Toptailieu.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 8 Bài 5: Diện tích hình thoi chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 5: Diện tích hình thoi

Bài 42 Trang 162 SBT Toán 8 Tập 1 Trong những hình thoi có chu vi bằng nhau, hãy tìm hình thoi có diện tích lớn nhất.

Phương pháp giải:

Diện tích hình thoi bằng tích của cạnh đáy với chiều cao: $S=a.h$

Lời giải:

Xét hình thoi $ABCD.$ Kẻ $DH\perp AB$

Ta có: $S_{ABCD}=AB.DH$

$∆AHD$ vuông tại $H$ $\Rightarrow DH\le AD$

Suy ra: $S_{ABCD}\le AB.AD$, mà $AB=AD$ (gt)

$\Rightarrow S_{ABCD}\le A{B}^2$

Vậy $S_{ABCD}$ có giá trị lớn nhất khi bằng $A{B}^2$

Khi đó $ABCD$ là hình vuông

Vậy trong các hình thoi có chu vi bằng nhau thì hình vuông là hình có diện tích lớn nhất.

Bài 43 Trang 163 SBT Toán 8 Tập 1 Tính diện tích hình thoi, biết cạnh của nó dài $6,2cm$ và một trong các góc của nó có số đo bằng $30°$

Phương pháp giải:

Diện tích hình thoi bằng tích của cạnh đáy với chiều cao: $S=a.h$

Lời giải:

Giả sử hình thoi $ABCD$ có $AD=6,2cm;$ $\hat{A}={30}^{\circ }$

Từ $D$ kẻ $DH\perp AB$ ($H\in AB$)

Tam giác vuông $AHD$ là một nửa tam giác đều cạnh AD

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow DH=\frac{1}{2}AD=3,1(cm)\\ & S_{ABCD}=DH.AB\end{array}$

$=3,1.6,2=19,22(c{m}^2)$

Bài 44 Trang 163 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình thoi $ABCD,$ biết $AB=5cm,AI=3cm$ ($I$ là giao điểm của hai đường chéo). Hãy tính diện tích hình thoi đó.

Phương pháp giải:

Diện tích hình thoi bằng một nửa tích độ dài hai đường chéo: $S={\displaystyle \frac{1}{2}}{d}_1.d_2$

Lời giải:

Vì ABCD là hình thoi nên $AC\mathrm{\perp }BD$ và $AC=2AI,BD=2BI$ (tính chất)

Trong tam giác vuông $IAB,$ ta có:

$A{B}^2=A{I}^2+I{B}^2$ (định lý Pi-ta-go)

$\begin{array}{l}\Rightarrow I{B}^2=A{B}^2-A{I}^2=25-9=16\\ \Rightarrow IB=4(cm)\\ AC=2AI=2.3=6(cm)\\ BD=2IB=2.4=8(cm)\\ S_{ABCD}={\displaystyle \frac{1}{2}}AC.BD={\displaystyle \frac{1}{2}}6.8\\ =24(c{m}^2)\end{array}$

Bài 45 Trang 163 SBT Toán 8 Tập 1 a) Hãy vẽ một tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau, biết độ dài hai đường chéo đó là $a$ và ${\displaystyle \frac{1}{2}}a$. Hỏi có thể vẽ được bao nhiêu hình như vậy ?

b) Có thể vẽ được mấy hình thoi, biết độ dài hai đường chéo là $a$ và ${\displaystyle \frac{1}{2}}a$ ?

c) Hãy tính diện tích các hình vừa vẽ.

Phương pháp giải:

Diện tích hình thoi bằng một nửa tích độ dài hai đường chéo: $S={\displaystyle \frac{1}{2}}{d}_1.d_2$

Lời giải:

a) Vẽ vô số hình tứ giác thỏa mãn yêu cầu.

b) Vẽ được duy nhất một hình thoi có hai đường chéo là $a$ và ${\displaystyle \frac{1}{2}}a$

c) Diện tích các hình vẽ đó là : $S={\displaystyle \frac{1}{2}}.a.{\displaystyle \frac{1}{2}}a={\displaystyle \frac{1}{4}}{a}^2$ (đvdt)

Bài 46 Trang 163 SBT Toán 8 Tập 1 Hai đường chéo của một hình thoi có độ dài là $16cm$ và $12cm.$ Tính:

a) Diện tích hình thoi

b) Độ dài cạnh hình thoi

c) Độ dài đường cao hình thoi

Phương pháp giải:

Diện tích hình thoi bằng một nửa tích độ dài hai đường chéo: $S={\displaystyle \frac{1}{2}}{d}_1.d_2$

Diện tích hình thoi bằng tích của cạnh đáy với chiều cao: $S=a.h$

Lời giải:

Giả sử ABCD là hình thoi có $AC=12cm,BD=16cm$ và O là giao điểm hai đường chéo

Suy ra $AC\mathrm{\perp }BD$ và $O$ là trung điểm của AC, BD.

