(c{m}^2\right)$ và độ dài $x$ là độ dài $AH$ (cm) thì $y=2x$

Ta có đồ thị như hình sau:

c) Diện tích của tam giác tỉ lệ thuận với chiều cao vì $S_{ABC}=k.AH$ ( với k = 2 không đổi)

Bài 28 Trang 160 SBT Toán 8 Tập 1 Tính diện tích của hình 186 theo các kích thước đã cho trên hình ($a,b,c$ có cùng đơn vị đo).

Phương pháp giải:

Chia hình đã cho thành hình tam giác và hình chữ nhật.

Diện tích tam giác bằng nửa tích chiều cao với cạnh đáy tương ứng

Diện tích hình chữ nhật bằng tích chiều dài với chiều rộng

Lời giải:

Diện tích phần là hình chữ nhật là:

$S_1=bc$ (đơn vị diện tích)

Phần hình tam giác có cạnh đáy là $c$ và chiều cao tương ứng là $a-b$

Diện tích phần hình tam giác là:

$S_2={\displaystyle \frac{1}{2}}c.\left(a-b\right)$ (đơn vị diện tích)

Diện tích hình vẽ đó là:

$S=bc+{\displaystyle \frac{c}{2}}\left(a-b\right)$ (đơn vị diện tích)

Bài 29 Trang 160 SBT Toán 8 Tập 1 Hai cạnh của một tam giác có độ dài là $5cm$ và $6cm.$ Hỏi diện tích của tam giác đó có thể lấy giá trị nào trong các giá trị sau:

a) $10$ $c{m}^2$

b) $15$ $c{m}^2$

c) $20$ $c{m}^2$

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác: $S={\displaystyle \frac{1}{2}}ah$

Tính chất của đường vuông góc và đường xiên.

Lời giải:

Giả sử hai cạnh của tam giác là $5cm$ và $6cm.$ Diện tích của tam giác tính theo hai cạnh khác nhau là:

$S={\displaystyle \frac{1}{2}}.5.h$ hoặc $S={\displaystyle \frac{1}{2}}.6.k$

(với $h$ và $k$ là đường cao ứng với cạnh đáy là $5$ và $6$ của hai tam giác.)

Theo tính chất của đường vuông góc và đường xiên thì ta có $h\le 6$ và $k\le 5$

Suy ra diện tích của tam giác là: $S\le {\displaystyle \frac{1}{2}}.5.6$ hay $S\le 15$ 

Vậy diện tích của tam giác có thể bằng $10$ $c{m}^2$ hoặc $15c{m}^2$ nhưng không thể bằng $20c{m}^2.$

Bài 30 Trang 160 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác $ABC,$ biết $AB=3AC.$ Tính tỉ số hai đường cao xuất phát từ các đỉnh $B$ và $C.$

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác: $S={\displaystyle \frac{1}{2}}ah$ với $h;a$ lần lượt là độ dài chiều cao và cạnh đáy tương ứng.

Lời giải:

Trong tam giác $ABC$ kẻ đường cao $BH$ và $CK$ 

Ta có: $S_{ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}AB.CK={\displaystyle \frac{1}{2}}AC.BH$

Suy ra: $AB.CK=AC.BH$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{BH}{CK}}={\displaystyle \frac{AB}{AC}}$

Mà $AB=3AC$ (gt) $\Rightarrow {\displaystyle \frac{BH}{CK}}={\displaystyle \frac{3AC}{AC}}=3$

Vậy đường cao $BH$ dài gấp $3$ lần đường cao $CK.$

Bài 31 Trang 160 SBT Toán 8 Tập 1 Các điểm $E,F,G,H,K,L,M,N$ chia mỗi cạnh hình vuông $ABCD$ thành ba đoạn thẳng bằng nhau. Gọi $P,Q,R,S$ là giao điểm của $EH$ và $NK$ với $FM$ và $GL$ (h.187). Tính diện tích của ngũ giác $AEPSN$ và của tứ giác $PQRS,$ biết $AB=6cm.$

Phương pháp giải:

Biết diện tích hai tam giác vuông $EBH$ và $NDK$ thì tính được diện tích còn lại. Diện tích còn lại được chia thành năm phần bằng nhau, từ đó diện tích ngũ giác là một phần rưỡi và diện tích của tứ giác là hai phần.

