Toptailieu.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 8 Bài 1: Đa giác. Đa giác đều chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 1: Đa giác. Đa giác đều

Bài 1 Trang 155 SBT Toán 8 Tập 1 Trong các hình dưới đây (h.180), hình nào là đa giác lồi? Vì sao? 

Phương pháp giải:

Định nghĩa: Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó.

Lời giải:

Các hình c,e,g là các đa giác lồi vì các cạnh của đa giác luôm nằm trên một nửa mặt phẳng với bờ chứa bất kì cạnh nào của đa giác.

Các hình a,b,d không phải là đa giác lồi vì các cạnh của đa giác nằm trên hai nửa mặt phẳng với bờ là đường thẳng chứa cạnh của đa giác.

Bài 2 Trang 155 SBT Toán 8 Tập 1 Hãy vẽ một đa giác (lồi) mà các đỉnh là một điểm trong các điểm đã cho ở hình 181 (trên lưới kẻ ô vuông).

Phương pháp giải:

Định nghĩa: Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó.

Lời giải:

Hoặc:

Bài 3 Trang 155 SBT Toán 8 Tập 1 Em hãy kể tên một số đa giác đều mà em biết.

Phương pháp giải:

Định nghĩa: Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó.

Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau.

Lời giải:

Tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều, lục giác đều, bát giác đều, hình $9$ cạnh đều, hình $12$ cạnh đều,...

Bài 4 Trang 156 SBT Toán 8 Tập 1 Chứng minh số đo góc của hình n-giác đều là ${\displaystyle \frac{(n-2){.180}^0}{n}}.$ 

Phương pháp giải:

Ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Vẽ n-giác lồi, kẻ các đường chéo xuất phát từ một đỉnh của n-giác lồi.

Bước 2: Tính tổng số đo của n-giác lồi

Bước 3: Tính số đo mỗi góc của n-giác đều.

Lời giải:

Vẽ một n – giác lồi, kẻ các đường chéo xuất phát từ một đỉnh của n – giác lồi thì chia đa giác đó thành $(n–2)$ tam giác

Tổng các góc của n – giác lồi bằng tổng các góc của $(n–2)$ tam giác, tức là có số đo bằng $(n–2){.180}^0$

Hình n – giác đều có n góc bằng nhau nên số đo mỗi góc bằng ${\displaystyle \frac{(n-2){.180}^0}{n}}.$ 

Bài 5 Trang 156 SBT Toán 8 Tập 1 Tính số đo của hình $8$ cạnh đều, $10$ cạnh đều, $12$ cạnh đều.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính số đo của hình n-giác đều là: ${\displaystyle \frac{(n-2){.180}^0}{n}}.$ 

Lời giải:

Áp dụng công thức tính số đo của hình n-giác đều là ${\displaystyle \frac{(n-2){.180}^0}{n}}$, ta có:

Số đo góc của hình 8 cạnh đều là: ${\displaystyle \frac{(n-2){.180}^0}{n}}$ $={\displaystyle \frac{(8-2){.180}^0}{8}}$ $={135}^0$

Số đo góc của hình 10 cạnh đều là: ${\displaystyle \frac{(n-2){.180}^0}{n}}$ $={\displaystyle \frac{(10-2){.180}^0}{10}}$ $={144}^0$

Số đo góc của hình 12 cạnh đều là: ${\displaystyle \frac{(n-2){.180}^0}{n}}$ $={\displaystyle \frac{(12-2){.180}^0}{12}}$ $={150}^0$

Bài 6 Trang 156 SBT Toán 8 Tập 1 a) Vẽ hình và tính số đường chéo của ngũ giác, lục giác

b) Chứng minh rằng hình n – giác có tất cả ${\displaystyle \frac{n.(n-3)}{2}}$ đường chéo.

Phương pháp giải:

a) Bước 1: Tính số đường chéo được vẽ từ tất cả các đỉnh.

Bước 2: Do mỗi đường chéo được tính hai lần nên ta tính được số đường chéo của n-giác tương ứng.

b) Bước 1: Qua mỗi đỉnh, ta tính được vẽ được bao nhiêu đường chéo

Bước 2: Do mỗi đường chéo được tính hai lần nên ta tính được có tất cả bao nhiêu đường chéo.

Lời giải:

a) Từ mỗi đỉnh của ngũ giác vẽ được hai đường chéo. Ngũ giác có $5$ đỉnh ta kẻ được $5.2=10$ đường chéo, trong đó mỗi đường chéo được tính hai lần. Vậy ngũ giác có tất cả $5$ đường chéo.