Do đó $OA={\displaystyle \frac{AC}{2}};OB={\displaystyle \frac{BD}{2}}$

a. $S_{ABCD}=AC.BD={\displaystyle \frac{1}{2}}.12.16=96$ $(c{m}^2)$

b.Trong tam giác vuông $OAB$, theo định lý Pytago ta có:

$\begin{array}{l}A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2\\ ={\left({\displaystyle \frac{AC}{2}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{BD}{2}}\right)}^2\\ =6^2+8^2=100\\ \Rightarrow AB=10(cm)\end{array}$

Vậy cạnh hình thoi là $10cm$.

c. Kẻ $AH\perp CD$ ($H\in CD$)

$\begin{array}{rl}& S_{ABCD}=AH.CD\\ & \Rightarrow AH=\frac{S_{ABCD}}{CD}=\frac{96}{10}=9,6(cm)\end{array}$

Bài 5.1 Trang 163 SBT Toán 8 Tập 1 a) Sử dụng kéo cắt đúng hai lần, theo đường thẳng, chia một hình chữ nhật thành ba phần sao cho có thể ghép lại thành một hình thoi.

b) Sử dụng kéo cắt đúng hai lần, theo đường thẳng, chia một hình thoi thành ba phần sao cho có thể ghép lại thành một hình chữ nhật.

Từ đó suy ra công thức tính diện tích hình thoi dựa vào công thức tính diện tích hình chữ nhật.

Phương pháp giải:

Cắt ghép hình sao cho hợp lí.

Lời giải:

a) Giả sử có hình chữ nhật $ABCD$. Lấy điểm $M$ là trung điểm của cạnh $CD.$ 

Cắt theo cạnh $AM$ và $MB.$ Sau đó chuyển tam giác $ADM$ đến vị trí của tam giác $NOA,$ chuyển tam giác $MBC$ đến vị trí của tam giác $BNO$ ta được hình thoi $ANBM$

Khi đó diện tích của hình thoi $ANBM$ bằng diện tích của hình chữ nhật $ABCD.$

b) Ta chỉ cần thao tác ngược lại, chẳng hạn ta có hình thoi $AMBN$ tâm $O$, tiến hành cắt theo $AB,$ cắt theo $NO$ khi đó chia được hình thoi thành ba phần là tam giác $AMB,$ tam giác $NOA$ và tam giác $NOB$, sau đó ghép lại thành hình chữ nhật $ABCD.$

Từ đó suy ra: Diện tích hình thoi có số đo bằng một nửa tích độ dài hai đường chéo của nó.

Bài 5.2 Trang 163 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau. Biết $AC=6cm,BD=8cm.$ Gọi $M,N,P,Q$ theo thứ tự là trung điểm các cạnh $AB,BC,CD,DA.$ Gọi $X,Y,Z,T$ theo thứ tự là trung điểm các cạnh $MN,NP,PQ,QM.$

a) Chứng minh rằng $MNPQ$ là hình chữ nhật.

b) Tính diện tích của tứ giác $XYZT.$

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Lời giải:

a) Trong $∆ABD$ ta có:

$M$ là trung điểm của $AB$

$Q$ là trung điểm của $AD$

nên $MQ$ là đường trung bình của $∆ABD.$

$\Rightarrow MQ//BD$ và $MQ={\displaystyle \frac{1}{2}}BD$ (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

Trong $∆CBD$ ta có:

$N$ là trung điểm của $BC$

$P$ là trung điểm của $CD$ 

nên $NP$ là đường trung bình của $∆CBD$

$\Rightarrow NP//BD$ và $NP={\displaystyle \frac{1}{2}}BD$ (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $MQ//NP$ và $MQ=NP$ nên tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành

$AC\perp BD$ (gt)

$MQ//BD$ (chứng minh trên)

Suy ra: $AC\perp MQ$

Trong $∆ABC$ có $MN$ là đường trung bình $\Rightarrow MN//AC$

Suy ra: $MN\perp MQ$ hay $\widehat{NMQ}={90}^{\circ }$

Vậy tứ giác $MNPQ$ là hình chữ nhật.

b) Kẻ đường chéo $MP$ và $NQ$

Trong $∆MNP$ ta có:

$X$ là trung điểm của $MN$

$Y$ là trung điểm của $NP$

nên $XY$ là đường trung bình của $∆MNP$

$\Rightarrow XY//MP$ và $XY={\displaystyle \frac{1}{2}}MP$ (tính chất đường trung bình của tam giác) (3)

Trong $∆QMP$ ta có:

$T$ là trung điểm của $QM$

$Z$ là trung điểm của $QP$

nên $TZ$ là đường trung bình của $∆QMP$

$\Rightarrow TZ//MP$ và $TZ={\displaystyle \frac{1}{2}}MP$ (tính chất đường trung bình của tam giác) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: $XY//TZ$ và $XY=TZ$ nên tứ giác $XYZT$ là hình bình hành.

Trong $∆MNQ$ ta có $XT$ là đường trung bình

$\Rightarrow XT={\displaystyle \frac{1}{2}}QN$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Tứ giác $MNPQ$ là hình chữ nhật $\Rightarrow MP=NQ$

Suy ra: $XT=XY.$ Vậy tứ giác $XYZT$ là hình thoi

$S_{XYZT}={\displaystyle \frac{1}{2}}XZ.TY$

mà $XZ=MQ={\displaystyle \frac{1}{2}}BD={\displaystyle \frac{1}{2}}.8=4$ $(cm);$

$TY=MN={\displaystyle \frac{1}{2}}AC={\displaystyle \frac{1}{2}}.6=3$  $(cm)$

Vậy : $S_{XYZT}={\displaystyle \frac{1}{2}}.3.4=6(c{m}^2)$

Bài 5.3 Trang 163 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác vuông $ABC,$ có hai cạnh góc vuông là $AC=6cm$ và $AB=8cm.$ Trên cạnh $AC$ lấy điểm $D$ sao cho $CD=5cm.$ Trên cạnh $AB$ lấy điểm $E$ sao cho $EB=5cm.$ Gọi $M,N,P,Q$ tương ứng là trung điểm của các đoạn thẳng $DE,DB,BC$ và $CE.$ Tính diện tích của tứ giác $MNPQ.$

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Lời giải:

+) Trong $∆EDC$ ta có:

$M$ là trung điểm của $ED$

$Q$ là trung điểm của $EC$

nên $MQ$ là đường trung bình của $∆EDC$

$\Rightarrow MQ={\displaystyle \frac{1}{2}}CD=2,5(cm)$ và $MQ//CD$

+) Trong $∆BDC$ ta có:

$N$ là trung điểm của $BD$

$P$ là trung điểm của $BC$

nên $NP$ là đường trung bình của $∆BDC$

$\Rightarrow NP={\displaystyle \frac{1}{2}}CD=2,5(cm)$

+) Trong $∆DEB$ ta có:

$M$ là trung điểm của $DE$

$N$ là trung điểm của $DB$

nên $MN$ là đường trung bình của $∆DEB$

$\Rightarrow MN={\displaystyle \frac{1}{2}}BE=2,5(cm)$ và $MN//BE$

+) Trong $∆CEB$ ta có:

$Q$ là trung điểm của $CE$

$P$ là trung điểm của $CB$

nên $QP$ là đường trung bình của $∆CEB$

$\Rightarrow QP={\displaystyle \frac{1}{2}}BE=2,5(cm)$

Suy ra: $MN=NP=PQ=QM$ (1)

$MQ//CD$ hay $MQ//AC$

$AC\perp AB$ (do tam giác ABC vuông tại A)

$\Rightarrow MQ\perp AB$

Lại có: $MN//BE$ hay $MN//AB$

Suy ra: $MQ\perp MN$ hay $\widehat{QMN}={90}^{\circ }$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác $MNPQ$ là hình vuông

$S_{MNPQ}=M{N}^2={\left(2,5\right)}^2=6,25$ $(c{m}^2)$