Lời giải:

Diện tích hình vuông $ABCD$ bằng $6.6=36$ ($c{m}^2$)

Diện tích tam giác $DKN$ bằng:

${\displaystyle \frac{1}{2}}.4.4=8$ ($c{m}^2$)

Diện tích tam giác $EBH$ bằng: ${\displaystyle \frac{1}{2}}.4.4=8$ ($c{m}^2$)

Diện tích phần còn lại là : $36–(8+8)=20$ ($c{m}^2$)

Trong tam giác vuông $AEN$, theo định lý Pytago ta có:

$E{N}^2=A{N}^2+A{E}^2$ $=4+4=8$ 

$EN=$ $2\sqrt{2}$ $(cm)$

Trong tam giác vuông $BHE$,  theo định lý Pytago ta có:

$E{H}^2=B{E}^2+B{H}^2$ $=16+16=32$

$EH=$ $4\sqrt{2}$ $(cm)$

Diện tích hình chữ nhật $ENKH$ bằng  $2\sqrt{2}.$  $4\sqrt{2}$ $=16$ ($c{m}^2$)

Nối đường chéo $BD.$ Théo tính chất đường thẳng song song cách đều ta có hình chữ nhật $ENKH$ được chia thành $4$ phần bằng nhau nên diện tích tứ giác $PQRS$ chiếm $2$ phần và bằng 8 $c{m}^2$

Diện tích $\Delta AEN$ bằng ${\displaystyle \frac{1}{2}}.2.2=2\left(c{m}^2\right)$

Vậy $S_{AEPSN}=S_{AEN}+S_{EPSN}$

$=2+{\displaystyle \frac{16}{4}}=6$ ($c{m}^2$)

Bài 3.1 Trang 160 SBT Toán 8 Tập 1 a) Có thể dùng kéo cắt hai lần và chỉ cắt theo đường thẳng chia một tam giác (thường) thành ba mảnh để ghép lại được một hình chữ nhật hay không ?

Từ đó suy ra công thức tính diện tích tam giác thường dựa vào công thức tính diện tích hình chữ nhật.

b) Hãy chia một tam giác thành $2$ phần có diện tích bằng nhau bởi một đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác đó.

c) Hãy chia một tam giác thành $4$ phần có diện tích bằng nhau bởi ba đường thẳng, trong đó chỉ có một đường đi qua đỉnh của tam giác đó.

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức tính diện tích tam giác: $S={\displaystyle \frac{1}{2}}ah$ với $a;h$ lần lượt là độ dài cạnh đáy và chiều cao tương ứng.

Lời giải:

a) Xét $∆ABC.$ Kẻ đường cao $AH.$ Gọi $M$ là trung điểm của $AC,N$ là trung điểm của $AB.$

Từ $M$ kẻ đường thẳng song song $AH$ cắt $BC$ tại $K$

Từ $N$ kẻ đường thẳng song song $AH$ cắt $BC$ tại $L$

Từ $A$ kẻ đường thẳng song song $BC$ cắt hai đường thẳng $MK$ và $NL$ tại $T$ và $R$

Ta có: $∆MKC=∆MTA$ (g-c-g)

$∆NLB=∆NAR$ (g-c-g)

Cắt $∆ABC$ theo đường $MK$ và $NL$ ta ghép lại được một hình chữ nhật $KTRL$ có diện tích bằng diện tích tam giác $ABC$

b) Ta đã biết hai tam giác có cạnh đáy bằng nhau và chung chiều cao thì có diện tích bằng nhau. Giả sử $∆ABC.$ Gọi $M$ là trung điểm của $BC$

Cắt tam giác $ABC$ theo đường $AM$ chia tam giác $ABC$ ra hai phần có diện tích bằng nhau.

c) Tương tự như trên câu b.

Xét $∆ABC.$ Gọi $M$ là trung điểm của $BC$

$N$ là trung điểm của $AC,P$ là trung điểm của $AB$

Cắt tam giác $ABC$ theo đường $AM$ ta có hai phần có diện tích bằng nhau

Cắt tam giác $AMC$ theo đường $MN$ ta có hai phần có diện tích bằng nhau

Cắt tam giác $AMB$ theo đường $MP$ ta có hai phần diện tích bằng nhau, ta có diện tích bốn phần chia bằng nhau.

Bài 3.2 Trang 161 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác đều $ABC$ và điểm $M$ bất kì nằm trong tam giác đó. Đường thẳng đi qua điểm $M$ và vuông góc với $BC$ tại điểm $H.$ Đường thẳng đi qua điểm $M$ và vuông góc với $CA$ tại điểm $K.$ Đường thẳng đi qua điểm $M$ và vuông góc với $AB$ tại điểm $T.$

Chứng minh rằng $MH+MK+MT$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm $M.$

Phương pháp giải:

Gợi ý: Tổng diện tích của tam giác $MBC,MCA,MAB$ bằng diện tích của tam giác $ABC$

Lời giải:

Giả sử $∆ABC$ đều có cạnh bằng $a,$ kẻ đường cao $AD,$ đặt $AD=h$ không đổi.