Từ mỗi đỉnh của lục giác vẽ được ba đường chéo. Lục giác có $6$ đỉnh ta kẻ được $6.3=18$ đường chéo, trong đó mỗi đường chéo được tính hai lần. Vậy lục giác có tất cả là $9$ đường chéo.

b) Từ mỗi đỉnh của n-giác (lồi) vẽ được $(n-1)$ đoạn thẳng nối đỉnh đó với $(n-1)$ đỉnh còn lại của đa giác, trong đó có $2$ đoạn thẳng trùng với hai cạnh của đa giác. Vậy, qua mỗi đỉnh của n-giác (lồi) vẽ được $(n-3)$ đường chéo.

Hình n-giác có $n$ đỉnh nên vẽ được $n.(n-3)$ đường chéo, trong đó mỗi đường chéo được tính hai lần.

Vậy, hình $n$ giác có tất cả ${\displaystyle \frac{n.(n-3)}{2}}$ đường chéo. 

Bài 7 Trang 156 SBT Toán 8 Tập 1 Tìm số đường chéo của hình $8$ cạnh, $10$ cạnh, $12$ cạnh.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính số đường chéo của hình n-giác là: ${\displaystyle \frac{n.(n-3)}{2}}$

Lời giải:

Áp dụng công thức tính số đường chéo của hình n-giác là ${\displaystyle \frac{n.(n-3)}{2}},$ ta có:

Số đường chéo của hình $8$ cạnh là:

${\displaystyle \frac{n.(n-3)}{2}}$ $={\displaystyle \frac{8.(8-3)}{2}}$ $=20$ (đường chéo)

Số đường chéo của hình $10$ cạnh là:

${\displaystyle \frac{n.(n-3)}{2}}$ $={\displaystyle \frac{10.(10-3)}{2}}$ $=35$ (đường chéo)

Số đường chéo của hình $12$ cạnh là:

${\displaystyle \frac{n.(n-3)}{2}}$ $={\displaystyle \frac{12.(12-3)}{2}}$ $=54$ (đường chéo)

Bài 8 Trang 156 SBT Toán 8 Tập 1 Chứng minh rằng tổng các góc ngoài của một đa giác (lồi ) có số đo là $360°.$

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định tổng số đo của góc trong và góc ngoài của hình n-giác

Bước 2: Xác định tổng số đo các góc trong của n-giác

Bước 3: Tính được tổng số đo góc ngoài tam giác.

Lời giải:

Tổng số đo của góc trong và góc ngoài ở mỗi đỉnh của hình n – giác bằng $180°$

Hình n – giác có n đỉnh nên tổng số đo các góc trong và góc ngoài của đa giác bằng $n.180°$

Mặt khác ta biết tổng các góc trong của hình n – giác bằng $(n–2).180°$

Vậy tổng số đo các góc ngoài của hình n – giác là:

$n.180°-(n–2).180°$ $=n.180°-n.180°+2.180°$ $=360°$

Bài 9 Trang 156 SBT Toán 8 Tập 1 Đa giác nào có tổng số đo các góc (trong) bằng tổng số đo các góc ngoài?

Phương pháp giải:

Gợi ý: Hình n-giác lồi có tổng số đo các góc trong bằng $(n-2){.180}^0$ và tổng các góc ngoài bằng ${360}^0.$

Lời giải:

Ta có: hình n-giác lồi có tổng số đo các góc trong bằng $(n-2){.180}^0$ và tổng các góc ngoài bằng ${360}^0.$

Do đa giác lồi có tổng các góc trong bằng tổng các góc ngoài nên:

$(n–2).180°=360°$ $\iff n-2=2\iff n=4$

Vậy tứ giác lồi có tổng các góc trong và góc ngoài bằng nhau.

Bài 10 Trang 156 SBT Toán 8 Tập 1 Một đa giác (lồi) có nhiều nhất là bao nhiêu góc nhọn?

Phương pháp giải:

Sử dụng: Tổng số đo các góc ngoài của một đa giác (lồi) là $360°.$

Lời giải:

Ta đã biết: Tổng số đo các góc ngoài của một đa giác (lồi) là $360°$ (theo bài 8 trang 156 SBT toán 8 tập 1) 

Như vậy: Nếu góc của đa giác lồi là góc nhọn thì góc ngoài tương ứng là góc tù. Nếu đa giác lồi có $4$ góc nhọn thì tổng các góc ngoài của đa giác lớn hơn $360°,$ mâu thuẫn với tổng các góc ngoài của đa giác lồi bằng $360°.$

Vậy đa giác lồi có nhiều nhất là $3$ góc nhọn.

Bài 11 Trang 156 SBT Toán 8 Tập 1 Một đa giác đều có tổng số đo tất cả các góc ngoài và một góc trong của đa giác bằng $468°.$ Hỏi đa giác đều đó có mấy cạnh?

Phương pháp giải:

Gợi ý:

Tổng số đo các góc ngoài của đa giác bằng $360°$

Số đo mỗi góc của đa giác đều bằng ${\displaystyle \frac{\left(n-2\right){.180}^0}{n}}$

Lời giải:

Tổng số đo các góc ngoài của đa giác bằng $360°$

Theo bài ra ta có số đo một góc trong của đa giác đều là $468°-360°=108°$

Gọi $n$ là số cạnh của đa giác đều. Ta có số đo mỗi góc của đa giác đều bằng ${\displaystyle \frac{\left(n-2\right){.180}^0}{n}}$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{\left(n-2\right){.180}^0}{n}}={108}^0$

$\Rightarrow {180}^0.n-{360}^0={108}^0.n$

$\Rightarrow {72}^0.n={360}^0$

$\Rightarrow n=5$

Vậy đa giác đều cần tìm có $5$ cạnh.

Bài 1.1 Trang 156 SBT Toán 8 Tập 1 Mỗi câu sau đây đúng hay sai ?

a. Tam giác và tứ giác không phải là đa giác

b. Hình gồm $n$ đoạn thẳng đôi một có một điểm chung được gọi là đa giác (với $n$ là số tự nhiên lớn hơn $2$)

c. Hình gồm $n$ đoạn thẳng (với $n$ là số tự nhiên lớn hơn $2$) trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào có một điểm chung cũng không cùng nằm trên một đường thẳng được  gọi là đa giác.

d. Hình tạo bởi nhiều hình tam giác được gọi là đa giác

e. Đa giác luôn nằm trong nửa mặt phẳng cho trước được gọi là đa giác lồi

f. Đa giác luôn nằm trong nửa mặt phẳng có bờ là một đường thẳng chứa một cạnh của nó được gọi là đa giác lồi

g. Hình gồm hai đa giác lồi cho trước là một đa giác lồi.

Phương pháp giải:

Định nghĩa: Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó.

Lời giải:

a. Sai; b. Sai; c. Đúng; d. Sai; e. Sai; f. Sai; g. Sai

Bài 1.2 Trang 156 SBT Toán 8 Tập 1  a) Cho tam giác đều $ABC.$ Gọi $M,N,P$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB.$ Chứng minh $MNP$ là tam giác đều.

b) Cho hình vuông $ABCD.$ Gọi $M,N,P,Q$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $BC,CD,DA,AB.$ Chứng minh $MNPQ$ là hình vuông (tứ giác đều)

c) c) Cho ngũ giác đều $ABCDE.$ Gọi $M,N,P,Q,R$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $BC,CD,DE,EA,AB.$ Chứng minh $MNPQR$ là ngũ giác đều.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác

b) Áp dụng tính chất hai tam giác bằng nhau

c) Để chứng minh $MNPQR$ là ngũ giác đều ta cần chứng minh hai điều: hình đó có tất cả các cạnh bằng nhau và có tất cả các góc bằng nhau.

Lời giải:

a)

Ta có: $M$ là trung điểm của $BC$

$N$ là trung điểm của $AC$

nên $MN$ là đường trung bình của $∆ABC$

$\Rightarrow MN={\displaystyle \frac{1}{2}}AB$

Lại có: $P$ là trung điểm của $AB$ nên $MP$ là đường trung bình của $∆ABC$

 $\Rightarrow MP={\displaystyle \frac{1}{2}}AC$

$NP$ là đường trung bình của $∆ABC$

$\Rightarrow NP={\displaystyle \frac{1}{2}}BC$

Mà $AB=BC=AC$ (gt) nên $MN=MP=NP.$ Vậy $∆MNP$ đều

b) 

Do ABCD là hình vuông có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của BC, CD, DA, AB nên: $AQ=QB=BM=MC$$=CN=ND=DP=PA$

Xét $∆APQ$ và $∆BQM:$

$AQ=BQ$ (chứng minh trên)

$\hat{A}=\hat{B}={90}^0$

$AP=BM$ (chứng minh trên)

Do đó: $∆APQ=∆BQM(c.g.c)$ $\Rightarrow PQ=QM(1)$

Xét $∆BQM$ và $∆CMN:$

$BM=CM$ (chứng minh trên)

$\hat{B}=\hat{C}={90}^0$

$BQ=CN$ (chứng minh trên)

Do đó: $∆BQM=∆CMN(c.g.c)$ $\Rightarrow QM=MN(2)$

Xét $∆CMN$ và $∆DNP:$

$CN=DN$ (chứng minh trên)