Ta có:

$\begin{array}{l}{S}_{ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}ah\\ S_{MAB}={\displaystyle \frac{1}{2}}MT.a\\ S_{MAC}={\displaystyle \frac{1}{2}}MK.a\\ S_{MBC}={\displaystyle \frac{1}{2}}MH.a\\ S_{ABC}=S_{MAB}+S_{MAC}+S_{MBC}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}ah={\displaystyle \frac{1}{2}}MT.a+{\displaystyle \frac{1}{2}}MK.a\\ +{\displaystyle \frac{1}{2}}MH.a\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}ah={\displaystyle \frac{1}{2}}a(MT+MK+MH)\\ \Rightarrow MT+MK+MH=h\end{array}$ 

$\Rightarrow MT+MK+MH=h$ không đổi

Vậy tổng $MT+MK+MH$ không phụ thuộc vào điểm $M.$

Bài 3.3 Trang 161 SBT Toán 8 Tập 1 a) Cho hai tam giác $ABC$ và $DBC.$ Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $ABC.$ Kẻ đường cao $DK$ của tam giác $DBC.$ Gọi $S$ là diện tích của tam giác $ABC.$ Gọi $S^{\prime }$ là diện tích của tam giác $DBC.$

Chứng minh rằng ${\displaystyle \frac{S}{S^{\prime }}}={\displaystyle \frac{DK}{AH}}$

b) Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ bất kì nằm trong tam giác đó. Kẻ các đường cao của tam giác đó là $AD,BE$ và $CF.$ Đường thẳng đi qua điểm $M$ và song song với $AD$ cắt cạnh $BC$ tại điểm $H.$ Đường thẳng đi qua điểm $M$ và song song với $BE$ cắt cạnh $AC$ tại điểm $K.$ Đường thẳng đi qua điểm $M$ và song song với $CF$ cắt cạnh $BA$ tại điểm $T.$

Chứng minh rằng ${\displaystyle \frac{MH}{AD}}+{\displaystyle \frac{MK}{BE}}+{\displaystyle \frac{MT}{CF}}=1$

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác: $S={\displaystyle \frac{1}{2}}ah$ với $a;h$ lần lượt là độ dài cạnh đáy và chiều cao tương ứng.

Lời giải:

a)

Ta thấy: $∆ABC$ và $∆DBC$ có chung canh đáy $BC$ nên ta có:

$\begin{array}{rl}& S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=S\\ & S_{DBC}=\frac{1}{2}DK.BC=S^{\prime }\end{array}$

Suy ra: ${\displaystyle \frac{S^{\prime }}{S}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}DK.BC}{{\displaystyle \frac{1}{2}}AH.BC}}={\displaystyle \frac{DK}{AH}}$

b) 

Gọi diện tích các hình tam giác $ABC,MAB,MAC,MBC$ lần lượt là $S,S_1,S_2,S_3.$ Ta có:

$S=S_1+S_2+S_3$

Trong đó:$$\begin{gathered} S={\displaystyle \frac{1}{2}}AD.BC={\displaystyle \frac{1}{2}}BE.AC \\ ={\displaystyle \frac{1}{2}}CF.AB \end{gathered}$$

$\begin{array}{l}{S}_1={\displaystyle \frac{1}{2}}MT.AB\\ S_2={\displaystyle \frac{1}{2}}MK.AC\\ S_3={\displaystyle \frac{1}{2}}MH.BC\end{array}$

Từ đó, ta có:

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{S_1}{S}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}MT.AB}{{\displaystyle \frac{1}{2}}CF.AB}}={\displaystyle \frac{MT}{CF}}\\ {\displaystyle \frac{S_2}{S}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}MK.AC}{{\displaystyle \frac{1}{2}}BE.AC}}={\displaystyle \frac{MK}{BE}}\\ {\displaystyle \frac{S_3}{S}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}MH.BC}{{\displaystyle \frac{1}{2}}AD.BC}}={\displaystyle \frac{MH}{AD}}\\ \Rightarrow {\displaystyle \frac{MH}{AD}}+{\displaystyle \frac{MK}{BE}}+{\displaystyle \frac{MT}{CF}}\\ ={\displaystyle \frac{S_3}{S}}+{\displaystyle \frac{S_2}{S}}+{\displaystyle \frac{S_1}{S}}\\ ={\displaystyle \frac{S_3+S_2+S_1}{S}}={\displaystyle \frac{S}{S}}=1\end{array}$