$\hat{C}=\hat{D}={90}^0$

$CM=DP$ (chứng minh trên)

Do đó: $∆CMN=∆DNP(c.g.c)$ $\Rightarrow MN=NP(3)$

Từ $(1),(2)$ và $(3)$ suy ra: $MN=NP=PQ=QM$ nên tứ giác $MNPQ$ là hình thoi

Vì $AP=AQ$ nên $∆APQ$ vuông cân tại $A$

$BQ=BM$ nên $∆BMQ$ vuông cân tại $B$

$\Rightarrow \widehat{AQP}=\widehat{BQM}={45}^0$

$\widehat{AQP}+\widehat{PQM}+\widehat{BQM}={180}^0$ (kề bù)

$\Rightarrow \widehat{PQM}={180}^0-\left(\widehat{AQP}+\widehat{BQM}\right)$

$={180}^0-\left({45}^0+{45}^0\right)={90}^0$

Vậy tứ giác $MNPQ$ là hình vuông.

c) 

Vì ABCDE là ngũ giác đều nên $AB=BC=CD$$=DE=EA$

Xét $∆ABC$ và $∆BCD:$

$AB=BC$(gt)

$\hat{B}=\hat{C}$ (gt)

$BC=CD$ (gt)

Do đó: $∆ABC=∆BCD(c.g.c)$

$\Rightarrow AC=BD(1)$

Xét $∆BCD$ và $∆CDE:$

$BC=CD$ (gt)

$\hat{C}=\hat{D}$ (gt)

$CD=DE$ (gt)

Do đó: $∆BCD=∆CDE(c.g.c)$ $\Rightarrow BD=CE(2)$

Xét $∆CDE$ và $∆DEA:$

$CD=DE$ (gt)

$\hat{D}=\hat{E}$ (gt)

$DE=EA$ (gt)

Do đó: $∆CDE=∆DEA(c.g.c)$ $\Rightarrow CE=DA(3)$

Xét $∆DEA$ và $∆EAB:$

$DE=EA$ (gt)

$\hat{E}=\hat{A}$ (gt)

$EA=AB$ (gt)

Do đó: $∆DEA=∆EAB(c.g.c)$ $\Rightarrow DA=EB(4)$

Từ $(1),(2),(3),(4)$ suy ra: $AC=BD=CE=DA=EB$

Trong $∆ABC$ ta có $RM$ là đường trung bình

$\Rightarrow RM={\displaystyle \frac{1}{2}}AC$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Mặt khác, ta có: Trong $∆BCD$ ta có $MN$ là đường trung bình

$\Rightarrow MN={\displaystyle \frac{1}{2}}BD$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong $∆CDE$ ta có $NP$ là đường trung bình

$\Rightarrow NP={\displaystyle \frac{1}{2}}CE$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong $∆DEA$ ta có $PQ$ là đường trung bình

$\Rightarrow PQ={\displaystyle \frac{1}{2}}DA$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong $∆EAB$ ta có $QR$ là đường trung bình

$\Rightarrow QR={\displaystyle \frac{1}{2}}EB$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra: $MN=NP=PQ=QR=RM$

Ta có: $\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=\hat{D}=\hat{E}$ $={\displaystyle \frac{(5-2){.180}^0}{5}}$ $={108}^0$

$∆DPN$ cân tại $D$

$\Rightarrow \widehat{DPN}=\widehat{DNP}$ $={\displaystyle \frac{{108}^0-\hat{D}}{2}}$  $={\displaystyle \frac{{180}^0-{108}^{{}^0}}{2}}$ $={36}^0$

$∆CNM$ cân tại $C$

$\Rightarrow \widehat{CNM}=\widehat{CMN}$ $={\displaystyle \frac{{108}^0-\hat{C}}{2}}$ 

$={\displaystyle \frac{{180}^0-{108}^{{}^0}}{2}}$ $={36}^0$

$\widehat{ADN}+\widehat{PNM}+\widehat{CNM}={180}^0$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{PNM} \\ ={180}^0-\left(\widehat{ADN}+\widehat{CNM}\right) \end{gathered}$$

$={180}^0-\left({36}^0+{36}^0\right)={108}^0$

$∆BMR$ cân tại $B$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{BMR}=\widehat{BRM}={\displaystyle \frac{{180}^0-\hat{B}}{2}} \\ ={\displaystyle \frac{{180}^0-{108}^0}{2}}={36}^0 \end{gathered}$$

$\begin{array}{l}\widehat{CNM}+\widehat{NMR}+\widehat{BMR}={180}^0\\ \Rightarrow \widehat{NMR}\\ ={180}^0-(\widehat{CMN}+\widehat{BMR})\\ ={180}^0-({36}^0+{36}^0)={108}^0\end{array}$

$∆ARQ$ cân tại $A$

$\begin{array}{l}\widehat{\mathrm{A}\mathrm{R}Q}=\widehat{AQR}={\displaystyle \frac{{180}^0-\hat{A}}{2}}\\ ={\displaystyle \frac{{180}^0-{108}^0}{2}}={36}^0\\ \widehat{BRM}+\widehat{MRQ}+\widehat{\mathrm{A}\mathrm{R}Q}={180}^0\\ \Rightarrow \widehat{MRQ}={180}^0-(\widehat{BRM}+\widehat{\mathrm{A}\mathrm{R}Q})\\ ={180}^0-({36}^0+{36}^0)={108}^0\end{array}$

$∆QEP$ cân tại $E$

$\begin{array}{l}\widehat{\mathrm{E}\mathrm{Q}P}=\widehat{EPQ}={\displaystyle \frac{{180}^0-\hat{E}}{2}}\\ ={\displaystyle \frac{{180}^0-{108}^0}{2}}={36}^0\\ \widehat{AQR}+\widehat{RQB}+\widehat{\mathrm{E}\mathrm{Q}P}={180}^0\\ \Rightarrow \widehat{RQP}={180}^0-(\widehat{AQR}++\widehat{\mathrm{E}\mathrm{Q}P})\\ ={180}^0-({36}^0+{36}^0)={108}^0\end{array}$

$\begin{array}{l}\widehat{EPQ}+\widehat{QPN}+\widehat{DPN}={180}^0\\ \Rightarrow \widehat{QPN}={180}^0-(\widehat{EPQ}+\widehat{DPN})\\ ={180}^0-({36}^0+{36}^0)={108}^0\end{array}$

Suy ra : $\widehat{PNM}=\widehat{NMR}=\widehat{MRQ}$ $=\widehat{RQP}=\widehat{QPN}$

Vậy $MNPQR$ là ngũ giác đều.

Bài 1.3 Trang 157 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình vuông $ABCD$ có $AB=$ $3$ cm

Trên tia đối của tia $BA$ lấy điểm $K$ sao cho $BK=$ $1$ cm

Trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $L$ sao cho $CL=$ $1$ cm

Trên tia đối của tia $DC$ lấy điểm $M$ sao cho $MD=$ $1$ cm

Trên tia đối của tia $AD$ lấy điểm N sao cho $NA=$ $1$ cm

Chứng minh KLMN là hình vuông

Phương pháp giải:

Chứng minh bốn tam giác vuông $MCL,LKB,KAN,NDM$ bằng nhau.

Khi đó suy ra: $ML=LK=KN=NM$ và $LK$ vuông góc với $KN$

Từ đó ta có $KLMN$ là hình vuông.

Lời giải: 

Từ đề bài suy ra $BK=CL$$=MD=NA=1cm$

Xét $∆ANK$ và $∆BKL:$ 

$AN=BK$ (gt)

$\hat{A}=\hat{B}={90}^{\circ }$

$AK=BL$ (vì $AB=BC,BK=CL$)

Do đó $∆ANK=∆BKL(c.g.c)$

$\Rightarrow NK=KL(1)$

Xét $∆BKL$ và $∆CLM:$

$BK=CL$ (gt)

$\hat{B}=\hat{C}={90}^{\circ }$

$BL=CM$ (vì $BC=CD,CL=DM$)

Do đó:  $∆BKL=∆CLM(c.g.c)$

$\Rightarrow KL=LM(2)$

Xét $∆CLM$ và $∆DMN:$

$CL=DM$ (gt)

$\hat{C}=\hat{D}={90}^{\circ }$

$CM=DN$ (vì $CD=DA,DM=AN$)

Do đó: $∆CLM=∆DMN(c.g.c)$

$\Rightarrow LM=MN(3)$

Từ $(1),(2)$ và $(3)$ $\Rightarrow NK=KL=LM=MN$

Tứ giác $MNKL$ là hình thoi

$∆ANK=∆BKL$ $\Rightarrow \widehat{ANK}=\widehat{BKL}$

Trong tam giác $ANK$ có $\hat{A}={90}^{\circ }\Rightarrow \widehat{ANK}+\widehat{AKN}={90}^{\circ }$

$\Rightarrow \widehat{BKL}+\widehat{AKN}={90}^{\circ }$hay $\widehat{NKL}={90}^{\circ }$

Vậy tứ giác $MNKL$ là hình vuông.